Bài 1. Chứng minh rằng Bài 1. Chứng minh rằng với n ε N*, ta có đẳng thức: a) 2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 = ; b) ; c) 12 + 22 + 32 +….+ n2 = . Hướng dẫn giải: a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng = 2 Vậy hệ thức a) đúng với n = 1. Đặt vế trái bằng Sn. Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là Sk= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 = Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh Sk+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) = Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Sk+1 = Sk + 3k + 2 = + 3k + 2 = (điều phải chứng minh) Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi n ε N* b) Với n = 1, vế trái bằng , vế phải bằng , do đó hệ thức đúng. Đặt vế trái bằng Sn. Giả sử hệ thức b) đúng với n = k ≥ 1, tức là Ta phải chứng minh . Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: = (điều phải chứng minh) Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ε N* c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng = 1 nên hệ thức c) đúng với n = 1. Đặt vế trái bằng Sn. Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là Sk = 12 + 22 + 32 + …+ k2 = Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: Sk+1 = Sk + (k + 1)2 = = (k + 1). = (k + 1) (đpcm) Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi n ε N*
Bài 1. Chứng minh rằng Bài 1. Chứng minh rằng với n ε N*, ta có đẳng thức: a) 2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 = b) ; ; c) 12 + 22 + 32 +….+ n2 = . Hướng dẫn giải: a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng =2 Vậy hệ thức a) đúng với n = 1. Đặt vế trái bằng Sn. Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là Sk= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 = Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh Sk+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) = Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Sk+1 = Sk + 3k + 2 = = + 3k + 2 (điều phải chứng minh) Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi n ε N* b) Với n = 1, vế trái bằng , vế phải bằng Đặt vế trái bằng Sn. Giả sử hệ thức b) đúng với n = k ≥ 1, tức là Ta phải chứng minh . , do đó hệ thức đúng. Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: = (điều phải chứng minh) Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ε N* c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng = 1 nên hệ thức c) đúng với n = 1. Đặt vế trái bằng Sn. Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là Sk = 12 + 22 + 32 + …+ k2 = Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: Sk+1 = Sk + (k + 1)2 = = (k + 1). (đpcm) Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi n ε N* = (k + 1) ... = 1, vế trái 1, vế phải = nên hệ thức c) với n = Đặt vế trái Sn Giả sử hệ thức c) với n = k ≥ 1, tức Sk = 12 + 22 + 32 + …+ k2 = Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: Sk +1. .. Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: Sk +1 = Sk + (k + 1) 2 = = (k + 1) (đpcm) Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) với n ε N* = (k + 1)