phương pháp xác định khối tâm

Trang 1

1.2 Một số phương pháp xác định khối tâm 1.2.1 Phương pháp hình học đối xứng

Từ tắnh chất hình học của vật thể ta có thể suy ra được khối tâm của vật: * Néu vat đồng chất có mặt phẳng, trục hoặc tâm đối xứng thì khối tâm của vật nằm tương ứng hoặc trên mặt phẳng đối xứng, hoặc trục đối xứng, hoặc

tâm đối xứng

+ Khối tâm của đĩa tròn chắnh là tâm O của đĩa (H 1.1)

+ Khối tâm của hình trụ là trung điểm của trục đối xứng ử,Ó,(H1.2) + Nếu vật đồng chất là hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành thì khối tâm của vật trùng với tâm hình học tức là giao điểm của 2 đường chéo (H1.3) H1.3 HI.I HI.2

+ Nếu vật là tam giác phẳng đồng chất thì khối tâm của nó là giao điểm của 3 đường trung tuyến (H 1.4)

+ Nếu vật có hình là một tứ diện đông chất thì khối tâm là giao điểm các đoạn nối đỉnh và trọng tâm đáy đói điện (H 1.5)

HI.4 H1.5

1.2.2 Phuong phap ghép vat

Trang 2

Bài toán K1: Xác định khối tâm của một hình đồng chất có kắch thước như hình

VẼ:

Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy như hình (H 1.6) Chia vật thành 3 hình chữ nhật:

+ Hình chữ nhật ABCD có tâm Ó, 0.5) + Hinh chit nhat EFGH cé tam 0, (0,c+ 3

+ Hình chữ nhật IKLM có tâm là O,(0,c +a)

Do hình có trục Oy đối xứng nên khối tâm của vật sẽ nằm trên trục này

Và có xẤ =0 ào

Gọi d, ụ lần lượt là bề dày và khối lượng riêng của vật Khối lượng của vật có dạng hình chữ nhật ABCD là: mị =ử0:d-a-c=acpd Khối lượng của vật có dạng là hình chữ nhật CDEF là: m, = p-d-a-2c =2acpd Khối lượng của vật có dạng là hình chữ nhật IKLM là: m, = pd -b.c = bepd Toa d6 khối tâm của vật là: _ hy, Ẩm,Ữ; + m,}; om +m, +m,

aepd 5 + 2acpd (c+ 5)+ bepd (e+ a)

yes acpd + 2acpd + bepd

Ở 5ae +2a? +2be + 2ab

Tc 6a+2b

Toạ độ khối tâm của hình cần tìm

là: (0, 54c +24 + 2be+ 2aby 6a+2b

Bài toán K2: Xác định khối tâm của một

thanh mảnh đồng chất được gập lại thành một

Trang 3

tam giác có độ dài các cạnh như hình vẽ H 1.6

Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy như hình (HI1.6) Gốc toạ độ O Toạ độ của các đỉnh A(xa, yA); B(0, 0); C(xc,0) Ta có: C=ax ty, 0 =(x, -x,) +ưà a =X," Giải hệ trên ta thu được: at+e-b XƯ=ỞỞỞỞỞ 2a 1 22 > 2 x2 TẤ==ỞỞ 4aồcồ =a? +e?Ởbồ} 2a X,=a

Gọi ụ là khối lượng riêng của vật Chia vật thành 3 phan:

+ Phần thứ nhất là đoạn OA có khối lượng ụẤ= ục và khối tâm của nó

nằm tại trung điểm của đoạn OA co toa độ

(xy) = (ere te ca 4e -(@ +07 -b?) )

+ Phần thứ hai là đoạn OB có khối lượng m, = pa va khéi tâm của nó

nằm tại trung điểm của đoạn OB có toạ độ (X2;72) = G0)

+ Phần thứ ba là đoạn AB có khối lượng m, = ụỪ và khối tâm của nó nằm

tại trung điểm của đoạn AB có toạ độ (X33y3) =

Trang 4

Xo = Ở c(z? +0 Ởb?)+ 2aỢ +2b(aồ +0 ~đ?) 4a(a+b+c) _ c|4aồc? -(q? +c? Ởđồ} +bà|4a2e? -Í? +c Ở%ồ} Ye 4a(a+b+c) Bài toán K3: Xác định khối tâm của một vật hình vuông cạnh 2a đã bị khoét bởi một hình có dạng như hình (H 1.8)

