Sự tương thích của cấu trúc hầu phức trong hình học

1 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành với hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáo thầy TS Ngô Đình Quốc Tôi xin phép gửi đến thầy lời cảm ơn chân thành, lòng biết ơn sâu sắc mong muốn thầy hướng dẫn, bảo lĩnh vực nghiên cứu Toán học sau Tôi chân thành cảm ơn Thầy cô giáo Khoa Toán – Trường Đại học Vinh, người giúp có kiến thức, tài liệu, tạo điều kiện để hoàn thành công việc học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn người thân, bạn bè lớp Toán K19- Đồng Tháp, BGH, tập thể giáo viên trường THPT iSchool Long An quan tâm, giúp đỡ, động viên suốt thời gian học tập vừa qua Học viên thực Phan Đặng Hoàng Khuất Nguyên MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian vectơ symlectic 1.2 Không gian phân thớ 1.3 Đa tạp symplectic 10 1.4 Mêtric Riemann, đa tạp Riemann 12 1.5 Các khái niệm chuẩn bị cho toán địa phương 13 Chƣơng 2: SỰ TƢƠNG THÍCH CỦA CẤU TRÚC HẦU PHỨC TRONG HÌNH HỌC 2.1 Cấu trúc phức không gian vectơ 31 2.2 Cấu trúc tương thích đa tạp 35 2.3 Cấu trúc tuyến tính tương thích 37 2.4 Bộ ba tương thích 38 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU Đối với ngành Hình học, đối tượng chung điểm, đường, mặt, đa tạp Quan hệ chung thuộc Để phân chia ngành Hình học, người ta vào phương pháp nghiên cứu nó, tức vào công cụ sử dụng để tìm kiếm tính chất hình học không gian hình học cụ thể Hình học sơ cấp (từ kỷ XI trước Công nguyên năm 1899) phương pháp ngiên cứu phương pháp tổng hợp, nên Hình học sơ cấp gọi hình học tổng hợp Phương pháp nghiên cứu tổng hợp bao gồm thí nghiệm, thực nghiệm, trực quan, suy luận logic Từ năm 1899 đến kỷ XX hình học cao cấp đời, công cụ nghiên cứu dựa vào đại số để nghiên cứu hình học Từ kỷ XX công cụ nghiên cứu hình học tôpô đại số tôpô vi phân, hình học đại đời, nghiên cứu tính chất bất biến qua nhóm tác động Dựa vào nhóm tác động mà phân chia loại hình học Hình học symplectic hình học dạng song tuyến tính phản đối xứng không suy biến đóng Hình học Riemann hình học nghiên cứu đa tạp Riemann, đa tạp nhẵn với metric Riemann, loại khoảng cách hiểu dạng song tuyến tính, đối xứng, xác định dương không gian tiếp xúc điểm Hình học Riemann tổng quát hóa hình học Euclide không gian không cần thiết phẳng, chúng tương tự hình học Euclide điểm vô cực Các khái niệm khác dựa độ dài thể tích, chẳng hạn độ dài cung đường cong, thể tích vật rắn đưa vào tự nhiên hình học Riemann Khái niệm đạo hàm có hướng hàm từ phép tính vi phân nhiều biến số mở rộng hình học Riemann tới khái niệm đạo hàm hiệp biến tensor Nhiều tư tưởng kỹ thuật giải tích toán học phương trình vi phân tổng quát hóa để góp phần tạo nên Hình học vi phân Hình học phức hình học nghiên cứu đa tạp phức Một đa tạp hầu phức đa tạp thực với tensor kiểu (1,1) tự đồng cấu (được gọi cấu trúc hầu phức) J : TM  TM J  1 Trong luận văn tập trung nghiên cứu đề tài “Sự tƣơng thích cấu trúc hầu phức hình học” Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày kiến thức không gian vectơ symplectic, đa tạp symplectic, không gian phân thớ, metric Riemann đa tạp Riemann Chương 2: Sự tương thích cấu trúc hầu phức hình học Trong chương trình bày cấu trúc phức không gian