THỬ SỨC

TRUNG TM BI DNG VN HểA & LUYN THI THNH T Vỡ cht lng tht giỏo dc TH SC TRC K THI I HC NM 2011 S Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm ) 2x Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y x2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Câu II (2 điểm) Giải phương trình sin x x x sin x cos sin x cos 2 x 2 Giải bất phương trình log ( x x 1) x ( x 2) log e x ln x dx ln x a SAC 30 Tính thể tích khối Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a BC = SA a , SAB Câu III (1 điểm) Tính tích phân I x ln x chóp S.ABC Câu V (1 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn: a + b + c = P a 3b b 3c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức c 3a Phần riêng (3 điểm) Thí sinh làm hai phần: Phần phần Câu VIa (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d : x y d2: 3x +6y 7= Lập phương trình đường thẳng qua điểm P( 2; -1) cho đường thẳng cắt hai đường thẳng d1 d2 tạo tam giác cân có đỉnh giao điểm hai đường thẳng d1, d2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) mặt phẳng (P) có phương trình: x y z Gọi Alà hình chiêú A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) mặt cầu qua điểm A, B, C, D Xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn (C) giao (P) (S) Câu VIIa (1 điểm) Tìm số nguyên dương n biết: 2C22n 3.2.2C23n (1)k k ( k 1)2 k C2kn1 n(2 n 1)2 n1 C22nn11 40200 Câu VIb (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: x y2 Viết phương trình 16 tắc elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm (H) ngoại tiếp hình chữ nhật sở (H) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho (d ) : P : x y z đường thẳng x3 y z , điểm A( -2; 3; 4) Gọi đường thẳng nằm (P) qua giao điểm ( d) (P) đồng thời vuông góc với d Tìm điểm M cho khoảng cách AM ngắn x y 3.2 y x Câu VIIb (1 điểm): Giải hệ phương trình x xy x 583 727 TRN CAO VN NNG * T: 759 389 711 165 thanhdat.edu.vn -1- GV: Nguyn Vn Xờ TRUNG TM BI DNG VN HểA & LUYN THI THNH T Vỡ cht lng tht giỏo dc P N S THNG - 2011 Câu I Nội dung Khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số 1) Hàm số có TXĐ: R \ 2) Sự biến thiên hàm số: a) Giới hạn vô cực đường tiệm cận: * lim y ; lim y x Điểm 1,00 0,25 x Do đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số * xlim y lim y đường thẳng y = tiệm cận ngang đồ thị hàm x 0,25 số b) Bảng biến thiên: Ta có: y' 0, x x 2 Bảng biến thiên: x - + y - 0,25 - + y - * Hàm số nghịch biến khoảng ;2 2; 3) Đồ thị: 3 + Đồ thị cắt trục tung 0; cắt trục hoành điểm ;0 + Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) hai tiệm cận làm tâm đối xứng y 0,25 3/2 x O 3/2 583 727 TRN CAO VN NNG * T: 759 389 711 165 thanhdat.edu.vn -2- GV: Nguyn Vn Xờ TRUNG TM BI DNG VN HểA & LUYN THI THNH T I Vỡ cht lng tht giỏo dc 1,00 Tìm M để đường tròn có diện tích nhỏ 2x Ta có: M x0 ; , x0 , y' (x ) x0 x 22 Phương trình tiếp tuyến với ( C) M có dạng: :y 