ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Tp Thái Nguyên

UBND THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN (Thời gian 150 phút - Không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( điểm) a) Cho x = 4+2 − ( + 2) 17 − 38 − b) Cho A = − Tính P = ( x2 + x + 1)2013 Biết x, y ∈ Q x ≠ 0; y ≠ thỏa mãn : x3+ y3 = 2x2y2 xy Chứng minh : A∈ Q Bài 2: ( điểm) Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn : a + b + c = 2013 1 1 Thì ba số a, b, c phải có số 2013 + + = a b c 2013 Bài 3: ( điểm) a) Giải phương trình: x + 3x +1= (x + 3) x +1  y − 2x + 2xy =1 b) Giải hệ phương trình :  2  x + y + x + y = Bài : ( điểm ) Cho a ∈ R thỏa mãn a5 – a3 + a = Chứng minh : 3< a6 < Bài 5: ( điểm) Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh OE ⊥ CD Họ tên thí sinh: ……………………………………… Số báo danh:…………… Giám thị 1:…………………………………….Giám thị 2………………………… UBND THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐÁP ÁN VÀ CÁCH CHO ĐIỂM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN Bài : ( điểm ) Mỗi ý điểm a) Ta có : 17 − 38 = ( − 2)3 = − + = ( + 1) = + x= ( + 1) − = = −1 ( + 2)( − 2) − − − Vậy P = (1 - + 1)2013 = x y x y2 x + y6 = 4 − b) Ta có ( − ) = + − y x y x xy x y xy (x + y3 ) − 2x y 4x y − 2x y = − = − = 4(1− ) = 4A 4 4 x y xy x y xy xy Vậy A = x y − : Do A∈ Q y x Bài : ( điểm ) Điều kiện a, b, c ≠ Từ 1 1 + + = ⇒ (bc + ac + ba)(a + b + c) − abc = a b c a + b+ c a + b = ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = ⇔  b + c =   c + a = Nếu a + b = mà a + b + c = 2013 c = 2013 Nếu b + c = mà a + b + c = 2013 a = 2013 Nếu c + a = mà a + b + c = 2013 b = 2013 Vậy số a, b, c 2013 Bài : ( điểm ) Mỗi ý điểm a) Giải phương trình sau: x + 3x +1= (x + 3) x +1 Đặt x + = y với y ≥ Khi ta y = y + 3x = (x + 3)y ⇔ (y − 3)(y − x) = ⇔  y = x Từ dẫn đến phương trình có nghiệm x = ± 2  y − =  y − 2x + 2xy =1 (y − 1)(2x + y + 1) =  ⇔  2x + y + = b)   2  x + y + x + y =  x + y + x + y =  2 x + y + x + y =  y − =  2 x + y + x + y = ⇔ y = −2x −     x + y + x + y = y − = Giải hệ  ta nghiệm (2;1); (-3;1) x + y + x + y =   y = −2x − 11 Giải hệ  ta nghiệm (1;-3); (− ; ) 5 x + y + x + y = Bài : ( điểm) a2 + ≠ Dễ thấy a ta có (a + 1) = (a + 1)(a − a + 1) = (a − a + a) a a2 + 1 = 2( ) = 2(a + ) 〉 suy a a a > a + ≥ ⇒ a6 + ≥ ⇒ a6 ≥ + = a Dấu sảy ⇔ a = (loại) Vậy a6 > Mặt khác ta có + a3 = a5 + a ⇔ 2 + = a + 〉 ( a ≠ 1) Nên có a < suy a6 < Nên có < a6 < a a Bài 5: (4 điểm) A M E D N O G B C Kẻ trung tuyến CM,DN tam giác ACD chúng cắtt E Gọi G giao điểm CD AO suy G trọng tâm tam giác ABC Ta có CE CG = = ⇒ EG / /AB Lại có OD vuông góc AB nên OD vuông góc EG(1) CM CD Mặt khác DN//BC OG vuông góc với BC suy OG vuông góc với DN hay OG vuông góc với DE (2) Từ (1), (2) suy O trực tâm tam giác GDE Vậy OE vuông góc với DG hay OE vuông góc với CD (đpcm) Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa  ...UBND THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐÁP ÁN VÀ CÁCH CHO ĐIỂM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN... Từ (1), (2) suy O trực tâm tam giác GDE Vậy OE vuông góc với DG hay OE vuông góc với CD (đpcm) Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa