SỞ GD-ĐT QUẢNG TRỊ 17/4/2010) TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC (Đợt 2(Thời gian làm bài: 180 phút) I PHẦN CHUNG (7 điểm) (Cho tất thí sinh) Câu (2đ) Cho hàm số: y = 2x3 - 3x2 + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ Câu (2đ) Giải hệ phương trình: xy − 18 = 12 − x xy = + y Giải phương trình: 9x + ( x - 12).3x + 11 - x = Câu (1đ) Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a khoảng cách cạnh bên cạnh đáy đối diện m Câu (1đ) Tính tích phân: I = ∫ [ x(2 − x) + ln(4 + x )]dx Câu (1đ) Cho tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c Thoả mãn hệ điều kiện: a (a + c) = b b(b + a ) = c CMR: 1 = + sin A sin B sin C II PHẦN RIÊNG (3đ) (Thí sinh làm hai phần) Theo chương trình chuẩn: Câu 6a (2đ) Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng (d): 3x - 4y + = đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 6y + = Tìm điểm M ∈ (C) N ∈ (d) cho MN có độ dài nhỏ Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng: (P1): x - 2y + 2z - = (P2): 2x + y - 2z - = đường thẳng (d): x+2 y z−4 = = −1 −2 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I ∈ (d) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2) Câu 7a (1đ) Đặt: (1 - x + x2 - x3)4 = a0 + a1x + a2x2 + + a12x12 Tính hệ số a7 Theo chương trình nâng cao Câu 6b (2đ) 1 Trong mặt phẳng (oxy) cho đường tròn (C): (x + 1) + (y - 3)2 = điểm M 1 7 , 5 5 Tìm (C) điểm N cho MN có độ dài lớn Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z + = mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - = Tìm điểm M ∈ (S), N ∈ (P) cho MN có độ dài nhỏ Câu 7b (1đ) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số: f ( x) = + 3x − + x x x ≠ 0, f (0) = ; điểm x0 = ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC (Đợt 2- 17/4/2010) I PHẦN CHUNG (7 điểm) ĐIỂM Câu (2đ) y = 2x3 - 3x2 + 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) * TXĐ: R * Sự biến thiên: + Giới hạn: lim y = − ∞ x → −∞ , lim y = + ∞ x → −∞ 0,25đ + Bảng biến thiên: y’ = 6x2 - 6x = 6x (x - 1) y' = 2) x = 0; ( y = 1) ⇔ x = 1; ( y = 0) 0,25đ Lập BBT; nêu khoảng đơn điệu điểm cực trị 0,25đ * Đồ thị: (tự vẽ), rõ ràng, đầy đủ, xác 0,25đ Tìm M ∈ (C) ? Giả sử M (x0; y0) ∈ (C) ⇒ y0 = 2x03 - 3x02 + Tiếp tuyến ( ∆ ) (C) M: y = (6x02 - 6x0) (x - x0) + 2x03 - 3x02 + 0,25đ ( ∆ ) qua điểm P(0 ; 8) ⇔ = -4x03 + 3x02 + ⇔ (x0 + 1) (4x02 - 7x0 + 7) = 0,25đ ⇔ x0 = -1 ; (4x02 - 7x0 + > 0, ∀ x0) 0,25đ Vậy, có điểm M (-1 ; -4) cần tìm 0,25đ Câu (2đ) 