Bất đẳng thức (Ôn vào 10)

Bất đẳng thức Chuyên đề: Danh mục chuyên đề S.t.t 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Nội dung Phần mở đầu Nội dung chuyên đề Các kiến thức cần lu ý Các phơng pháp chứng minh bát đẳng thức Phơng pháp 1:dùng định nghiã Phơng pháp 2:dùng biến đổi tơng đơng Phơng pháp 3:dùng bất đẳng thức quen thuộc Phơng pháp 4:dùng tính chất bắc cầu Phơng pháp 5: dùng tính chấtbủa tỷ số Phơng pháp 6: dùng phơng pháp làm trội Phơng pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác Phơng pháp 8: dùng đổi biến Phơng pháp 9: Dùng tam thức bậc hai Phơng pháp 10: Dùng quy nạp toán học Phơng pháp 11: Dùng chứng minh phản chứng Các tập nâng cao ứng dụng bất dẳng thức Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị Dùng bất đẳng thức để: giải phơng trình hệ phơng trình Dùng bất đẳng thức để : giải phơng trình nghiệm nguyên Tài liệu tham khảo Phần I : kiến thức cần lu ý 1-Đinhnghĩa A B A B A B A B 2-tính chất + A>B B < A + A>B B >C A > C + A>B A+C >B + C + A>B C > D A+C > B + D + A>B C > A.C > B.C + A>B C < A.C < B.C + < A A n > B n n + A > B A n > B n với n lẻ + A > B A n > B n với n chẵn + m > n > A > A m > A n + m > n > 1 > A B 3-một số bất đẳng thức + A với A ( dấu = xảy A = ) + An với A vá n chẵn ( dấu = xảy A = ) + A với A (dấu = xảy A = ) trang 4 10 12 14 16 17 18 19 21 23 28 29 31 33 + - A < A= A + A+ B A + B + A B A B ( dấu = xảy A.B > 0) ( dấu = xảy A.B < 0) Phần II : số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp : dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chứng minh A B > Lu ý dùng bất đẳng thức M với M Ví dụ x, y, z chứng minh : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy 2xz + 2yz c) x + y + z +3 (x + y + z Giải: a) Ta xét hiệu x + y + z - xy yz - zx = ( x y ) + ( x z ) + ( y z ) với x;y;z R = ( x + y + z - xy yz zx) [ ] Vì (x-y)2 vớix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2 vớix ; z Dấu xảy x=z (y-z)2 với z; y Dấu xảy z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z b)Ta xét hiệu x + y + z - ( 2xy 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz 2yz =( x y + z) với x;y;z R Vậy x + y + z 2xy 2xz + 2yz với x;y;z R Dấu xảy x+y=z c) Ta xét hiệu x + y + z +3 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1) Dấu(=)xảy x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh : 2 a) a + b a + b ;b) c) Hãy tổng quát toán a2 + b2 + c2 a + b + c 3 giải a2 + b2 a + b 2 2 = a + b a + 2ab + b 4 a) Ta xét hiệu ( ) 2 ( 2a + 2b a b 2ab = ( a b) 2 Vậy a + b a + b = ) Dấu xảy a=b b)Ta xét hiệu a2 + b2 + c2 a + b + c 3 = ( a b) + ( b c) + ( c a ) [ ] 2 Vậy a + b + c a + b + c Dấu xảy a = b =c c)Tổng quát a12 + a 22 + + a n2 a1 + a + + a n n n Tóm lại bớc để chứng minh A B theo định nghĩa Bớc 1: Ta xét hiệu H = A - B Bớc 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +.+(E+F) Bớc 3:Kết luận A B Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta có m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) (1) Giải: m2 m2 m2 m2 (1) mn + n + mp + p + mq + q + m + 2 2 m m m m n + p + q + (luôn đúng) m m n =0 n= m m p=0 m=2 p = Dấu xảy m n = p = q = q =0 m q = m m = 22 = Bài tập áp dụng: Bài1: Chứng minh x, y ta có : a) x2 + y xy b) x + y2 + xy + x + y c) x4 + y4 xy3 + x3y Bài2: Cho a, b, c, d, e số thực, chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a.