Gắn vật vào hệ trục toạ độ Oxy như hình (H 1.8) Gốc toạ độ tại O

Do hình có trục Ox đối xứng nên hình có khối tâm nằm trên trục này và có yƯ =0

Gọi ụ,đ là khối lượng riêng và bề dày của vật Ta lắp vào hình vuông đã bị cắt bằng

một hình tam giác đã cắt ta sẽ được toàn bộ hình vuông cạnh 2z và có khối tâm là (0, 0) Khi đó hình vuông cạnh 2z gồm 2 phần: + Phần 1 (hình tam giác) có khối lượng

Trang 5

Toạ độ khối tâm của hình cần tìm là: C240)

Bài toán K4: Xác định khối tâm của hình đồng chất có đạng như hình vẽ sau: Gắn hình vào hệ trục tọa độ Oxy như hình (H 1.9)

Do hình có trục Ox đối xứng nên khối tâm của hình sẽ nằm trên Ox và có tung độ yẤ =0 Chia hình thành 2 phần: + Phần I (hình vuông) có khối lượng là m,= ụ#-a-a=aồụảj và có khối tâm ử,(0.0) w

+ Phần 2 ( hình tam giác ) có khối lượng là m, = pt ba Baa 3 apa và có toa

2 2 4 a

độ khối tâm 0,(a+ 44,0) = (44,0) , 3 3 0, > Xx

Toa độ khối tâm của hình cần tìm : a mx, +mM,X, a xX = m, +m, HI.9 Thay số, ta được: ; 43 Ấ4 WB - -0+Ở_=aẼ Ở _ỞỞ Ế T0 8 ca g2 da Ổ a pd * pd+ỞỞa* 3 > qo ed l+ỞỞ V3 3+4/3 4

Toạ độ khối tâm của hình cần tìm là: (_ ỘỘỞ,0) 3+4/3

Bài toán Kậ: Xác định khối tâm của một bản mỏng độ dày d đồng chất hình

Trang 6

Lấy hình vuông đã khoét lấp vào hình tròn bị khoét ta được hình tròn tâm O và có khối tâm là (0, 0) Chia hình tròn thành 2 phần: + Phần 1 (hình vuông) có khối lượng: m, = pda = 7 R'pdva có toạ độ khối R tâm là (Ở,0) (49

+ Phan 2 (phan bi khoét) có khối lượng: m, =z&ồẤx/- = pd = R? pd (a - > và có toạ độ khối tâm là: (x,,0)

Hoành độ khối tâm của bản mỏng hình tròn khi chưa bị khoét là: m,x, +m,x, ST =0 m, +m, "` " ồ i 4 ` ho +R? pd(a -Ở + md+ RẺ Al(x =2) R 1 ẹỞ+(zỞ-)x,=0 16 4+Ộ R ax, - es R tk 442-1) 4

Như vậy toạ độ khối tâm của hình cần tìm là: ( Bài toán K6: Có 3 quả cầu khối lượng

m,,m,,m, duge đặt sao cho chúng tạo

với nhau thành một tam giác đều Xác A) định khối tâm của hệ 3 quả cầu đồng

chất đó

Gắn hệ 3 quả cầu vào hệ trục toạ

độ Oxy như hình (H 1.12), gốc toạ độ ED

tai O 1a trung điểm của đoạn thắng nối 2 m 5

Ề Ấ H112

Trang 7

Toạ độ khối tâm của hệ là: m,xX, +m,x, +X; Xe= mm +1m; +1m; Ở MY +MY + M3V3 Ộ m, +m, +m, Thay sô, ta có: a a m, -0+m, -(-=)+m, -= Ở_ ` 2 2 dứn, Ởm,) Xe= = 1m +1m; +1; 2(m, +m, +m,) 3 + 0+ 0 m,-ỞỞat+m,- MB ? H - 3 am, V3 Yor m, +m, +m, = 2(m, +m,+m,)

Vay toa do khối tâm của hình cần tìm là re Án

Bài toán K7: Xác định khối tâm của khối trụ đã bị khoét một phần có dạng là một nửa hình cầu, bán kắnh R