0,25 2x (x x ) x0 x 2x Toạ độ giao điểm A, B hai tiệm cận là: A 2; ; B2x0 2;2 x0 Ta thấy x A x B 2x y y B 2x x0 xM , A y M suy M 2 x0 0,25 trung điểm AB Mặt khác I = (2; 2) tam giác IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2x S = IM (x 2) (x0 2)2 2 x ( x ) x 1 Dấu = xảy (x0 2)2 ( x 2) x 0,25 Do có hai điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) II Giải phương trình lượng giác x x x Phng trỡnh sin sin x cos sin x cos 2 điểm (1) 0,25 sin x sin x cos x sin x cos x sin x 2 x x x x x x sin x sin cos sin x sin x sin cos sin cos 2 2 x x x sin x sin sin sin 2 sin x x k x k x sin x x k, k k2 x k4 2 x x 2sin 2sin 2 0,25 0,25 0,25 điểm II Giải bất phương trình 1 x x x x1 ĐK: 2 x x (2x 1)2 x 0,25 * 0,25 Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với: log (1 2x) 2x (x 2)log (1 2x) xlog (1 2x) 583 727 TRN CAO VN NNG * T: 759 389 711 165 thanhdat.edu.vn 0,25 -3- GV: Nguyn Vn Xờ TRUNG TM BI DNG VN HểA & LUYN THI THNH T Vỡ cht lng tht giỏo dc x x x x log (1 2x) log 2(1 2x) 2(1 2x) x x x x log (1 2x) log 2(1 2x) 2(1 2x) Kết hợp với điều kiện (*) ta có: 0,25 1 x x < 0,25 III điểm Tính tích phân e e ln x dx x ln xdx x ln x I e +) Tính I1 ln x x ln x dx Đặt t ln x t ln x; tdt dx x 0,25 Đổi cận: x t 1; x e t 2 t t3 22 I1 tdt t dt t t 3 1 dx du e u ln x x +) Tính I x ln xdx Đặt dv x dx v x e 3 3 x e x e e e 2e3 I ln x 1e x dx 31 3 3 9 I I1 3I IV 0,25 0,25 0,25 2 2e , 0,25 Tính thể tích hình chóp S điểm M A C N B Theo định lí côsin ta có: 3a a 2.a 3.a.cos 30 a SB SA AB 2SA.AB.cos SAB Suy SB a Tương tự ta có SC = a 583 727 TRN CAO VN NNG * T: 759 389 711 165 thanhdat.edu.vn 0,25 -4- GV: Nguyn Vn Xờ TRUNG TM BI DNG VN HểA & LUYN THI THNH T Vỡ cht lng tht giỏo dc Gọi M trung điểm SA , hai tam giác SAB SAC hai tam giác cân nên MB SA, MC SA Suy SA (MBC) Ta có VS ABC VS MBC VA MBC 1 MA.S MBC SA.S MBC SA.S MBC 3 Hai tam giác SAB SAC có ba cặp cạnh tương ứng nên chúng Do MB = MC hay tam giác MBC cân M Gọi N trung điểm BC suy MN BC Tương tự ta có MN SA 2 0,25 0,25 a a a 3a MN2 AN AM2 AB2 BN AM2 a MN 16 Do VS ABC SA MN.BC a V a a a3 16 0,25 điểm Tìm giá trị nhỏ biểu thức áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có 1 1 (x y z) 33 xyz (*) x y z xyz xyz x y z 1 áp dụng (*) ta có P 3 3 a 3b b 3c c 3a a 3b b 3c c 3a 0,25 áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có a 3b 1 a 3b 3 b 3c 1 b 3c 1.1 b 3c 3 c 3a 1 c 3a 1.1 c 3a 3 a 3b 1.1 0,25 Suy a 3b b 3c c 3a a b c 3 0,25 Do P 3 Dấu = xảy a b c abc a 3b b 3c c 3a Vậy P đạt giá trị nhỏ a b c / VIa 1 0,25 Lập phương trình đường thẳng điểm Gọi d đường thẳng cần tìm, d song song với đường phân giác đỉnh giao điểm d1, d2 tam giác cho Các đường phân giác góc tạo d1, d2 có phương trình 2x y 2 ( 1) 3x y 3x 9y 22 ( ) 2x y 3x y 9x 3y ( ) 583 727 TRN CAO VN NNG * T: 759 389 711 165 thanhdat.edu.vn -5- 0,25 GV: Nguyn Vn Xờ TRUNG TM BI DNG VN HểA & LUYN THI THNH