luận văn tốt nghiệp : mô hình toán học

  TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ  KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN  BỘ MÔN TOÁN ------------    LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC MÔ HÌNH TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN SINH VIÊN THỰC HIỆN TS. NGUYỄN HỮU KHÁNH TRẦN THỊ ÚT THI_100189 (BỘ MÔN TOÁN – KHOA KHTN) NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG CẦN THƠ - 12/2013       LỜI CẢM ƠN -----------  Lời  đầu  tiên,  em  xin  tỏ  lòng  biết  ơn  sâu  sắc  đến  thầy  TS.Nguyễn  Hữu  Khánh.  Thầy đã tận tình hướng dẫn cho em trong suốt quá trình làm luận văn này.   Em xin chân thành cám ơn các thầy, cô trong Khoa Khoa Học Tự Nhiên trường  Đại  Học  Cần  Thơ,  đã  trang  bị  những  kiến  thức là  nền  tảng  quan  trọng  cho  em  trong  suốt quá trình học tập.  Xin cám ơn anh chị và các bạn đã sẵn sàng giúp đỡ em tìm hiểu thêm một số vấn  đề liên quan đến luận văn.  Măc  dù  đã  có  cố  gắng  thực hiện  đề  tài  một  cách  tốt  nhất,  nhưng  do  có  những  vấn đề còn mới đối với em nên đề tài này không tránh khỏi những sai sót, kính mong  thầy cô và bạn bè góp ý để luận văn hoàn thiện hơn.  Xin chân thành cám ơn!                      Cần Thơ, tháng 12 năm 2013          Trần Thị Út Thi ii     DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT/ KÝ HIỆU   SST    Tổng biến thiên của biến phụ thuộc.     SSR    Biến thiên của hồi quy.     SSE    Biến thiên của phần dư.        iii     DANH MỤC CÁC BẢNG Trang    Bảng 1. Các tham số trong mô hình ......................................................... 32  Bảng 2. Dân số Việt Nam từ năm 2000 đến năm 2013 ............................ 34  Bảng 3. Bảng dữ liệu cho biểu thức   ln P (t )  ln P (0)   .............................. 35  t Bảng 4. Số thí sinh dự thi Đại học từ năm 1991 đến 1998 ....................... 44  Bảng 5. Các thông tin cần thiết để xây dựng mô hình hồi     quy tuyến tính đơn ...................................................................... 45    Bảng 6. Các thông tin quan trọng để đánh giá sự phù hợp   của mô hình ................................................................................ 45  Bảng 7. Độ tuổi , tỷ trọng cơ thể và cholesterol  ...................................... 48  Bảng 8. Các thông tin cần thiết để xây dựng mô hình hồi   quy tuyến tính bội ....................................................................... 49  Bảng 9. Hàm số xn  .................................................................................. 51  Bảng 10. Chiến trận giữa quân A và quân B ............................................ 63  Bảng 11. Dự báo giá vàng thế giới 12 tháng năm 2012 ............................ 66      iv     DANH MỤC CÁC HÌNH Trang    Hình 1. Đồ thị của nghiệm tổng quát y(t) khi C=0.5,   k=0.175, L=100,000 .................................................................. 12    Hình 2. Trường vector của hệ và các đường cong nghiệm ....................... 28  Hình 3. Trường vector và đường dẫn của nghiệm của hệ   SIR với S(0)=800 và I(0)=1 ........................................................ 30  Hình 4. Biểu đồ mô hình lan truyền bệnh sốt rét ...................................... 31  Hình 5. Đồ thị số lượng người bị nhiễm Ih và muỗi bị nhiễm   Im khi R0  1 ............................................................................... 33  Hình 7. Đồ thị của tập dữ liệu   y ln P (t )  ln P (0)  và hàm  t a0 2 a1 t  t  a2 . ................................................................... 36  3 2 Hình 8. Đồ thị của hàm  ln P (t )  ln P (0) và tập dữ liệu  t  dân số Việt Nam ........................................................................ 