Bộ Giáo Dục Đào tạo ĐỀ THAM KHẢO Email: phukhanh@moet.edu.vn ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi : TOÁN - khối A Ngày thi : 07.03.2010 (Chủ Nhật ) ĐỀ 02 I PHẦN BẮT BUỘC ( 7,0 điểm ) Câu I : ( điểm ) Cho hàm số : y = x − 3x − 9x + m , m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Câu II: ( điểm ) 1 Giải phương trình log x + + log4 x − = log 4x x x Giải phương trình: + cos2 = sin2 2 ( ) ( ) ( ) ∫ π cos x ta n x π Câu III: ( điểm ) Tính tích phân: I = + cos2 x dx 2 Câu IV: ( điểm ) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x , < x < AC = BC = BD = DA = Tính thể tích tứ diện ABCD theo x Tìm x để thể tích lớn tính giá trị lớn Câu V: ( điểm ) Tìm giá trị tham số thực m để phương trình − x − x + 2x + = m có nghiệm thuộc đoạn − ;1 II PHẦN TỰ CHỌN ( 3,0 điểm ) Thí sinh làm hai phần ( phần ) Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( điểm ) ( ) ( ) Tìm tham số thực m cho đường thẳng d : x = y − = z + cắt mặt cầu (S ) : x + y + z + 4x − 6y + m = điểm phân biệt M , N cho độ dài dây cung MN = ( ) ( ) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng (d ) có phương trình: 2x − y − = hai điểm A 1;2 , B 4;1 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (d ) qua hai điểm A, B Câu VII.a ( điểm ) Với n số tự nhiên, chứng minh đẳng thức: ( ) ( ) C n0 + 2.C n1 + 3.C n2 + 4.C n3 + + n.C nn −1 + n + C nn = n + 2n −1 Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( điểm ) ( ) ( ) Tìm tham số thực m cho đường thẳng d : x = y − = z + tiếp xúc mặt cầu (S ) : x + y + z + 4x − 6y + m = Tìm đường thẳng (d ) : 2x − y − = điểm M cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2x + y + = Câu VII.b ( điểm ) Với n số tự nhiên, giải phương trình: ( ) ( ) C n0 + 2.C n1 + 3.C n2 + 4.C n3 + + n.C nn −1 + n + C nn = 128 n + Cán Bộ coi thi không giải thích thêm I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I : ( điểm ) Cho hàm số : y = x − 3x − 9x + m , m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Học sinh tự làm Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng ⇔ Phương trình x − 3x − 9x + m = có nghiệm phân biệt x 1, x , x lập thành cấp số cộng () () ⇔ Phương trình x − 3x − 9x + m = * có nghiệm phân biệt x 1, x , x thỏa mãn : x + x = 2x mà () ()() x + x + x = Từ , suy x = () • x = nghiệm phương trình * nên ta có : 13 − 3.12 − 9.1 + m = ⇔ m = 11 () • m = 11 phương trình * ⇔ x − 3x − 9x + 11 = có nghiệm x 1, x , x thỏa điều kiện x + x = 2x Vậy m = 11 tham số thực cần tìm Ngoài cách giải hs lựa chọn phương pháp cấp số cộng thuộc chương trình giải tích lớp 11 Chú ý : Do chương trình giảm tải điểm uốn chương trình ban , giảm tải dẫn đến toán cấp số cộng , cấp số nhân hạn chế đề thi Nếu xuất toán cấp số việc lựa chọn phương pháp giải liên quan điểm uốn không chấp nhận Do học sinh cần lưu ý điều Câu II: ( điểm ) 1 Giải phương trình log (x + 3) + log (x − 1)8 = log (4x ) x > −3 Điều kiện : x ≠ ⇔ < x ≠ x > 1 Phương trình : log (x + 3) + log (x − 1)8 = log (4x ) ⇔ log2 (x + 3) + log2 x − = log2 (4x ) * TH1: < x < Phương trình : * ⇔ ⇔ log2 x + −x + = log2 4x Hs tự giải TH2: x > Phương trình : * ⇔ ⇔ log2 x + x − = log2 4x x = −1 l ⇔ x − 2x − = ⇔ ⇔ x = x = x x Giải phương trình: + cos2 = sin2 2 2x + cos 1 2x x = − cos x ⇔ + + cos 2x = − cos x + cos = sin ⇔ + 2 4 x x x x x ⇔ + cos = − cos ⇔ + cos2 − = − cos3 − cos 3 3 3 3 x x x x x x x ⇔ + cos2 − + cos3 − cos = ⇔ cos cos2 + cos − = 3 3 3 3 3 () () ( )( () ( () )( ) ) ( ) ( ) x cos = 3 x ⇔ cos = 3 x cos = − 3 x x π 3π cos = = + kπ x = + k 3π ⇔ ⇔ 3 ⇔ x π x = ± π + k 2π x = ±π + k 6π cos = cos 3 3 l () 2 Câu IV: ( điểm ) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x , < x < AC = BC = BD = DA = Tính thể tích tứ diện ABCD theo x Tìm x để thể tích lớn tính giá trị lớn Đây dạng toán sách tập hình học 12 Học sinh tự vẽ hình Gọi I , J trung điểm cạnh AB,CD 1 AI dtICD , VBICD = BI dtICD 3 1 Hay : VABCD = dtICD AI + BI , dtICD = IJ CD Dễ dàng chứng minh IJ đoạn vuông góc chung AB,CD Dễ thấy VABCD = VAICD + VBICD , VAICD = ( ) Ta có : IJ = CI − CJ = − 2x 2, AI = BI = x 1 IJ CD = − 2x 2x = x − 2x (đvdt) 2 1 2x = dtICD AI + BI = x − 2x x + x = − 2x (đvtt) 3 ⇒ dtICD = VABCD ( ) ( ( 2x − 2x = x x − 2x 3 ) ) ( 2 2 x + x + − 2x ≤ Đẳng thức xảy : x = x = − 2x ⇔ x = Vậy maxVABCD = (đvdt) x = 3 π Câu III: ( điểm ) Tính tích phân: I = ∫ π cos x ta n x + cos2 x dx π I = ∫ π cos x π ta n x + cos2 x dx = π ∫ π ta n x cos x +1 cos2 x dx cos2 x π x = ⇒ u = Đổi cận : π x = ⇒ u = Đặt u = t a n x ⇒ du = dx = ∫ π cos ta n x x t a n2 x + dx 3 ) = Do I = ∫ 1 u u +2 du = ∫d ( ) u2 + = u2 + 1 3− = 3 Học sinh yếu đặt t = u + ⇒ dt = u u +2 du Câu V: ( điểm ) Tìm giá trị tham số thực m để phương trình − x − x + 2x + = m có nghiệm thuộc đoạn − ;1 − x − x + 2x + = m, m ∈ R Xét hàm số : f x = − x − x + 2x + xác định liên tục đoạn − ;1 3x 3x + 4x 3x + Ta có : f ' x = − − = −x + − x2 x + 2x + x + 2x + 1−x 3x + + > ∀x ∈ − ;1 ta có x > − ⇒ 3x + > ⇒ − x2 x + 2x + ( ) ( ) ( ) Vậy: f ' x = ⇔ x = Bảng biến thiên: − x ( ) f' x ( ) f x | + 3 − 22 1 − || −4 3 − 22 Phương trình cho có nghiệm thuộc − ;1 ⇔ −4 ≤ m < m = II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Ban nâng cao có đáp án Câu VI.a ( điểm ) ( ) ( ) Tìm tham số thực m cho đường thẳng d : x = y − = z + cắt mặt cầu (S ) : x + y + z + 4x − 6y + m = điểm phân biệt M , N cho độ dài