CHƯƠNG I: ĐẠI SỐ VÀ SỐ HỌC Dạng 1: Tìm ước chung lớn – Tìm bội chung nhỏ (Chương trình Toán lớp 6) 1.1 Tìm “Ước chung lớn nhất” - Toán – Tập Các bước giải Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn thừa số nguyên tố chung Bước 3: Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN Như sau học để tìm ƯCLN hai số học sinh phải thực đầy đủ ba bước Điều phù hợp em luyện tập cách tìm ƯCLN, nhiều trường hợp việc tìm ƯCLN bước nhỏ giải toán, áp dụng cách làm nhiều thời gian Do giáo viên trình bày cho em thuật toán sau để kết hợp với máy tính bỏ túi tìm nhanh kết qủa: Thuật toán (Thuật toán Euclide) Cở sở thuật toán: Giả sử a = bq + c (c ≠ 0) ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,c) Thuật toán: a = bq + r1 (0 < r1 < b) b = r1q1 + r2 (0 < r2 < b) r1 = r2q2 + r3 (0 < r3 < b) …… rn-2 = rn-1qn-1 + rn (0 < rn < b) rn-1 = rnqn (rn+1 = 0) Thuật toán kết thúc số dư rn+1 = Như ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r1) = ƯCLN(r1,r2) = … = ƯCLN(rn-1,rn) = rn Ví dụ minh họa 1.1.a: Tìm ƯCLN(7752;5472) (Qui trình với máy Casio Fx 500 MS) Ấn: 7752 ÷ 5472 = − = x 5472 = 5472 ÷ 2280 = − = x 2280 = 2280 ÷ 912 = − = x 912 = 912 ÷ 456 = Đáp số: 1,416666667 (số dư khác 0) Đáp số: 2280 Đáp số: 2,4 (số dư khác 0) Đáp số: 912 Đáp số: 2,5 (số dư khác 0) Đáp số: 456 Đáp số: (số dư 0) Vì số nguyên (hay số dư rn+1 = thuật toán) ƯCLN(7752;5472) = 456 Thuật toán Cở sở thuật toán: Nếu a c c = phân số tối giản ƯCLN(a,b) = a:c (=b:d) b d d Ví dụ 1.1.b: Tìm ƯCLN(7752;5472) (Qui trình với máy Casio Fx 500 MS) 17 Ấn: 7752 a b / c 5472 = Đáp số: 12 7752 ÷ 17 = Đáp số: 456 Vậy ƯCLN(7752;5472) = 456 1.2 Tìm “Bội chung nhỏ nhất” - Toán – Tập Các bước giải Bước 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn thừa số nguyên tố chung riêng Bước 3: Lập tích thừa số chọn thừa số lấy với số mũ lớn Tích BCNN Như sau học giáo viên trình bày cho em thuật toán sau để kết hợp với máy tính bỏ túi tìm nhanh kết qủa: Cở sở thuật toán: Muốn tìm BCNN(a,b) ta sử dụng công thức sau: a.b BCNN(a, b) = ƯCLN(a, b) Vì học sinh biết cách tìm ƯCLN(a,b) nên việc tìm BCNN(a,b) trở nên dễ dàng với em Ví dụ 1.2.: Tìm BCNN(7752;5472) (Qui trình với máy Casio Fx 500 MS) 17 Ấn: 7752 a b / c 5472 = Đáp số: 12 7752 ÷ 17 = SHIFT STO A Đáp số: 456 (//Ta được: ƯCLN(7752;5472) = 456) Ấn tiếp: 7752 x 5472 = ÷ ALPHA A = Đáp số: 93024 Vậy BCNN(7752;5472) = 93024 Ví du1ï: Tìm UCLN(209865, 283935) Ta ghi vào hình 209865⌋283935 ấn = Mà = n hình hòên 17 ⌋23 Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 209865÷17 nhấn = Kết quả: UCLN(209865, 283935)=1234 Tìm BCNN(209865, 283935) Đưa trỏ lên sửa thành 209865X23 ấn = Kết quả:BCNN(209865, 283935) =4826895 Ví dụ 2: Tìm UCLN(2419580247, 3802197531) Ta ghi vào hình 2419580247⌋38021975 31 ấn = Màn hình hòên 7⌋ 11 Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 2419580247÷7 nhấn = Kết quả: UCLN((2419580247, 3802197531 )=345654321 Tìm BCNN(2419580247, 3802197531 ) Đưa trỏ lên sửa thành 2419580247X11 ấn = Kết qủa =2.661538272x1010 Ở găp trường hợp tràn hình Muốn ghi đầy đủ số ta đưa trỏ lên dòng biểu thức xoá số để 419580247X11 ấn = Màn hình hòên 4615382717 Ta đọc kết quảBCNN(2419580247, 3802197531)=4615382717 Bài tập thực hành: Bài Tìm UCLN BCNN hai số: a 182666 5149980 a.UCLN=1……; BCNN=9407262467 b 12880 136620 b.UCLN=460…; BCNN=3825360 ……… Quy trình bấm máy : a/ 182666⌋5149980 Màn hình hòên 0,035469263 Kết quả: UCLN(182666,5149980 ) =1 (vì 182666 5149980 nguyên tố ) Tìm BCNN(182666,5149980) Đưa trỏ lên sửa thành 182666x5149980 ấn = Kết qủa = 9,407262467x1010 Đưa trỏ lên sửa thành: Kết qủa = 9407262467 b.Tìm UCLN(12880 , 136620) Ta ghi vào hình 12880⌋136620 ấn Màn hình hòên 28 ⌋297 = Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 12880÷28 nhấn = )=460 Kết quả: UCLN(12880 , 136620 -Tìm BCNN(12880 , 136620 ) Đưa trỏ lên sửa thành 12880 X11 ấn Kết quả: 3825360 Bài Tìm UCLN BCNN hai số: a.UCLN=49356……; BCNN=811560750 a 1248555 3207750 b 4492512 57000 b.UCLN=460…; BCNN=3825360 … Quy trình bấm máy : = a/ 1248555⌋ 3207750 Màn hình hòên 253⌋650 Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 