vectơ, cấu trúc tương thích đa tạp, ba tương thích Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương giới thiệu số kiến thức không gian vectơ symplectic, đa tạp symplectic, không gian phân thớ, metric Riemann, đa tạp Riemann, … liên quan đến chương sau Các kiến thức trình bày trích dẫn tài liệu [1], [2], [3], [4], [7] 1.1 Không gian vectơ Symplectic 1.1.1 Ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng a) Định nghĩa ánh xạ song tuyến tính phản xứng ([1], T16) Cho V không gian vectơ n – chiều trường số thực song tuyến tính  : V V  , ánh xạ gọi ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng ( x, y)  ( y, x) với x, y V Ví dụ Ánh xạ f:  2 ( x, y) f ( x, y)  x1 y2  x2 y1 x  ( x1, x2 ), y  ( y1, y2 )  ánh xạ song tuyến tính phản xứng b) Định lý tiêu chuẩn Nếu  ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng V V tồn sở u1, , uk , e1, , en , f1, , f n cho : (ui , v)  với i  1, , k; v V (ei , e j )   ( fi , f j ) với i, j  1, , n (ei , f j )  ij với i  1, , n Chứng minh Đặt U  u V | (u, v)  0, v V  Chọn sở U u1 , , uk gọi W phần bù U V ta có V = W  U Ta chứng minh W  0 Thật vậy, giả sử W  0  V  U   Nhưng nói chung   nên W  0 Chọn e1  W cho e1  chọn f1  W cho (e1, f1 )  Giả sử (e1, f1 )  0, f  W  (e1, f )  0, f  W  e1 U Vô lý Vậy tồn f  W để (e1, f )  c  Khi chọn f1  f (e1, f1 )  c Đặt W1  e1 , f1 W1  v  W | (v, u)  0, u  W1 * Ta chứng minh W1  W1  0 Giả sử x  W1  W1  x  W1  e1 , f1  x  ae1  bf1 Vì x  W1 nên ( x, e1 )  ( x, f1 )  Mà ( x, e1 )  (ae1  bf1 , e1 )  b ( x, f1 )  (ae1  bf1 , f1 )  b Do đó, a = - b = x = W1  W1  0 * Ta chứng minh W=W1 +W1Ω Thật vậy, lấy tùy ý v  W (v, e1 )  a, (v, f1 )  b Ta viết v  (be1 - af1 )  (v  af1 - be1 ) be1  af1 W1 (v  af1  be1 , e1 )  (v, e1 )  (af1 , e1 )  (-be1 , e1 )   (v, e1 )  a( f1 , e1 )  b(e1 , e1 )  (v  af1  be1 , f1 )  (v, f1 )  (af1 , f1 )  (-be1 , f1 )   (v, f1 )  a( f1 , f1 )  b(e1 , f1 )  Suy v  af1  be1 W1 Suy W  W1  W1 hiển nhiên W1  W1  W Do W = W1  W1 Vậy W=W1  W1Ω Nếu W1  0 ta có điều phải chứng minh Nếu W1  0 lặp lại lý luận với W1 với W Vì dimV   nên sau hữu hạn bước tiến hành, cuối ta thu V  U  W1   Wn Trong Wi  ei , fi với i  1, , n c) Định lý đối ngẫu Ánh xạ  : V  V , u (u) xác định (u)(v)  (u, v) ánh xạ tuyến tính Chứng minh * Với u1 , u2 , v V ta có (u1  u2 )(v)  (u1  u2 , v)  (u1 , v)  (u2 , v)  (u1 )(v)  (u2 )(v) Suy (u1  u2 )  (u1 )  (u2 ) * Với u, v V k  , ta có (ku)(v)  (ku, v)  k (u, v)  k (u)(v) Suy (ku)  k (u) 1.1.2 Định nghĩa không gian vectơ symplectic ví dụ ([1], T 19) a) Định nghĩa cấu trúc symplectic ([1], T 19) Ánh xạ song tuyến tính phản xứng  symplectic  song ánh Khi đó, ánh xạ  gọi cấu trúc symplectic V (V,  ) gọi không gian vectơ symplectic Nếu Y không gian vectơ không gian vectơ symplectic (V,  ) ta định nghĩa Y   v V | (u, v)  0, u  Y  , gọi phần bù trực giao Y (V,  ) b) Các tính chất ([1], T.19) Nếu Y, L, M không gian vectơ không gian vectơ symplectic (V,  ) i dim Y  dim Y   dimV ii (Y  )  Y iii Nếu Y  M M   Y  iv ( L  M )  L  M  ,( L  M )  L  M  Chứng minh i Xét ánh xạ f : V  Y *  Hom(Y , ), v f (v)  (v) | Y  Rõ ràng f ánh xạ tuyến tính  song ánh  Vì (V,  ) không gian vec tơ symplectic nên  song ánh Do imf = Y*  Kerf  v V : f (v)  0  v V : (v, u )  0, u Y   Y  Mặt khác dimY = dimY* nên ta suy dimV  dim(Im f )  dim( Kerf )  dimY  dimY  ii Với v  Y ta có (v, u)  0, u  Y  Suy v  Y   Y  Y     Theo (i) dimV  dim Y  dim Y   dim Y   dim(Y  ) Suy dim Y  dim(Y  ) Vậy Y  (Y  ) iii Với v  M   (v, u)  0, u  M Vì Y  M nên (v, u)  0, u  Y , suy v  Y  M   Y  iv.Ta có L  M  L L  M  M Theo (iii) suy  L  M   L  L  M   M     ( L  M )  L  M  Mặt khác L  L  M  M   L  M  Suy L   L  M   M   L  M       L  M   L  M   Vậy  L  M   L  M   Sử dụng ý phần ta có  L  M    ( L )  (M  )  Suy L  M    L  M   1.2 Không gian phân thớ ([7], T.11) 1.2.1 Định nghĩa ([7], T.11) Cho E, B hai không gian tôpô, p : E  B ánh xạ liên tục thỏa mãn: Với b  B tồn lân cận U b b , không gian F phép đồng phôi  :Ub  F  p1 (U p ) cho p( (b ', x))  b ' Khi ba ( E, p, B) gọi phân thớ, E gọi không gian toàn phần phân thớ, B gọi không gian sở phân thớ, p gọi phép chiếu phân thớ Ta thường kí hiệu phân thớ   ( E, p, B),  ( E, p, B),   ( E, p, B), Khi E ( ) gọi không gian tổng  , B( ) gọi không gian sở  Với b  B không gian p 1 (b) gọi thớ b Một không gian đồng phôi với p 1 (b) , b  B gọi thớ phân thớ ( E, p, B) Ví dụ Xét ba ( B  F , p, B) , với p :(b, x) b Ta chọn Ub  B  ánh xạ đồng nhất, điều kiện định nghĩa thỏa mãn Do ( B  F , p, B) phân thớ gọi phân thớ tích với thớ F 10 1.2.2 Định nghĩa ([7], T.12) ( E ', p ', B ') gọi phân thớ ( E, p, B) E ' không gian E, B ' không gian B p '  p : E '  B' E' 1.2.3 Định nghĩa ([7], T.12) Cho   ( E, p, B) phân thớ, s : B  E ánh xạ liên tục thỏa mãn p s  1B Khi s gọi nhát cắt phân thớ  Nói cách khác nhát cắt ánh xạ s : B  E thỏa mãn s(b)  p1(b) với b  B Từ định nghĩa nhát cắt ta thấy ( E ', p ', B ') phân thớ ( E, p, B) , s nhát cắt ( E, p, B) s nhát cắt ( E ', p ', B ') s(b)  E ', b  B ' 1.2.4 Mệnh đề ([7], T.12) Cho phân thớ tích   ( B  F , p, B), s : B  B  F cho b (u, f ) nhát cắt  Thì ta có u  b f  g (b) với g : B  F Chứng minh Do s nhát cắt  nên ta có: p s(b)  b, b  B  p(u, f )  b  u  b Do ta có f ảnh b qua ánh xạ g : B  F nên f  g (b) 1.3 Đa tạp symplectic ([1], T.21) 1.3.1 Dạng symplectic ([1], T.21) Cho M đa tạp trơn 2n – chiều 2- dạng vi phân  thõa mãn  đóng  p không suy biến với p  M gọi dạng symplectic 29 Chƣơng SỰ TƢƠNG THÍCH CỦA CẤU TRÚC HẦU PHỨC TRONG HÌNH HỌC Trong chương trình bày chi tiết cấu trúc phức không gian vectơ, cấu trúc hầu phức đa tạp tương thích chúng với dạng symplectic… Các kiến thức chương trích dẫn tài liệu [5],[8] Trong thực tế, đa tạp symplectic sở hữu cấu trúc hầu phức với tương thích Do đó, nên có mối liên thông hình học symplectic với hình học phức, điểm xuất phát cho kỹ thuật đại tính đường cong giả chỉnh hình, điều phát biểu lần Gromov (1) Hình học Symplectic hình học dạng song tuyến tính phản xứng đóng (2) Hình học Riemann hình học dạng song tuyến tính xác định dương (3) Hình học phức hình học ánh xạ tuyến tính với bình phương -1 (ánh xạ đơn vị) Ví dụ Cho không gian 2n với hệ tọa độ tuyến tính trực chuẩn ( x1 , , xn , y1 , , yn ) ta có cấu trúc trực chuẩn: 0   dx j  dy j , cấu trúc symplectic trực chuẩn g0  ,   , tích vô hướng 30 Nếu đồng 2n với n với phép đổi tọa độ z j  x j  1y j , tích 1 suy từ ánh xạ tuyến tính J không gian tiếp xúc 2n J0 ( Với J 02   Id với sở     ) , J0 ( ) x