36  Hình 9. Đồ thị phân tán dữ liệu của số thí sinh thi đại học   mỗi năm .................................................................................... 44  Hình 10. Biểu đồ mối liên hệ giữa ba biến độ tuổi, tỷ trọng    và cholesterol ............................................................................. 49  Hình 11. Đồ thị giá vàng thế giới từ năm 1990 đến 2011 ......................... 66    Hình 12. Đồ thị cho giá vàng thế giới và dự báo năm 2012 ..................... 67              v     MỤC LỤC  Trang   PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................. 1  I. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1  II.  Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 1  III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................... 1  IV.  Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 1  PHẦN NỘI DUNG ............................................................................................... 2 Chương 1 MÔ HÌNH LIÊN TỤC ................................................................ 3  1.1 Mô hình cho bởi hàm ….. ................................................................................ 3  1.1.1 Hàm một biến y=f(x)  ................................................................................ 3  1.1.2 Hàm nhiều biến  ........................................................................................ 5  1.2  Mô hình bằng phép lấy tích phân .................................................................... 6  1.2.1 Tổng Riemann .......................................................................................... 6  1.2.2  Tích phân xác định ................................................................................... 7  1.3  Mô hình cho bởi phương trình vi phân ............................................................ 9  1.3.1 Phương trình vi phân cấp một ................................................................... 9  a. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một ............................................... 9   b. Phương trình tách biến . ........................................................................ 11   c. Phương trình đẳng cấp ........................................................................... 13  d. Phương trình Bernoulli .......................................................................... 15  e. Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân ............................. 16  i)  Phương trình vi phân toàn phần ........................................................ 16  ii) Thừa số tích phân ............................................................................. 17  1.3.2  Phương trình vi phân cấp cao ................................................................... 19  a. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất ............................... 20  b. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất . .................. 22  c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng ........ 23  1.3.3 Mô hình cho bởi hệ phương trình vi phân (Hệ động lực) ........................... 26  a. Mô hình dã thú và con mồi (Mô hình Lotka-Voltera) ............................ 27    vi     i)  Xây dựng mô hình ............................................................................ 27  ii) Mặt phẳng pha .................................................................................. 28  b. Mô hình lan truyền bệnh SIR . .............................................................. 29  i)  Xây dựng mô hình ............................................................................ 