SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI DIỄN TẬP TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỒ THƠNG NĂM 2011 Mơn thi: TỐN − Giáo dục trung học phổ thơng Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề ĐỀ THI CHÍNH THỨC I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (3,0 điểm) Cho hàm số y = − 11 x + x + có đồ thị (C) 4 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2011 Câu (3,0 điểm) ( ) 1) Giải bất phương trình log x − 3x + ≥ log 2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = 0, y = − x ( 1+ x ) , x = 0, x = π 5π ; 6 3) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos x + 2sin x + 2m − = có nghiệm x ∈ − Câu (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh 2a, hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC, khoảng cách AA’ BC a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn: Câu 4a (2,0 điểm) Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: (S): x + y + z − 2x − 2y − 2z − 22 = , (P): 3x − 2y + 6z − 28 = 1) Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I mặt cầu (S) vng góc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm I mặt phẳng (P) 2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi 8π Câu 5a (1,0 điểm) Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình ( z − 2) − 2( z + 2) + 13 = 2 Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 Theo chương trình Nâng cao: Câu 4b (2,0 điểm) Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đường thẳng d có phương trình: (S): x + y + z + 2x − 4y − 6z − = , d: x − y −1 z = = 1) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua tâm I mặt cầu (S) vng góc với đường thẳng d Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm I đường thẳng d 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi 8π Câu 5b (1,0 điểm) Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z − ( + i ) z + + 2i = 2 Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI DIỄN TẬP TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2011 ĐỒNG THÁP Mơn thi: TỐN - Giáo dục trung học phổ thơng ĐỀ THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản hướng dẫn gồm 05 trang I Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm khơng làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống tồn Hội đồng chấm thi 3) Sau cộng điểm tồn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5, lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm) II Đáp án thang điểm CÂU Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM I PHẦN CHUNG 7.0 Câu 1 2.0 11 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C): y = − x + x + Tập xác định: D = ¡ Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: • 0.25 y ' = − x + x = x ( − x + 1) 0.25 y ' = ⇔ x ( − x + 1) = ⇔ x = x = ±1 x < −1 −1 < x < y'> ⇔ y'< ⇔ 0 < x < x >1 Ta có: • Do đó: + Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( 0;1) + Hàm số nghịch biến khoảng ( −1;0 ) ( 1; +∞ ) b) Cực trị: + Hàm số đạt cực đại x = ±1 yCĐ = y ( ±1) = + Hàm số đạt cực tiểu x = yCT = y ( ) = y = −∞ lim y = −∞ c) Giới hạn: xlim →−∞ x →+∞ 0.25 11 0.25 0.25 d) Bảng biến thiên: x y' y −∞ + −∞ −1 0 − 11 + − +∞ 0.25 −∞ Đồ thị: y 10 11/4 M(x0;y0) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 x -2 -1 10 0.5 -2 -4 y=6x+51/4 (C):y=-1/4x4+1/2x2+11/4 -6 -8 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2011 • Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) , tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2011 nên: • Khi đó: ( 1) ⇔ − x + x0 = ⇔ x − x0 + = ⇔ x0 = −2 y ' ( x0 ) = • • Câu (1) 3 Với x0 = −2 y0 = Suy ra: M −2; ÷ 4 51 Phương trình tiếp tuyến với (C) M là: y − = ( x + ) ⇔ y = x + 4 ( ) Giải bất phương trình log x − 3x + ≥ log • x ⇔ x > • Khi đó: ( • 0.25 0.25 0.25 0.25 ) (1) ⇔ log x − 3x + ≥ −1 0.25 • Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm bất phương trình (1) là: S = [ 0;1) U ( 2;3] 2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = 0, y = − 0.25 1.0 (1) ⇔ x − 3x + ≤ ⇔ x − 3x ≤ ⇔0≤x≤3 1.0 x ( 1+ x ) Do y = − 0.25 0.25 1.0 , x = 0, x = x ( 1+ x ) liên tục khơng dương đoạn [ 0;1] nên diện tích hình phẳng cần tìm tính cơng thức: S = −∫ • −x (1+ x ) dx = ∫ Đặt t = + x ⇒ dt = xdx x (1+ x ) dx 0.25 Đổi cận: • x =1 t=2 ⇒ x=0 t =1 0.25 Suy ra: S=∫ x ( 1+ x ) dx = 1 dt ∫1 t 0.25 1 1 1 (đvdt) = − = − + ÷ = 2t 1 16 Chú ý: Học sinh lập cơng thức tính S dạng S = ∫ −x (1+ x ) dx = ∫ 0.25 −x ( 1+ x ) dx (0.25) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos x + 2sin x + 2m − = (1) có nghiệm π 5π x ∈ − ; 6 • Ta có: cos x + 2sin x + 2m − = ⇔ −2sin x + 2sin x = − m π 5π ⇔ t ∈ − ;1 Đặt t = sin x , ta có x ∈ − ; 6 Phương trình (1) trở thành: f ( t ) = −2t + 2t = − 2m • • 0.25 (2) π 5π ; ⇔ Pt (2) có nghiệm t ∈ − ;1 6 ⇔ f (t ) ≤ − 2m ≤ max f (t ) − ;1 Xét hàm số f (t ) = −2t + 2t − ;1 ta có f '(t ) = −4t + = ⇔ t = ∈ − ;1 1 2 1 2 Do f − ÷ = − ; f ÷ = • 1.0 Pt (1) có nghiệm x ∈ − − ;1 Câu 3 1 f (t ) = − ; max f (t ) = , f ( 1) = nên min − ;1 2 − ;1 π 5π ; ⇔ − ≤ − 2m ≤ ⇔ ≤ m ≤ 2 4 6 Vậy phương trình (1) có nghiệm x ∈ − Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh 2a, hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC, khoảng cách AA’ BC a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a 0.25 0.25 0.25 1.0 • • Gọi I trung điểm BC J hình chiếu vng góc I lên AA’ ( J ∈ AA ', IJ ⊥ AA ') , từ giả thiết ta suy được: BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ ( A ' AI ) ⇒ BC ⊥ IJ BC ⊥ A ' O a Do IJ đoạn vng góc chung AA’ BC Suy ra: IJ = 0.25 Do ABC tam giác cạnh 2a nên: 3 2a 3 = a 3; AO = 2a = , S ∆ABC = ( 2a ) = a2 3 3a 9a 3a Xét tam giác vng AIJ ta có: AJ = AI − IJ = 3a − = ⇒ AJ = 4 AI = 2a • 0.25 Từ hai tam giác đồng dạng OAA’ JAI ta được: • A ' O AO AO 2a a a = ⇒ A 'O = IJ = = IJ AJ AJ 3a Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: V = S∆ABC A ' O = a Câu 4a 0.25 2a 2a 3 = 3 0.25 II PHẦN RIÊNG Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: 3.0 1.0 (S): x + y + z − 2x − 2y − 2z − 22 = , (P): 3x − 2y + 6z − 28 = 1) Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I mặt cầu (S) vng góc với (P) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc I (P) r • Mặt cầu (S) có tâm I ( 1;1;1) bán kính R = mặt phẳng (P) có VTPT n = ( 3; −2;6 ) • Gọi d đường thẳng qua I vng góc (P), phương trình d là: x = + 3t y = − 2t z = + 6t • ( t ∈¡ ) 0.25 Gọi H hình chiếu I lên (P), xét phương trình: ( + 3t ) − ( − 2t ) + ( + 6t ) − 28 = ⇔ + 9t − + 4t + + 36t − 28 = ⇔ t = • 0.25 16 25 ; ; ÷ 7 7 Suy : H 0.25 0.25 2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P): 3x − 2y + 6z − 28 = cắt mặt cầu (S): 1.0 x + y + z − 2y − 2y − 2z − 22 = theo đường tròn có chu vi 8π • Do mặt phẳng (Q) song song với (P) nên phương trình (Q) có dạng: • 3x − 2y + 6z + D = Đường tròn giao tuyến có chu vi 8π nên có bán kính r = Suy ra: d ( I , (Q)) = • • Câu 5a ( D ≠ −28 ) R − r = 25 − 16 = = 3− 2+ 6+ D D = 14 = ⇔ + D = 21 ⇔ Ta có: d ( I ;(Q)) = ⇔ + + 36 D = −28 (loai) Vậy phương trình (Q) : 3x − 2y + 6z + 14 = Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình ( z − 2) − 2( z + 2) + 13 = 0.25 0.25 0.25 0.25 1.0 2 Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 2 Ta có: ( z − 2) − 2( z + 2) + 13 = ⇔ z − z + 13 = • Phương trình (1) có: ∆ ' = − 13 = −4 = ( 2i ) 0.25 • Do phương trình (1) có hai nghiệm phức là: z1 = − 2i z = + 2i 0.25 2 Vậy P = z1 + z2 = ( − 2i ) + ( + 2i ) = − 12i − + + 12i − = 10 0.25 • Câu 4b 0.25 • (1) 2 Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đường thẳng d có phương trình: (S): x + y + z + 2x − 4y − 6z − = , d: 1.0 x − y −1 z = = 1) Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua tâm I mặt cầu (S) vng góc với d Tìm tọa độ hình chiếu vng góc I d • Mặt cầu (S) có tâm I ( −1; 2;3) bán kính R = r Đường thẳng d có VTCP a = ( 1; 2;1) qua điểm M ( 2;1;0 ) • Gọi ( α ) mặt phẳng qua I vng góc d , phương trình ( α ) là: 1( x + 1) + ( y − ) + 1( z − ) = ⇔ x + y + z − = Gọi H hình chiếu I lên ( α ), tọa độ H nghiệm hệ: x = x − y − z 2x − y − = 7 1 = = ⇔ y − 2z − = ⇔ y = Suy H ; ; ÷ 3 3 x + 2y + z − = x + 2y + z − = z = 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi 8π • Do đường tròn giao tuyến có chu vi 8π nên bán kính r = Do đó: 0.25 0.25 0.5 1.0 0.25 d ( I , ( P)) = R − r = 16 − 16 = Suy mặt phẳng (P) cần tìm mặt phẳng chứa d qua I • • • Câu 5b r r uuur Mặt phẳng (P) có VTPT n = a; IM 0.25 r a = ( 1; 2; 1) r r uuur 1 1 ⇒ n = a; IM = ; ; r Do uuu ÷ = ( −5;6; −7 ) −1 −3 −3 3 −1 IM = ( 3; −1; −3) Phương trình (P) : −5 ( x + 1) + ( y − ) − ( z − 3) = ⇔ x − y + z − = Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z − ( + i ) z + + 2i = (1) 0.25 0.25 1.0 Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 • Ta có: ∆ ' = ( + i ) − ( + 2i ) = + 2i − − − 2i = −4 = ( 2i ) • Do phương trình (1) có hai nghiệm phức là: z1 = + i − 2i = − i z = + i + 2i = + 3i 0.25 • Vậy P = z1 + z2 = ( + 1) + ( + ) = 12 0.25 2 0.5 -Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI DIỄN TẬP TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC 2010-2011 MA TRẬN MỤC TIÊU GIÁO DỤC VÀ MỨC ĐỘ NHẬN THỨC Tầm quan trọng 37 11 11 11 12 10 100% Chủ đề mạch kiến thức, kĩ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Các tốn liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số Phương trình, hệ phương trình, Bất phương trình mũ logarit Ngun hàm Tích phân Giá trị lớn nhất, nhỏ Khối đa diện Phương pháp tọa độ khơng gian Số phức CỘNG Trọng số 2 3 Tổng điểm Theo Thang ma trận 10 37 1,9 10 0,8 22 1,1 22 1,1 20 1,0 33 1,1 36 2,0 20 1,0 200 10,0 MA TRẬN ĐỀ THI DIỄN TẬP TỐT NGHIỆP THPT Chủ đề mạch kiến thức, kĩ Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Bài tốn liên quan: Tiếp tuyến đường cong Phương trình Hệ phương trình Bất phương trình mũ logarit Giá trị lớn nhất, nhỏ Ngun hàm Tích phân Khối đa diện Phương pháp tọa độ khơng gian Số phức CỘNG Mức độ nhận thức - Hình thức câu hỏi TL TL TL Câu 1.1(2đ) Câu 1.2 (1đ) Tổng điểm TL Câu 2.1 (1đ) Câu 2.3 (1đ) Câu 2.2 (1đ) Câu (1đ) Câu 4a.2 (1đ) Câu 4a.1(1đ) Câu (1đ) 1 1 10 BẢNG MƠ TẢ Câu 1.1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số trùng phương Câu 1.2 Viết phương trình tiếp tuyến đường cong biết tiếp tuyến có hệ số góc k (che dấu quan hệ song song) Câu 2.1 Giải bất phương trình lơgarit dạng biến đổi số Câu 2.2 Tính tích phân bẳng phương pháp đổi biến số (phát biểu dạng tính diện tích hình phẳng) Câu 2.3 Ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số tìm điều kiện để phương trình lượng giác có nghiệm miền cho trước Câu Tìm thể tích khối lăng trụ Câu 4.a.1 Viết phương trình đường thẳng, tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm mặt phẳng Câu 4.a.2 Viết phương trình mặt phẳng với điều kiện cho trước Câu 5.a Giải phương trình bậc hai tập số phức với hệ số thực, tính tốn Câu 4.b.1 Viết phương trình mặt phẳng, tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm đường thẳng Câu 4.b.2 Viết phương trình mặt phẳng với điều kiện cho trước Câu 5.b Giải phương trình bậc hai tập số phức với hệ số phức, tính tốn Ghi chú: Đề có 30% nhận biết, 40% thơng hiểu, 30% vận dụng khác ... 2: SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI DIỄN TẬP TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2011 ĐỒNG THÁP Mơn thi: TỐN - Giáo dục trung học phổ thơng ĐỀ THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản hướng dẫn gồm 05 trang I... ( + ) = 12 0.25 2 0.5 -Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI DIỄN TẬP TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC 2010 -2011 MA TRẬN MỤC TIÊU GIÁO DỤC VÀ MỨC ĐỘ NHẬN THỨC Tầm quan... ÁN ĐIỂM I PHẦN CHUNG 7.0 Câu 1 2.0 11 1) Khảo sát biến thi n vẽ đồ thị (C): y = − x + x + Tập xác định: D = ¡ Sự biến thi n: a) Chiều biến thi n: • 0.25 y ' = − x + x = x ( − x + 1) 0.25 y '