1248555÷253 nhấn = Kết quả: UCLN(1248555,ø 3207750)=49356 a.UCLN=49356……; BCNN=811560750 Tìm BCNN(182666,5149980) b.UCLN=456…; BCNN=561564000…… Đưa trỏ lên sửa thành 1248555x650 ấn = b.Tìm UCLN(4492512,ø 57000) Ta ghi vào hình 4492512⌋ 57000 ấn Màn hình hòên 9852⌋125 Đưa trỏ lên dòng biểu =thức sửa thành 449251÷9852 nhấn 456 = Kết quả: UCLN(4492512,ø 57000)=456 -Tìm BCNN((4492512,ø 57000) a Đưa trỏ lên sửa thành 4492512 X125 ấn = Kết quả: 561564000 BÀI TOÁN TÌM SỐ DƯ Ví dụ 1: Tìm số dư phép chia 9124565217:123456 Ghi vào hình: 9124565217:123456 ấn = Máy số 73909,45128 Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 9124565217-123456 x73909 ấn = Kết : Số dư 55713 Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia 24614205:10719433 Ghi vào hình: 24614205:10719433 ấn = Máy số 2,296222664 Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 24614205-10719433x2 ấn = Kết : Số dư 3175339 Ví dụ 3: Tìm số dư phép chia 2345678901234 cho 4567 Chú ý : số lớn nên bò tràn hình ta làm sau : Ghi vào hình: 234567890 : 4567 ấn = Máy số 51361,48237 Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 234567890 - 4567 x51361 ấn = Kết : Số dư 2203 Ta làm tiếp 22031234 :4567 ấn = Máy số 4824,005693 Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 22031234 - 4567 x4824 ấn Kết : 26 Bài toán : Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia 148750:31416 148750:31416 Máy số 4,734848485 Đưa trỏ lên dòng biểu thức sửa thành 148750-31416X4 ấn Kết : = Số dư 23086 Dạng tính giá trị biểu thức Bài toán 1: Ghi xác kết sau: a.20032003x20042004 b.200033 Giải: ( 20030000+2003)(20040000+2004) = (2003.104 +2003)(2004.104 +2004) =2003.2004.108 +2003.2004.104 +2003.2004 104 +2003.2004 =2003.2004.108 +2.2003.2004.104 +2003.2004 401401200000000 80280240000 4014012 401481484254012 b Nhấn 20003^3 = 2,700810081x1013 ghi 2700810081000 Bài :Ghiû xác kết phép tính sau: a 20042003x 2005200 b 20045 Giải: (20040000+2003)(2005000+200) =2004.104 x2005.103 +2004.104 x2.102 +2003x2005.103 +2005.2.102 Bấm máy:2004x2005 ấn = 4018020 2003x2005= 4016015 Ghi kêt thứ 2004.104 x2005.103 = 40180200000000 Ghi kêt thứ hai: 2004.10 x 2.10 = 4008000000 Ghi kêt thứ ba 2003x2005.10 = 4016015000 Ghi kêt thứ tư 2x2005 10 401000 Ghi kết cuối 401882124416000 b.n máy : 2004^5 Máy :3.22128256x1016 Ghi kết quả:3221282560000000 Bài :Ghiû xác kết phép tính sau: a 20032004x 20042005 b 20045 Giải: (20040000+2003)(20050000+2005) =(2004.104+2003)(2005.104+2005) =2004.104 x2005.104 +2004.104 x2005 +2003x2005.104 +2003x2005 Bấm máy:2004x2005 ấn = 4018020 2003x2005= 4016015 Ghi kêt thứ 2004.104 x2005.104 = 401802000000000 Ghi kêt thứ hai: 2004.10 x2005 = 40180200000 Ghi kêt thứ ba 2003x2005.10 = 40160150000 Ghi kêt thứ tư 2003x2005 4016015 Ghi kết cuối 401882344366015 Bài :Ghiû xác kết phép tính sau a A =20032004x 20042005 b 19985 Giải: (20040000+2003)(2005000+2005) =2004.104 x2005.103 +2004.104 x2.102 +2003x2005.103 +2005.2.102 Bấm máy: 2004x2005 ấn = 4018020 2003x2005= 4016015 Ghi kêt thứ 2004.104 x2005.103 = 40180200000000 Ghi kêt thứ hai: 2004.10 x 2.10 = 4008000000 Ghi kêt thứ ba 2003x2005.10 = 4016015000 Ghi kêt thứ tư 2x2005 102 401000 Ghi kết cuối 401882124416000 b.n máy : 1998^5 = Máy :3.184031968x1016 Ghi kết quả:3.1840319680000000 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Câu1: Cho dãy số: 1;1+23;1+23+33;1+23+33+43 a/ Tính giá trò số hạng thứ 10 b/Tính :112+122+132+ ….303 Giải:a/Ta thấy 1+23=(1+2)2=9; 1+23+33=(1+2+3)2=36; 1+23+33+43=(1+2+3+4)2=100 Suy giátrò số hạng thứ 10 là: S10= (1+2+3+4+5+……10)2 =3025 b / Tính:113+123+133+……303=(1+2+3+….30)2-3025 15 cặp 31 =(15.31) -3025=201100 a/Quy trình nhấn máy Tính giá trò số hạng thứ 10 Nhấn (1+2+3+4+5+ 10) ^2 =(5.11)2 kết 3025 b.nhấn shift sto A nhấn tiếp 15.31 = nhấn x2 –A = kết quả:201100 Câu 2: Cho dãy số: 1,2,,22, 23 ,, 24 a/ Tính giá trò số hạng thứ 41 b/Tính :2+22+23+ ….221 Giải: a \ tính giá trò số hạng thứ 41 , S4= 241 nhấn 2^41 = Kết quả: 2199023256000 b Tính tổng S=2+22+23+ ….221=2(1+2 +22+… 220) 2(2 − 1)(1 + + 2 + + .2 20 ) = (2 − 1) 2(2 21 − 1) −1 =2.