j y j y j x j     , ánh xạ cho bởi: , , , , , x1 xn y1 yn  Id   u  0 J (u )    Id 0  Id 0 (u, v)  vt   Id   u  g (u , v)  v t u Với u, v  2n v t ma trận chuyển vị v Dưới phương trình mối liên hệ đại lượng J , 0 , g0 : 0 (u, v)  g0 ( J (u), v) Ví dụ Xét u  ( x11 , x12 , y11 , y12 ) v  (x , x , y , y ) 2 0 0 J (u )   0  1 2 , u, v  0 1  x11    y12      1   x12    y11   0   y11   x12      0   y12   x11  0 (u, v)   x12 x22 y12 0  0 y2  0  1 g0 ( J (u ), v)  v t J (u )   x12 x22 0 1  x11    1   x12   x11 y22  x12 y12  x22 y11  x12 y12 0   y11    0   y12  y12 (1)   y12   1 y y22   21    x12 y12  x22 y11  x12 y12  x11 y22 (2)  x1     x1  31 Từ (1) (2) ta có: 0 (u, v)  g0 ( J (u), v) 2.1 Cấu trúc phức không gian vectơ ([5], T.68) 2.1.1 Định nghĩa Cho V không gian vectơ Một cấu trúc phức V ánh xạ tuyến tính J : V  V thỏa mãn: J   Id Thì cặp (V , J ) gọi không gian vectơ phức Một cấu trúc phức J tương đương với cấu trúc không gian vectơ ta đồng ánh xạ J với phép nhân với 1 2.1.2 Định nghĩa Cho (V , ) không gian vectơ symplectic, cấu trúc phức J V gọi tương thích (với   - tương thích) nếu: GJ (u, v) : (u, J v ), u, v V tích vô hướng dương V Tức ( J u , J v )  (u, v) J  - tương thích   (u, J u )  0, u  Như vậy, có phải tồn cấu trúc tương thích J không gian vectơ symplectic hay không? Ta xét mệnh đề sau 2.1.3 Mệnh đề Cho (V , ) không gian vectơ symplectic Khi đó, tồn cấu trúc phức tương thích J V Chứng minh Chọn tích vô hướng G V Vì  không suy biến V 32 u V (u,*) V * w V G ( w,*) V * phép đẳng cấu V V * Vì (u, v)  G( Au, v) với ánh xạ tuyến tính A : V  V , A gọi phản đối xứng G( A*u, v)  G(u, Av)  G( Av, u)  (v, u)  (u, v)  G( Au, v) Hơn AA* đối xứng: ( AA* )*  AA* AA* dương: G( AA*u, u)  G( A*u, A*u)  0, u  Các tình chất có nghĩa AA* ánh xạ song tuyến tính có ma trận chéo mà giá trị riêng i đường chéo dương AA*  B diag 1 , , 2n  B1 Vì ta xác định số mũ thực AA* cách tính toán lại giá trị riêng trường hợp riêng với: AA* : B diag   1 , , 2n B 1 Khi AA* đối xứng xác định dương Lấy J  ( AA* )1 A Nhân tử A  ( AA* ) J gọi giá trị cực dương A Mặt khác, A giao hoán với AA* , J giao hoán với AA* Kiểm tra J trực giao, JJ *  Id , ta có ánh xạ nối J *   J phản đối xứng J cấu trúc phức V : J   JJ *   Id Tương thích ( Ju, Jv)  G( AJu, Jv)  G( JAu, Jv)  G( Au, v)  (u, v) (u, Ju)  G( Au, Ju)  G( JAu, u)  G( AA *u, u)  0, u  Nên J cấu trúc phức tương thích V 33 Như nêu phần chứng minh, nói chung tích dương xác định (u, Jv)  G( AA *u, v) khác với G(u, v) Lưu ý Việc xây dựng tắc sau lựa chọn G ban đầu Điều lưu ý AA * không phụ thuộc cách lựa chọn B thứ tự giá trị riêng ma trận đường chéo diag{ 1 , , 2n } Phép biến đổi tuyến tính AA * xác định đầy đủ giá trị riêng AA * không gian vectơ riêng ứng với giá trị riêng k , ánh xạ AA * xác định tích với k Nếu (Vt , t ) họ không gian vectơ symplectic với họ Gt tích vô hướng dương, trơn phụ thuộc biến số thực t , tương tự chứng minh mệnh đề ta thấy có họ J t trơn cấu trúc phức tương thích Vt Để kiểm tra mở rộng cấu trúc phức tương thích không gian symplectic (V , ) ta làm sau: Chọn sở symplectic e1 , , en , f1 , , f n (có nghĩa (ei , e j )  ( fi , f j )  (ei , f j )   ij ), ta xác định Je j  f j Jf j  e j Vậy J cấu trúc phức tương thích (V , ) Hơn với  J tương thích V , tồn sở symplectic V thì: e1 , , en , f1  Je1 , , f n  Jen Chứng minh Giả sử ( J , ) tương thích 34 Với e1  GJ (e1 , e1 )  , ta chọn e1 cho GJ (e1 , e1 )  (e1 , Je1 )  GJ (e1 , e1 )  e1 , Je1 độc lập tuyến tính Ta ký hiệu V  V1  V1 Trong V1  u V (u, v)  0; v V1 Thật vậy, ta kiểm tra V1  V1  0 Giả sử v  (V1 V1 )  v  ae1  bJe1 ta có (ae1  bJe1 , e1 )   a  b   v   (ae1  bJe1 , Je1 )  Với ta v V đặt v  (cJe1  de1 )  (v  cJe1  de1 ) c  (v, e1 ), d  (v, Je1 ) Khi v  v1  v2 với với v1  cJe1  de1 V1 , v2  v  cJe1  de1  V1 Tiếp tục tìm e2 , Je2 V1 tương tự ta sở cần tìm Giả sử e1 , , en , Je1 , , Jen  sở tiêu chuẩn V Với u, v V ta có n n n n i 1 i 1 u   ui ei   ui' Jei , v  vi ei   vi' Jei i 1 i 1 n n i 1 i 1  Jv   vi' ei   vi Jei n n i 1 i 1  GJ (u , v)  (u , Jv)   ui vi   ui' vi' Như vậy, GJ tích vô hướng V hay ( J , ) tương thích Ngược lại, cho (V , J ) có cấu trúc Symplectic  J  - tương thích, chọn tích vô hướng G dương cho J *   J (u, v)  G( Ju, v) 35 2.2 Các cấu trúc tƣơng thích đa tạp ([5], T.70) 2.2.1 Định nghĩa Một cấu trúc hầu phức đa tạp M trường vectơ trơn cấu trúc phức không gian tiếp xúc J x : Tx M  Tx M x Jx tuyến tính J x2   Id Cặp (M , J ) gọi đa tạp hầu phức 2.2.2 Định nghĩa Cho (M ,  ) đa tạp symplectic, cấu trúc hầu phức J M gọi tương thích (với   - tương thích) xác định: g x : Tx M  Tx M  x gx Mà g x mêtric Riemann M g x (u, v) : x (u, J xv) Nếu  dạng symplectic đa tạp M ánh xạ x : Tx M  Tx M  song tuyến tính phản xứng không suy biến x x Nếu g mêtric Riemann M đa tạp ánh xạ g x : Tx M  Tx M  x gx tích vô hướng dương Nếu J cấu trúc hầu phức đa tạp M ánh xạ J x : Tx M  Tx M x Jx tuyến tính J   Id Bộ ba (, g , J ) gọi ba tương thích g (, )  (, J ) 2.2.3 Định lý Cho (M ,  ) đa tạp symplectic g mêtric Riemann M Khi đó, tồn cấu trúc hầu phức tắc J M tương thích với  36 Chứng minh Theo mệnh đề 2.1.3 từ giả thiết suy luôn tồn cấu trúc J tương thích đa tạp M Sự khai triển theo cực tắc (khi lựa chọn mêtric) Do đó, việc xây dựng cấu trúc J M trơn (theo lưu ý trên), ta có điều phải chứng minh Chú ý Trong trường hợp tổng quát, g j (*,*) : (*, J *)  g(*,*) mêtric Riemann luôn tồn tại, nên ta có hệ sau: 2.2.4 Hệ Mọi đa tạp symplectic có cấu trúc hầu phức tương thích Sự khác cấu trúc hầu phức tương thích ? Mệnh đề sau trả lời câu hỏi 2.2.5 Mệnh đề Cho (M ,  ) đa tạp Symplectic Nếu J , J1 hai cấu trúc hầu phức tương thích với  , có họ hàm trơn J t ,0  t  cấu trúc hầu phức tương thích nối J J1 Chứng minh Do J , J1 hai cấu trúc hầu phức tương thích M nên ta có:  , J  g0 (*,*)   (*, J *)   hai mêtric Reimann M  , J1  g1 (*,*)   (*, J1*)  Xét tổ hợp lồi đường gt (*,*)  (1  t ) g0 (*,*)  tg1 (*,*),0  t  Từ trơn mêtric Riemann Áp dụng khai triển theo cực đến ( , gt ) ta thu họ hàm trơn J t nối J J1 2.2.6 Hệ 37 Tập hợp tất cấu trúc hầu phức tương thích đa tạp symplectic liên thông đường 2.3 Cấu trúc tuyến tính tƣơng thích Định lý Giả sử ( J , ) tương thích L không gian vectơ Lagrăng V Khi i JL không gian vectơ Lagrăng V V  L  JL ii Tồn sở Symplectic V dạng e1 , , en , Je1, , Jen  Chứng minh i Do J đẳng cấu tuyến tính nên dim L  dim JL  dimV Giả sử e1 , , en  sở trực chuẩn L (đối với tích vô hướng GJ V ) Ta chứng minh  Je1 , , Jen  sở