KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THÁI BÌNH Năm học 2009-2010 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: a) b) Giải phương trình: x + 13 + + 2+ 4− 3 x y−y x xy + x−y x− y với x > ; y > ; x ≠ y = x+2 Bài (2,0 điểm) ( m − 1) x + y = Cho hệ phương trình: (m tham số) mx + y = m + 1 Giải hệ phương trình m = ; Chứng minh với giá trị m hệ phương trình có nghiệm (x ; y ) thoả mãn: x + y ≤ Bài (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = ( k − 1) x + (k tham số) parabol (P): y = x Khi k = −2 , tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P); Chứng minh với giá trị k đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt; Gọi y1; y2 tung độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) Tìm k cho: y1 + y = y1 y Bài (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng cắt đường thẳng DM DC theo thứ tự H K Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn; · Tính CHK ; Chứng minh KH.KB = KC.KD; 1 = + Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC N Chứng minh 2 AD AM AN Bài (0,5 điểm) Giải phương trình: 1 1 + = 3 + ÷ x 2x − 5x − 4x − - HẾT - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2: Bài (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: a) b) Giải phương trình: x + 13 + + 2+ 4− 3 x y−y x xy (1,5đ) x−y x− y với x > ; y > ; x ≠ y = x+2 Ý + Nội dung a) 13 + + 2+ 4− 3 = b) ( 2− 4−3 ) + 13 ( + ) + 16 − 0,25 = 6−3 + 4+ + 0,25 = 10 0,25 x y−y x xy = = xy ( + x−y x− y x− y xy ) +( với x > ; y > ; x ≠ y x− y )( x+ y ) x− y x− y+ x+ y (0,5đ) x+ 0,25 0,25 =2 x Điểm 0,25 =3 x+2 ĐK: x ≠ −2 Quy đồng khử mẫu ta phương trình: 0,25 x + 2x + = 3(x + 2) ⇔ x2 − x − = Do a − b + c = + − = nên phương trình có nghiệm: x = −1; x = (thoả mãn) Kết luận: Phương trình có nghiệm x = −1; x = Bài (2,0 điểm) 0,25 ( m − 1) x + y = Cho hệ phương trình: mx + y = m + (m tham số) Giải hệ phương trình m = ; Chứng minh với giá trị m hệ phương trình có nghiệm (x ; y ) thoả mãn: x + y ≤ Ý (1,0đ) Nội dung x + y = 2x + y = 0,25 ⇔ x = x + y = 0,25 ⇔ x = y = 0,25 Khi m = ta có hệ phương trình: x = Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm nhất: y = (1,0đ) Ta có hệ: Điểm ( m − 1) x + y = mx + y = m + ⇔ x = m + − mx + y = m + ⇔ x = m − y = − m ( m − 1) + m + ⇔ x = m −1 y = − m + 2m + 0,25 0,25 0,25 Vậy với giá trị m, hệ phương trình có nghiệm nhất: x = m −1 y = − m + 2m + Khi đó: 2x + y = −m2 + 4m − = − (m − 2)2 ≤ ∀m (m − 2)2 ≥ Vậy với giá trị m, hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn 2x + y ≤ 0,50 Bài (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = ( k − 1) x + (k tham số) parabol (P): y = x Khi k = −2 , tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P); Chứng minh với giá trị k đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt; Gọi y1; y2 tung độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) Tìm k cho: y1 + y = y1 y Ý Nội dung Với k = −2 ta có đường thẳng (d): y = −3x + (1,0đ) Khi phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) là: x2 = −3x + ⇔ Điểm 0,25 0,25 x + 3x − = Do a + b + c = + − = nên phương trình có nghiệm: x = 1; x = − Với x = có y = 0,25 Với x = −4 có y = 16 Vậy k = −2 đường thẳng (d) cắt parabol (P) điểm có toạ độ (1; 1); (−4; 16) (0,5đ) 0,25 Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) là: x2 = (k − 1)x + 0,25 ⇔ x2 − (k − 1)x − = Ta có ac = −4 < nên phương trình có nghiệm phân biệt với giá trị k Vậy đường thẳng (d) parabol (P) cắt điểm phân biệt Với giá trị k; đường thẳng (d) parabol (P) cắt điểm phân (0,5đ) biệt có hoành độ x1, x2 thoả mãn: x1 + x = k − x1x = −4 Khi đó: y1 = x12 ; 0,25 0,25 y = x 22 Vậy y1 + y2 = y1 y 2 2 ⇔ x1 + x = x1 x ⇔ (x1 + x2)2 − 2x1x2 = (x1 x2)2 ⇔ (k − 1)2 + = 16 ⇔ (k − 1)2 = ⇔ k = + 2 k = − 2 Vậy k = + 2 k = − 2 thoả mãn đầu 0,25 Bài (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng cắt đường thẳng DM DC theo thứ tự H K Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn; · Tính CHK ; Chứng minh KH.KB = KC.KD; 1 = + Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC N Chứng minh 2 AD AM AN Ý (1,0đ) Nội dung A Điểm B H M P D C K N · = 90o (ABCD hình vuông) DAB · = 90o (gt) BHD · · Nên DAB = 180o + BHD ⇒ Tứ giác ABHD nội tiếp · + Ta có = 90o (gt) BHD · = 90o (ABCD hình vuông) BCD Nên H; C thuộc đường tròn đường kính DB ⇒ Tứ giác BHCD nội tiếp · · BDC + BHC = 180o · · Ta có: ⇒ CHK = BDC o · · CHK + BHC = 180 · · mà BDC = 45o (tính chất hình vuông ABCD) ⇒ CHK = 45o + Ta có (1,0đ) (1,0đ) (0,5đ) Xét ∆KHD ∆KCB · · KHD = KCB = (90o ) Có ⇒ ∆KHD ∆KCB (g.g) · chung DKB KH KD = ⇒ KC KB ⇒ KH.KB = KC.KD (đpcm) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng cắt đường thẳng DC P · · · Ta có: BAM (cùng phụ MAD ) = DAP AB = AD (cạnh hình vuông ABCD) ·ABM = ADP · = 90o Nên ∆BAM = ∆DAP (g.c.g) ⇒ AM = AP · Trong ∆PAN có: PAN = 90o ; AD ⊥ PN 1 = + nên (hệ thức lượng tam giác vuông) 2 AD AP AN 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ 1 = + 2 AD AM AN Bài (0,5 điểm) 1 1 + = 3 + ÷ x 2x − 5x − 4x − Giải phương trình: Ý 0,5đ Nội dung Điểm 1 1 1 + + ≥ 3 + + ÷ (*) a b c b + 2c c + 2a a + 2b Ta chứng minh: với a > 0; b > 0; c > + Với a > 0; b > ta có: ( a + b ≤ ( a + 2b ) (1) ) + ≥ + + Do (2) ÷ a + b ≥ nên a b a +2 b b a + Từ (1) (2) ta có: 3 + ≥ (3) (Với a > 0; b> 0; c > 0) a b a + 2b + Áp dụng (3) ta có: 1 1 1 + + ≥ 3 + + ÷ với a > 0; b> 0; c > a b c b + 2c c + 2a a + 2b Phương trình 0.25đ 1 1 + = 3 + ÷ có ĐK: x > x 2x − 5x − 4x − Áp dụng bất đẳng thức (*) với a = x; b = x; c = 2x - ta có: 1 1 + + ≥ 3 + + ÷ x x 2x − 5x − 4x − 3x 1 1 + ≥ 3 + ÷với x > x 2x − 4x − 5x − Dấu “ = ” xảy ⇔ x = 2x − ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = ⇒ 0.25đ Híng dÉn chung: Trên bước giải khung điểm bắt buộc cho bước, yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận biến đổi hợp lí công nhận cho điểm Bài phải có hình vẽ phù hợp với lời giải toán (không cho điểm hình vẽ) Những cách giải khác cho điểm tối đa theo khung điểm Chấm phần Điểm toàn tổng điểm thành phần, không làm tròn ... minh 2 AD AM AN Ý (1,0đ) Nội dung A Điểm B H M P D C K N · = 90o (ABCD hình vuông) DAB · = 90o (gt) BHD · · Nên DAB = 180o + BHD ⇒ Tứ giác ABHD nội tiếp · + Ta có = 90o (gt) BHD · = 90o (ABCD hình... thẳng cắt đường thẳng DC P · · · Ta có: BAM (cùng phụ MAD ) = DAP AB = AD (cạnh hình vuông ABCD) ·ABM = ADP · = 90o Nên ∆BAM = ∆DAP (g.c.g) ⇒ AM = AP · Trong ∆PAN có: PAN = 90o ; AD ⊥ PN 1 =...Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2: Bài (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: a) b) Giải phương