SӢ GIÁO DӨC VÀ ĐÀO TҤO NGHӊ AN Kǣ THI THӰ ĐҤI HӐC LҪN NĂM 2011 www.VNMATH.com TRƯӠNG THPT CHUYÊN PHAN BӜI CHÂU Môn thi: TOÁN ± Khӕi A, B Thͥi gian làm bài: 180 phút, không k͋ thͥi gian giao đ͉ I PHҪN CHUNG CHO TҨT CҦ THÍ SINH (7,0 đi͋m) x2 , có đӗ thӏ (C ) x 1 Khҧo sát sӵ biӃn thiên cӫa hàm sӕ vӁ đӗ thӏ (C ) ViӃt phương trình tiӃp tuyӃn cӫa đӗ thӏ (C ), biӃt tiӃp tuyӃn tҥo vӟi hai đưӡng tiӋm cұn cӫa (C ) mӝt tam Câu I (2,0 đi͋m) Cho hàm sӕ y ! giác có bán kính đưӡng tròn nӝi tiӃp lӟn nhҩt Câu II (2,0 đi͋m) T 2 ®2 x x ( y 1) y ! y ± Giҧi hӋ phương trình ¯ 2 ± °x xy y ! x y Giҧi phương trình (tan x.cot x 1) sin(4 x ) ! (sin x cos x ) Câu III (1,0 đi͋m) Tính tích phân I ! ´x x 1 x 1 dx Câu IV (1,0 đi͋m) Cho hình lăng trө ABC A ' B ' C ' có A ' ABC hình chóp tam giác đӅu, AB ! a Gӑi N góc giӳa mһt phҷng ( A ' BC ) mһt phҷng (C ' B ' BC ) Tính theo a thӇ tích khӕi chóp A '.BCC ' B ', biӃt cosN ! Câu V (1,0 đi͋m) Cho ba sӕ dương a, b, c Chӭng minh rҵng a a2 b2 b b2 c2 c c2 a2 e II PHҪN RIÊNG (3,0 đi͋m): Thí sinh chӍ đưӧc làm mӝt hai phҫn A hoһc B A Theo chương trình b̫n Câu VIa (2,0 đi͋m) x2 y ! ViӃt phương trình đưӡng thҷng d cҳt ( E ) tҥi Trong mһt phҷng tӑa đӝ Oxy, cho elip ( E ) : hai điӇm phân biӋt có toҥ đӝ sӕ nguyên Trong không gian tӑa đӝ Oxyz, cho hình thoi ABCD có diӋn tích bҵng 12 2, đӍnh A thuӝc trөc Oz, đӍnh C thuӝc mһt phҷng Oxy , hai đӍnh B D thuӝc đưӡng thҷng d : Tìm toҥ đӝ , B , C , D Câu VIIa (1,0 đi͋m) Cho sӕ phӭc z thoҧ mãn z ! B Theo chương trình nâng cao Câu VIb (2,0 đi͋m) Trong mһt phҷng tӑa đӝ Oxy, cho x y z 1 ! ! B có hoành đӝ dương 1 z 7 z 2i Tính z2 z i hai đưӡng tròn (C1 ) : ( x 1)2 ( y 2)2 ! (C2 ) : ( x 1) ( y 3) ! ViӃt phương trình đưӡng thҷng ( tiӃp xúc vӟi (C1 ) cҳt (C ) tҥi hai điӇm A, B thoҧ mãn AB ! x 1 y z Trong không gian tӑa đӝ Oxyz, cho đưӡng thҷng d : mһt phҷng ! ! 