29  ii) Các tham số a và b ........................................................................... 29  iii) Mặt phẳng pha................................................................................. 30  iv) Động lực của mô hình SIR .............................................................. 31  c. Mô hình lan truyền bệnh sốt rét (Mô hình dạng SIR-SI) ........................ 31  1.3.4  Mô hình biểu diễn bởi phương trình vi phân thông qua tập dữ liệu........... 33  Chương 2 MÔ HÌNH RỜI RẠC................................................................... 37  2.1 Hồi quy tuyến tính …....................................................................................... 37  2.1.1 Hồi quy tuyến tính đơn  ................................................................................. 37  a. Mô hình ................................................................................................. 37  b. Xây dựng mô hình hồi quy mẫu . .......................................................... 37  c. Một số thống kê liên quan ..................................................................... 39  2.1.2 Hồi quy tuyến tính bội  ............................................................................. 45  a. Mô hình ................................................................................................. 45  b. Xây dựng đường hồi quy mẫu . ............................................................. 46  c. Đánh giá sự phù hợp của mô hình ......................................................... 47  2.2 Mô hình cho bởi quan hệ truy hồi  ................................................................... 51  2.2.1 Sai phân  ................................................................................................... 51  a. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một .............................................. 52  b. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai ............................................... 53  2.2.2 Khái niệm hàm sinh .................................................................................. 56  2.2.3 Hàm sinh và quan hệ truy hồi  ................................................................... 56  2.3 Mô hình cho bởi phương trình vector và ma trận chuyển vị ............................. 60  2.3.1 Ma trận chuyển vị ..................................................................................... 60  2.3.2  Phương trình vector ................................................................................. 61  2.3.3  Bài toán ứng dụng .................................................................................... 63  2.4  Mô hình hồi quy tích hợp trung bình trượt ARIMA......................................... 65  PHẦN KẾT LUẬN............................................................................................... 68  TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................... 69    vii     PHẦN MỞ ĐẦU    I. Lý do chọn đề tài Môi  trường  thực rất  đa  dạng  và  phức tạp,  các  mối  quan  hệ  giữa các  yếu  tố  đan  xen chằng chịt ảnh hưởng lẫn nhau. Từ lâu con người đã sử dụng mô hình hóa như là  một  công  cụ  để  khảo  sát  hoặc  nghiên  cứu các  mối  quan  hệ  đó.  Ngày  nay  do  sự phát  triển nhanh chóng của toán học và công nghệ thông tin, mô hình toán học đã phát triển  rất nhanh và trở thành công cụ mạnh không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực.  Bên  cạnh  đó  nhằm  giúp  cho  người  học  am  hiểu  hơn  về  cách  toán  học  được  áp  dụng vào các vấn đề thực tiễn của cuộc sống, và để biểu diễn cho các phần quan trọng  của một hệ thống có sẵn (hoặc sắp được xây dựng) với mụch đích biểu diễn trí thức về  hệ thống đó dưới một dạng có thể dùng được đã thôi thúc em chọn đề tài “MÔ HÌNH TOÁN HỌC“ cho luận văn tốt nghiệp của mình. II. Mục đích nghiên cứu Tổng  hợp  một  sự  vật,  hiện  tượng  hay  một  quá  trình  nào  đó  có  thể  mô  tả  được  bằng một mô hình toán học.  Xây dựng mô hình để nghiên cứu những đặc trưng cũng như sử dụng chúng trực  tiếp, làm đơn giản các bài toán phức tạp.  III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Mô  hình  toán  học  có  thể  là  một  con  số,  một hàm  số,  một  hệ  thống  các  phương  trình. Một quá trình tự nhiên có thể mô tả được bằng một mô hình liên tục hay rời rạc.  - Mô hình cho bởi hàm, phương trình vi phân, tích phân.  -  Mô  hình  hồi  quy,  mô  hình  cho  bởi  quan  hệ  truy  hồi,  ma  trận  chuyển  vị  và  phương trình vector.  IV. Phương pháp nghiên cứu - Phân tích, tổng hợp và hệ thống các mô hình.  - Biểu diễn các quá trình tự nhiên bằng công thức toán học.  - Sử dụng số liệu, xây dựng các mô hình dự báo phù hợp.   1     PHẦN NỘI DUNG    Các bước chính cho quá trình khảo sát mô hình toán học        Bài toán thực tế         Kiểm chứng thực tế   Thu thập số liệu,  dữ kiện         Biều đồ mô tả mô hình   (yếu tố, điều kiện liênquan)         Xây dựng mô hình toán   học và khảo sát dáng điệu         2     Chương 1 MÔ HÌNH LIÊN TỤC 1.1 MÔ HÌNH CHO BỞI HÀM Trong thưc tế cũng như trong toán học ta thấy có nhiều sự tương quan mà trong  đó đại lượng này phụ thuộc đại lượng kia. Diện tích của hình tròn phụ thuộc vào bán  kính của nó. Khi cho bán kính khác nhau thì  diện tích tròn sẽ khác nhau. Ta nói diện  tích tròn là hàm của bán kính. Đọan đường rơi S của một vật rơi tự do không diện tích  1 ban đầu phụ thuộc vào thời gian t kể từ khi rơi  S =  gt 2 ,ứng với mỗi giá trị của t ta có  2 một giá trị xác định của S. Ta nói quảng đường S là hàm của thời gian t.  1.1.1 Hàm một biến y = f (x).  Định nghĩa 1: Cho X, Y là hai tập hợp số, ví dụ tập số thực    , hàm số f xác định  trên X, nhận giá trị trong Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi số x thuộc X với một số y  duy nhất thuộc Y. Ký hiệu  f : X  Y  hoặc   f : x  f ( x )    hoặc   y  f ( x)   o Tập X gọi là miền xác định.  o Tập Y gọi là miền giá trị.  o x gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối số.  o y gọi là biến phụ thuộc hay còn được gọi là hàm số.  o f(x) được gọi là giá trị của hàm  f  tại x.  Một số hàm cơ bản và hàm sơ cấp    Các hàm sơ cấp cơ bản là các hàm số :   Hàm số lũy thừa :   y = x   (     ).    Hàm số mũ :    y = ax  (a > 0, a     1).   Hàm số logarithm :   y = log a x (a > 0, a     1).   Các hàm lượng giác :  y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x.  Các hàm lượng giác ngược :          y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arccotg x.  Hàm  sơ  cấp  là  hàm  có  thể  biểu  thị  bằng  một  biểu  thức  giải  tích,  gồm  những  hàm số sơ cấp cơ bản  và hằng số  ghép  với nhau bằng  một số hữu hạn các phép  tính số học (cộng, trừ, nhân, chia, lấy căn) và các phép tính về hàm của hàm.    3      Ví dụ 1 (Bài toán lượng thuốc trong máu sau một khoảng thời gian) Khi bệnh nhân uống thuốc, thuốc sẽ đi vào máu, qua gan và thận. Nó bị chuyển  hóa  và  hấp  thu  theo  tỷ  lệ  phụ  thuộc  vào  từng  loại  thuốc.  Đối  với  thuốc  Ampiciline  250mg, thì 40% thuốc sẽ bị đào thải mỗi giờ. Tìm công thức cho lượng  Q  Q(t )  của  Ampiciline (tính theo mg)  trong máu tại thời điểm t giờ sau khi uống.  Lời giải : Khi t = 0,  ta có Q = 250.  