(221-1) Nhấn (2^21 -1 )x = = Kết quả: 4194302 Câu 3: Cho dãy số: 1,2,,22, 23 ,, 24 a/ Tính giá trò số hạng thứ 40 b/Tính :2+22+23+ ….220 Giải: a \ tính giá trò số hạng thứ 40 , S4= 240 nhấn 2^20 = Kết quả: 1048576 b Tính tổng S=2+22+23+ ….220=2(1+2 +22+… 219) 2(2 − 1)(1 + + 2 + + .219 ) = (2 − 1) 2(2 20 − 1) −1 =2.(220-1) = Nhấn (2^20 -1 )x = Kết quả: 2097150 Câu 4: Tính tổng A=5+52+53+54+55… 520 =5(1+5+52+…519) 20 − =5( ) Nhấn( 5^20-1)X5 :4 = Kết quả:119209289600000 Cách 2: A=5+52+53+54+55… 520 =(5+52)+(53+54)+…(519+520) =5(1+5)+52(1+5)+…519(1+5) =6(5+52+53…+519)=30(1+5+52+…518) 5(519 − 1) = Nhấn( 5^19-1)X30- :4 Kết quả:19073486330000 Câu 5: Tính giá trò biểu thức: B=(22+42+62+ 962+982)-(1+32+52+72….952+972) Giải: B=(22+42+62+ 962+982)-(1+32+52+72….952+972) =(22-1)+(42-32)+ (62-52) +…(982-972) = + + 11 +… 195 (còn lại 49 số) +195 = Có dạng : B=49( ) Nhân(195 +3)x49:2 Kết quả:12201 Câu1: Tính giá trò biểu thức (Viết kết dạng phân số hỗn số ) 11 − ) + 200520052005( + ) Giải: A=1010101010( 13131313131 2626262626 100251002510025 601560156015 11 − ) + 200520052005( + ) A=1010101010( 13131313131 2626262626 100251002510025 601560156015 11 − ) + 200520052005( + ) =1010101010( 13.101010101 26.101010101 5.200520052005 3.200520052005 70 50 11 − )+( + ) =( 13 26 140 − 50 + 55 )+( ) =( 26 15 90 64 + = Nhấn 90 a/b 26 +64 a/b 15 = 26 15 142 Kết :7⌋142⌋195 Viết 195 Câu2: Tính giá trò biểu thức (Viết kết dạng phân số hỗn số ) 11 − ) + 200320032003( + ) Giải: 1111111111 2222222222 100151001510015 600960096009 11 − ) + 200320032003( + ) A=101010101( 11.101010101 22.101010101 5.200320032003 3.200320032003 11 ( + )+( + ) 11 22 14 64 + = Nhấn 14 a/b 22 +64 a/b 15 22 15 149 Kết :4⌋149⌋165 Viết 165 A=101010101( 1,3454 × 3,1432,3 A= 189,35 B= Kq: 1,077072806 1,815 × 2,7325 (7 4,621)4 Kq: 70,097 π (5 2,3144)4 C= (4 3,785)7 Kq: 5,97246 D= π 816,137 712,3517 E= π (3 2,2132 (3,753 + 2,14)) 5,244 − 7,512 Kq: 96,26084258 π (1, 263)2 F= (3,123)2 ×15 × (2,36)3 F= 3− 2 17 − 12 − 3+ 2 17 + 12 Kq:0,029185103 Kq: 0,3236 +3 9+ +39−4 Kq:5,828427125 G = 53 32 − 33 162 − 116 18 + 23 75 50 Kq:0,00000000 H = − 3+ − 5+ − 7 + 8− 9 Kq: I = − + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − 10 10 KQ: K = 65 54 43 + − + − + K = 3 − − − 20 + 25 L =7− KQ: Kq: KQ: c Ta cã: S= AH.BC b c ¢n : a ALPHA C ALPHA B = KQ : S ≈ 16, 41122569 µ = 90 − B µ : 2; AC=AB.TgB; IC= AC d Ta cã: C c Cos ¢n : 90 0,,, − ALPHA 36 0,,, 44 0,,, = ÷ SHIFT STO D ALPHA A × Tg 36 0,,, 44 0,,, SHIFT STO D SHIFT STO E ALPHA E ÷ cos ALPHA D a KQ : IC ≈ 3,915 b c = µ = 49 27';C µ = 73053' Bµi tËp 2; Cho tam gi¸c ABC , cã a=18,53; B TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Gi¶i: a 2sinB sinC 1)Ta cã: S= sinA (18,53) sin49 27' sin730 53' S= 2.sin(180 -(49 27' +730 53')) MODE Ên: ( ( 18 53 ) x x sin 49 0''' 27 0''' x sin 73 0''' 53 0''' ) g g (2x sin ( 180 0''' - ( 49 0''' 27 0''' + 73 0''' 53 0''' ) ) ) = kq: 149,9993409 BC BC =2RÞR= sinA 2sinA Ên: 18 53 gg ( x sin ( 180 0''' - ( 49 0''' 27 0''' + 73 0''' 53 0''' ) ) ) = 2) Ta cã: kq:11,08932994 Bµi tËp3: Cho tam gi¸c ABC cã a=23,21; b=15,08; c= 19,70 TÝnh gãc C ®é , phót, gi©y TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c TÝnh d¬ngd trung tun AM TÝnh ®êng ph©n gi¸c gãc C TÝnh b¸n kÝnh néi tiÕp tam gi¸c Gi¶i: a +b -c 1)cosC= 2ab MODE Ên: 23 21 SHIFT STO A 15 08 SHIFT STO B 19 70 SHIFT STO C Ên tiÕp: ( ALPHA A x + ALPHA B x - ALPHA C x ) ÷ ( ALPHA A ALPHA B ) = SHIFT COS -1 Ans 0''' kq: 570 18'54'' a+b+c vµ S= p(p-a)(p-b)(p-c) Ên: ( ALPHA A + ALPHA B + ALPHA C ) 2) p= Ên tiÕp: SHIFT STO D g g ( ALPHA D ( ALPHA D - ALPHA A ) ( ALPHA D - ALPHA B ) ( ALPHA D - ALPHA C ) ) SHIFT STO E kq: 147,2921293 b +c2 - a 2 3) ta cã: AM= Ên: ( ( ALPHA B x + ALPHA C x - a b c ALPHA A x ) ÷2) = kq: 13,15568983 BH.AC 2S ÞBH= AC Ên: ( ALPHA E ) gg ALPHA A = 4) cã: S= kq: 19,53476516 5) cã: CD= abp(p-c) a+b Ên: ( ( ALPHA A ALPHA B ALPHA D ( ALPHA D - ALPHA C ) ) ) g g ( ALPHA A + ALPHA B ) = kq:16.04239199 6) cã: S=p.r Þr= Ên: ALPHA E S p g g ALPHA D = kq: 5,079914789 D c d C A D¹ng 2: Tø gi¸c Ph¬ng ph¸p: b a B 2S ac + bd S = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) Sinα = p= a+b+c+d S = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos (B + D) : (ac + bd)(ab + cd)(ad + bc) 4S Bµi tËp ¸p dơng: Bµi1: Cho tø gi¸c ABCD cã a=5,32;b= 3,45; c=3,96; d=4,68 TÝnh gãc t¹o bái hai ®êng chÐo TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABCD Gi¶i: MODE R= 32 SHIFT STO A 32 SHIFT STO B 96 SHIFT STO C 68 SHIFT STO D a+b+c+d 2S Ta cã: p = ; S = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) ; Sinα = ac + bd ( ALPHA A + ALPHA B + ALPHA C + ALPHA C ) ÷ SHIFT STO E ¢n : ( ( ALPHA E − ALPHA A ) ( ALPHA E − ALPHA B ) ( ALPHA E − ALPHA C ) ( ALPHA E ALPHA A − ALPHA D ) ) SHIFT STO F ¢n : × = ÷ ( ALPHA A ALPHA C + ALPHA B ALPHA D ) = SHIFT Sin −1 Ans 0,,, KQ : α ≈ 82 08' 21'' D¹ng 3: §êng trßn Ph¬ng ph¸p: C = πR A S = πR πR n 360 πRn l= 180 Sq = Bµi tËp ¸p dơng: Bµi 1: VÏ ®êng trßn b¸n kÝnh R=0,235 m TÝnh chu vi TÝnh ®é dµi cung750 TÝnh diƯn tÝch TÝnh diƯn tÝch h×nh qu¹t cã gãc ë t©m 750 Gi¶i: C = πR Ta cã: S = πR n B πRn ; S q = πR n 180 360 ¢n : 0,235 SHIFT STO M l= × SHIFT π = kq : C = 1, 4765 SHIFT π ALPHA M x = Kq : S = 0,1735 ¢n tiÕp: ÷ 360 × 75 = Kq : S q = 0, 0361 ¢n tiÕp: ALPHA M SHIFT π × 75 ÷ 180 = kq : L = 0,3076 Gi¶i tam gi¸c: Bµi 1: TÝnh c¸c gãc cđa tam gi¸c ABC, biÕt: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415 §¸p sè: µ = A µ = ; C µ = ; B Bµi 2: TÝnh c¹nh BC, gãc B , gãc C cđa tam gi¸c ABC, biÕt: µ = 54o35’12’’ AB = 11,52 ; AC = 19,67 vµ gãc A §¸p sè: µ = ; C µ = ; B BC = Bµi 3: TÝnh c¹nh AB, AC, gãc C cđa tam gi¸c ABC, biÕt: µ = 54o35’12’’ ; B µ = 101o15’7’’ BC = 4,38 ; A §¸p sè: AB= ; µ = ; C AC = Bµi 4: Tam gi¸c ABC cã ba c¹nh: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415 §iĨm M n»m trªn c¹nh BC cho: BM = 2,142 1) TÝnh ®é dµi AM? 2) TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABM 3) TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ACM §¸p sè: 1) AM = 2) µ = 49o27’ Bµi 5: Tam gi¸c ABC cã: B R = 3) S= µ = 82o35’ µ = 57o18’ vµ C Bµi 6: Tam gi¸c ABC cã chu vi 58 (cm) ; B TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AB, BC, CA ? §¸p sè: AB = ; BC = = µ = 73o52’ vµ c¹nh BC = 18,53 ; C TÝnh diƯn tÝch S cđa tam gi¸c ? §¸p sè: r ; CA = µ < 180o vµ sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6 Bµi 7: Tam gi¸c ABC cã 90o < A TÝnh: 1) §é dµi c¹nh BC ? Trung tun AM ? µ =? 2) Gãc B 3) DiƯn tÝch tam gi¸c S = ? §¸p sè: BC = µ = ; B ; AM = ; S= µ = 90o ; AB = (cm) ; AC = (cm) Bµi 8: Tam gi¸c ABC cã A TÝnh ®é dµi ®êng ph©n gi¸c AD vµ ph©n gi¸c ngoµi AE ? §¸p sè: AD = ; AE = §a gi¸c, h×nh trßn: * Mét sè c«ng thøc: 1) §a gi¸c ®Ịu n c¹nh, ®é dµi c¹nh lµ a: a A α 2π 360 + Gãc ë t©m: α = (rad), hc: a o = (®é) n n O µ = n − π (rad), hc A µ = n − 180 (®é) + Gãc ë ®Ønh: A n n + DiƯn tÝch: S= na α cot g 2) H×nh trßn vµ c¸c phÇn h×nh trßn: + H×nh trßn b¸n kÝnh R: O - Chu vi: C = 2πR R - DiƯn tÝch: S = πR2 + H×nh vµnh kh¨n: - DiƯn tÝch: S = π(R2 - r2) = π(2r + d)d + H×nh qu¹t: r R O d - §é dµi cung: l = αR ; (α: rad) - DiƯn tÝch: S= = Rα π R 2a 360 (α: rad) R O (a: ®é) Bµi 9: Ba ®êng trßn cã cïng b¸n kÝnh cm ®«i mét tiªp xóc ngoµi (H×nh vÏ) TÝnh diƯn tÝch phÇn xen gi÷a ba ®êng trßn ®ã ? H.DÉn: Sg¹ch xäc = S∆O1O2O3 - Squ¹t Tam gi¸c O1O2O3 ®Ịu, c¹nh b»ng nªn: S ∆O1O2O3 = 6.6 =9 2 O1 O2 O3 Squ¹t = π R a π 9.60 3π = = 360 360 9π 18 − 9π = ≈ 1, 451290327 2 Bµi 10: Cho h×nh vu«ng ABCD, c¹nh a = 5,35 Dùng c¸c ®êng trßn t©m A, B, C, D cã b¸n kÝnh R = a TÝnh diƯn tÝch xen gi÷a ®êng trßn ®ã H.DÉn: Sg¹ch = SABCD - 4Squ¹t ⇒ Sg¹ch xäc = S∆O1O2O3 - Squ¹t = − Squ¹t = 1 SH.trßn = πR2 4 1 πR2 = a2 - πa2 4 ⇒ Sg¹ch = a2 - = a2(1 - π) ≈ 6,142441068 D C A B Bµi 11: Cho ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R = 3,15 cm Tõ mét ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn vÏ hai tiÕp tun AB vµ AC (B, C lµ hai tiÕp ®iĨm thc (O) ) TÝnh diƯn tÝch phÇn giíi h¹n bëi hai tiÕp tun vµ cung trßn nhá BC BiÕt OA = a = 7,85 cm H.DÉn: - TÝnh α: cos α = OB R 3,15 = = OA a 7,85 −1 ⇒ α = cos B 3,15 7,85 α A SOBAC = 2SOBA = aRsinα Squ¹t = O C π R 2α π R α = 360 180 π R α ≈ 11,16 (cm2) 180 Bµi 12: TÝnh diƯn tÝch phÇn ®ỵc t« ®Ëm h×nh trßn ®¬n