Chứng minh rằng: tập nghiệm của phương trình đã cho trong lận cận của điểm này có thể biểu diễn với dạng của một đồ thị.. Đồng thời chỉ ra rằng điều khẳng định trên là đúng tại mọi nghiệ
Trang 1Bài 10: Phương trình xyxz sinz 0 nghiệm đúng tại ( , , )x y z (0, 0, 0). Chứng minh rằng: tập nghiệm của phương trình đã cho trong lận cận của điểm này có thể biểu diễn với dạng của một đồ thị Đồng thời chỉ ra rằng điều khẳng định trên là đúng tại mọi nghiệm của phương trình
Giải
+Ta đặt: C x y z xy, , xz sinz 0
+Gọi: f x y z( , , ) xyxz sinz
'
'
'
cos
x
y
z
f y z
f x
+Ta xét hệ phương trình:
'
'
'
0
x
y
z
y z
z
(Vô nghiệm)
( , , )x y z C
thì '
0
x
f hoặc '
0
y
f hoặc '
0
z
f nên theo định lý 1.7 thì C
trong lân cận nào đó của điểm ( , , )x y z có thể biểu diễn dưới dạng một đồ thị
Do đúng với ( , , )x y z C nên đúng với (0, 0, 0) C.
Bài 11: Gọi 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, ℎ(𝑥, 𝑦))} ∁ 𝑅3là đồ thị của hàm ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑥𝑦3 Chứng tỏ rằng trong một lân cận của mỗi điểm của 𝑆 thỏa mãn điều 3𝑥𝑦2 ≠ 1,
𝑆 có thể được viết dưới dạng đồ thị của hàm 𝑦 = 𝑔(𝑥, 𝑧) với 𝑔 là trơn
Giải
Xét C x,y,z:zxy3 y 0
Suy ra C x y z zyxy3S
: , ,
Đặt f x y z zxy3 y
) ,
,
(
Giả sử x0,y0,z0 là điểm bất kỳ thuộc C ( S ) thỏa 3x0y02 1 Khi đó
Trang 2 0, 0, 0 3 0 02 1 0
y x z
y
x
y
f
Theo định lý 1.7 thì tồn tại 1 lân cận nào đó của x0,y0 ,z0 sao cho C (hay S )
có thể được viết dưới dạng đồ thị của hàm y g x,z với g là hàm trơn
(đpcm)
Bài 12: Xét hệ phương trình trong 𝑅3 2𝑥2− 𝑥2𝑧2− 𝑦2 = 0 và𝑥𝑦𝑧 = 1 nghiệm đúng tại (1,1,1) Chứng minh rằng, tồn tại một lân cận mà trong đó tập nghiệm
có thể biểu diễn ở dạng đồ thị của hàm (𝑥, 𝑦) = ℎ(𝑧), với 𝑥 và 𝑦 là các hàm của 𝑧
Giải
xyz
y z x x z
y
x
f
2 2 2 2
2 ,
1
0
c
xy xz
yz
zx y
xz x z
y x Df
2 2
2 2
2 4 ,
,
1 1 1
2 2
2 1
,
1
,
1
Định thức cấp 2 của 2 cột đầu là 4, vì định thức này khác không nên theo định
lý 1.7 ta có thể giả sử x , y là hàm của z trong lân cận của 1,1,1 Nói cách khác tồn tại một lân cận của 1 , 1 , 1 mà trong đó tập nghiệm có thể biểu diễn ở dạng đồ thị của hàmh z x,y (đpcm)
Câu 13: Xét ánh xạ f: 3 2
R
R
c được cho bởi
2 2 2 1 2 2
2
f x y z x y z x y với 2
c a
Với a 0 Gọi LR3là tập nghiệm của hệ phương trình f(x,y,z) c
a)Giải thích việc L là giao tuyến của mặt cầu và mặt trụ, đồng thời xác định bán kính của nó
Trang 3b)Với mỗi một trường hợp trong 6 trường hợp sau đây, hãy xác định tập hợp các điểm trong L sao cho tại đó rank(Df(p)) <2, tức là các dòng của ma trận là phụ thuộc tuyến tính
a a
a a
a
2
3
; 2
3
; 2
3 2
1
; 2
1
; 2
1
0
;
0
c)Với mỗi trường hợp như thế, định lí hàm ẩn nào có thể áp dụng cho tập L Diễn tả điều này theo nghĩa phần giao như đã nói ở mục (a) bên trên
Giải
a)Ta có:
2 2 2
2 2 2
1 1
2
Do L 3
R
là tập nghiệm của hệ phương trình f(x,y,z)=c nên từ (I) ta suy ra L là giao tuyến của mặt cầu có phương trình: x2
+y2+z2=1 và mặt trụ có phương trình: (x 2 2 2
)
2
1
a
y
+ Nếu 0 a 1 suy ra: mặt cầu chứa mặt trụ với bán kính giao tuyến là a
+ Nếu a>1 Suy ra mặt trụ chứa mặt cầu với bán kính giao tuyến là 1