Vì mỗi giờ lượng thuốc còn lại trong máu là 60% của lượng trước đó nên ta có        Q(0) = 250,        Q(1) = 250(0.6),        Q(2) = (2500.6)0.6 = 2500.62,        Q(3) = (2500.62)0.6 = 2500.63,        ...........................................  Sau t giờ, ta được  Q = Q(t) = 250(0.6)t.  Vậy lượng thuốc Ampiciline (tính theo mg) trong máu tại thời điểm t giờ sau khi  uống được cho bởi mô hình Q = Q(t) = 250(0.6)t.  Ví dụ 2 (Bài toán tính tiền taxi) Giá đi xe taxi trong thành phố được tính như sau: trong 2 km đầu tiên trả 20,000đ,  3km tiếp theo trả thêm 8,000đ/km, sau km thứ năm phải trả thêm  5,000đ/km. Tính giá  tiền mà khách phải trả khi đi x km.  Lời giải : Gọi x là số km taxi đã chạy và f(x) là số tiền phải trả ứng với x km. Ta có  20, 000 ; 0x2   f ( x )  20, 000  8, 000( x  2) ; 2  x  5   44, 000  5, 000( x  5) ; x  5.  Từ mô hình cho bởi hàm f(x) trên, ta dễ dàng tính được giá đi xe taxi trong thành  phố.  Ví dụ: Giá đi 4 km là  f ( 4)  20, 000  2  8, 000   36,000đ.  Giá đi 9 km là  f (9)  44, 000  4  5, 000  64,000đ.      4     1.1.2 Hàm nhiều biến Gọi   n  ( x1 , x2 ,..., xn ) : xi  , i  1, 2,..., n.    Phần  tử  x  ( x1 , x2 ,..., xn )   của   n được  gọi  là  điểm  hay  vector,  còn  xi (i  1, 2,..., n) gọi là tọa độ thứ i của x.  Hai  phần  tử  x  ( x1 , x2 ,..., xn ) và  y  ( y1 , y2 ,..., yn )   bằng  nhau  nếu  xi  yi (i  1, 2,..., n).   n Khoảng cách giữa x và y là số  d  x, y   2  ( x  y ) .    i i i 1  Định nghĩa 2: Cho tập  D   n .  Một hàm f của n biến  x1 , x2 ,..., xn  là qui luật cho ứng  mỗi  phần  tử  ( x1 , x2 ,..., xn )   trong  D  với  một  số  thực duy  nhất  f ( x1 , x2 ,..., xn ).   Ký  hiệu  u  f ( x1 , x2 ,..., xn ).    Tập D được gọi là miền xác định của hàm f. Đó là tập các điểm  ( x1 , x2 ,..., xn )  sao  cho giá trị  f ( x1 , x2 ,..., xn )  xác định.  Khi n = 2 hoặc n = 3 ta thường dùng ký hiệu  z  f ( x, y )  hoặc  u  f ( x, y , z ).   Ta  xét  chủ  yếu  ở  hàm  hai  biến  z  f ( x, y ) .  Miền  xác  định  của  hàm  là  tập  các  điểm (x,y) trong mặt phẳng Oxy sao cho biểu thức  f ( x, y )  có nghĩa.   Ví dụ 3.  Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm X và Y. Giả sử giá (ngàn đồng)  của  x  sản  phẩm  loại  X  và  y  sản  phẩm  loại  Y  là  một  hàm  tuyến  tính.  Tìm  hàm  giá  C(x,y), nếu biết các dữ kiệu sau:  C(10,20)=120;  C(30,15)=210;  C(40,50)=330.  Lời giải: Bài  toán  được  qui  về  phương  trình  của  mặt  phẳng  qua  3  điểm  (10,20,120),  (30,15,210)  và  (40,50,330).  Mặt  phẳng  qua  điểm  (10,20,120)  nên  ta  có  phương  trình  dạng:  z  120  a( x  10)  b( y  20)    (1.1)  Trong đó z là hàm giá. Thay tọa độ của điểm (30,15,210) vào (1.1) ta được   90  20a  5b      (1.2)  Tương tự thay toa độ của điểm (40,50,330) vào (1.1) thì  210  30a  30b     (1.3)  Giả hệ (1.2) và(1.3) ta nhận được a=5 và b=2. Thay vào (1.1) ta được     5     z  C ( x, y )  30  5 x  2 y.   Vậy hàm giá C(x,y) là  C ( x, y )  30  5 x  2 y.    Ví dụ 4 (Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật) Một hình hộp chữ nhật hở phía trên có thể tích là 32 cm3. Hãy biểu diễn diện tích  toàn phần của hình hộp như hàm theo các cạnh đáy.    Lời giải:   z       y   x   Gọi x, y là độ dài các cạnh đáy và z là chiều cao của hình hộp (x, y, z > 0).  Vì xyz = 32, ta có  z  32 .  xy Vậy hình hộp có diện tích toàn phần là :    S  xy  2( x  y) z   hay  1 1 S  xy  64    .  x y 1.2 MÔ HÌNH BỞI PHÉP LẤY TÍCH PHÂN 1.2.1 Tổng Riemann   Gọi P là tập hữu hạn điểm được xếp thứ tự giữa a và b trên đường thẳng thực  P   x1 , x2 , x3 ,...xn    với  a  x0  x1  ...  xn1  xn  b.      6     Một tập P như vậy gọi là một sự phân hoạch (hay phân chia) đoạn [a,b] thành n  đoạn nhỏ  [ xk 1 , xk ],  k  1, 2,3,...n.  Ký hiệu độ dài của đoạn thứ k trong phân hoạch P là  xk  xk  xk 1.  Gọi  d  max xk  hay  P  (đọc là chuẩn của phân hoạch P).  1k  n 1.2.2 Tích phân xác định.  Định nghĩa 3.  Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a ,b]  Chia [a ,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia :  a = x0 < x1 < ... < xn-1 < xn = b Ta gọi phép chia đó là phép phân họach [a,b], ký hiệu là P. Ký hiệu  xk   là độ  dài  [xk-1, xk] (k = 1, 2, ..., n) và d(P) =  max  x k .   1 k  n Trên mỗi [xk-1 , xk] lấy điểm   k  (k = 1, 2, ..., n).  n Lập tổng   P   f ( k ) xk  và gọi là tổng Riemann (hay tổng tích phân) của hàm  k 1 số f(x) ứng với phép phân hoạch P.  Tăng điểm chia lên vô hạn sao cho d(P)   0  . Nếu trong quá trình đó   P  dần về  giá trị  I xác định, không phụ thuộc  vào phép  phân hoạch P và cách lấy điểm   k  thì I  gọi là tích phân xác định của hàm số y = f(x) trên [a , b].  Ký hiệu :  b n I   f ( x) dx  lim a d ( P ) 0  f ( k )xk   k 1 trong đó :  o   gọi là dấu tích phân.  o a, b gọi là các cận tích phân.  o f(x) là hàm dưới dấu tích phân.  o f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân.  o dx là vi phân của x, nó thay thế cho  x  trong tổng Riemann.  Khi đó ta nói f(x) khả tích trên [a , b].          7      Ví dụ 5 (Mô hình lượng nước chảy) Lưu  lượng  nước  chảy  ở  một  con  sông  sau  khi  một  cơn  mưa  đi  qua  được  mô  tả  như sau: lúc bình thường chưa có mưa lưu lượng là 10m3/s, đạt cực đại sau 5 giờ ở mức  66.25 m3/s và sau đó thì giảm đi và đến 12.5 giờ sau thì trở lại mức bình thường. Đánh  giá lượng nước do cơn mưa đem lại và nếu giả thiết rằng cơn mưa có mặt tại một vùng  rộng 10 km2 đánh giá lượng mưa trung bình.  Lời giải :  Vì số dữ liệu ban đầu được cho là 4 nên  mô  hình đơn  giản nhất có dạng bậc 3.  Giả sử lượng nước trên sông do mưa đi qua theo thời gian t có dạng  f (t )  at 3  bt 2  ct  d .  Lưu lượng ban đầu là 10 cho ta d = 10.  f  cực đại tại t = 5 cho ta  f '(5)  0  hay  75 a  1 0 b  c  0    (1.4)  và f (5) = 66.25 hay  125a  25b  5c  10  66.25     (1.5)  và  trở  lại  bình  thường  sau  12.5  giờ  cho  ta    f  (12.5)  =  10  hay      (1.6)  1953.125a  156.25b  12.5c  10  10     Giải hệ (1.4), (1.5) và (1.6) ta tìm được a = 0.1;   b = -3.25;  c = 25.  Do đó   f (t )  0.1t 3  3.25t 2  25t  10 .  Lưu lượng nước do mưa đem lại là  12 ,5  3, 600[ f (t )  10]dt  1.6  106 m3 .  0 Lượng mưa trung bình là:   1.6  106 / (12.5  107 )  12.8  mm/giờ.    Ví dụ 6 (Bài toán giá trị hiện tại của tiền gởi) Giả sử tiền gởi vào ngân hàng S(t) đồng tại năm t, gởi trong T năm, lãi suất hàng  năm là r. Tiền lãi mỗi năm sẽ gộp vào vốn. Giá trị tiền vốn trong ngân hàng ở năm thứ  T cho bởi:  T PV   S (t )e  rt dt .  0  Ví dụ. Tiền được gởi liên tục vào một tài khoản với lượng ổn định 10,000USD/năm  cho 30 năm với lãi suất 7%/ năm. Tiền lãi mỗi năm được gộp vào vốn. Tìm số tiền ở tài  khoản năm thứ 30.      8     Lời giải : Ta có S(t) = 10,000.   Số tiền ở tài khoản năm thứ 30 là  30 30 PV =   10, 000e 0 1.3 0.07 t 10, 000 0.07 t e dt  =      125,263 USD 0.07 0 MÔ HÌNH CHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương  trình  vi  phân  là  một  phương  trình  chứa  các  biến  độc lập,  hàm  phải  tìm   (ẩn hàm) và các đạo hàm hay vi phân của hàm phải tìm.  Trong  một  phương  trình  vi  phân  có  thể  khuyết  các  biến  độc  lập,  hàm  phải  tìm  nhưng nhất thiết có các đạo hàm hay vi phân (của hàm phải tìm).  1.3.1 Phương trình vi phân cấp một.  Định nghĩa 4: Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng  F  x,  y,  y '     0.   hay  y '    f  x, y  .   trong  đó  x  là  biến  độc  lập  y  là  hàm  phải  tìm,  F  là  hàm  ba  biến  liên  tục  trong  miền  V  3 , f là hàm hai biến liên tục trong miền  D   2 .  a. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một.  Định nghĩa 5: Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương trình có dạng :  y ' P ( x ) y  Q( x )     (1.7)  trong đó P(x), Q(x) là các hàm liên tục.  Phương trình (1.7) có nghiệm tổng quát là   P ( x ) dx   P ( x ) dx dx  C    ye    Q ( x)e     Nếu  Q ( x)  0  thì từ (1.7) ta được   y ' P ( x ) y  0   được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.   Nếu  Q( x )  0  thì (1.7) được gọi là vi phân tuyến tính không thuần nhất.     9      Ví dụ 7 (Bài toán hòa tan) Một bồn chứa đang có 100 lít nước trong đó có hòa tan 50 gram muối. Người ta  bơm vào thùng một dung dịch muối có nồng độ 2 gram/lít với tốc độ 3 lít/phút. Giả sử  dung dịch muối trong bồn được trộn đều tức thì và chảy ra ngoài với tốc độ 2 lít/phút.  Nếu  thể  tích  của  bồn  đủ  lớn  để  nước  trong  bồn  không  tràn  ra  ngoài,  hãy  tính  lượng  muối m (t) trong bồn tại thời điểm t bất kỳ?  Khi nào thì muối trong bồn đạt tới nồng độ 1.5 gram/lít?  Sau 30 phút thì lượng muối trong bồn là bao nhiêu?  Lời giải : Tốc độ biến thiên của muối trong bồn là  m '  t   gram/phút.  Tốc độ muối bơm vào là  3  2  6   gram/phút.  Tốc độ muối chảy ra là  2 m(t )  gram/phút.  100  t Do đó ta có   m ' t     6  2 m(t )  .  100  t hay   m '(t )  2 m(t )  6    100  t Nghiệm tổng quát của phương trình là  2 2 dt  dt    100 t 100 t m(t )  e 6dt  C     e     2(100  t )  C    (100  t ) 2 Từ điều kiện ban đầu m(0) = 50 suy ra  C  15  105.    15  105 Do đó nghiệm riêng thỏa điều kiện ban đầu là  m(0)  2(100  0)     (100  0) 2 Vậy lượng muối m(t) trong thùng tại thời điểm t bất kỳ là  m(t )  2(100  t )  15  105      (gram).  (100  t ) 2 Ta có nồng độ muối trong thùng tại thời điểm t bất kỳ là    10     C (t )  m(t ) 15  105    2 100  t (100  t )3 Do  đó  để  nồng  độ  muối  trong  thùng  đạt  1.5  gram/lít  thì  ta  cần  C(t)  =  1.5  (gram/lít) hay  2 15 105  1.5   (100  t )3 Giải phương trình trên ta được  t  100  3  3  1  (phút).  Vậy muối trong bồn đạt tới nồng độ 1.5 gram/lít khi  t  100  3  3  1  (phút).  Lượng muối trong bồn sau 30 phút là  m(30)  171.243   (gram).  b. Phương trình tách biến  Định nghĩa 6: Phương  trình  tách  biến  (phương  trình  có  biến  phân  ly)  là  phương  trình có dạng   M ( x) dx  N ( y ) dy  0   Từ phương trình trên ta có M(x)dx = -N(y)dy  Tích phân hai vế ta được   M ( x )dx    N ( y )dy  C    trong đó C là hằng số tùy ý  Vậy ta được tích phân tổng quát là :   M ( x)dx   N ( y )dy  C    Ví dụ 8 (Bài toán dân số) Giả sử  y(t) là số lượng dân số tại thời điểm t ( 0  y (t )  L, t ), k là hằng số sinh  sản và L là số lượng dân số cao nhất có thể tồn tại.  Dân số y(t) tại thời điểm t thỏa phương trình vi phân  dy y   k.y  1   .  dt L  Phương trình có thể viết lại dạng  L dy  kdt     (dạng tách biến)  y( L  y ) Tích phân hai vế, ta được    11     L  y( L  y) dy   kdt  C     Với 0 [...]... Nghiệm  cân  bằng  X *   là  không ổn định  nếu  thay  đổi  nhỏ  điều  kiện  ban  đầu  thì  nghiệm ứng với điều kiện ban đầu đi xa  X *  khi t  +.  a Mô hình dã thú và con mồi (Mô hình Lotka-Voltera) i) Xây dựng mô hình Trong  phần  này  ta  xét  mô hình dã  thú  và  con  mồi  (Predator-Prey  Model)  được  biểu thị bởi các phương trình gọi là các phương trình Lotka-Voltera.   Giả sử có r dã thú và w con mồi. Nếu không có dã thú thì con mồi sẽ phát triển ...  Ví dụ 4 (Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật) Một hình hộp chữ nhật hở phía trên có thể tích là 32 cm3. Hãy biểu diễn diện tích  toàn phần của hình hộp như hàm theo các cạnh đáy.    