dây cung MN = (S ) : x + y + z + 4x − 6y + m = ⇔ (S ) :(x − 2)2 + (y − 3)2 + z = 13 − m có tâm I ( 2; 3; ) , bán kính R = IN = 13 − m , m < 13 Dựng IH ⊥ MN ⇒ MH = HN = ⇒ IH = IN − HN = 13 − m − 16 = −m − 3, m < −3 IH = d I ; d ( ( )) (d ) qua A ( 0;1; −1) có vectơ phương u = 1; 21 ; = 21 (2; 1; 2) AI = (−2; 2; 1); [AI ; u ] = (3; 6; − 6) ⇒ d I; d = ( ( )) [AI ; u ] 32 + 62 + 62 = u 22 + 12 + 22 = 81 = IH = d I ; d ⇔ −m − = ⇔ − m − = ⇔ m = −12 ( ( )) Vậy m = −12 thỏa mãn yêu cầu toán Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng (d ) có phương trình: 2x − y − = hai điểm A(1;2) , B(4;1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng (d ) qua hai điểm A, B Phương trình đường trung trực AB 3x − y − = 2x − y = x = Tọa độ tâm I đường tròn nghiệm hệ: ⇔ ⇒ I 1; −3 ⇒ R = IA = 3x − y = y = −3 ( ( ) ( Phương trình đường tròn x − + y + ) ) = 25 Câu VII.a ( điểm ) Với n số tự nhiên, chứng minh đẳng thức: C n + 2.C n + 3.C n + 4.C n3 + + n.C nn −1 + (n + 1).C nn = (n + 2).2n −1 ( Ta có : + x ) n = C n0 + C n1x + C n2x + C n3x + + C nn −1x n −1 + C nn x n ( Nhân vào hai vế với x ∈ ℝ , ta có: + x Lấy đạo hàm hai vế ta được: ) n x = C n0x + C n1x + C n2x + C n3x + + C nn −1x n + C nn x n +1 ( ) C n0 + 2C n1x + 3C n2x + 4C n3x + + nC nn −1x n −1 + n + C nn x n ( = n 1+x ) n −1 ( x + 1+x ) = (1 + x ) (nx + x + 1) n n −1 Thay x = , ta kết : C n0 + 2.C n1 + 3.C n2 + 4.C n3 + + n.C nn −1 + (n + 1).C nn = (n + 2).2n −1 Một toán giải chưa ? 95 y2 Cho nhị thức x 3y + , có số hạng dãy mà số mũ x chia hết số mũ y x 95 y2 Cho nhị thức x 3y + , có số hạng dãy mà số mũ x chia hết số mũ y x 95 i 95 95 95 −i y y2 i i 3.95 − 4.i 95 +i y , ≤ i ≤ 95 x y + x = ∑C 95 ( x y ) x = ∑C 95x i =0 i =0 Số mũ của x chia hết số mũ y , tồn số nguyên t cho (t + ) i = 95 ( − t ) • t = −4 ( * ) vô nghiệm 95 ( − t ) , ≤ i ≤ 95 ⇒ t = 0,1, 2, • t ≠ −4 ( * ) ⇒ i = t+4 95.3 loại + t =0⇒i = 95.2 + t =1⇒i = = 38 nhận , số hạng cần tìm C 9538x 133 y 133 95 loại + t =2⇒i = ( *) + t = ⇒ i = nhận , số hạng cần tìm C 950 x 258 y 95 Vậy có hai số hạng thỏa mãn toán : C 950 x 258 y 95 C 9538x 133 y 133 ... pháp cấp số cộng thu c chương trình giải tích lớp 11 Chú ý : Do chương trình giảm tải điểm uốn chương trình ban , giảm tải dẫn đến toán cấp số cộng , cấp số nhân hạn chế đề thi Nếu xuất toán... x2 x + 2x + ( ) ( ) ( ) Vậy: f ' x = ⇔ x = Bảng biến thi n: − x ( ) f' x ( ) f x | + 3 − 22 1 − || −4 3 − 22 Phương trình cho có nghiệm thu c − ;1 ⇔ −4 ≤ m < m = II PHẦN RIÊNG ( 3,0... du Câu V: ( điểm ) Tìm giá trị tham số thực m để phương trình − x − x + 2x + = m có nghiệm thu c đoạn − ;1 − x − x + 2x + = m, m ∈ R Xét hàm số : f x = − x − x + 2x + xác định