JL Xét n n   ( Je )   (e ,   ( Je ))  i 1  i i i n  i (e j , Jei )   i , j 1 i i 1 i n   G (e , e )  i , j 1 i J j i  i  n n n i 1 i 1 i 1 Với u  JL  v  L : Jv  u  v   vi eiu  Jv  J ( vi ei )   vi Jei Từ đó, n n u, v  JL  u   ui Jei , v   v j Je j i 1 j 1 n n i 1 j 1  (u, v)  ( ui Jei ,  v j Je j )  n  u v (e , e )  i , j 1 i j i j 38 Vậy, JL không gian Lagrăng V Chứng minh L  JL  0 n  u  ui ei   u  L  i 1 u  ( L  JL)    n u  JL u  u ' Je  i i  i 1 Mặt khác, từ n n i 1 i 1  ui ei   ui' Jei  ta có n n i 1 i 1 (e j ,  ui ei   ui' Jei )  0, j  1, , n n n i 1 i 1   ui (e j , ei )   ui' (e j Jei )  n u G i 1 i J (e j , ei )   u 'j  0; j  1, , n  u  Do dim L  dim JL  2n  dimV nên V  L  JL ii (Đã trình bày lưu ý –Tr.35) 2.4 Bộ ba tƣơng thích ([5], T.74) 2.4.1 Sự tƣơng thích a) Sự tƣơng thích Cho (M ,  ) đa tạp symplectic Như trình bày phần trước, cấu trúc hầu phức tương thích tồn (M ,  ) Chúng ta thấy tập tất cấu trúc hầu phức (M ,  ) liên thông đường Thực ra, tập hợp tất cấu trúc hầu phức tương thích tập co rút (điều quan trọng để xác định tính bất biến) Kí hiệu (Tx M , x ) tập hợp tất cấu trúc hầu phức tương thích (Tx M , x ) với x  M Ta có mệnh đề sau b) Mệnh đề Cho (M ,  ) đa tạp symplectic tập (Tx M , x ) co rút, tức tồn họ đồng luân 39 ht : (Tx M , x )  (Tx M , x ),0  t  Với h0  Id h1  (Tx M , x )  J  cố định J (có nghĩa ht ( J )  J , t ) với J thuộc (Tx M , x ) Chứng minh Xem xét bó   M với sợi x : (Tx M , x ) với tất x  M Một cấu trúc hầu phức J tương thích phần  Không gian phần tử  co rút sợi gần co rút 2.4.2 Bộ ba cấu trúc (, J , g ) Cho (M ,  ) đa tạp symplectic Khi (, J , g ) ba tương thích M , J g biểu diễn qua hai thành phần lại, cụ thể sau: g (u, v)   (u, Jv)  (u, v)  g ( Ju, v) J (u )  g 1 ( (u )) Với  : TM  T * M g : TM  T * M u u  (u, ) g (u, ) Là đẳng cấu tuyến tính cảm sinh dạng song tuyến tính , g Các mối liên hệ , J g tóm tắt bảng sau Cột cuối liệt kê phương trình vi phân cấu trúc thường yêu cầu để đáp ứng: Cho , J Điều kiện  ( Ju, Jv)   (u, v)  (u, Jv)  0, u  Tính chất g (u, v)  (u, Jv) Bài toán nảy sinh g trơn? Là tích vô hướng dương g, J g ( Ju, Jv)  g (u, v) (u, v)  g ( Ju, v)  đóng? 40 Có nghĩa trực giao Không suy biến,phản xứng , g Phân cực  J cấu trúc hầu J khả tích? phức Một cấu trúc hầu phức J đa tạp M gọi khả tích J sinh cấu trúc đa tạp phức M Trong nghiên cứu tới trình bày sau a) Mệnh đề Cho (M , J ) đa tạp hầu phức Giả sử J tương thích với hai cấu trúc symplectic 0 , 1 Khi 0 , 1 tương đương biến dạng, nghĩa tồn họ hàm trơn t ,0  t  dạng symplectic từ 0 đến 1 Chứng minh Lấy t  (1  t )0  t1 ,0  t  Lúc đó: t đóng t không suy biến Từ đó: gt (, ) : t (, J )  (1  t ) g0 (, )  tg1 (, ) rõ ràng, không suy biến b) Chú ý Mệnh đề ngược lại mệnh đề không Một phản ví dụ chứng minh họ sau : t  cos  tdx1dy1  sin  tdx1dy2  sin  tdy1dx2  cos  tdx2 dy1 ,0  t  Không có J tương thích với hai 0 , 1 c) Định nghĩa Một đa tạp X đa tạp hầu phức (M , J ) đa tạp hầu phức Nếu J (TX )  TX , có nghĩa là, với x  X , v  Tx X J x v  Tx X d) Mệnh đề 41 Cho (M ,  ) đa tạp Symplectic trang bị cấu trúc hầu phức tương thích J Khi tất đa tạp hầu phức X (M , J ) đa tạp Symplectic (M ,  ) Chứng minh Cho i : X  M ánh xạ bao hàm Khi i * 2-dạng đóng X không suy biến: x (u, v)  g x ( J xu, v), x  X , u, v Tx X Từ đó: g x Tx X x Tx X không suy biến Như vậy, i * Symplectic Câu hỏi nẩy sinh là: Khi đa tạp hầu phức đa tạp phức? Ví dụ S đa tạp hầu phức đa tạp phức S không đa tạp hầu phức (chứng tỏ Ehresmann Hopf) S hầu phức chưa biết cho dù phức S lĩnh vực cao đa tạp hầu phức 42 KẾT LUẬN 1- Trong luận văn trình bày chi tiết cấu trúc phức không gian vectơ, cấu trúc hầu phức đa tạp tương thích chúng với dạng symplectic + Một cấu trúc phức V ánh xạ tuyến tính J :V  V thỏa mãn: J  Id (Định nghĩa 2.1.1) + Điều kiện tương thích cấu trúc phức J không gian vectơ Symplectic (Định nghĩa 2.1.2) +Chứng minh tồn cấu trúc phức tương thích không gian vectơ Symplectic (Mệnh đề 2.1.3) +Trình bày định nghĩa, nêu lên tương thích cấu trúc hầu phức J đa tạp M (Định nghĩa 2.2.1, Định nghĩa 2.2.2, Định lý 2.2.3) + Tập hợp tất cấu trúc hầu phức đa tạp Symplectic liên thông đường (Mệnh đề 2.2.5, Hệ 2.2.6) 2- Phát biểu chứng minh Định lý 2.3 3- Trình bày mối liên hệ ba cấu trúc tương thích (, J , g ) (2.4.2) 4- Nêu lên mối liên hệ hai cấu trúc Symplectic tương thích với cầu trúc hầu phức (Mệnh đề 2.4.2.1) 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Ngô Đình Quốc (2010), Bài giảng Hình học symplectic, giảng Cao học Đại học Vinh [2] Nguyễn Hữu Quang- Ngô Đình Quốc - Nguyễn Văn Bồng (2008) , Hình học vi phân, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Khu Quốc Anh – Nguyễn Doãn Tuấn (2011), Lí thuyết liên thông Hình học Riemann, NXB Đại học Sư Phạm [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh Tiếng anh [5] Ana Cannas da Silva (2000), Lectures on Symplectic Geometry, Springer – Verlag [6] Peter Petersen (2006), Riemannian Geometry, Springer – Verlag [7] Dale Husemoller (1993), Fibre Bundles (Third Edition), Springer Verlag [8] T.J.WillMore (1993), Riemannian Geometry, Oxford [...]... THÍCH CỦA CẤU TRÚC HẦU PHỨC TRONG HÌNH HỌC Trong chương này chúng tôi trình bày chi tiết về cấu trúc phức trong không gian vectơ, cấu trúc hầu phức trên đa tạp và sự tương thích của chúng với một dạng symplectic… Các kiến thức trong chương này chúng tôi trích dẫn trong tài liệu [5],[8] Trong thực tế, bất kì một đa tạp symplectic nào đều sở hữu một cấu trúc hầu phức với sự tương thích nào đó Do đó, nên... phức tương thích trên nó Sự khác nhau của các cấu trúc hầu phức tương thích là gì ? Mệnh đề sau đây trả lời câu hỏi đó 2.2.5 Mệnh đề Cho (M ,  ) là đa tạp Symplectic Nếu J 0 , J1 là hai cấu trúc hầu phức tương thích với  , khi đó có một họ hàm trơn J t ,0  t  1 của cấu trúc hầu phức tương thích nối J 0 và J1 Chứng minh Do J 0 , J1 là hai cấu trúc hầu phức tương thích trên M nên ta có:  , J 0  g0... mối liên thông giữa hình học symplectic với hình học phức, và nó là điểm xuất phát cho các kỹ thuật hiện đại tính các đường cong giả chỉnh hình, điều này được phát biểu lần đầu tiên bởi Gromov (1) Hình học Symplectic là hình học của các dạng song tuyến tính phản xứng đóng (2) Hình học Riemann là hình học của một dạng song tuyến tính xác định dương (3) Hình học phức là hình học của một ánh xạ tuyến... trơn của cấu trúc phức tương thích trên Vt 3 Để kiểm tra sự mở rộng của cấu trúc phức tương thích trên không gian symplectic (V , ) ta làm như sau: Chọn một cơ sở symplectic e1 , , en , f1 , , f n (có nghĩa là (ei , e j )  ( fi , f j )  0 và (ei , f j )   ij ), ta xác định được Je j  f j và Jf j  e j Vậy J đây là một cấu trúc phức tương thích trên (V , ) Hơn nữa với  và J tương thích. .. một cấu trúc Symplectic  như J là  - tương thích, chọn bất kì tích vô hướng G dương sao cho J *   J và (u, v)  G( Ju, v) 35 2.2 Các cấu trúc tƣơng thích trên đa tạp ([5], T.70) 2.2.1 Định nghĩa Một cấu trúc hầu phức trên đa tạp M là một trường vectơ trơn của cấu trúc phức trên không gian tiếp xúc J x : Tx M  Tx M x Jx tuyến tính và J x2   Id Cặp (M , J ) như thế được gọi là một đa tạp hầu phức. .. cấu trúc J tương thích trên đa tạp M Sự khai triển theo cực là chính tắc (khi đã lựa chọn một mêtric) Do đó, việc xây dựng cấu trúc J trên M là trơn (theo lưu ý 2 ở trên), ta có điều phải chứng minh Chú ý Trong trường hợp tổng quát, g j (*,*) : (*, J *)  g(*,*) vì mêtric Riemann luôn luôn tồn tại, nên ta có hệ quả sau: 2.2.4 Hệ quả Mọi đa tạp symplectic có cấu trúc hầu phức tương thích trên nó Sự. ..  31 Từ (1) và (2) ta có: 0 (u, v)  g0 ( J 0 (u), v) 2.1 Cấu trúc phức trong không gian vectơ ([5], T.68) 2.1.1 Định nghĩa Cho V là một không gian vectơ Một cấu trúc phức trên V là một ánh xạ tuyến tính J : V  V thỏa mãn: J 2   Id Thì cặp (V , J ) được gọi là một không gian vectơ phức Một cấu trúc phức J tương đương với một cấu trúc của không gian vectơ trên nếu ta đồng nhất ánh xạ J với phép... chuyển cấu trúc này thành cấu trúc trên toàn đa tạp bằng việc xét phép chiếu  : T *M  M , p  ( x, ) x trong đó   Tx*M Khi đó 1-dạng vi phân  được định nghĩa theo từng điểm bởi  p   d p trong đó d p : Tp (T *M )  Tx M và p  ( x, ) Do đó, dạng symplectic chính tắc  trên T *M được xác định bởi   d Vậy (T *M ,  ) là một đa tạp symplectic 29 Chƣơng 2 SỰ TƢƠNG THÍCH CỦA CẤU TRÚC HẦU PHỨC... nghĩa Cho (V , ) là một không gian vectơ symplectic, một cấu trúc phức J trên V được gọi là tương thích (với  hoặc  - tương thích) nếu: GJ (u, v) : (u, J v ), u, v V là một tích vô hướng dương trên V Tức là ( J u , J v )  (u, v) J là  - tương thích   (u, J u )  0, u  0 Như vậy, có phải bao giờ cũng tồn tại một cấu trúc tương thích J trên không gian vectơ symplectic hay không? Ta xét... một ánh xạ nối J *   J là phản đối xứng và do đó J là một cấu trúc phức trên V : J 2   JJ *   Id Tương thích ( Ju, Jv)  G( AJu, Jv)  G( JAu, Jv)  G( Au, v)  (u, v) (u, Ju)  G( Au, Ju)  G( JAu, u)  G( AA *u, u)  0, u  0 Nên J là một cấu trúc phức tương thích trên V 33 Như đã nêu trong phần chứng minh, nói chung tích trong dương được xác định bằng (u, Jv)  G( AA *u, v) là khác ... 13 Chƣơng 2: SỰ TƢƠNG THÍCH CỦA CẤU TRÚC HẦU PHỨC TRONG HÌNH HỌC 2.1 Cấu trúc phức không gian vectơ 31 2.2 Cấu trúc tương thích đa tạp 35 2.3 Cấu trúc tuyến tính tương thích 37... Chương 2: Sự tương thích cấu trúc hầu phức hình học Trong chương trình bày cấu trúc phức không gian vectơ, cấu trúc tương thích đa tạp, ba tương thích 5 Chƣơng KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương... symplectic 29 Chƣơng SỰ TƢƠNG THÍCH CỦA CẤU TRÚC HẦU PHỨC TRONG HÌNH HỌC Trong chương trình bày chi tiết cấu trúc phức không gian vectơ, cấu trúc hầu phức đa tạp tương thích chúng với dạng symplectic…