Lời giải:   z       y   x   Gọi x, y là độ dài các cạnh đáy và z là chiều cao của hình hộp (x, y, z > 0).  Vì xyz = 32, ta có  z  32   xy Vậy hình hộp có diện tích toàn phần là :   S  xy  2( x  y) z   hay  1... Bằng cách giải hệ    Hình 2 Trường vectơ của hệ và các đường cong nghiệm Mỗi điểm trên đường cong nghiệm biểu diễn một cặp số lượng (w, r) của hệ tại  thời điểm t. Từ đồ thị ta thấy các đường cong kín là các nghiệm tuần hoàn của hệ. Do  đó số lượng dã thú và con mồi dao động tuần hoàn qua một khoảng thời gian cố định  nào đó.        28     b Mô hình lan truyền SIR i) Xây dựng mô hình Xét  mô hình trong ... Mặt khác, số lượng dã thú sẽ tăng khi có con mồi là thức ăn cung cấp, vì thế  dr  br  + (ảnh hưởng của con mồi lên dã thú).  dt Do đó ta có hệ phương trình vi phân biểu diễn mô hình như sau:  dw dt dr dt    aw  cwr    br  kwr 27     Để đơn giản, ta xét hệ với a = b = c = k = 1. Khi đó ta có mô hình đơn giản sau:  dw dt dr dt w  wr     r  wr ii) Mặt phẳng pha Theo đạo hàm của hàm hợp ta có  dr dr dw    dt dw dt Suy ra  dr dr / dt ... C2 sin bx)    Ví dụ 1 6: Giải phương trình   y '' 2 y ' 5  0    Lời giải : Phương trình đặc trưng  k 2  2k  5  0  có hai nghiệm phức liên hợp  k1  1  2i,  k2  1  2i,   Nên nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là   y  e  x (C1 cos 2 x  C2 sin 2 x)           25     1.3.3 Mô hình cho bởi hệ phương trình vi phân (Hệ động lực) Trong phần này ta nghiên cứu các mô hình cho bởi hệ phương trình vi phân và ... Vậy lượng thuốc Ampiciline (tính theo mg) trong máu tại thời điểm t giờ sau khi  uống được cho bởi mô hình Q = Q(t) = 250(0.6)t  Ví dụ 2 (Bài toán tính tiền taxi) Giá đi xe taxi trong thành phố được tính như sau: trong 2 km đầu tiên trả 20,000đ,  3km tiếp theo trả thêm 8,000đ/km, sau km thứ năm phải trả thêm  5,000đ/km. Tính giá  tiền mà khách phải trả khi đi x km.  Lời giải : Gọi x là số km taxi đã chạy và f(x) là số tiền phải trả ứng với x km. Ta có ... mưa  đi  qua  được  mô tả  như sau: lúc bình thường chưa có mưa lưu lượng là 10m3/s, đạt cực đại sau 5 giờ ở mức  66.25 m3/s và sau đó thì giảm đi và đến 12.5 giờ sau thì trở lại mức bình thường. Đánh  giá lượng nước do cơn mưa đem lại và nếu giả thiết rằng cơn mưa có mặt tại một vùng  rộng 10 km2 đánh giá lượng mưa trung bình.  Lời giải : Vì số dữ liệu ban đầu được cho là 4 nên  mô hình đơn  giản nhất có dạng bậc 3. ... xét tính ổn định của các nghiệm. Nội dung nghiên cứu là một phần của hệ động lực.  Tính ổn định của nghiệm cho phép ta giải thích dáng điệu của mô hình.    Định nghĩa 1 4: Hệ phương trình vi phân là hệ các phương trình chứa biến độc lập,  hàm phải tìm và các đạo hàm của hàm phải tìm.  Hệ  phương  trình  vi  phân  cấp  một  dạng  chính  tắc  là  hệ  phương  trình  vi  phân  có  dạng :  dx1  dt  f1 (t , x1 , x2 , , xn )   dx2  f (t , x , x , , x ) 2 1 2 n... f(x) trên [a , b].  Ký hiệu : b n I   f ( x) dx  lim a d ( P ) 0  f ( k )xk   k 1 trong đó : o   gọi là dấu tích phân.  o a, b gọi là các cận tích phân.  o f(x) là hàm dưới dấu tích phân.  o f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân.  o dx là vi phân của x, nó thay thế cho  x  trong tổng Riemann.  Khi đó ta nói f(x) khả tích trên [a , b].          7      Ví dụ 5 (Mô hình lượng nước chảy) Lưu ... loại  Y  là  một  hàm  tuyến  tính.  Tìm  hàm  giá  C(x,y), nếu biết các dữ kiệu sau:  C(10,20)=120;  C(30,15)=210;  C(40,50)=330.  Lời giải: Bài  toán được  qui  về  phương  trình  của  mặt  phẳng  qua  3  điểm  (10,20,120),  (30,15,210)  và  (40,50,330).  Mặt  phẳng  qua  điểm  (10,20,120)  nên  ta  có  phương  trình  dạng:  z  120  a( x  10)  b( y  20)    (1.1)  Trong đó z là hàm giá. Thay tọa độ của điểm (30,15,210) vào (1.1) ta được