Hình trụ có trục đối xứng là đường thắng ử,ử, nối tâm 2 đường tròn bán

kắnh R của hình trụ

Khối tâm của toàn bộ hình trụ nằm trên trung điểm trục đối xứng có tung độ Y= Fes Do khối hình trên nhận trục Oy làm trục đối xứng nên toạ độ khối tâm của khối hình cần tìm nằm trên Oy và có xẤ =0 Theo bài toán K20, ta có khối tâm v

của nửa khối cầu là y, = ak

Tung độ khối tâm của khối hình cần tìm là:

Trang 8

Thay sé, ta co: 2 h 27; Ấ3 h1, ZR hpd-ỞỞỞ7R`pdl:ỞR_ ỞỞỞR 2Ở n2 v.= Cc pay gtk 7 TP 3200-RP aệ hpd ~= aR pd = 4 3hỞ2R

Ạ ^ THÁI tâm nữa Bình cần se 1à ca.3 2h? Ở R?

Vậy toạ độ khôi tâm của hình cân tìm là (0;Ở )

4 3hỞ2R

1.2.3 Phương pháp tắch phân

Với những vật đồng chất, liên tục không thể sử dụng phương pháp chia vật như ở mục 2.2 thì ta có thể dùng phương pháp tắch phân

+ Với những vật có dạng hình khối đồng chất liên tục thỉ trước hết chia

vật thành các thể tắch bé Av, nào đó Khi đó toạ độ:khối tâm được xác định theo công thức:

A A A

=> h ye = Be "eS <2 +

,

trong đó x,,y,,z, là toạ độ của một điểm nào đó nằm bên trong thể tắch Av,

Với những vật đồng chất, liên tục nên ta có thể chuyền phép tắnh tổng thành tắch phân:

Xe =p av

Vo= pba

Zé= aud

trong dé dV = dxdydz, V 1a thé tich cua hinh

+ Tương tự đối với toạ độ khối tâm của những vật hình phẳng (hình thang cong) bằng cách lấy tắch phân ta cũng có:

1 1

Xo = 5 frase = 3 Ps

trong đó dS = ydx, S là diện tắch của hình

Trang 9

14 14 Xo = L frddsye =T fae trong do dL =,/1+ (2) ae, con L la độ dài của cung IX Bài toán K8: Xác định khối tâm của một thanh đồng chat (H 1.12)

Chia thanh thành nhiều phần tử nhỏ khối lượng là dm, chiéu dai dx va bé day là đ, khối lượng riêng là ụ Ta co: dm =p.d.dx Toạ độ khối tâm của thanh: H.1:14 14 14 Xo = fucin =Ở fx d-dx M; M Xe ể Ẽ - M 2 2 M Mặt khác diện tắch của thanh: S=L-dod=3 L Thay vào công thức trên, ta được: ISL Xo ===> 2LM Vì thanh đồng chất nên khối lượng tỉ lệ với diện tắch: IML 1 xaos 2LM 2

Vậy toạ độ khói tâm của thanh là: C C10)

Bài toán K9: Xác định khối tâm của một cung tròn đồng chất AB, có bán kắnh

R và góc ở tâm AOB = 2z

Cung tròn có trục Ox làm trục đối xứng nên khối

tâm của cung sẽ nằm trên trục Ox và có ye =0

Chia cung tròn ra làm nhiều phần tử cung nhỏ xác định bởi góc ụử

Trang 10

Chiều dài của mỗi phần tử nhỏ của cung là: d/ = Rđụ và có toạ độ khối tam la: x = Rcosử

Do dai cung AB: L=R-2a Toạ độ khối tâm của cung là: 1 xe =Ở |xdl cA Thay SỐ, ta co: 1 4 lo Ro Xe =ỞỞỞ Xe ak | |Reosg- Rdy = ỞỞR sing|*, = Ở(sina+sina 9 Rdo= eRe MPa = 7G! ) = ping a Vậy toạ độ khối tâm của cung tròn cần tim la: x, = R= Ộ a Bài toán K10: Xác định toạ độ khối tâm của cung đường dây xắch y=ach~, a Ở=aSx<a

Vì đường cong đối xứng đối với trục Oy nên trọng tâm của nó nằm trên truc Oy, nghia la xc = 0 Ta tim tung do ye