1 ( P) : x y z ! ViӃt phương trình đưӡng thҷng ( thuӝc (P), vuông góc vӟi d có khoҧng cách giӳa d ( bҵng Câu VIIb (1,0 đi͋m) Tìm m đӇ hàm sӕ y ! x mx m có giá trӏ cӵc đҥi giá trӏ cӵc tiӇu trái dҩu x2 HӃt Thí sinh không đưͫc s͵ dͭng tài li͏u Giám th͓ không gi̫i thích thêm Hӑ tên thí sinh: Sӕ báo danh: SӢ GIÁO DӨC ĐÀO TҤO NGHӊ AN www.VNMATH.com ĐÁP ÁN ± THANG ĐIӆM TRƯӠNG THPT CHUYÊN PHAN BӜI CHÂU Đӄ THI THӰ ĐҤI HӐC LҪN NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khӕi A,B (Đáp án - thang điӇm gӗm 04 trang) ĐÁP ÁN í THANG ĐIӆM Đáp án Câu I (2,0 đi͋m) Đi͋m (1,0 điӇm) Khҧo sát« Tұp xác đӏnh D ! ¡ \ {1} Ta có: y ✁ ! ( x 1) " 0, x D 0,25 Giӟi hҥn: lim y ! lim y ! 1; lim y ! g , lim y ! g x pg x p1 x pg x p1 0,25 TiӋm cұn: TCĐ: x ! 1, TCN: y ! Bҧng biӃn thiên: x g g 1 + y' + g y 0,25 g Hàm sӕ đӗng biӃn khoҧng ( g; 1),(1; g ) Hàm sӕ cӵc trӏ Đӗ thӏ: y 0,25 ±1 O x 2 (1,0 điӇm) ViӃt phương trình tiӃp tuyӃn « x 2 ( x x0 ) , ( x0 hoành đӝ tiӃp điӇm) ( x0 1) x0 Gӑi I giao hai tiӋm cұn; A B giao cӫa d vӟi hai tiӋm cұn ✂ x 5 ✄ Ta có I ( 1;1), ( 1; ), (2 x0 1;1) x0 0,25 I ! 0,25 Phương trình tiӃp tuyӃn d có dҥng y ! ☎ ☎✆ ✆ ; I ! x0 I I ! 12 x0 II (2,0 đi͋m) ✝✞ ✝✞ ✝✞ I I I I I I ! ✝ ✞ ✝✞ ! ✝ ✞ ✝ ✞ e ✝ ✞ ✝ ✞ I I I I I I 3 I I I I Dҩu bҵng xҧy chӍ IA ! IB x0 ! 1 s 0,25 Vұy có hai tiӃp tuyӃn thoҧ mãn là: y ! x y ! x 0,25 Bán kính r ! (1,0 điӇm) Giҧi phương trình ĐiӅu kiӋn: sin x { Phương trình cho tương đương vӟi sinx.cos x sin x.cos x cos4 x ! (1 2sin x.cos2 x ) sin x.cos x cos4 x sin 2 x ! (1 ) cos3 x 7cos2 x cos2 x ! 2cos x 2 0,25 0,25 Đáp án Câu Đi͋m www.VNMATH.com Đһt t ! cos2 x, 1 t Ta có phương trình t 7t t ! t {1;3 14;3 14} , đӕi chiӃu điӅu kiӋn ta đưӧc t ! 14 x ! s arccos(3 14) k T , k ¢ 2 (1,0 điӇm).Giҧi hӋ phương trình «« ®2 x xy y ! y x ± HӋ cho tương đương vӟi ¯ 2 ± °x xy y ! x y Th1: y ! x ! 0,25 2 ® x ±y (2t t 1) ! y (3 t ) (1) x ! ty thay vào hӋ: ¯ 2 y ± °y (t t 3) ! y (t 2) (2) Tӯ (1) (2) ta đưӧc: 3t 7t 3t ! t { 1;1; } HӋ có bӕn nghiӋm (0;0);(1;1);( 1;1);( ; ) 43 43 0,25 Th2: y { 0, đһt t ! III (1,0 đi͋m) 0,25 0,25 Tính tích phân««« I! ´ 2 ´ ´ x 1( x x 1)dx ! x x 1dx 1 2 ´1 ´1 I1 ! ( x 1) x 1dx ! ( x ( x 1)( x2 1) dx ! I1 I 0,25 1) 2 dx ´1 ´ ´ ( x 1) 2 dx ! ( x 1) 2 ( x 1) ! 