(b + c + d + e) Bài 3: Cho số dơng a, b, c thoả mãn: < a b c Chứng minh rằng: a b c b c a a) + + + + b c a a b c c b b a b) + + a c a b phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đợc chứng minh Chú ý đẳng thức sau: ( A + B ) = A + AB + B ( A + B + C ) = A + B + C + AB + AC + BC ( A + B ) = A + A B + AB + B Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh a) a + b ab b) a + b + ab + a + b c) a + b + c + d + e a( b + c + d + e ) Giải: a) a + b ab 4a + b 4ab 4a 4a + b (bất đẳng thức đúng) ( 2a b ) 2 Vậy a + b ab (dấu xảy 2a=b) b) a + b + ab + a + b 2( a + b + ) > 2(ab + a + b) a 2ab + b + a 2a + + b 2b + Bất đẳng thức cuối (a b) + (a 1) + (b 1) Vậy a + b + ab + a + b c) Dấu xảy a=b=1 a + b + c + d + e a( b + c + d + e) 4( a + b + c + d + e ) 4a( b + c + d + e ) a 4ab + 4b + a 4ac + 4c + a 4ad + 4d + a 4ac + 4c ( a 2b ) + ( a 2c ) + ( a 2d ) + ( a 2c ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: ( a10 + b10 )( a + b ) ( a + b )( a + b ) Giải: (a )( ) ( ) )( ) + b10 a + b a + b a + b a 12 + a 10 b + a b10 + b12 a 12 + a b + a b + b12 a 8b a b + a 2b b a a2b2(a2-b2)(a6-b6) a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 10 ( ( ) Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 x.y Chứng minh Giải: x2 + y2 2 x y x2 + y2 2 :x y nên x- y x2+y2 2 ( x-y) x y x2+y2- 2 x+ 2 y x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2 x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- )2 Điều luôn Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: 1)CM: P(x,y)= x y + y xy y + x, y R 2)CM: (gợi ý :bình phơng vế) a2 + b2 + c2 a + b + c 3)cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: x y.z = 1 + + < x+ y+z x y z Chứng minh :có ba số x,y,z lớn (đề thi Lam Sơn 96-97) Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 x y z 1 x y z x y z =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( + + )=x+y+z - ( + + ) > (vì + + < x+y+z theo gt) số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dơng Nếủ trờng hợp sau xảy x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trờng hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn Bài tập áp dụng: Bài1: a/ Với a, b, c > chứng minh: a b c 1 + + + + ữ bc ca ab a b c b/ Chứng minh rằng: (x 1)(x 3)(x 4)(x 6) + 10 với x c/ Cho a c 0, b c Chứng minh rằng: c(a c) + c(b c ) ab Bài2: Chứng minh với số nguyên x, y, z ta có x2 + 2y2 + 2z2 2xy + 2yz + 2z Bài3: Tìm số nguyên x, y, z thoả mãn x2 + y2 + z2 < xy + 3y + 2z Bài4: a) Cho xy Chứng minh rằng: 1 + 2 + x + y + xy b) Cho x 1, y 1, z Chứng minh rằng: 1 + + + x3 + y + z + xyz 1 1 Bài5: Với < a < b < c Chứng minh rằng: b + ữ+ (a + c) < (a + c) + ữ a c b a Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x + y xy b) x + y xy dấu( = ) x = y = c c) ( x + y ) xy a b b a d) + a1 + a + a3 + + a n n Với > a1 a a3 a n n 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski: a2 + a22 + + an2 x12 + x22 + + 2n ( a1 x1 + a2 x2 + + an xn ) 2)Bất đẳng thức Cô sy: 4) Bất đẳng thức Trê- b-sép: abc A B C abc Nếu A B C a=b=c Dấu xảy A = B = C