BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−− − ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Cho hàm số ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− y = −x + 3x2 − (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C) hàm số (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò (C) điểm thuộc (C) có hoành độ Câu (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện thực phần ảo z Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = 2z − i z = + 5i Tìm phần x2 + ln x dx x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2x+1 − 4.3x + = (x ∈ R) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(−2; 5) đường thẳng d : 3x − 4y + = Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với d Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho AM = Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; −1), B(1; 2; 3) mặt phẳng (P ) : x + 2y − 2z + = Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A (P ) Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B vuông góc với (P ) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc 45 ◦ Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x2 + xy + y = x2 − xy − 2y = −x + 2y (x, y ∈ R) Câu (1,0 điểm) Tìm giá trò lớn giá trò nhỏ hàm số √ √ f (x) = x + − x −−−−− −Hết−−−−− − Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B Khối D (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Đáp án Câu a) (1,0 điểm) (2,0đ) • Tập xác đònh: D = R • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y = −3x + 6x; y = ⇔ 0,25 x=0 x = Các khoảng nghòch biến: (−∞; 0) (2; +∞); khoảng đồng biến: (0; 2) - Cực trò: Hàm số đạt cực tiểu x = 0, y CT = −1; đạt cực đại x = 2, y CĐ = - Giới hạn vô cực: lim y = +∞; lim y = −∞ x→−∞ Điểm 0,25 x→+∞ - Bảng biến thiên: x −∞ y y +∞ P P 0 − PP PP q −1 • Đồ thò: + ✏ ✏✏ +∞ − ✏ PP ✶ ✏✏ P PP q P 0,25 −∞ y ✁ ✂ ✆ 0,25 ✄ x ☎ −1 b) (1,0 điểm) Hệ số góc tiếp tuyến y (1) = 0,25 Khi x = y = 1, nên tọa độ tiếp điểm M (1; 1) 0,25 Phương trình tiếp tuyến d cần tìm y − = 3(x − 1) 0,25 ⇔ d : y = 3x − 0,25 Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết ta 2(a + bi) − i(a − bi) = + 5i (1,0đ) 2a − b = ⇔ 2b − a = ⇔ a=3 b = 0,25 0,25 0,25 Do số phức z có phần thực phần ảo 0,25 Đáp án Câu (1,0đ) Ta có I = x dx = • ln x dx x x dx + Điểm 0,25 x2 2 = 0,25 2 ln x dx = x • (1,0đ) = ln2 Do I = + ln2 2 0,25 Đặt t = 3x , t > Phương trình cho trở thành 3t − 4t + = 0,25 t=1 ⇔ t= • Với t = ta 3x = ⇔ x = 0,25 0,25 ta 3x = 3−1 ⇔ x = −1 Vậy nghiệm phương trình cho x = x = −1 • Với t = → Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến − n = (3; −4) (1,0đ) → Đường thẳng ∆ cần viết phương trình qua A nhận − n làm vectơ phương, nên ∆ : 4(x + 2) + 3(y − 5) = ⇔ ∆ : 4x + 3y − = 3t + M ∈ d, suy M t; 3t + AM = ⇔ (t + 2)2 + − = 52 ⇔ t = Do M (1; 1) y−1 z +1 x−2 = = Phương trình đường thẳng qua A vuông góc với (P ) −2 (1,0đ) Gọi H hình chiếu vuông góc A (P ), suy H(2 + t; + 2t; −1 − 2t) (1,0đ) 0,25 1 ln x d(ln x) = ln2 x Ta có H ∈ (P ) nên (2 + t) + 2(1 + 2t) − 2(−1 − 2t) + = ⇔ t = −1 Do H(1; −1; 1) − −→ → Ta có AB = (−1; 1; 4) vectơ pháp tuyến (P ) − n = (1; 2; −2) −− → → − Suy [ AB, n ] = (−10; 2; −3) −− → − Mặt phẳng (Q) cần viết phương trình qua A nhận [ AB, → n ] làm vectơ pháp tuyến, nên (Q) : −10(x − 2) + 2(y − 1) − 3(z + 1) = ⇔ (Q) : 10x − 2y + 3z − 15 = S ✡ ☛ A ✝ ✞ ✠ ✟ B H C D Ta có SA ⊥ (ABCD) nên góc SC đá√y SCA Do ABCD hình vuông cạnh a, nên AC = a √ Suy SA = AC tan SCA = a √ 2a Thể tích khối chóp V S.ABCD = SA.SABCD = 3 Gọi H hình chiếu vuông góc A SD, suy AH ⊥ SD Do CD ⊥ AD CD ⊥ SA nên CD ⊥ (SAD) Suy CD ⊥ AH Do AH ⊥ (SCD) 1 Ta có = + = 2 2 AH SA AD 2a √ 6a Do d(B, (SCD)) = d(A, (SCD)) = AH = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Đáp án Câu (1,0đ) x2 + xy + y = x2 − xy − 2y Điểm (1) 0,25 = −x + 2y (2) Ta có (2) ⇔ (x − 2y)(x + y + 1) = ⇔ x = 2y x = −y − 0,25 • Với x = 2y, phương trình (1) trở thành 7y = ⇔ y=1⇒x=2 y = −1 ⇒ x = −2 y = −3 ⇒ x = y = ⇒ x = −3 Vậy nghiệm (x; y) hệ cho là: (2; 1), (−2; −1), (2; −3), (−3; 2) • Với x = −y − 1, phương trình (1) trở thành y + y − = ⇔ Tập xác đònh hàm số D = [0; 5] (1,0đ) 1 Ta có f (x) = √ − √ , ∀x ∈ (0; 5) x 5−x √ √ f (x) = ⇔ x = − x ⇔ x = √ √ Ta có f (0) = 5; f (4) = 5; f (5) = √ • Giá trò nhỏ hàm số f (0) = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 • Giá trò lớn hàm số f (4) = −−−−−−Hết−−−−−− .. .B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A, Khối A1, Khối B Khối D (Đáp án - Thang điểm gồm 03... (2,0đ) • Tập xác đònh: D = R • Sự biến thi n: - Chiều biến thi n: y = −3x + 6x; y = ⇔ 0,25 x=0 x = Các khoảng nghòch biến: (−∞; 0) (2; +∞); khoảng đồng biến: (0; 2) - Cực trò: Hàm số đạt cực tiểu... − = 3(x − 1) 0,25 ⇔ d : y = 3x − 0,25 Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thi t ta 2(a + bi) − i(a − bi) = + 5i (1,0đ) 2a − b = ⇔ 2b − a = ⇔ a=3 b = 0,25 0,25 0,25 Do số phức z có phần thực phần