Toạ độ mặt phẳng không gian Trong mặt phẳng Trong mặt phẳng Oxy cho A ( x A ; y A ); B( x B ; y B ); C ( xC ; yC ); vectơ → Trong không gian Trong không cho A( x A ; y A ; z A ); B ( x B ; y B ; z B ); C ( xC ; y C ; z C ) → → gian → vectơ a (a1 ; a ; a3 ); b (b1 ; b2 ; b3 ) a (a1 ; a ); b (b1 ; b2 ) AB( x B − x A ; y B − y A ) AB ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) 2.a + b = (a1 + b1 ; a + b2 ) 2.a + b = (a1 + b1 ; a + b2 ; a + b3 ) 3.k a = (ka1 ; ka ) 3.k a = (ka1 ; ka ; ka3 ) a = a12 + a 22 a = a12 + a 22 + a32 Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB I( x A + xB y A + yB ; ) 2 G( Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB I( Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC x A + x B + xC y A + y B + y C ; ) 3 x A + xB y A + y B z A + z B ; ; ) 2 Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC G( x A + x B + xC y A + y B + y C z A + z B + z C ; ; ) 3 Góc tạo hai đường thẳng Góc tạo hai đường thẳng rr cos( a, b) = rr cos( a, b) = x1 x2 + y1 y2 x +y + x +y 2 2 2 Biểu thức toạ độ tích vô hướng x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 x + y12 + z12 x22 + y22 + z22 Biểu thức toạ độ tích vô hướng a.b = a1b1 + a b2 a.b = a1b1 + a b2 + a3 b3 ®êng th¼ng mÆt ph¨ng I Đường thẳng mặt phẳng: 1.a vtcp: Là véctơ có giá song song trùng với đường thẳng → x = x0 + u1t 1.b PTTS đường thẳng qua điểm M ( x0 ; y ); vtcp u (u1 ; u ) dạng y = y0 + u 2t 2.a vtpt: véctơ có giá vuông góc với đường thẳng 2.b PTTQ đường thẳng dạng ax + by + c = (a,b không đồng thời 0) → Từ PTTQ đường thẳng ta xác định vtpt n (a; b) → Nhận xét: - Đường thẳng qua điểm M ( x0 ; y ); vtpt n (a; b) có phương trình a ( x − x ) + b( y − y ) = - Đường thẳng qua điểm M ( x0 ; y ) có hệ số góc k có phương trình y = k ( x − x0 ) + y → → - Nếu đường thẳng (d) có véctơ phương u (u1 ; u ); u1 ≠ 0; (d) có vtpt n (−u ; u1 ) u2 có hệ số góc k = u - Nếu (d) có hệ số góc k1 (d’) có hệ số góc k2 góc tạo hai đường thẳng xác định tan α = k1 − k + k1 k II Khoảng cách: + Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đương thẳng (d) : Ax + By + C = MH = | Ax + By0 + C | A2 + B + Khoảng cách hai đường thẳng song song: Ax + By + C1 = Ax + By + C2 =0 | C1 − C2 | A2 + B III Vị trí tương đối đường thẳng: (d1) : A1 x + B1 y + C1 = (d2) : A2 x + B2 y + C2 = *( d1 ) ∩( d ) ≠ φ ⇔ A1 B ≠ A2 B2 *( d1 ) / /( d ) ⇔ A1 B C = ≠ A2 B2 C2 *( d1 ) ≡ ( d ) ⇔ A1 B C = = A2 B2 C2 *( d1 ) ⊥ ( d ) ⇔ A1 A2 + B1 B2 A1 x + B1 y + C1 = (I ) A2 x + B2 y + C = Toạ độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hệ pt - (I) có nghiệm ( x0 ; y ) d1 ∩ d = M ( x0 ; y ) - (I) vô nghiệm chúng song song với - (I) có vô số nghiệm chúng trùng IV Góc đường thẳng: (d1) : A1 x + B1 y + C1 = (d2) : A2 x + B2 y + C2 = α = (d1 , d ) cos α = | A1 A2 + B1 B2 | A12 + B12 A22 + B22 V Phương trình đường phân giác góc tạo đường thẳng (d1)và (d2): A1 x + B1 y + C1 A +B 2 =± A2 x + B2 y + C2 A22 + B22 (góc nhọn lấy dấu – , góc tù lấy dấu + ) ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Phương trình tham số đường thẳng x = x + at (d) qua M ( x0 ; y ; z ); vtcp u (a; b; c) có pt y = y + bt z = z + ct → Phương trình dạng tắc đường thẳng (d) x − x0 y − y z − z = = a b c → Suy (d): qua M ( x0 ; y ; z ); vtcp u (a; b; c) Góc đường thẳng: r (d1) có vectơ phương u = (a1 , b1 , c1 ) r (d2) có vector phương v = (a2 , b2 , c2 ) α góc (d1) (d2) cos α = | a1a2 + b1b2 + c1c2 | a + b12 + c12 a22 + b22 + c22 ( d1 ) ⊥ (d ) ⇔ a1a2 + b1b2 + c1c2 = MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Phương trình tổng quát mặt phẳng dạng Ax + By + Cz + D = (P) (A, B, C không đồng thời 0) Nhận xét: - (P) có vtpt n( A; B; C ) - (P) qua M ( x0 ; y ; z ) ; vtpt n( A; B; C ) có phương trình dạng A( x − x0 ) + B ( y − y ) + C ( z − z ) = - Nếu a(a1 ; a ; a3 ); b(b1 ; b2 ; b3 ) có giá song song nằm mặt phẳng (P) (P) có vtpt [ ] a n = a; b = b2 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1 a2 b2 Khoảng cách từ điểm M(x0, y0; z ) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = là: MH = | Ax0 + By0 + Cz0 + D | A2 + B + C