T Vỡ cht lng tht giỏo dc +) Nếu d // d có phương trình 3x 9y c Do P d nên c c 15 d : x 3y +) Nếu d // d có phương trình 9x 3y c Do P d nên 18 c c 15 d : 3x y Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu toán d : 3x y d : x 3y VIa Xác định tâm bán kính đường tròn a 0,25 0,25 điểm Dễ thấy A ( 1; -1; 0) * Giả sử phương trình mặt cầu ( S) qua A, B, C, D là: x y z 2ax by 2cz d 0, 0,25 b c2 d 0,25 2a 2b d a 2a b 4c d 14 Vì A' , B, C, D S nên ta có hệ: b 8a b 4c d 29 c 8a b 4c d 21 d Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: x y z x y z 0,25 29 (S) có tâm I ;1;1 , bán kính R 2 +) Gọi H hình chiếu I lên (P) H tâm đường tròn ( C) +) Gọi ( d) đường thẳng qua I vuông góc với (P) (d) có vectơ phương là: n 1;1;1 0,25 x / t Suy phương trình d: y t H t;1 t;1 t z t 5 Do H d (P ) nên: t t t 3t t IH VII a 5 1 H ; ; 6 75 29 75 31 186 , (C) có bán kính r R IH 36 6 36 Tìm số nguyên dương n biết điểm * Xét (1 x)2 n C 02 n C12 n 1x C 22 n 1x (1)k C 2kn 1x k C 22 nn 11x n (1) * Lấy đạo hàm hai vế (1) ta có: (2 n 1)(1 x)2 n C 12 n 2C 22 n 1x (1)k kC 2kn 1x k (2n 1)C 22 nn 11x2 n (2) Lại lấy đạo hàm hai vế (2) ta có: 2n(2n 1)(1 x)2n1 2C22n1 3C32n1x (1)k k(k 1)C2kn1xk2 2n(2n 1)C22nn11x2n1 Thay x = vào đẳng thức ta có: k 2n 2n 2n(2n 1) 2C 22n 3.2.2C32n (1)k k(k 1)2 k C 2n C 2n1 2n(2n 1)2 VIb 0,25 Phương trình cho 2n(2n 1) 40200 2n n 20100 n 100 Viết phương trình tắc E líp 0,25 0,25 0,25 0,25 điểm (H) có tiêu điểm F1 5;0; F2 5;0 Hình chữ nhật sở (H) có 0,25 583 727 TRN CAO VN NNG * T: 759 389 711 165 thanhdat.edu.vn -6- GV: Nguyn Vn Xờ TRUNG TM BI DNG VN HểA & LUYN THI THNH T Vỡ cht lng tht giỏo dc đỉnh M( 4; 3), x y2 ( với a > b) a b2 (E) có hai tiêu điểm F1 5;0; F2 5;0 a b2 52 Giả sử phương trình tắc (E) có dạng: M4;3 E 9a 16 b a b 2 2 a b a 40 Từ (1) (2) ta có hệ: 2 2 9a 16b a b b 15 Vậy phương trình tắc (E) là: VIb 0,25 0,25 x y2 40 15 0,25 Tìm điểm M thuộc để AM ngắn điểm x 2t Chuyển phương trình d dạng tham số ta được: y t z t 0,25 Gọi I giao điểm (d) (P) I 2t 3; t 1; t Do I P 2t 2(t 1) (t 3) t I 1;0;4 * (d) có vectơ phương a(2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến n1;2;1 0,25 a, n 3;3;3 Gọi u vectơ phương u 1;1;1 x u : y u Vì M M u; u;4 u , AM1 u; u 3; u z u 0,25 AM ngắn AM AM u AM.u 1(1 u) 1(u 3) 1.u u 0,25 16 Vậy M ; ; 3 điểm VIIb Giải hệ phương trình: 3x y 3.2 y 3x (1) 3x xy x (2) x x Phương trình (2) x(3 x y 1) x xy x x x x x x y y x 0,25 * Với x = thay vào (1) y 3.2 y y 12.2 y y 0,25 8 y log 11 11 583 727 TRN CAO VN NNG * T: 759 389 711 165 thanhdat.edu.vn -7- GV: Nguyn Vn Xờ TRUNG TM BI DNG VN HểA & LUYN THI THNH T Vỡ cht lng tht giỏo dc x thay y = 3x vào (1) ta được: x x 3.2 y x Đặt t x Vì x nên t t loạ i x log 1 (3) t t t t t y log (3 ) * Với 0,25 x x log Vậy hệ phương trình cho có nghiệm y log 11 y log (3 ) 583 727 TRN CAO VN NNG * T: 759 389 711 165 thanhdat.edu.vn -8- 0,25 GV: Nguyn Vn Xờ