SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 - HƯỚNG DẪN CHẤM ðỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm biểu ñiểm gồm có 05 trang) I Hướng dẫn chung 1) Nếu học sinh làm không theo cách nêu ñáp án ñúng cho ñủ số ñiểm phần hướng dẫn quy ñịnh 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang ñiểm hướng dẫn chấm phải bảo ñảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải ñược thống thực tổ chấm II ðáp án thang ñiểm Câu ðáp án Câu Giải phương trình: x − x + + x + 20 x + = x (1) • ðiều kiện: x ≥ • Dễ thấy x = không nghiệm phương trình (1) • Với x > , chia hai vế phương trình (1) cho x , ta ñược phương trình 4 x − + + x + 20 + = (2) x x ðặt t = x + , ñiều kiện t ≥ , phương trình (2) trở thành x t − + + t + 20 = ⇔ ðiểm 3ñ 0.5 0.5 0.5 t + 19t − 20 = 15 − t t ≤ 15 ⇔ 2 t + 19t − 20 = (15 − t ) ⇔ t =5 • Với t = ta ñược: x + = ⇔ x − x + = ⇔ x = ⇔ x = ±1 x x = ±2 x = • Do ñiều kiện x > nên phương trình (1) nhận nghiệm x = 1; x = • Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x = ; x = Câu Cho tam giác ABC có ba góc ñều nhọn Gọi AE, BF, CK ba chiều cao H trực tâm 0.5 0.5 0.5 3ñ tam giác ABC Biết AE = 3, CK = 2 BH = 5HF Chứng minh ABC = 45 B c a K 2 H E A C b • • F Gọi ñộ dài ba cạnh tam giác ABC a, b, c Ta có AE.BC = CK.AB ⇔ 3a = 2 c Theo ñịnh lý sin ta có a c 2 = ⇔ = sin A sin C sin A sin C Trang 0.25 (1) 0.25 • • • • Theo giả thiết ta có BH = HF ⇒ BF = HF Mặt khác AF = BF.cotA π AF = HF.cot EAC = HF.cot − C = HF.tanC 2 ⇒ 6.cotA = tanC ⇔ 6cotA.cotC = (2) Từ (1) ⇔ = ⇔ + cot C = + cot A (3) 2 sin C sin A Từ (2) (3) ⇒ 32 cot A − cot A − = 1 Vì cotA > nên cot A = cot C = − cot A cot C Suy cot B = − cot( A + C ) = =1 cot A + cot C ( ) ( ) • Vậy ABC = 450 (ñpcm) Câu Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 2x + 3y − 5xy + 3x − 2y − = (1) • Xem phương trình (1) phương trình bậc hai ñối với x: 0.25 0.5 0.5 0.25 0.5 ðể có x nguyên ñiều kiện cần ( ) ∆ = ( − 5y ) − 4.2 3y − 2y − = y − 14y + 33 = k • 0.5 3ñ (1) ⇔ 2x + ( − 5y ) x + 3y − 2y − = • 0.5 0.5 số phương (k nguyên, không âm) Lại xem y − 14y + 33 − k = phương trình bậc hai ñối với y ðể có y nguyên ñiều kiện cần là: ( ) δ ' = 49 − 33 − k = 16 + k = m 0.5 số phương (m nguyên dương) ( 2 Do m − k = 16 ⇔ m + k • )( m − k ) = 16 16 = 8.2 = 4.4 = 16.1 nên ta suy ñược Trường hợp 1: m + k = ⇔ m = m−k =2 k=3 { { 0.25 0.5 ( ) ( )( ) Suy phương trình (1) có nghiệm x; y = 15;12 , 1;2 • { { Trường hợp 2: m + k = ⇔ m = m−k =4 k=0 0.5 ( ) ( )( ) Suy phương trình (1) có nghiệm x; y = 13;11 , 3;3 Câu • 17 m = + = m k 16 ⇔ (loại) Trường hợp 3: m − k =1 15 k = • Vậy phương trình (1) có nghiệm x; y = 15;12 , 1;2 , 13;11 , 3;3 { ( ) ( 0.25 )( )( )( ) u1 = Cho dãy số (un) xác ñịnh 4un −1 + u = ∀n ≥ n un −1 + Tìm công thức số hạng tổng quát dãy số (un) Sử dụng dãy phụ ñể chuyển dãy ñã cho dãy xác ñịnh cấp số nhân, ñó áp dụng công thức Trang 3ñ • ðặt u n = x n + , thay vào công thức truy hồi ta ñược xn + = Suy ra: • Ta lại ñặt y n = • x n −1 + ⇒ xn = 2x n −1 x n −1 + x n −1 + 5 = = + xn 2x n −1 2x n −1 • • ( x n −1 + ) + 0.5 0.5 (1) 1 5 1 , thay vào (1) ta ñược y n = y n −1 + ⇔ y n + = y n −1 + xn 2 2 3 ⇒ v1 = − = −1 , ∀n ≥ 3 Suy dãy ( v n ) CSN có công bội q = Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát CSN ta ñược Tiếp tục ñặt: = y n + = v1 q n −1 2 5 =− 32 0.5 0.5 n −1 , ∀n ≥ 0.5 Từ ñó ta ñược 2 5 yn = − 32 • Câu n −1 − ⇒ xn = 2 5 − 32 n −1 − ⇒ un = 4.5n −1 − 2n −1 2.5n −1 + n −1 Vậy công thức số hạng tổng quát dãy số (un) u n = 4.5n −1 − n −1 2.5n −1 + n −1 m − m n với m, n ∈ N * < m < n n x + x − n ( x + 1) Chứng minh khai triển hệ số x m C nm− Xét khai triển • • Ta có (1 + x) n = C n0 + C n1 x + C n2 x + + C nn x n = Cmn −2 (ñpcm) Câu Cho hai số dương x, y thỏa mãn ñiều kiện x + y = 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = + x + + + y + x y • Theo bất ñẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có: 3 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 3ñ 3 1 7 7 7 1 + x + + + ≥ + x + x 2 2 2 x Trang 2ñ 0.5 m − m n Suy hệ số x m khai triển x + x − ( x + 1) n n m m m − m− m −1 Am = C n + C n − C n n n n − k + k −1 Ta có C nk = C n , nên k m n − m + m −1 m − m− m −1 Am = Cn C n + C n − n m n m − m −2 m − m−1 = Cn C n + n n m − m −2 m − n − (m − 1) + m−1 = Cn C n + n m −1 n 0.5 (1) 0.5 • 3 1 7 7 7 1 + y + + + ≥ + y + y 2 2 2 y Cộng vế (1), (2), ta có 3 7 1 73 + x + + + y + + ≥ 3 x y 2 • ( 2) 0.5 1 + x + y + + x y 0.5 1 1 1 nên Mặt khác ta lại có ( x + y ) + ≥ xy =4⇒ + ≥ xy x y x+y x y 3 7 1 73 + x + + + y + + ≥ 3 x y 2 + x + y + x+y 0.5 7 73 343 Theo giả thiết a + b = nên S + ≥ ⇔ S ≥ 2 1 + x + x = Dấu "=" xảy 1 + y + = y x = y x + y = 343 • Vậy S = Câu 0.5 7 ⇔x=y=2 0.5 x2 y2 + = có hai tiêu ñiểm F1 F2 25 16 M ñiểm di ñộng elip (E) Gọi I tâm ñường tròn nội tiếp tam giác MF1 F2 Tìm quỹ tích ñiểm I Trên mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho elip (E) : 3ñ y M I F1 -a -c F2 O H K c a x • Theo giả thiết ta có a = , b = ⇒ c = Gọi M ( x0 ; y ) ñiểm di ñộng elip I ( x ; y ) tâm ñường tròn nội tiếp tam giác MF1 F2 • Dựng IH ⊥ Ox , MK ⊥ Ox Gọi p nửa chu vi tam giác MF1 F2 , ta có 1 p = (MF1 + MF2 + F1 F2 ) = (2a + 2c ) = a + c = 2 c c (1) ⇒ HF1 = p − HF2 = (a + c) − a − x = c + x a a Mà HF1 = x H − x F1 = x + c • Từ (1) (2) ⇒ x + c = c + 0.25 0.5 0.5 (2) c ax x x0 ⇒ x0 = = a c Trang 0.5 • Ta có r = IH = cy a+c S F1 F2 MK 8y y= = ⇒y= ⇒ y0 = a+c c p 2p • • 0.5 5x 8 y 2 x0 y 3 + =1⇒ + Ta có =1 25 16 25 16 Suy quỹ tích ñiểm I elip có phương trình 0.5 x2 4y2 + = 9 Hết - Trang 0.25