Nếu ( )( ) aA + bB + cC a + b + c A + B + C 3 aA + bB + cC a + b + c A + B + C 3 b/ ví dụ ví dụ Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: ( x + y ) xy Tacó ( a + b ) 4ab ; ( b + c ) 4bc ; ( c + a ) 4ac ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 64a b c = ( 8abc ) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu = xảy a = b = c 1 + + a b c CMR:x+2y+z 4(1 x)(1 y )(1 z ) ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 a+b+c=1 2)Cho x,y,z>0 x+y+z=1 3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: CMR: a b c + + b+c c+a a+b 4)Cho x ,y thỏa mãn x y = ví dụ 3: ;CMR: x+y Cho a>b>c>0 a + b + c = chứng minh a3 b3 c3 + + b+c a+c a+b Giải: a2 b2 c2 Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c a b c b + c a + c a + b áp dụng BĐT Trê- b-sép ta có a b c a + b2 + c2 a b c + b2 + c2 + + = = b+c a+c a+b b+c a+c a+b 2 3 Vậy a + b + c Dấu xảy a=b=c= b+c a+c a+b a2 ví dụ 4: Giải: Cho a,b,c,d>0 abcd =1 Chứng minh : a + b + c + d + a( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) 10 Ta có a + b 2ab c + d 2cd 1 (dùng x + ) ab x Ta có a + b + c 2(ab + cd ) = 2(ab + ) ab Mặt khác: a( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) Do abcd =1 nên cd = (1) =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) = ab + + ac + + bc + + + ab ac bc 2 2 Vậy a + b + c + d + a( b + c ) + b( c + d ) + d ( c + a ) 10 ví dụ 5: Cho số a,b,c,d chứng minh rằng: ( a + c) + (b + d ) a + b + c + d Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd a + b c + d mà ( a + c ) + ( b + d ) = a + b + 2( ac + bd ) + c + d ( ) a + b2 + a2 + b2 c2 + d + c2 + d (a + c) + (b + d ) a + b + c + d ví dụ 6: Chứng minh a + b + c ab + bc + ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) (a,b,c) ta có (1 + + )(a + b + c ) (1.a + 1.b + 1.c ) ( a + b + c ) a + b + c + 2( ab + bc + ac ) 2 2 2 a + b + c ab + bc + ac Bài tập: 2 2 Điều phải chứng minh Dấu xảy a=b=c Bài1: Cho a, b, c, d chứng minh rằng: (a + b + c + d +1)2 4(a2 + b2 + c2 + d2) Bài2: Cho x, y > có tổng x + y + z = Chứng minh rằng: x + y 16xyz Bài3: Chứng minh rằng: với a, b, c, d tuỳ ý ta có: a2 + b2 + c2 + d2 (a + b)(c + d) Bài 4: Cho a + b + c = 1, chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 abc Bài 5: a) Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện: a2 + b2 + c2 = Chứng minh: -1/2 ab + bc + ca a + b8 + c 1 b) Cho a, b, c > chứng minh: + + a 3b c a b c Phơng pháp 4: Sử dụng tính chất bắc cầu Lu ý: A>B b>c A>c 0< x c+d , b>c+d Chứng minh ab >ad+bc Giải: a > c + d b > c + d Tacó ví dụ 2: a c > d > b d > c > (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều phải chứng minh) Cho a,b,c>0 thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 1 + + < a b c abc Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab ac bc) 2 ( a +b +c ) 1 ac+bc-ab Chia hai vế cho abc > ta có + a b c ac+bc-ab abc ví dụ Cho < a,b,c,d 1-a-b-c-d Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nên ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) Do c 0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh) ví dụ 1- Cho a + b mà 0< a,b a , b > b Từ (1) (2) 1+ a b > a + b Vậy a + b < 1+ a b Tơng tự b + c + b c c + a3 + c 2a Cộng bất đẳng thức ta có : 2a + 2b + 2c + a b + b c + c a b)Chứng minh : Nếu a + b = c + d = 1998 ac+bd =1998 (Chuyên Anh 98 99) Giải: Ta có (ac + bd) + (ad bc ) = a c + b d + 2abcd + a d = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 rỏ ràng (ac+bd)2 ( ac + bd ) + ( ad bc ) = 1998 2 + b c - 2abcd = ac + bd 1998 2-Bài tập : 1, Cho số thực : a1; a2;a3 .;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + .+a2003 =1 c hứng minh : a 12 + a 22 + a32 + + a 2003 2004Thanh hóa ) ( đề thi vào chuyên nga pháp 20032003 2,Cho a;b;c thỏa mãn :a+b+c=1(?) a b c Chứng minh rằng: ( 1).( 1).( 1) Phơng pháp 5: dùng tính chấtcủa tỷ số Kiến thức 1) Cho a, b ,c số dơng a a a+c > > b b b+c a a a+c b Nếu < 0 từ ` a c a a+c c < < Chứng minh 1< a b c d + + + Chứng minh < < Giải: Vậy b d b b +d a c ab cd ab ab + cd cd c Từ < < < < = b d b d b b +d2 d2 d a ab + cd c < điều phải chứng minh < b b2 + d d d ví dụ : Cho a;b;c;dlà số nguyên dơng thỏa mãn : a+b = c+d =1000 a c tìm giá trị lớn + giải : b d Không tính tổng quát ta giả sử : a b a b a a+b b Từ : c d c d c c+d d a a+b = c+d c b a b 998 + 999 d c d a b 999 b, Nếu: b=998 a=1 + = + Đạt giá trị lớn d= 1; c=999 c d c d a b Vậy giá trị lớn + =999+ a=d=1; c=b=999 c d 999 a, Nếu :b 998 Phơng pháp 6: Phơng pháplàm trội Lu ý: Dùng tính bất đẳng thức để đa vế bất đẳng thức dạng tính đợc tổng hữu hạn tích hữu hạn (*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1 + u2 + + un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: u k = ak ak +1 Khi : S = ( a1 a2 ) + ( a2 a3 ) + + ( an an+1 ) = a1 an+1 (*) Phơng pháp chung tính tích hữu hạn P = u1u2 un Biến đổi số hạng u k thơng hai số hạng liên tiếp nhau: ak ak +1 uk = Khi P = a1 a2 a a n = a2 a3 an +1 an +1 Ví dụ : Với số tự nhiên n >1 chứng minh 1 1 < + + + < n +1 n + n+n Giải: Ta có Do đó: 1 > = n + k n + n 2n với k = 1,2,3,,n-1 1 1 n + + + > + + = = n +1 n + 2n 2n n 2n Ví dụ : Chứng minh rằng: 1+ ( Giải : Ta có ) 1 + + + > n +1 n Với n số nguyên ( 2 = > = k +1 k k k k + k +1 Khi cho k chạy từ đến n ta có > ( 1) ( >2 2 ) 10 ) ( > n +1 n n ) Cộng vế bất đẳng thức ta có ( ) 1 + + + > n +1 n 1+ Ví dụ : Chứng minh n k =1 Giải: k (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải a)Vì a,b,c số đo cạnh tam giác nên ta có < a b-c a > a (b c) > b > a-c b > b (c a) > c > a-b c > c (a b) > Nhân vế bất đẳng thức ta đợc [ ][ ][ a 2b c > a ( b c ) b ( c a ) c ( a b ) 2 a 2b c > ( a + b c ) ( b + c a ) ( c + a b ) abc > ( a + b c ).( b + c a ).( c + a b ) 2 Ví dụ2: (404 1001) 1) Cho a,b,c chiều dài ba cạnh tam giác 11 ] Chứng minh ab + bc + ca < a + b + c < 2(ab + bc + ca) 2) Cho a,b,c chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh a + b + c + 2abc < Phơng pháp 8: Ví dụ1: Cho a,b,c > Chứng minh Giải : đổi biến số a b c + + (1) b+c c+a a+b y+zx z+x y x+ yz ; b= ;c= 2 y+zx z+x y x+ yz + + ta có (1) 2x 2y 2z y z x z x y + 1+ + 1+ + x x y y z z y x z x z y ( + )+( + )+( + )6 x y x z y z y x z y z x + nên ta có điều phải Bất đẳng thức cuối ( + 2; + 2; x y y z x z Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= chứng minh Ví dụ2: Cho a,b,c > a+b+c Theo bất đẳng thức Côsi ta có x + y + z 3 xyz 1 1 + + x y z xyz ( x + y + z ). + + x Mà x+y+z < Vậy Ví dụ3: 1 + + x y z y z (đpcm) Cho x , y thỏa mãn x y = CMR x + y Gợi ý: Đặt x = u , y =v 2u-v =1 S = x+y = u + v v = 2u-1 thay vào tính S Bài tập 1) Cho a > , b > , c > CMR: 12 25a 16b c + + >8 b+c c+a a+b 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc + + b+c c+a a+b Phơng pháp 9: ( ) m + n + p ( m + n + p) dùng tam thức bậc hai Lu ý : Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c Nếu < a f ( x ) > x R b a với x < x1 x > x2 với x1 < x < x2 Nếu = a f ( x ) > x Nếu > a f ( x ) > a f ( x ) < ( x2 > x1 ) Ví dụ1: Chứng minh f ( x, y ) = x + y xy + x y + > Giải: Ta có (1) x x( y 1) + y y + > (1) = ( y 1) y + y = y2 y +1 5y2 + y = ( y 1) < Vậy f ( x, y ) > với x, y Ví dụ2: Chứng minh ( ) f ( x, y ) = x y + x + y + xy + x > xy Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với ( ) x y + x + y + xy + x xy > ( y + 1) x + y (1 y ) x + y > 2 2 Ta có = y (1 y ) y ( y + 1) = 16 y < Vì a = ( y + 1) > f ( x, y ) > (đpcm) Phơng pháp 10: dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức với n > n0 ta thực bớc sau : Kiểm tra bất đẳng thức với n = n0 - Giả sử BĐT với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) kết luận BĐT với n > n0 Ví dụ1: Chứng minh 13 Giải : 1 1 + + + < 2 n n Với n =2 ta có + < n N ; n > 1 (1) (đúng) Vậy BĐT (1) với n =2 Giả sử BĐT (1) với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) với n = k+1 Thật n =k+1 (1) 1 1 + + + + < 2 2 k (k + 1) k +1 Theo giả thiết quy nạp 1 1 1 + + + + < + < 2 2 k (k + 1) k ( k + 1) k +1 1 1 + + < + < 2 ( k + 1) k + ( k + 1) k k +1+1 < k (k + 2) < ( k + 1) k2+2k n n n Chứng minh a + b a + b (1) Giải Ta thấy BĐT (1) với n=1 Giả sử BĐT (1) với n=k ta phải chứng minh BĐT với n=k+1 Thật với n = k+1 ta có (1) a + b k +1 a k +1 + b k +1 k a+b a+b a k +1 + b k +1 (2) 2 a k + b k a + b a k +1 + ab k + a k b + b k +1 a k +1 + b k +1 Vế trái (2) = 2 k +1 k +1 k +1 k k k +1 a +b a + ab + a b + b a k b k ( a b ) (3) ( ) Ta chứng minh (3) (+) Giả sử a b giả thiết cho a -b a b k a k b bk (a k ) b k ( a b ) (+) Giả sử a , abc > Chứng minh a > , b > , c > Giải : Giả sử a từ abc > a a < Mà abc > a < cb < Từ ab+bc+ca > a(b+c) > -bc > Vì a < mà a(b +c) > b + c < a Vậy a > tơng tự ta có b > , c > Ví dụ 2: Cho số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac 2.(b+d) Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: , c < 4d a < 4b Giải : Giả sử bất đẳng thức : a < 4b , c < 4d cộng vế ta đợc (1) a + c < 4(b + d ) Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2) Từ (1) (2) a + c < 2ac hay ( a c ) < (vô lý) Vậy bất đẳng thức a < 4b c < 4d có bất đẳng thức sai Ví dụ 3: Cho x,y,z > xyz = Chứng minh Nếu x+y+z > 1 + + có ba số lớn x y z Giải : Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz xy- yz + x + y+ z 1 x y z =x + y + z ( + + ) xyz = theo giả thiết x+y +z > 1 + + x y z nên (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 có số dơng Thật ba số dơng x,y,z > xyz > (trái giả thiết) Còn số dơng (x-1).(y-1).(z-1) < (vô lý) Vậy có ba số x , y,z lớn Phần iii : tập nâng cao 1/dùng định nghĩa 1) Cho abc = a > 36 Chứng minh a + b2+c2> ab+bc+ac 15 Giải Ta có hiệu: a + b2+c2- ab- bc ac 2 = a + a + b2+c2- ab- bc ac 12 2 = ( a + b2+c2- ab ac+ 2bc) + a 3bc 12 a =( -b- c)2 + a 36abc 12a a =( -b- c)2 + a 36abc >0 (vì abc=1 a3 > 36 nên 12a Vậy : a + b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh 2) Chứng minh a) x + y + z + x.( xy x + z + 1) b) với số thực a , b, c ta có a + 5b 4ab + 2a 6b + > a + 2b 2ab + 2a 4b + c) Giải : a) Xét hiệu H = x + y + z + x y + x xz x = ( x y ) + ( x z ) + ( x 1) H ta có điều phải chứng minh b) Vế trái viết H = ( a 2b + 1) + ( b 1) + H > ta có điều phải chứng minh c) vế trái viết H = ( a b + 1) + ( b 1) H ta có điều phải chứng minh Ii / Dùng biến đổi tơng đơng 1) Cho x > y xy =1 Chứng minh (x Giải : Ta có ) + y2 ( x y) 2 x + y = ( x y ) + xy = ( x y ) + 2 (x + y2 ) = ( x y) (vì xy = 1) + 4.( x y ) + Do BĐT cần chứng minh tơng đơng với ( x y ) + 4( x y ) + 8.( x y ) ( x y ) 4( x y ) + [ ( x y ) 2] BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy Chứng minh Giải : 1 + 2 1+ x 1+ y + xy 16 a >0 ) 1 + 2 1+ x 1+ y + xy 1 1 + 2 + x + y + y + xy Ta có xy x xy y + + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) x ( y x) y( x y) + + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y x ) ( xy 1) (1 + x ).(1 + y ).(1 + xy ) BĐT cuối xy > Vậy ta có điều phải chứng minh Iii / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chứng minh a + b + c Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) (a,b,c) Ta có (1.a + 1.b + 1.c ) (1 + + 1).( a + b + c ) ( a + b + c ) 3.( a + b + c ) a2 + b2 + c2 (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) Cho a,b,c số dơng 1 Chứng minh ( a + b + c ). + + a Giải : c b a a b b c c b c a c a a a b a c b c 3+ + + + + + b a c a c b x y áp dụng BĐT phụ + Với x,y > y x (1) + + + + + + + + Ta có BĐT cuối Vậy ( a + b + c ). + + a b c (đpcm) Iv / dùng phơng pháp bắc cầu 1) Cho < a, b,c a + b3 Vậy a + b < + a b Tơng tự ta có 17 (1) b3 + c < + b 2c a3 + c3 < + c 2a (đpcm) 2a + 2b + 2c < + a 2b + b c + c a 2) So sánh 31 11 17 14 Giải : 11 Ta thấy 3111 < 3211 = ( 25 ) = 255 < 256 Mặt khác 256 = 24.14 = ( 24 ) = 1614 < 1714 Vởy 31 11 < 17 14 (đpcm) 14 V/ dùng tính chất tỉ số 1) Cho a ,b ,c ,d > Chứng minh : 2< Giải : a+b b+c c+d d +a + + + nên ta có a+b a+b a +b+d < < a+b+c+d a+b+c a+b+c+d b + +c b+c b+c+a < < a+b+c+d b+c+d a+b+c+d d +a d +a d +a+c < < a+b+c+d d +a+b a+b+c+d (1) (2) (3) Cộng vế bất đẳng thức ta có : 2< a+b b+c c+d d +a + + + , y > Ta có x + x = y x + x = y x = y2 x > Đặt x = k (k nguyên dơng x nguyên dơng ) Ta có k (k + 1) = y Nhng k < k ( k + 1) < ( k + 1) k < y < k +1 Mà k k+1 hai số nguyên dơng liên tiếp không tồn số nguyên dơng Nên cặp số nguyên dơng thoả mãn phơng trình x = y = Vậy phơng trình có nghiệm : 23 [...]... Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: , c 2 < 4d a 2 < 4b Giải : Giả sử 2 bất đẳng thức : a 2 < 4b , c 2 < 4d đều đúng khi đó cộng các vế ta đợc (1) a 2 + c 2 < 4(b + d ) Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2) Từ (1) và (2) a 2 + c 2 < 2ac hay ( a c ) 2 < 0 (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức a 2 < 4b và c 2 < 4d có ít nhất một các bất đẳng thức sai Ví dụ 3: Cho x,y,z > 0 và xyz... Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với ( ) x 2 y 4 + 2 x 2 + 2 y 2 + 4 xy + x 2 4 xy 3 > 0 ( y + 1) x + 4 y (1 y ) x + 4 y 2 > 0 2 2 2 2 Ta có = 4 y 2 (1 y 2 ) 2 4 y 2 ( y 2 + 1) 2 = 16 y 2 < 0 Vì a = ( y 2 + 1) 2 > 0 vậy f ( x, y ) > 0 (đpcm) Phơng pháp 10: dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n > n0 ta thực hiện các bớc sau : 1 Kiểm tra bất đẳng thức. .. (3)luôn đúng ta có (đpcm) Phơng pháp 11: Chứng minh phản chứng Lu ý: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngợc nhau Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề G K 14 phép toán mệnh đề cho...( 1 > 2 n +1 n n ) Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có ( ) 1 1 1 + + + > 2 n +1 1 2 3 n 1+ Ví dụ 3 : Chứng minh rằng n k =1 Giải: 1 k a 2 (b c) 2 > 0 b > a-c b 2 > b 2 (c a) 2 > 0 c > a-b c 2 > c 2 (a b) 2 > 0 Nhân vế các bất đẳng thức ta đợc [ ][ ][ a 2b 2 c 2 > a 2 ( b c ) b 2 ( c a ) c 2 ( a b ) 2 2 a 2b 2 c 2 > ( a + b c ) ( b... nên ta có điều phải Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + 2; + 2; x y y z x z Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= chứng minh Ví dụ2: Cho a,b,c > 0 và a+b+c 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có x + y... 1 2 (đpcm) b) Ta có 1+ 1 1 1 1 1 1 + + + < 1+ + + + 1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 ( n 1) n 1 1 1 1 1 1 ữ < 2 < 2 (đpcm) < 1 + 1 ữ+ ữ+ + n 2 2 3 n 1 n Phần iv : ứng dụng của bất đẳng thức 1/ dùng bất đẳng thức để tìm cc trị Lu ý - Nếu f(x) A thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là A - Nếu f(x) B thì f(x) có giá trị lớn nhất là B Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|... minh bất đẳng thức đúng với n > n0 ta thực hiện các bớc sau : 1 Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n0 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+ 1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4 kết luận BĐT đúng với mọi n > n0 Ví dụ1: Chứng minh rằng 13 Giải : 1 1 1 1 +... 1 1 1 1 1 + 2 + + 2 + < 2 + < 2 2 2 2 1 2 k (k + 1) k ( k + 1) k +1 1 1 1 1 1 + + < + < 2 2 2 1 ( k + 1) k + 1 ( k + 1) k k +1+1 1 < k (k + 2) < ( k + 1) 2 k2+2k 0 n n n Chứng minh rằng a + b a + b (1) 2 2 Giải Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với... x) y( x y) + 0 2 1 + x (1 + xy ) 1 + y 2 (1 + xy ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( y x ) ( xy 1) 0 (1 + x 2 ).(1 + y 2 ).(1 + xy ) 2 BĐT cuối này đúng do xy > 1 Vậy ta có điều phải chứng minh Iii / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1 Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 Giải : 1 3 áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c) Ta có (1.a + 1.b + 1.c ) 2 (1 + 1 + 1).( a ... Dùng phép biến đổi tơng đơng Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đợc chứng minh Chú ý đẳng thức sau: ( A + B ) = A + AB + B ( A + B + C )... rằng: b + ữ+ (a + c) < (a + c) + ữ a c b a Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x + y xy b) x + y xy dấu( = ) x = y = c c) ( x... + + a n n Với > a1 a a3 a n n 3 )Bất đẳng thức Bunhiacopski: a2 + a22 + + an2 x12 + x22 + + 2n ( a1 x1 + a2 x2 + + an xn ) 2 )Bất đẳng thức Cô sy: 4) Bất đẳng thức Trê- b-sép: abc A B C abc

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	1,25 MB