15 Vұy I ! 0,25 2t 4t 26 ) ! Đһt t ! x 1, I ! ( x 1) x 1dx ! (t 2)t.2tdt ! ( 15 IV (1,0 đi͋m) 0,50 0,50 26 15 15 Tính thӇ tích khӕi chóp « Gӑi x đӝ dài cҥnh bên, O tâm tam giác ABC, I M lҫn lưӧt trung điӇm BC B¶C¶ Ta có A ' O B ( ABC ); A ' M ! AI ! C¶ M B¶ A¶ a a ; A ' I ! x2 ; IM ! x 0,25 C A O I B ✟AI B BC BC B ( A ' AIM ), suy N ! A ' IM hoһc N ! 180o ✡ ✠ I☛ ¯ °A ' I B BC ®8 x 11a x 3a ! 2 ± 3a 2 a 2 a !x x .x x ¯ x ! a TH1: N ! A ' IM , ta có: a2 4 ±x u ° 0,25 0,25 ✌ a3 V A ☞ BCC ☞ B ☞ ! 2.V A ☞ ABC ! A O S( ABC ! TH1: N ! 180o A ' IM , ta có: ® x 11a x 3a ! 2 ± 3a a a a ! x2 x .x x ¯ x! a 4 2 ±x e ° 0,25 Đáp án Câu V (1,0 đi͋m) www.VNMATH.com Đi͋m a V A ✍ BCC ✍ B ✍ ! 2.VA ✍ ABC ! A ✎ O.S( ABC ! 24 Chӭng minh rҵng« VT ! 1 x 1 y 1 z ;x ! b c a , y ! , z ! , ta có: xyz ! a b c 0,25 Giҧ sӱ x ! max{x , y , z} x u 1; yz e Khi đó: 1 ( y z )2 ( yz 1) 1 ! e0 e 2 2 2 y z yz (1 y )(1 z )(1 yz ) y z yz Suy ra: VT e 1 1 2 2( )e e 1 2 y z x x yz 1 x 1 x ✏ 1 2t ,0 t e VT e 2t t ! f (t ) Ta có: f (t ) ! u , suy f (t ) 1 x 1 t 1 3 đӗng biӃn (0; ], f (t ) e f ( ) ! Vұy VT e Dҩu bҵng xҧy a ! b ! c 2 2 0,25 0,25 Đһt t ! VI.a (2,0 đi͋m) 0,25 (1,0 điӇm) ViӃt phương trình đưӡng thҷng cҳt elip« Gӑi M ( x; y ) ( E ), vӟi x ¢ , y ¢ Ta có: x y ! y2 e 0,25 KӃt hӧp vӟi y ¢ , ta đưӧc y {0;1; 1} Vӟi y ! 0, ta đưӧc x ! s ¢ (loҥi); vӟi y ! s1, ta đưӧc x ! s2 0,25 Bӕn điӇm thuӝc (E) có toҥ đӝ nguyên M (2;1); M (2; 1); M ( 2;1); M ( 2; 1) 0,25 Có đưӡng thҷng thoҧ mãn là: x ! 2; x ! 2; y ! 1; y ! 1; x y ! 0; x y ! 0,25 (1,0 điӇm) Tìm toҥ đӝ A, B, C, D uuur r Gӑi A(0;0; a); C ( b; c;0) Ta có: AC ! (b; c ; a ), d có vectơ chӍ phương u ! (1;1; 2), toҥ đӝ trung điӇm I b c a cӫa AC I ( ; ; ) 2 uuur r ® ±AC u ! Ta có ¯ a ! b ! c ! 2, A(0;0;2); C (2;2;0) I (1;1;1) ± °I d DiӋn tích hình thoi S ! AC BD ! 12 2, mà AC ! suy BD ! IB ! B d B(t ; t ; 1 2t ), t " Khi đó: IB ! t ! B (3;3;5); D ( 1; 1; 3) VII.a (1,0 đi͋m) VI.b (2,0 đi͋m) 0,25 0,25 0,25 0,25 Tính môđun «« ĐiӅu kiӋn z { Tӯ giҧ thiӃt ta có: z z ! (1) 0,25 ( ! 20 ! 16 ! (4i) ; phương trình (1) có nghiӋm z ! 2i z ! 2i 0,25 Vӟi z ! 2i , ta đưӧc: z 2i 1 ! ! ! z i 1 i 1 i 0,25 Vӟi z ! 2i, ta đưӧc: z 2i 4i 4i 17 ! ! ! z i 3i 3i 10 0,25 (1,0 điӇm) ViӃt phương trình đưӡng thҷng« (C1 ) có tâm I1 (1; 2) bán kính R1 ! 5; (C2 ) có tâm I ( 1; 3) bán kính R2 ! 0,25 Đáp án Câu Ta có: d ( I1 ; () ! (1) www.VNMATH.com 0,25 Gӑi h ! d ( I ; ( ), ta có: AB ! R22 h h ! (2) Tӯ (1) (2) suy ( song song vӟi I1I hoһc ( qua trung điӇm M (0; ) cӫa I1I Vì M nҵm (C1 ) nên không xҧy khҧ ( qua M, ( / / I1I , suy phương trình ( có dҥng x y ✑ ! 0, đó: d ( I1 ; ( ) ! 5 m Đi͋m ! m ! m ! 10 0,25 0,25 (1,0 điӇm) ViӃt phương trình đưӡng thҷng thuӝc (P) vuông góc vӟi d« uuur uur uuur uur uur ud ! (2;1;1); n( P ) ! (1;2; 1), ( có vectơ chӍ phương u( ! « n( P ) , u d » ! (1; 1; 1) ½ 3 uuur uur uur Gӑi (Q) mһt phҷng chӭa ( song song vӟi d, ta có: n(Q ) ! «u( , ud » ! (0;1; 1) ½ 3 0,25 0,25 Phương trình (Q): y z m ! Chӑn A ! (1; 2;0) d , ta có: d ( A,(Q )) ! m ! m ! x3 y z ! ! 1 1 x7 y z4 ! ! Vӟi m ! 4, ( ! ( P) (Q) nên ( qua C ! (7;0;4), phương trình ( : 1 1 Vӟi m ! 0, ( ! ( P) (Q) nên ( qua B ! (3;0;0), phương trình ( : VII.b (1,0 đi͋m) 0,25 0,25 Tìm m đӇ hàm sӕ Tұp xác đӏnh: D ! ¡ \ _2a 0,25 Hàm sӕ có giá trӏ cӵc đҥi giá trӏ cӵc tiӇu trái dҩu chӍ đӗ thӏ hàm sӕ không cҳt trөc hoành chӍ phương trình x mx m ! vô nghiӋm 0,50 0 ...SӢ GIÁO DӨC ĐÀO TҤO NGHӊ AN www.VNMATH.com ĐÁP ÁN ± THANG ĐIӆM TRƯӠNG THPT CHUYÊN PHAN BӜI CHÂU Đӄ THI THӰ ĐҤI HӐC LҪN NĂM 2011 Môn: TOÁN; Khӕi A,B (Đáp án - thang điӇm gӗm 04 trang) ĐÁP... lim y ! g , lim y ! g x pg x p1 x pg x p1 0,25 TiӋm cұn: TCĐ: x ! 1, TCN: y ! Bҧng biӃn thi n: x g g 1 + y' + g y 0,25 g Hàm sӕ đӗng biӃn khoҧng ( g; 1),(1; g ) Hàm sӕ cӵc trӏ... đưӧc y {0;1; 1} Vӟi y ! 0, ta đưӧc x ! s ¢ (loҥi); vӟi y ! s1, ta đưӧc x ! s2 0,25 Bӕn điӇm thu c (E) có toҥ đӝ nguyên M (2;1); M (2; 1); M ( 2;1); M ( 2; 1) 0,25 Có đưӡng thҷng thoҧ mãn