vÞ (R = 1) (Xem h×nh 1) §¸p sè: Bµi 13: TÝnh tû lƯ diƯn tÝch cđa phÇn ®ỵc t« ®Ëm vµ diƯn tÝch phÇn cßn l¹i h×nh trßn ®¬n vÞ (Xem h×nh 2) §¸p sè: Sg¹ch = SOBAC - Squ¹t = aRsinα - H×nh H×nh phÇn V §a gi¸c vµ h×nh trßn Bµi (Së GD & §T §ång Nai, 1998, vßng TØnh, cÊp PTTH & PTCS) Mét ng«i n¨m c¸nh cã kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®Ønh kh«ng liªn tiÕp lµ 9, 651 cm T×m b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp (qua ®Ønh) Gi¶i: Ta cã c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®Ønh kh«ng kỊ cđa ng«i n¨m c¸nh ®Ịu (h×nh vÏ): AC = d = R cos18o = R 10 + B C«ng thøc d = R cos18o lµ hiĨn nhiªn C«ng thøc cos18o = 10 + cã thĨ chøng minh nh sau: A C Ta cã: O D − sin 18o = cos 18o = E + cos 36o + sin 54o + 3sin18o − 4sin 18o = = 2 hay 4sin 18o − 2sin 18o − 3sin18o + = Suy sin18o lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: x3 − x − 3x + = ( x − 1)(4 x + x − 1) = VËy sin18o = −1 + Tõ ®©y ta cã: cos2 18o = − sin 18o = − ( − 1) = 10 + 16 hay cos18o = 10 + = 10 + 16 Suy d = R cos18o = R 10 + d 2d = vµ R = cos18o 10 + C¸ch gi¶i 1: 9.651 ÷ ÷ 18 o,,, cos = (5.073830963) )] C¸ch gi¶i 2: × 9.651 ÷ [( [( 10 + × = (5.073830963) Bµi (Së GD & §T TP Hå ChÝ Minh, 1996, vßng 1) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®Ønh kh«ng liªn tiÕp cđa mét ng«i c¸nh néi tiÕp ®êng trßn b¸n kÝnh R = 5, 712cm C¸ch gi¶i 1: Ta cã c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®Ønh kh«ng kỊ cđa ng«i n¨m c¸nh (xem h×nh vÏ vµ chøng minh bµi 1): d = R cos18o = R 10 + TÝnh: MODE × 5.712 × 18 o,,, cos = (10.86486964) C¸ch gi¶i 2: 10 + × §¸p sè: 10,86486964 = = × 5.712 = ÷ = (10,86486964) Bµi Cho ®êng trßn t©m O , b¸n kÝnh R = 11, 25 cm Trªn ®êng trßn ®· cho, ®Ỉt c¸c cung AB = 90o , BC = 120o cho A vµ C n»m cïng mét phÝa ®èi víi BO a) TÝnh c¸c c¹nh vµ ®êng cao AH cđa tam gi¸c ABC b) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC (chÝnh x¸c ®Õn 0,01) Gi¶i: a) Theo h×nh vÏ: » = s® BC » - s® AB » = 1200 - 900 = 300 s® AC C · · TÝnh c¸c gãc néi tiÕp ta ®ỵc: ABC = 150; ACB = 450 · · · Suy ra: BAC = 1200; CAH = 450; BAH = 750 Ta cã: AB = R ; BC = R V× ∆ AHC vu«ng c©n, nªn AH = HC (®Ỉt AH = x ) Theo ®Þnh lÝ Pitago ta cã: AH = AB − HB Do ®ã: ( x2 + R − x ) = ( R 2) A B H O hay x − R x + R = Suy ra: x1 = R − R ; x2 = R + R 2 V× AH < AC < R , nªn nghiƯm x2 = R + R bÞ lo¹i Suy ra: AC = AH = R( − 1) 2 Gäi diƯn tÝch ∆ABC lµ S , ta cã: S= 1 R 3−R R (3 − 3) AH ⋅ BC = ⋅ ⋅R = 2 = MODE (15.91) VËy AB ≈ 15,91 cm Ên phÝm: 11.25 Min × Ên tiÕp phÝm: MR × Ên phÝm: MR × [( = KÕt qu¶:19.49 = (5.82) VËy AC ≈ 5,82 cm − 1= ÷ Ên tiÕp phÝm: MR × [( VËy: BC ≈ 19, 49 cm − = ÷ = (4.12) Ên tiÕp phÝm: MR SHIFT x × [( − VËy: AH ≈ 4,12 cm = ÷ 4= KÕt qu¶: S ≈ 40,12 cm Bµi (Thi tr¾c nghiƯm häc sinh giái to¸n toµn níc Mü, 1972) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh b»ng 12 VÏ ®o¹n AE víi E lµ ®iĨm trªn c¹nh CD vµ DE = cm Trung trùc cđa AE c¾t AE , AD vµ BC t¹i M , P vµ Q Tû sè ®é dµi ®o¹n PM vµ MQ lµ: (A) 5:12; (B) 5:13; (C) 5:19; (D) 1:4; (E) 5:21 Gi¶i: VÏ RS qua M song song víi c¹nh AB,CD Ta cã: MP MR = MQ MS V× RM lµ ®êng trung b×nh cđa tam gi¸c ADE nªn VËy: E D Mµ: MS = RS − MR DE MP MR = = MQ MS RS − DE MR = RP ¸p dơng b»ng sè víi DE = cm, RS = 12 cm : 5 a b / c = Min ÷ [( 12 − MR = ( ) 19 M C S Q A B DE §¸p sè (C) lµ ®óng Chó ý: NÕu kh«ng sư dơng ph©n sè (5 a b / c 2) mµ dïng (5 ÷ 2) th× m¸y sÏ cho ®¸p sè díi d¹ng sè thËp ph©n H·y tÝnh: ÷ = Min ÷ [( 12 − MR (0.2631579) KÕt qu¶: 0.2631579 So s¸nh: a b / c 19 SHIFT a b / c a b / c Nh vËy, hai kÕt qu¶ nh nhau, nhng mét kÕt qu¶ ®ỵc thùc hiƯn díi d¹ng ph©n sè (khi khai b¸o a b / c 2), cßn mét kÕt qu¶ ®ỵc thùc hiƯn díi d¹ng sè thËp ph©n (khi khai b¸o ÷ 2) Bµi Trªn ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R = 15, 25 cm , ngêi ta ®Ỉt c¸c cung liªn tiÕp: » = 900, CD » = 1200 » = 600, BC AB a) Tø gi¸c ABCD lµ h×nh g×? b) Chøng minh AC ⊥ BD c) TÝnh c¸c c¹nh vµ ®êng chÐo cđa ABCD theo R chÝnh x¸c ®Õn 0,01 d) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABCD » +s® CD » ) » = 3600 - (s® AB » +s® BC Gi¶i: a) s® AD 0 0 = 360 - (60 + 90 + 120 ) = 90 60° A B » , ABD · » = BC · Suy ra: AD = BDC = 450 (v× cïng b»ng 90 ) Tõ ®ã ta cã: AB // CD VËy ABCD lµ h×nh thang MỈt kh¸c, · · = BCD ADB (cïng b»ng 600 +900 E ) VËy ABCD lµ h×nh thang c©n (®pcm) b) V× · · = BAC = ABD 45 (v× cïng b»ng 900 90° C' C D ) 120° · Suy AEB = 900, vËy AC ⊥ BD (®pcm) c) Theo c¸ch tÝnh c¹nh tam gi¸c ®Ịu, tø gi¸c ®Ịu, lơc gi¸c ®Ịu néi tiÕp ®êng trßn b¸n kÝnh R , ta cã: AB = R ; AD = BC = R ; DC = R C¸c tamgi¸c AEB, CED vu«ng c©n, suy AE = R VËy: AE = AB , CE = CD , CE = R Suy AC = AE + EC = R + R = R (1 + 3) 2 d) S ABCD = AC ⋅ DB = AC = ⋅ R (1 + 3) = R (1 + 3) = [ R(1 + 3) ]2 2 TÝnh: MR × [( + 2 2 = ÷ = SHIFT x MODE (433.97) VËy S ABCD ≈ 433,97 cm2 Ên tiÕp: 15.25 Min × = KÕt qu¶: 21.57 VËy AD = BC ≈ 21,57 cm Ên tiÕp phÝm: MR × = (26.41) VËy: CD ≈ 26, 41 cm Ên tiÕp phÝm: MR × [( + = ÷ = (29.46) VËy AC = BD ≈ 29, 46 cm B Bµi Cho ®êng trßn t©m O , b¸n kÝnh R = 3,15 cm Tõ mét ®iĨm A ë ngoµi ®êng trßn vÏ hai tiÕp tun AB vµ AC ( B , C lµ hai tiÕp ®iĨm thc ( O )) α TÝnh diƯn tÝch phÇn mỈt ph¼ng giíi h¹n bëi hai tiÕp tun vµ cung trßn nhá BC O A biÕt r»ng AO = a = 7,85 cm (chÝnh x¸c ®Õn 0,01 cm) C Gi¶i: Ta cã: cos α = OB R 3,15 = = OA a 7,85 S ABOC = 2S AOB = a.R.sin α S = qu¹t OBC S ; π R 2α π R 2α = 360 180 πR α g¹ch xäc= S ABOC - S qu¹t OBC = aR sin α − 180 suu TÝnh trªn m¸y: 3.15 ÷ 7.85 = SHIFT cos-1 SHIFT o,,, Min sin × 7.85 × 3.15 − SHIFT π × 3.15 SHIFT x × MR ÷ 180 = (11.16) §¸p sè: S g¹ch xäc = 11,16 cm2 Bµi TÝnh diƯn tÝch h×nh cã c¹nh cong(h×nh g¹ch säc) theo c¹nh h×nh vu«ng a = 5,35 chÝnh x¸c ®Õn 0,0001cm Gi¶i: DiƯn tÝch h×nh g¹ch xäc MNPQ (SMNPQ) b»ng diƯn tÝch h×nh vu«ng ABCD A N B M (SABCD) trõ ®i lÇn diƯn tÝch cđa h×nh trßn b¸n kÝnh R = a S MNPQ = a − π R = a − π a 4 2 = a (4 − π ) 5, 35 (4 − π ) = 4 P D C Q Ên phÝm: 5.35 SHIFT x × [( − π = ÷ = MODE (6.14) KÕt ln: S MNPQ ≈ 6,14 cm2 Bµi TÝnh diƯn tÝch phÇn h×nh ph¼ng (phÇn g¹ch xäc) giíi h¹n bëi c¸c cung trßn vµ c¸c c¹nh cđa tam gi¸c ®Ịu ABC (xem h×nh vÏ), A biÕt: AB = BC = CA = a = 5, 75 cm Gi¶i: R = OA = OI = IA = AH = ⋅ a 3 I Suy ra: R = a vµ ·AOI = 600 B C H DiƯn tÝch h×nh g¹ch xäc b»ng diƯn tÝch tam gi¸c ABC trõ diƯn tÝch h×nh hoa l¸ (gåm h×nh viªn ph©n cã b¸n kÝnh R vµ gãc ë t©m b»ng 600) S ∆ABC DiƯn tÝch mét viªn ph©n: a2 ; = S ∆O1 AI R2 a a2 = = ⋅ = 4 12 π R2 R R2 π R (2π − 3) − = − = 12 TÝnh theo a, diƯn tÝch mét viªn ph©n b»ng: a (2π − 3) ; 36 S = g¹ch xäc a2 a (2π − 3) a (9 − 4π ) − 6⋅ = 36 12 ; S = g¹ch xäc 5, 752 (9 − 4π ) 12 BÊm tiÕp: 5,75 SHIFT x × [( × − × SHIFT π )] ÷ 12 = KÕt qu¶: S g¹ch xäc ≈ 8,33 cm2 Bµi Viªn g¹ch c¹nh a = 30 cm cã hoa v¨n nh h×nh vÏ N A a) TÝnh diƯn tÝch phÇn g¹ch xäc cđa h×nh ®· cho, chÝnh x¸c ®Õn 0,01 cm b) TÝnh tØ sè phÇn tr¨m gi÷a diƯn tÝch phÇn g¹ch xäc vµ diƯn tÝch viªn g¹ch M Gi¶i: a) Gäi R lµ b¸n kÝnh h×nh trßn DiƯn tÝch S mét h×nh viªn ph©n b»ng: D Q B P C S= π R2 R2 R2 a2 − = ( π − 2) = ( π − 2) 4 16 VËy diƯn tÝch h×nh gåm viªn ph©n b»ng a ( π − ) DiƯn tÝch phÇn g¹ch xäc b»ng: a2 − a2 ( π − 2) = a2 ( − π ) TÝnh trªn m¸y: 30 SHIFT x Min × [( − SHIFT π )] ÷ = MODE (386.28) VËy S g¹ch xäc ≈ 386,28 cm Ên phÝm tiÕp: ÷ MR SHIFT % (42.92) TØ sè cđa diƯn tÝch phÇn g¹ch xäc vµ diƯn tÝch viªn g¹ch lµ 42,92% §¸p sè: 386,28 cm2; 42,92 % Bµi 10 Nh©n dÞp kû niƯm 990 n¨m Th¨ng Long, ngêi ta cho l¸t l¹i ®êng ven hå Hoµn KiÕm b»ng c¸c viªn g¹ch h×nh lơc gi¸c ®Ịu Díi ®©y lµ viªn g¹ch lơc gi¸c ®Ịu cã mÇu (c¸c h×nh trßn cïng mét mÇu, phÇn cßn l¹i lµ mÇu kh¸c) H·y tÝnh diƯn tÝch phÇn g¹ch cïng mÇu vµ tØ sè diƯn tÝch gi÷a hai phÇn ®ã, biÕt r»ng AB = a = 15 cm A B Gi¶i: B¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ®Ịu lµ: R = ⋅ a = a DiƯn tÝch mçi h×nh trßn lµ: π R = π a 12 O F DiƯn tÝch h×nh trßn lµ: π a 2 TÝnh trªn m¸y: 15 SHIFT x × π ÷ = Min (353.4291) 2 DiƯn tÝch toµn bé viªn g¹ch lµ: ⋅ a = 3a DiƯn tÝch phÇn g¹ch xäc lµ: 3a − π a 2 BÊm tiÕp phÝm: × 15 SHIFT x 2 × ÷ = − MR = (231.13797) Ên tiÕp phÝm: ÷ MR SHIFT % KÕt qu¶: 65.40 §¸p sè: 353,42 cm2 (6 h×nh trßn); 231,14 cm2 (phÇn g¹ch xäc); 65,40 % Bµi 11 Viªn g¹ch h×nh lơc gi¸c ®Ịu ABCDEF cã hoa v¨n h×nh nh h×nh vÏ, ®ã c¸c ®Ønh h×nh M , N , P, Q, R, S lµ trung ®iĨm c¸c c¹nh cđa lơc gi¸c Viªn g¹ch ®ỵc t« b»ng hai mÇu (mÇu cđa M B A h×nh vµ mÇu cđa phÇn cßn l¹i) S N BiÕt r»ng c¹nh cđa lơc gi¸c ®Ịu lµ a = 16,5 cm + TÝnh diƯn tÝch mçi phÇn (chÝnh x¸c ®Õn 0,01) C F O + TÝnh tØ sè phÇn tr¨m gi÷a hai diƯn tÝch ®ã 2 Gi¶i: DiƯn tÝch lơc gi¸c ABCDEF b»ng: S1=6 ⋅ a = 3a R P a Q lµ D Lơc gi¸c nhá cã c¹nh lµ b = a , c¸nh lµ c¸c tam gi¸c ®Ịu còng cã c¹nh b = Tõ ®ã suy ra: diƯn 2 2 3a 3b tÝch lơc gi¸c ®Ịu c¹nh b lµ S2 b»ng: S2 = = , diƯn tÝch tam gi¸c ®Ịu c¹nh b lµ S3: S3 = 3a 8 TÝnh trªn m¸y: × 16.5 SHIFT x × Ên tiÕp phÝm: × 16,5 SHIFT x × ÷ × = MODE (353.66) Min ÷ = − MR = (353.66) Ên tiÕp phÝm: ÷ MR SHIFT % KÕt qu¶: 100 VËy diƯn tÝch hai phÇn b»ng Lêi b×nh: Cã thĨ chøng minh mçi phÇn cã 12 tam gi¸c ®Ịu b»ng nhau, ®ã diƯn tÝch hai phÇn b»ng Tõ ®ã chØ cÇn tÝnh diƯn tÝch lơc gi¸c ®Ịu vµ chia ®«i Bµi 12 Cho lơc gi¸c ®Ịu cÊp ABCDEF cã c¹nh AB = a = 36 mm Tõ c¸c trung ®iĨm cđa mçi c¹nh dùng mét lơc gi¸c ®Ịu A ' B ' C ' D ' E ' F ' vµ h×nh c¸nh còng cã ®Ønh lµ c¸c trung ®iĨm A ', B ', C ', D ', E ', F ' (xem h×nh vÏ) PhÇn trung t©m cđa h×nh lµ lơc gi¸c ®Ịu cÊp MNPQRS Víi lơc gi¸c nµy ta l¹i lµm t¬ng tù A' A B nh ®èi víi lơc gi¸c ban ®Çu ABCDEF vµ ®ỵc h×nh míi vµ lơc gi¸c ®Ịu cÊp §èi víi M N B' F' lơc gi¸c cÊp 3, ta l¹i lµm t¬ng tù nh trªn vµ ®ỵc lơc gi¸c ®Ịu cÊp §Õn ®©y ta dõng l¹i F P c S C¸c c¸nh h×nh cïng ®ỵc t« b»ng mét mÇu (g¹ch xäc), cßn c¸c h×nh thoi h×nh chia thµnh C' R Q E' Riªng tam gi¸c vµ t« b»ng hai mÇu: mÇu g¹ch xäc vµ mÇu "tr¾ng" lơc gi¸c ®Ịu cÊp còng ®ỵc t« mÇu tr¾ng D E D' a) TÝnh diƯn tÝch phÇn ®ỵc t« b»ng mÇu "tr¾ng" theo a b) TÝnh tØ sè phÇn tr¨m gi÷a diƯn tÝch phÇn "tr¾ng" vµ diƯn tÝch h×nh lơc gi¸c ban ®Çu Gi¶i: a) Chia lơc gi¸c thµnh tam gi¸c ®Ịu cã c¹nh lµ a b»ng ®êng chÐo ®i qua ®Ønh ®èi xøng qua t©m, tõ ®ã ta cã 2 S = ⋅ a = 3a Chia lơc gi¸c ABCDEF thµnh 24 tam gi¸c ®Ịu cã c¹nh b»ng a Mçi tam gi¸c 2 ®Ịu c¹nh a cã diƯn tÝch b»ng diƯn tÝch tam gi¸c "tr¾ng" A ' NB ' (xem h×nh vÏ) Suy diƯn tÝch tam gi¸c tr¾ng vßng ngoµi b»ng = diƯn tÝch lơc gi¸c cÊp ABCDEF 24 VËy diƯn tÝch tam gi¸c tr¾ng vßng ngoµi lµ: ⋅ 3a (1) b) T¬ng tù víi c¸ch tÝnh trªn ta cã: MN = b = a ; c = b 2 DiƯn tÝch tam gi¸c tr¾ng cđa lơc gi¸c cÊp MNPQRS lµ: ⋅ 3b (2) 2 DiƯn tÝch tam gi¸c tr¾ng cđa lơc gi¸c cÊp lµ: ⋅ 3c 3d DiƯn tÝch lơc gi¸c tr¾ng cïng b»ng (víi d = c ): Tãm l¹i ta cã: 2 S1 = ⋅ 3a = 3a 3 ; 4 2 2⋅4 2⋅2 S3 = ⋅ 3c = ⋅ 3a 23 = 3a ; S4 = 3d 4 (4) 2 S2 = ⋅ 3b = ⋅ 3a 23 = 3a ; 2 (3) 2 2 = 3a = 3a ⋅ 82 27 2 2 Str¾ng =S1+S2+S3+S4 = 3a ( 13 + 15 + 27 )= 3a + 26 + 2 2 Ên phÝm: × 36 SHIFT x × ÷ = MODE (3367.11) Min VËy SABCDEF = 3367,11 mm2 Ên tiÕp phÝm: SHIFT x y + SHIFT x + = ÷ SHIFT xy × MR = (1157.44) Ên tiÕp phÝm: VËy Str¾ng ≈ 1157,44 mm2 ÷ MR SHIFT % (34.38) VËy §¸p sè: 1157,44 mm2 vµ 34,38% Strang SABCDEF ≈ 34,38% Bµi 13 Cho h×nh vu«ng cÊp mét ABCD víi ®é dµi c¹nh lµ AB = a = 40 cm LÊy A, B, C , D lµm t©m, thø tù vÏ c¸c cung trßn b¸n kÝnh b»ng a, cung trßn c¾t t¹i M , N , P, Q Tø gi¸c MNPQ còng lµ h×nh vu«ng, gäi lµ h×nh vu«ng cÊp T¬ng tù nh trªn, lÊy M , N , P, Q lµm t©m vÏ c¸c cung trßn b¸n kÝnh MN , ®ỵc giao ®iĨm E , F , G, H lµ h×nh vu«ng cÊp T¬ng tù lµm tiÕp ®ỵc h×nh vu«ng cÊp XYZT th× dõng l¹i (xem h×nh vÏ) a) TÝnh diƯn tÝch phÇn h×nh kh«ng bÞ t« mÇu (phÇn ®Ĩ tr¾ng theo a) b) T×m tØ sè phÇn tr¨m gi÷a hai diƯn tÝch t« mÇu vµ kh«ng t« mÇu Gi¶i: a) TÝnh diƯn tÝch c¸nh hoa tr¾ng cÊp (b»ng viªn ph©n trõ ®i lÇn diƯn tÝch h×nh vu«ng cÊp 2) S1 = ⋅ π a - a − 2b2 2 ( b lµ c¹nh h×nh vu«ng cÊp 2) T¬ng tù, tÝnh diƯn tÝch c¸nh hoa tr¾ng cÊp vµ cÊp 3: S = 4( π b2 b - ) − 2c ( c lµ c¹nh h×nh vu«ng cÊp 3) π c2 c2 - ) − 2d ( d lµ c¹nh h×nh vu«ng cÊp 4) Rót gän: S1 = a2( π - 2) - 2b2; S2 = b2( π - 2) - 2c2; S3 = c2( π - 2) - 2d2 ; Str¾ng=S1+S2+S3 = π (a2 + b2 + c2)-4(b2 + c2)-2 (a2 + d2) · b) Ta cã: MCQ = 300; b = QM = 2MK = 2a.sin150 = a(2sin150) S3 = ( T¬ng tù: c = 2b.sin150 = a(2sin150)2; d = 2c.sin150 = a(2sin150)3 Ký hiƯu x = 2sin150, ta cã: b = a.x; c = ax2; d = ax3 Thay vµo c«ng thøc tÝnh diƯn tÝch Str¾ng ta ®ỵc: Str¾ng = π (a2 + a2 x2 + a2 x4) - 4(a2 x2 + a2 x4) - 2(a2 + a2 x6) = π