1) Giải hệ: xy − 18 = 12 − x ⇒ 12 − x ≥ ⇒ x ≤ xy = + y ⇒ x y ≥ y ⇒ x ≥ 3 0,25đ ⇒ x = ⇒ xy = 18 0,25đ { ⇒ x ∈ − ;2 } , tương ứng y ∈ {− 0,25đ Thử lại, thoả mãn hệ cho Vậy, ( x; y ) ∈ {( − 3;−3 ), ( 3;3 2) 3;3 } )} 0,25đ Giải phương trình: (3 x ) + ( x − 12) x + 11 − x = 3 x = ⇔ x 3 = 11 − x x = ⇔ x f ( x ) = + x − 11 = 0(*) f ' ( x ) = x ln + > 0, ∀x ⇒ (*) f ( 2) = (a + b + c = 0) có nghiệm x 0,5đ =2 0,25đ Vậy, tập nghiệm phương trình: S = {0 ; 2} 0,25đ Câu (1đ) S N A C O M B SO ⊥ (ABC) S.ABC chóp ∆ ⇒ O tâm tam giác ABC AO ∩ BC = M ⇒ AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAM ) SO ⊥ BC ⇒ MN Trong ∆ SAM kẻ đường cao MN AO = =m a a 3a = ⇒ AM = AO = sin 60 2 0,25đ a2 SO = h ⇒ SA = SO + AO = h + 2 ( ) ⇔ 3a − 4m h = SA.MN = SO.AM 2 am m < a 0,25đ ⇔h= 2am 3a − 4m 2 ; S(ABC) = a 0,25đ m < a a 3m V = S ( ABC ).h = 3a − 4m 0,25đ Câu (1đ) Tính tích phân I = ∫ x(2 − x) dx + ∫ ln(4 + x = )dx I1 + I 2 0 I1 = ∫ x( − x) dx = ∫ − ( x − 1) dx = π (sử dụng đổi biến: x = 1+ sin t ) 0,25đ 2 x2 dx + x2 I = ∫ ln(4 + x )dx = x ln(4 +x ) |02 −2 ∫ = ln + π − I = I1 + I = (đổi biến (Từng phần) x = tan t ) 0,25đ 0,25đ 3π − + ln 2 0,25đ Câu (1đ) ∆ ABC: (1) a (a + c) = b (1) b(b + a ) = c (2) ⇒ sin2A + sinAsinC = sin2B ⇒ sinAsinC = (cos2A (Đl sin) - cos2B) ⇒ sinAsinC = sin(A + B) sin (B -A) ⇒ sinA = sin (B - A) ; (sin (A + B) = sin C > 0) ⇒ A = B - A ; (A, B góc tam giác) ⇒ B = 2A Tương tự: (2) ⇒ C = 2B A+B+C= π 0,25đ , nên A = π 2π ;B= ;C= 4π 0,25đ Ta có: 1 + sin B sin C = 4π 2π 3π π + sin sin cos 7 = 7 2π 4π π π 3π sin sin sin cos sin 7 7 sin = sin π = sin A 0,25đ (đpcm) 0,25đ II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Chương trình Câu 6a (2đ) 1) Tìm M ∈ (C), N ∈ (d)? (d): 3x - 4y + = (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = ⇒ Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = d (I ; d) = ⇒ (d) ∩ (C) = Ø Giả sử tìm N0 ∈ (d) ⇒ N0 hình chiếu vuông góc I (d) ( ∆ ) ∋ I (−1;3) ⇒ N0 = (d) ∩ ( ∆ ) , với: 0,25đ ( ∆ ) ⊥ (d ) ⇒ u∆ = ( 3;−4 ) x = −1 + 3t 1 7 ⇒ ( ∆) : ⇒ N0 ; 5 5 y = − 4t 0,25đ Rõ ràng ( ∆ ) ∩ (C) = {M1; M2} ; M1 11 − ; 5 M0 ∈ (C) để M0N0 nhỏ 0,25đ ≡ ⇒ M0 ; M2 19 − ; 5 M1 M0N0 = Kết luận: Những điểm cần tìm thoả mãn điều kiện toán M 11 − ; 5 ;N 1 7 ; 5 5 0,25đ 2) Phương trình mặt cầu (S) ? (P1): x - 2y + 2z - = (P2): 2x + y - 2z - = Giả sử I (x0 ; y0 ; z0) ∈ (d): x+2 y z−4 = = −1 −2 ⇒ I (-2 - t ; 2t ; + 3t) tâm mặt cầu (S) 0,25đ Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P1), (P2) ⇔ d (I, (P1)) = d (I ; (P2)) ⇔ t = −13 1 9t + = 10t + 16 ⇔ 3 t = −1 0,25đ ⇒ I1 = (11 ; 26 ; -35) ; I2 (-1 ; ; 1) ⇒ R1 = 38 ; R2 = Vậy, có hai mặt cầu cần tìm: (S1): (x - 11)2 + (y - 26)2 + (z + 35)2 = 382 (S2): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 22 0,25đ Câu 7a (1đ) Tính hệ số a7 ? (1 - x + x2 - x3)4 = (1 - x)4 (1 + x2)4 0,25đ = k k k ( ) − C x ∑ ∑ C4i x 2i k =0 i = (Gt) 0,25đ 0,25đ k + 2i = ⇒ ⇒ ( k ; i ) ∈ { (1;3) , ( 3;2)} k , i ∈ { 0,1,2,3,4} 0,25đ ⇒ a7 = −C41C43 − C43C42 = −40 0,25đ Chương trình nâng cao Câu 6b (2đ) 1) Tìm N ∈ (C)? (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = ⇒ 1 7 Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = ; M ; 6 8 IM = ;− ⇒ MI = 5 5 Giả sử tìm N ∈ (C) 0,25đ 0,25đ ⇒ MN ≤ MI + IN = ⇔ Dấu “=” xảy (IM): N giao điểm tia đối IM đường tròn (C) x = −1 + t y = − t 11 ⇒ N1 − ; 5 ; ( IM ) ∩ ( C ) = { N1; N } 19 N2 − ; 5 , ; MN1 < MN2 Kết luận: Thoả mãn điều kiện toán: 0,25đ 2) Tìm M ∈ (S) , N ∈ (P) ? (S): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = Tâm I (-1 ; ; 1), bán kính R = (P): x - 2y + 2z - = ⇒ d ( I; ( P ) ) = 0,25đ 19 N − ; 5 ⇒ ( P) ∩ ( S ) = Ø Giả sử tìm N0 ∈ (P) ⇒ N0 hình chiếu vuông góc I (P) 0,25đ ( d ) ∋ I (−1;2;1) ⇒ N = ( d ) ∩ ( P ) , với: (d ) ⊥ ( P ) ⇒ u = (1;−2;2) x = −1 + t ⇒ ( d ) : y = − 2t z = + 2t (d ) ∩ ( S ) = d 7 ⇒ N0 − ; ; 3 3 0,25đ {M1 ; M2} 5 1 ⇒ M1 − ; ; M − ; ; 3 3 , 3 3 0,25đ M1M0 = < M2M0 = M0 ∈ (S) để M0N0 nhỏ ⇒ M0 ≡ M1 Vậy, điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu toán 5 M− ; ; 3 3 , 7 N− ; ; 3 3 0,25đ Câu 7b (1đ) Đạo hàm định nghĩa: lim x→0 f ( x) − f (0) x = lim x→0 + 3x − + x x2 0,25đ = lim = lim− x →0 x→0 = -1 + + x − (1 + x) + (1 + x) − + x x2 0,25đ 3+ x (1 + x) + (1 + x ) + 3x + (1 + x ) 2 = - Vậy, f '( ) = − + lim x →0 (1 + x) + + x 0,25đ 0,25đ ... ≠ 0, f (0) = ; điểm x0 = ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC (Đợt 2- 17/4/2010) I PHẦN CHUNG (7 điểm) ĐIỂM Câu (2đ) y = 2x3 - 3x2 + 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) * TXĐ: R * Sự biến thi n: + Giới hạn: lim y... 5 , ; MN1 < MN2 Kết luận: Thoả mãn điều kiện toán: 0,25đ 2) Tìm M ∈ (S) , N ∈ (P) ? (S): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = Tâm I (-1 ; ; 1), bán kính R = (P): x - 2y + 2z - = ⇒ d ( I; ( P ) )... xy = + y ⇒ x y ≥ y ⇒ x ≥ 3 0,25đ ⇒ x = ⇒ xy = 18 0,25đ { ⇒ x ∈ − ;2 } , tương ứng y ∈ {− 0,25đ Thử lại, thoả mãn hệ cho Vậy, ( x; y ) ∈ {( − 3;−3 ), ( 3;3 2) 3;3 } )} 0,25đ Giải phương trình: