4 ĐỀ TUYỂN SINH 10 CHUYEN TOÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ……………… KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Khóa ngày 21 tháng năm 2008 ……………………… MÔN THI:TOÁN (hệ số 1) Thời gian: 150 phút( không tính thời gian giao đề) ĐÊ CHÍNH THỨC 3− x + Bài 1.(2 điểm).Cho biểu thức P= , với x ≥ x ≠ x −1 x −1 a) Rút gọn P b) Tìm x để P = Bài 1.(2 điểm) a) Giải phương trình x4 – 4x2 – 21 = 2 x + y = b) Giải hệ phương trình   x − y = Bài 3.(2 điểm) Có mảnh vườn hình chữ nhật Biết rằng, tăng chiều rộng vườn thêm 2m giảm chiều dài 2m diện tích vườn không thay đổi Người ta nhận thấy, tăng cạnh mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu thêm 2m diện tích vườn tăng gấp đôi Hãy xác định kích thước ban đầu mảnh vườn hình chữ nhật Bài 4.(3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD Trên tia đối Ct tia CB lấy điểm M Gọi N giao điểm AM CD Tia BN cắt tia AD P a) Chứng minh hai tam giác CNM DNA đồng dạng b) Chứng minh đẳng thức CM.DP = AB2 c) Gọi I giao điểm CP DM.Tìm tập hợp điểm I M di động tia Ct Bài 5.(0,5 điểm) Cho x, y z ba số thực thuộc đoạn [1;2] có tổng không vượt Chứng minh x2 + y2 + z2 ≤ ……HẾT… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ……………… KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Khóa ngày 21 tháng năm 2008 ……………………… HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN (hệ số 1) Bản hướng dẫn có 02 trang I.Hướng dẫn chung Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn qui định Điểm toàn tông số điểm toán không làm tròn số BÀI Bài (2,00 điểm) II.Đáp án thang điểm ĐÁP ÁN a) (1,00 điểm)  x −1  P= = x +1 ( x − 1)( x + 1) = ĐIỂM 0,50 0,50 x +1 x −1 0,50 3− x x +1 + = x −1 x −1 x −1 b) (1,00 điểm)  P = 4⇔ Bài (2,00 điểm) 0,50 = x −1  x -1 =  Kết luận a) (1,00 điểm)  Đặt t = x2 ≥ 0, ta có phương trình t2 – 4t – 21 =  t1 = -3( loại) ; t2= 7(nhận)  Kết luận b) (1,00 điểm) 0,25 0,25 2 x + y = ⇔   x − y = 0,25 0,25 0,50 0,25  y + y = (1)   x − y = (2) Khi y ≥ (1) ⇒ y = Khi y < (1) ⇒ y = ( loại) y = 1, (2) ⇒ x = Bài (2,00 điểm)     Thử lại kết luận  Gọi x y chiều rộng chiều dài (tính theo mét) mảnh vườn Điều kiện x > 0, y >  xy = (x + 2)(y + 2) ⇔ … ⇔ y = x +  2xy = (x + 2)(y + 2) ⇔ xy – 2x – 2y – = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25     x 2– 2x – = x = –2 ( loại) ; x = y=6 Kết luận 0,50 0,25 0,25 Bài (3,50 điểm) 0,25 a) (1,00 điểm)  ∆ CNM ∆ DNA có NCM = NDA = 900và MNC = AND(đđ)  Kết luận b) (1,00 điểm)    0,50 0,50 0,25 CM CN = DA DN CN CB = Tương tự ∆ CNB ∆ DNP đồng dạng ⇒ DN DP CM CB = (*) ⇒ CM.DP = DA.CB DA DP ∆ CNM ∆ DNA đồng dạng ⇒ 0,25 0,25  Kết luận b) (1,25 điểm)  Vẽ hình bình hành DMCK ta có: DK = CM CD2 = AB2 = CM.DP = DK.DP  ⇒ ∆ CKP vuông C ⇒ CP ⊥ DM  I chạy đường tròn đường kính AB Giới hạn:  Khi M chạy tia Ct điểm I nằm hình vuông ABCD ⇒ M chạy nửa đường tròn (C) với đường kính CD nằm hình vuông ABCD 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Đảo: Lấy I’ tùy ý nửa đường tròn (C) Tia DI’ cắt tia Ct M’, AM’ cắt CD N’, tia BN’ cắt tia AD P’ Lấy điểm K’ tia DA cho DM’CK’là hình bình hành  Tương tự chứng minh ta có CD2 = DK’.DP’  ⇒ CP’ ⊥ CK’ ⇒ CP’ ⊥ DM’ ⇒ C, I’, P’ thẳng hàng Bài (0,50 điểm) 0,25  Kết luận  ≤ x ≤ ⇒ x − ≥ x − ≤ ⇒ ( x − 1)( x − 2) ≤ 0,25 ⇒ x ≤ 3x −  Tương tự y ≤ 3y − z ≤ 3z − ⇒ x2 + y2 + z2 ≤ 3( x + y +z) – ≤ – = 0,25 0,25 SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2009 - 2010 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi thức Bài 1: (3.5 điểm) a) Giải phương trình x+2 + 7− x =3 b) Giải hệ phương trình  2 + 3x = y    x3 − =  y Bài 2: (1.0 điểm) Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên x − ax + a + = Bài 3: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có đường phân giác BE (E thuộc AC) Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC M, N (khác B) Đường thẳng AM cắt BC K Chứng minh: AE.AN = AM.AK Bài 4: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài độ dài cạnh BC Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB, AC thứ tự M, N (M khác B, N khác C) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO I K Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp đường tròn tứ giác BICK hình bình hành Bài 5: (2.0 điểm) a) Bên đường tròn tâm O bán kính cho tam giác ABC có diện tích lớn Chứng minh điểm O nằm nằm cạnh tam giác ABC b) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ab + bc + ca P = a + b2 + c2 + a b + b 2c + c a Hết -Họ tên thí sinh ………………………………… ……… SBD…………… * Thí sinh không sử dụng tài liệu * Giám thị không giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2009 - 2010 Hướng dẫn chấm thi Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang Nội dung đáp án Điểm 3,5 đ 2,0đ Bài a x+2 + 7−x =3 ⇔ x + + − x + 3 x + − x ( ) x + + − x = 27 0.50đ ⇒ + (x + 2)(7 − x) = 27 0.25đ ⇔ (x + 2)(7 − x) = ∈ ⇔ (x + 2)(7 − x) = 0.25đ 0.25đ 0.25đ ⇔ x − 5x − =  x = −1 ⇔ ( thỏa mãn ) x = 0.50đ b 1,50đ Đặt =z y 0.25đ 2 + 3x = z Hệ cho trở thành  2 + 3z = x ⇒ 3( x − z ) = z3 − x ( 0.25đ 0,25đ ) ⇔ ( x − z ) x + xz + z + = 0,25đ ⇔x=z 0,25đ 2 (vì x + xz + z + > 0, ∀x,z )  x = −1 x = Từ ta có phương trình: x − 3x − = ⇔  Vậy hệ cho có nghiệm: (x, y) = ( −1; −2), ( 2,1) Bài 2: Điều kiện để phương trình có nghiệm: ∆ ≥ ⇔ a − 4a − ≥ (*) Gọi x1, x2 nghiệm nguyên phương trình cho ( giả sử x1 ≥ x2)  x1 + x = a ⇒ x1.x − x1 − x = Theo định lý Viet:   x1.x = a + 2 0,25đ 1,0 đ 0,25đ 0,25đ ⇒ (x1 − 1)(x − 1) =  x − = −1 x − = ⇒  (do x1 - ≥ x2 -1) x − =  x − = −3 0,25đ x =  x1 = ⇒   x = −2 x = Suy a = a = -2 (thỏa mãn (*) ) Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu toán Bài 3: · · · ¼ = MN ¼ Vì BE phân giác ABC nên ABM = MBC ⇒ AM · · (1) ⇒ MAE = MAN Vì M, N thuộc đường tròn đường · · kính AB nên AMB = ANB = 900 · · ⇒ ANK = AME = 900 , kết hợp với (1) ta có tam giác AME đồng dạng với tam giác ANK AN AK ⇒ = AM AE ⇒ AN.AE = AM.AK (đpcm) Bài 4: · · Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên ANM = AIM · · Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên ANM = ABC · · Suy tứ giác BOIM nội tiếp ⇒ AIM = ABC K Từ chứng minh suy tam giác AMI đồng dạng với tam giác AOB AM AI ⇒ = ⇒ AI.AO = AM.AB (1) AO AB Gọi E, F giao điểm đường thẳng AO với (O) (E nằm A, O) Chứng minh tương tự (1) ta được: AM.AB = AE.AF = (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R) = AO2 - R2 = 3R2 3R 3R 3R R = = ⇒ OI = ⇒ AI.AO = 3R ⇒ AI = (2) AO 2R 2 Tam giác AOB tam giác COK đồng dạng nên: OA.OK = OB.OC = R2 R2 R2 R ⇒ OK = = = (3) OA 2R Từ (2), (3) suy OI = OK Suy O trung điểm IK, mà O trung điểm BC Vì BICK hình bình hành 0,25đ 2,0 đ 0,25đ 0,50đ 0,25đ 0,50đ 0,25đ 0,25đ 1,5 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài 5: 2,0 đ 1,0 đ Giả sử O nằm miền tam giác ABC Không tính tổng quát, giả sử A O nằm phía đường thẳng BC Suy đoạn AO cắt đường thẳng BC K Kẻ AH vuông góc với BC H Suy AH ≤ AK < AO ab + bc + ca a + b2 + c2 − (a + b + c ) 2 ⇒P≥a +b +c + 2(a + b + c2 ) 0,25đ 0,25đ 2 Suy P=a + b + c + 0,25đ Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh t ≥ Suy P ≥ t + 9−t t t = + + − ≥3+ − = ⇒ P ≥ 2t 2t 2 2 0,25đ Dấu xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Nếu thí sinh giải cách khác câu cho tối đa điểm câu SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM Đề thức NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI : TOÁN (ĐỀ CHUNG) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài (2 điểm) Cho biểu thức P = x ( ) +( x +1 1− x a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn P c) Tìm x để P > Bài (1,5 điểm) ( ( ) x −2 +3 x −x 1− x ) )  1+ x + y =  Giải hệ phương trình:   + x − y =1  Bài (2 điểm) 1) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng y = x + parabol y = x2 2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + cắt trục Ox, trục Oy điểm A , B ∆ AOB cân ( đơn vị hai trục Ox Oy nhau) Bài (3,5 điểm) Cho ∆ ABC vuông đỉnh A, đường cao AH, I trung điểm Ah, K trung điểm HC Đường tròn đường kính AH ký hiệu (AH) cắt cạnh AB, AC diểm M N a) Chứng minh ∆ ACB ∆ AMN đồng dạng b) Chứng minh KN tiếp tuyến với đường tròn (AH) c) Tìm trực tâm ∆ ABK Bài (1 điểm) Cho x, y, z số thực thoả mãn: x + y + x = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + 16x 4y z -Hết - Họ tên thí sinh:……………………………………… Số báo danh:……………… Chữ ký giám thị số 1: ……………………………………Chữ ký giám thị số 2:……… SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI : TOÁN (ĐỀ CHUNG) HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN Bài (2 điểm) a) (0,5 điểm) Điều kiện xác định P x ≥ x ≠ x b) (1 điểm) ( ( )= x +1 1− x ) 0.5 x 0,25 1− x x −2 +3 x −x 1− x = x −4 x +4+3 x −x 1− x 0,25 4− x 1− x Vậy P = 1− x = c) (0,5 điểm) 0,25 0,25 P>0 ⇔ − x > Bài (1,5 điểm) ⇔ x 0) x 1 1 ⇒ 21 = (x + )(x2 + ) = (x3 + ) + (x + ) ⇒ A = x3 + =18 x x x x x 1 1 ⇒ 7.18 = (x2 + )(x3 + ) = (x5 + ) + (x + ) x x x x ⇒ B = x5+ = 7.18 - = 123 x 1 1 + 2− = + 2− Từ hệ suy (2) y x x y Từ giả thiết suy ra: (x + )2 = ⇒ x + Nếu 1 > x y 2− 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 1 > − nên (2) xảy x=y y x 0.5 vào hệ ta giải x=1, y=1 Theo Viét, ta có: x1 + x = − 0.25 c b , x1.x = a a b b − +  ÷ 2 2a − 3ab + b a  a  ( Vì a ≠ 0) Khi Q = = b c 2a − ab + ac 2− + a a + 3(x1 + x ) + (x1 + x ) = + (x1 + x ) + x1x 2 Vì ≤ x1 ≤ x ≤ nên x1 ≤ x1x x ≤ 0.25 0.25 0.25 ⇒ x12 + x 2 ≤ x1x + ⇒ ( x1 + x ) ≤ 3x1x + + 3(x1 + x ) + 3x1x + =3 Do Q ≤ + (x1 + x ) + x1x 0.25 Đẳng thức xảy x1 = x2 = x1 = 0, x = 0.25 0.25  b  − a =   c =  c = −b = 4a   a  ⇔  b = −2a Vậy maxQ=3 Tức    − b =  c =    a  c  =   a 0.25 ĐK: x ≥ A 2, y ≥I - 2009, zB≥ 2010 0.25 Phương trình O với: K B cho tương đương x − +2 My + 2009 x+y+z=2 E D ⇔( x x −x 0.25 +2 z − 2010 - 1)2 + (M y + 2009 - 1)2 + ( z − 2010 - 1)2 = A  x −D −1 =  y EC C x =  N 0.25 15 0.25 16 [...]... + ÷+  + ÷+ ÷+  16x 4y z  16x 4y z   16x 4y   16x z   4y z  16 y x 1 + ≥ dấu bằng xảy ra khi y = 2x Theo Côsi với các số dương: 16x 4y 4 z x 1 + ≥ dấu bằng xảy ra khi z = 4x 16x z 2 z y + ≥ 1 dấu bằng xảy ra khi z = 2y 4y z 0,5 P= 0,25 11 Vậy P ≥ 49 16 49 1 2 3 với x = ; y = ; z = 16 7 7 7 49 Vậy giá trị bé nhất của P là 16 P= 0,25 12 SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM... ≤ 4 0.25 0.25 0.25 ⇒ x12 + x 2 2 ≤ x1x 2 + 4 ⇒ ( x1 + x 2 ) ≤ 3x1x 2 + 4 2 + 3(x1 + x 2 ) + 3x1x 2 + 4 =3 Do đó Q ≤ 2 + (x1 + x 2 ) + x1x 2 0.25 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = 2 hoặc x1 = 0, x 2 = 2 0.25 2 0.25  b  − a = 4   c = 4  c = −b = 4a   a  ⇔  b = −2a Vậy maxQ=3 Tức là    − b = 2  c = 0    a  c  = 0   a 0.25 3 1 ĐK: x ≥ A 2, y ≥I - 2009, zB≥ 2 010. .. xOy có số đo bằng 45 0 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E Chứng minh rằng: 2 2 − 2 ≤ DE < 1 Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ac + bd ,trong đó ad − bc = 1 Chứng minh rằng: P ≥ 3 Hết 13 SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2 010 Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi:... ; z = 16 7 7 7 49 Vậy giá trị bé nhất của P là 16 P= 0,25 12 SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2 010 Đề chính thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm) 1 =7 x2 1 1 Tính giá trị các biểu thức: A = x3 + 3 và B = x5 + 5 x x  1 1 + 2− = 2  y... ≤ x1 ≤ x 2 ≤ 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q= 2a 2 − 3ab + b 2 2a 2 − ab + ac Câu 3: (2,0 điểm) 1 (x + y + z) 2 2 Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 +1 và 6p2 +1 cũng là số nguyên tố 1 Giải phương trình: x−2 + y + 2009 + z − 2 010 = Câu 4: (3,0 điểm)) 1 Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E Một đường thẳng quaA, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N Gọi K là giao điểm... Hết 13 SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2 010 Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 (Đáp án này gồm 04 trang) 14 Câu 1 ý 1 2 Nội dung Điểm 1 x 1 = 3 (do x > 0) x 1 1 1 1 1 ⇒ 21 = (x + )(x2 + 2 ) = (x3 + 3 ) + (x + ) ⇒ A = x3 + 3 =18 x x x x x 1 1 1 1 ⇒ 7.18 = (x2 + 2 )(x3 + 3 ) = (x5 + 5 ) + (x + ) x x x x... = 0    a  c  = 0   a 0.25 3 1 ĐK: x ≥ A 2, y ≥I - 2009, zB≥ 2 010 0.25 Phương trình đã O với: K B cho tương đương x − 2 +2 My + 2009 x+y+z=2 E D ⇔( x x −x 2 0.25 +2 z − 2 010 - 1)2 + (M y + 2009 - 1)2 + ( z − 2 010 - 1)2 = 0 A  x −D 2 −1 = 0  y EC C x = 3  N 0.25 15 0.25 16 ...Bài 4( 3,5 điểm) a) (1,5 điểm) A N 0,25 I E M C B H K ∆ AMN và ∆ ACB vuông đỉnh A · · Có AMN (cùng chắn cung AN) = AHN · · · (cùng phụ với HAN ) (AH là đường kính) AHN = ACH 0,25 0,75 · · ⇒ AMN = ACH ⇒ ∆AMN ... trị nhỏ P Nếu thí sinh giải cách khác câu cho tối đa điểm câu SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM Đề thức NĂM HỌC 2009 - 2 010 MÔN THI : TOÁN (ĐỀ CHUNG) Thời gian... 16x 4y z  16x 4y z   16x 4y   16x z   4y z  16 y x + ≥ dấu xảy y = 2x Theo Côsi với số dương: 16x 4y z x + ≥ dấu xảy z = 4x 16x z z y + ≥ dấu xảy z = 2y 4y z 0,5 P= 0,25 11 Vậy P ≥ 49 ... ≥ 49 16 49 với x = ; y = ; z = 16 7 49 Vậy giá trị bé P 16 P= 0,25 12 SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2 010 Đề thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi