ĐỀ Câu 1: ( điểm ) Giải phương trình sau: (8 − x)2 − (8 − x)( x + 27) + ( x + 27) = Câu 2: ( điểm ) Cho tam giác ABC có đường cao AA’ Từ chân đường cao A’ ta vẽ hai đường vuông góc với AB AC Hai đường thẳng cắt hai đường thẳng vuông góc với cạnh BC B, C M, N Chứng minh rằng: đường thẳng MN qua trực tâm H tam giác ABC Câu 3: ( điểm ) Giải phương trình sau: C xx −1 + C xx − + C xx −3 + + C xx −10 = 1023 Câu 4: (2 điểm) Cho A(1;6), B(-3; -4) Hãy tìm điểm M đường thẳng d: 2x–y–1= cho MA + MB bé Câu 5: (3 điểm) Một số có bốn chữ số số phương có tính chất: Nếu tất chữ số trừ với số số có bốn chữ số số phương Tìm tất số có bốn chữ số thõa mãn tính chất nêu Câu 6: (3 điểm) Cho hai số thực x, y khác thay đổi thỏa mãn điều kiện : ( x + y ) xy = x + y − xy Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x3 + y3 Câu 7: (3 điểm) Với a, b, c, d, e > thỏa mãn điều kiện a + b + c + d + e = Chứng minh rằng: 3 3 a + b + c + d + e b4 + c4 + d + e4 c4 + d + e4 + a d + e4 + a4 + b4 e4 + a4 + b4 + c4 a4 + b4 + c4 + d ≥ 54 -Hết- GIẢI ĐỀ Câu Nội Dung Điểm Câu (3 điểm) 0.5 Gọi M’, N’ giao điểm đường cao CH, BH với đường thẳng BM CN Gọi K giao điểm cùa M’N’ với AA’ Ta có: MM’HA’ NN’HA’ hình bình hành ⇒ MM ' = HA' = KH 1.0 1.5 Câu Nội Dung Điểm ⇒ TKH : biến điểm M’, K, N’ thành M, H, N Do M’, K, N’ thẳng hàng suy : M, H, N thẳng hàng (đpcm) Giải phương trình: (8 − x) − (8 − x)( x + 27) + ( x + 27) = ⇔3 − x + x +27 = (*) Đặt (*) u = − x ; v = x + 27 u + v = u = u + v = ⇒ ⇔ ⇔ u v = u + v = 35 v = u =3 v =2 − x = − x = ⇒ hoac x + 27 = 27 + x = x = ⇔ x = −15 Câu (3 điểm) Điều kiện x ∈N , x ≥10 0.5 C xx −1 + C xx − + C xx − + + C xx −10 = 1023 0.5 ⇔ Cxx + C xx −1 + C xx − + + Cxx −10 = 1024 1.0 ⇔ C x0 + C 1x + C x2 + + C 10 x = 1024 ⇔ x = 210 ⇔ x = 10 1.0 Câu Nội Dung Điểm Câu (3 điểm) 0.5 Ta có A, B phía d ( xem hình) Gọi C điểm đối xứng A qua D Với điểm M d ta có: MA+MB = MC+MB ≥ BC Dấu đẳng thức xảy M giao điểm d BC Trước hết ta xét đường thẳng l qua A vuông góc với d có phương trình: x + 2y – 13 = Tọa độ hình chiếu H A d nghiệm hệ: x + y − 13 = x = ⇔ 2 x − y − = y = Vậy điểm H(3;5) xC = x H − x A = − = yC = y H − y A = 10 − = Tọa độ điểm C : 0.5 Vậy C(5;4) Phương trình đường thẳng BC là: x – y – = Tọa độ điểm M phải tìm nghiệm hệ: 0.5 x − y − = x = ⇔ Vậy điểm M(0; -1) 2 x − y − = y = −1 Câu (2 điểm) 1.0 0.5 Gọi số cần tìm abcd , theo đề ta có: abcd = A (a − k )(b − k )(c − k )(d − k ) = B Ta có: A − B2 = (1000a + 100b + 10c + d ) − [1000(a − k ) + 100(b − k ) + 10(c − k ) + d − k ] = 1111k ⇒ ( A + B )( A − B) = 11.101k Do 1000 ≤ A , B ≤ 9999 ⇒ 32 ≤ A, B ≤ 99 64 < A + B < 200 A + B = 101 ⇒ ⇒ 0 < A − B < 67 A − B = 11k 0.5 0.5 0.5 Câu Nội Dung Điểm Vì A+B số lẻ nên có k=1,3 thích hợp Nếu k=1 A1=3136=562 B1=2025=452 Nếu k=3 A2=4489=672 B2=1156=342 Vậy số cần tìm 3136 4489 Câu (3 điểm) A= x + y = ( x + y )( x − xy + y ) 3 x y 0.5 x+ y 1 1 = + = xy x y 0.5 Đặt x=t.y : ( x + y ) xy = x + y − xy ⇒ (t + 1)ty = (t − t + 1) y ⇒y= t − t +1 t2 + t t − t +1 x = ty = t +1 ; 1 1 + x y t + 2t + = t − t +1 Nên: A = Xét hàm số: f (t ) = t + 2t + 0.5 0.5 0.5 − 3t + ⇒ f ' (t ) = t − t +1 (t − t + 1) lim f (t ) = f ' (t ) = ⇔ t = ±1 , có t → ±∞ 0.5 Bảng biến thiên: 0.5 Vậy GTLN A f2(t)=16 ⇔ x = y = Câu (3 điểm) (1) ⇔ a3 b3 + + c3 + d3 + e3 1− a 1− b 1− c 1− d 1− e 1 1 + + + ≥a Do a + 4 4 5 5 5 5 a3 54 ⇔ a (1 − a ) ≤ ⇔ ≥ a 54 1− a4 4 ≥ 54 4 (a + b + c + d + e ) 1.0 1.0 (1) Tương tự : b3 1− b ≥ 54 b c3 54 ≥ c 1− c4 d3 54 ≥ d 1− d e3 1− e4 ≥ 54 e (2) (3) (4) (5) 0.5 0.5 Câu Nội Dung Từ (1), (2), (3), (4) (5) suy đpcm Điểm ... x + 27 ) + ( x + 27 ) = ⇔3 − x + x +27 = (*) Đặt (*) u = − x ; v = x + 27 u + v = u = u + v = ⇒ ⇔ ⇔ u v = u + v = 35 v = u =3 v =2 − x = − x = ⇒ hoac x + 27 = 27 ... 32 ≤ A, B ≤ 99 64 < A + B < 20 0 A + B = 101 ⇒ ⇒ 0 < A − B < 67 A − B = 11k 0.5 0.5 0.5 Câu Nội Dung Điểm Vì A+B số lẻ nên có k=1,3 thích hợp Nếu k=1 A1=3136=5 62 B1 =20 25=4 52 Nếu k=3 A2=4489=6 72. .. 0.5 C xx −1 + C xx − + C xx − + + C xx −10 = 1 023 0.5 ⇔ Cxx + C xx −1 + C xx − + + Cxx −10 = 1 024 1.0 ⇔ C x0 + C 1x + C x2 + + C 10 x = 1 024 ⇔ x = 21 0 ⇔ x = 10 1.0 Câu Nội Dung Điểm Câu (3 điểm)