a (1 + x2 + x4) - 4a2(x2 + x4) - 2a2(1 + x6) Ên phÝm: 15 o,,, sin × = Min SHIFT x y + MR SHIFT x + = × SHIFT π × 40 SHIFT x − × 40 SHIFT x × [( MR SHIFT x + MR SHIFT x y )] − × 40 SHIFT x × + MR SHIFT x y = MODE (1298.36) Min VËy Str¾ng ≈ 1298,36 cm2 BÊm tiÕp phÝm: 40 SHIFT x − MR = (301.64) VËy Sg¹ch xäc ≈ 301,64 cm2 BÊm tiÕp phÝm: ÷ MR SHIFT % (23.23) [( VËy Sgach xoc Strang ≈ 23,23% §¸p sè: 1298,36 cm2; 23,23% Bµi 14 Cho tam gi¸c ®Ịu ABC cã c¹nh lµ a = 33,33 cm vµ t©m lµ O VÏ c¸c cung trßn qua hai ®Ønh vµ träng t©m O cđa tam gi¸c ®ỵc h×nh l¸ Gäi A ', B ', C ' lµ c¸c trung ®iĨm c¸c c¹nh BC, CA vµ AB Ta l¹i vÏ c¸c cung trßn qua hai trung ®iĨm vµ A ®iĨm O, ta còng ®ỵc h×nh l¸ nhá h¬n a) TÝnh diƯn tÝch phÇn c¾t bá (h×nh g¹ch xäc) cđa tam gi¸c ABC ®Ĩ ®ỵc h×nh l¸ cßn l¹i B' b) TÝnh tØ sè phÇn tr¨m gi÷a phÇn c¾t bá vµ diƯn tÝch cđa tam gi¸c ABC O Gi¶i: A ' B ' C' còng lµ tam gi¸c ®Ịu nhËn O lµm t©m (v× AA ', BB ', CC ' còng lµ c¸c ®êng cao, ®êng ' C' ) chiÕc l¸ chØ cã B trung tun cđa ∆ A ' B C A' ®iĨm chung nhÊt lµ O, nghÜa lµ kh«ng cã phÇn diƯn tÝch chung Mçi viªn ph©n cã gãc ë t©m b»ng 600, b¸n kÝnh b»ng ®êng cao tam gi¸c ®Ịu Gäi S1 lµ diƯn tÝch viªn 2 ph©n Khi Êy S1 = π OA - OA = OA (2 π -3 ) 12 Ta cã: OA = a = a 3 Gäi S lµ diƯn tÝch l¸ lín, S' lµ diƯn tÝch l¸ nhá Khi Êy: 2 S =6S1 = OA (2 π -3 )= a (2 π -3 ) Gäi c¹nh tam gi¸c ®Ịu A ' B ' C' lµ b, t¬ng tù ta còng cã: 2 24 S'= b (2 π -3 ) = a (2 π -3 ) 2 24 Tỉng diƯn tÝch l¸ lµ: S + S' = (2 π -3 )( a + a ) DiƯn tÝch phÇn g¹ch xäc (phÇn c¾t bá) lµ S '' 2 S''= S∆ABC -(S + S')= a - (2 π -3 )( a + a ) = ( − π )a TÝnh S∆ABC : 33.33 SHIFT x × TÝnh S'' : × 24 12 ÷ = (481.0290040) Min ÷ − ÷ 12 × π = × 33.33 SHIFT x = (229.4513446) VËy S'' ≈ 229,45 cm2 Ên tiÕp phÝm ®Ĩ tÝnh S'' SABC §¸p sè: S'' ≈ 229,45 cm2; : ÷ MR SHIFT % KÕt qu¶: 47.70 S'' ≈ 47,70 SABC % [...]... khi chia 22005 cho 5 Gi¶i: * ¸p dơng kÕt qu¶ trªn: ta cã 2005 ≡ 1 (mod 4) ⇒ sè d khi chia 22005 cho 5 lµ 2 Bµi 11: T×m ch÷ sè ci cïng cđa sè: 234 Gi¶i: - XÐt c¸c l thõa cđa 2 khi chia cho 10 (sư dơng MTBT ®Ĩ tÝnh c¸c l thõa cđa 2, ta thùc hiƯn theo quy tr×nh sau: 1 SHIFT STO A 2 ∧ ANPHA : ANPHA ANPHA A ANPHA A = ANPHA A + 1 = = ) ta ®ỵc kÕt qu¶ sau: 21 (2 22 4 23 8 24 6) 25 (2 26 4 27 8 28 6) 29 (2... 81 ≡ 1 (mod 4) ⇒ sè d khi chia 23 cho 10 lµ 2 4 VËy ch÷ sè ci cïng cđa sè 234 lµ 2 Bµi 12: T×m hai ch÷ sè ci cïng cđa sè: A = 21999 + 22000 + 22001 Gi¶i: XÐt c¸c l thõa cđa 2 khi chia cho 100 (sư dơng MTBT ®Ĩ tÝnh c¸c l thõa cđa 2, thùc hiƯn theo quy tr×nh nh bµi 11), ta ®ỵc kÕt qu¶ sau: 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 2 (4 8 16 32 64 28 56 12 24 48 96 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222... p2e2 pkek , víi k, ei lµ sè tù nhiªn vµ pi lµ c¸c sè nguyªn tè tho¶ m·n: 1 < p1 < p2 < < pk Khi ®ã sè íc sè cđa n ®ỵc tÝnh theo c«ng thøc: τ (n) = (e1 + 1) (e2 + 1) (ek + 1) Bµi 17: (Thi gi¶i To¸n trªn MTBT líp 10 + 11 tØnh Th¸i Nguyªn - N¨m häc 2003-2004) H·y t×m sè c¸c íc d¬ng cđa sè A = 6227020800 Gi¶i: - Ph©n tÝch A ra thõa sè nguyªn tè, ta ®ỵc: A = 210.35.52.7.11.13 ¸p dơng ®Þnh lÝ trªn ta cã sè... l¹i cã: 512 < n < 768 Sau mét sè bíc chia ®«i nh thÕ ®i ®Õn: 650 < n < 652 Ci cïng ta cã: 1,01651 = 650,45 < 651 1,01652 = 656,95 > 652 ⇒ n = 652 Ta hoµn toµn gi¶i bµi to¸n trªn b»ng mét quy tr×nh trªn MTBT: (Tht to¸n: XÐt hiƯu 1,01A - A , g¸n cho A c¸c gi¸ trÞ tù nhiªn: 0, 1, 2, dõng l¹i khi hiƯu trªn chun tõ (-) sang (+)) - G¸n cho « nhí A gi¸ trÞ tù nhiªn ®Çu tiªn: 0 SHIFT STO A - LËp c«ng thøc tÝnh ... 22005 cho lµ Bµi 11: T×m ch÷ sè ci cïng cđa sè: 234 Gi¶i: - XÐt c¸c l thõa cđa chia cho 10 (sư dơng MTBT ®Ĩ tÝnh c¸c l thõa cđa 2, ta thùc hiƯn theo quy tr×nh sau: SHIFT STO A ∧ ANPHA : ANPHA ANPHA... ch÷ sè ci cïng cđa sè: A = 21999 + 22000 + 22001 Gi¶i: XÐt c¸c l thõa cđa chia cho 100 (sư dơng MTBT ®Ĩ tÝnh c¸c l thõa cđa 2, thùc hiƯn theo quy tr×nh nh bµi 11), ta ®ỵc kÕt qu¶ sau: 21 22 23... cđa n ®ỵc tÝnh theo c«ng thøc: τ (n) = (e1 + 1) (e2 + 1) (ek + 1) Bµi 17: (Thi gi¶i To¸n trªn MTBT líp 10 + 11 tØnh Th¸i Nguyªn - N¨m häc 2003-2004) H·y t×m sè c¸c íc d¬ng cđa sè A = 6227020800