Các dạng toán điển hình 8 tập 2 (p1)

Trang 1

Phony toh bio nbd mit

Bupha ai bse ie

Ta pis ig day ok ig dig hehe

Re

Trang 2

ThS LÊ ĐỨC e Bồi dưỡng học sinh khá - giỏi eNâng cao ki năng và phương pháp giải các dạng bài tập Joan den hi O e Phương trình bậc nhất một ẩn ® Bất phương trình bậc nhất một ẩn ® Tam giác đồng dạng ® Hình lăng trụ đứng - hình chóp đều , BG

Trang 3

wg , os

— NHÀ XUẤT BẢN BẠI HỌC QUỐC GIA HA NOI

- 16 Hang Chuél - Hai Bà Trưng - Hà Nội

i Điện thoại: Biên tập- -Chế bản: (04) 39714896;

Là Hành chính: (04) at 899; Téng bién tap: (04) 39714897 : (04) 39714899 sine! a al : J r3 bea xế ` { Toa Te A ai A i 4 f fe

A Chiu track Hhigm xuất bản:

\Geen./ * ` xã 2

‘7 TS Giám đốc PHÙNG QUỐC BẢO

Pace Tổng biên tập PHẠM THỊ TRÂM

` Biên tập nội dung PHAN ANH

Sửa bài

oy LE HOA

I —_ Chế bản

CONG TI ANPHA

Piles oo ty Trinh bay bia

` SƠN KỲ

tị Đối tác liên kết xuất bản

Ỷ CÔNG TI ANPHA

CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN INH TAP2

Mã số: 1L-254DH2010

In 2.000 cuốn, khổ 16 x 24 em tại công ti TNHH In Song Nguyên

Số xuất bản:89-2010/CXB/14-03/ĐHQGHN, ngày 15/01/2010 Quyết định xuất bản số: 254LK-TN/XB

Trang 4

GIỚI THIỆU CHUNG

Xin tran trọng giới thiệu tới bạn đọc cuốn xách:

CÁC DANG TỐN ĐIỂN HÌNH TOÁN 8 - TẬP 2

Cướn vách bao gồm 2 phần với 4 chương:

PHẦN ĐẠI SỐ

Chương I - PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẤN

Chương II - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BAC NHAT MOT AN

PHẦN HÌNH HỌC

Chương III - TAM GIAC DONG DANG

Chương IJ - HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG - HÌNH CHĨP ĐỀU

Ở mỗi chương chứa dựng các bài học (chủ đề 1, ch để 2, ) theo nội dụng

chương trù: của sách giáo khoa mới

Mỗi bài đều được chỉa thành 4 nưục:

A Tóm tất lí thuyết: Trình bày có trật tự nội dung kiến thức liên quan

B Phương pháp giải toán (hoặc các ví dụ mẫu)

Gồm các ví dụ được tuyển chọn có chọn lọc nhằm giúp hoàn thiện kiến

thức c7 bản và nàng cao kĩ năng giải Toán

C Bài tép luyện tap

D Hướng dân — Đáp số

Như vậy, ở mỗi bài:

1 Với việc trình bày mực tóm tắt lí thuyết, sẽ giúp các em học sinh hiểu rằng cần phải nắm vững những nội dung gì ?

2 Tiép đó, tới mục phương pháp giải toán, sé giúp các em học sinh hoàn thiện

kiến thức

Đặc liệt là nội dung của các chú ý, nhận xét và yêu cầu sau mỗi ví du sé

giúp các em học vinh củng cố những thiết sót và cách nhìn nhận, đánh giá

Trang 5

4 Ngoài ra, cịn có rất nhiều ví dụ được giải bằng nhiều cách khác nhat sẽ

giúp các học sinh trở nên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp gidải

Chúng tôi cũng xin trân trọng cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã nhận lời cđọc

bản thảo, nhận lời tới dự giờ trong các tiết giảng thử của chúng tôi theo guiáo

trình này và từ đó đóng góp những nhận xét quý báu để giúp chúng tôi tới negay

hôm nay hoàn thiện được cuốn sách này

Cuối cùng, cho dà đã rất cố gắng, nhưng thật khó tránh khỏi những thiếu sót

bởi những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, rất mong nhận được nhữngg ý

kiến đóng góp quý báu của bạn đọc gần xa

Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ tới: - Trung tâm Sách giáo dục Anpha

225C Nguyễn Tri Phuong, P.9, Q.5, Tp HCM

- Công tỉ Sách - thiết bị giáo dục Anpha

50 Nguyễn Văn Săng, Quận Tân Phú, Tp.HCM

ĐT: 08.62676463, 38547464

Email: alphabookcenter@yahoo.com

Trang 6

PHẦN ĐẠI Số

CHUONG III- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MOT AN

i Ề 2 ề À `

CHUPÈ1 MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH

A TĨM TẮT LÍ THUYẾT

1 PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Một phương trình với ẩn x có dạng: A(x) = B(x)

trorg đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x Œ Chụ ý:

"Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một phương, trình Phương trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó

" Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, nhưng, cũng, có thể khơng có nghiệm nào hoặc có vơ số nghiệm Phương trình

khơng có nghiệm nào được gọi là phương trình vơ nghiệm

2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Tap hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường được kí hiệu bởi S

Khi bài toán yêu cầu giải một phương trình ta phải tìm tất cả các nghiệm

(hay rừm tập nghiệm) của phương trình đó

3 PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG DUONG

Định nghĩa: Hơi phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình

tương đương

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ I: (Bài l/tr6 — Sgk): Với môi phương trình sau, hãy xét xem x = —] có la nghiém của nó khơng ?

a 4x —1 =3x -2 b x+l=2(x-3) c.2x+l)+3=2-—x

4K Giải

a Thay x =—I vào phương trình ta được:

4(~l)— I =3(—l)— 2 © -—5 = -5 (luôn đúng)

Vậy, ta thấy x = —[ là nghiệm của phương trình

b Thay x =—I vào phương trình ta được:

(— Yt 1 = 2(-1 - 3) <0 = -8 (mau thuẫn)

Vay,sta thay x = —I không phải là nghiệm của phương trình

Trang 7

c Thay x =—l vào phương trình ta được:

2-1+l)+3=2—-(-1) © 3 =3 (luôn đúng)

Vậy, ta thấy x = —I là nghiệm của phương trình

Vidy 2: Giải phương trình: x°— 4 = 5

4 Giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau: Cách 1: Biến đổi phương trình như sau:

x*-4=5 ©x?=9=3”©x =3 hoặc x =-3

Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 3 hoặc x = -3

Cách 2: Biến đổi phương trình như sau:

x?-4=5 ©x?-9=0©(x-3)(x +3)=0

x-3=0

oS ©x=3hoặc x = -3

x+3=0 ,

Vậy, phương trình có hai nghiệm x = 3 hoặc x = —3 Œ* Nhận xét: Qua lời giải trên ta nhận thấy:

1 Phuong trinh: x*=a?<> x =+a

A=0

2 Phương trình: A.B=0 © A =0 hoặc B = 0 hoặc viết R #'

Ví dụ 3: Tim tập hợp nghiệm của các phương trình sau:

a (x-2)(x+2)=x?-4 1

1 c |X|=~— =

b ——=0

x-I d 2x+2=2x+3

Giải

a _ Biến đổi tương đương phương trình về dạng:

(x-2)(x +2) = x?~4 © x?~4= x” -4, luôn đúng với mọi x

Vay, phương trình có tập hợp nghiệm S = R

b._ Nhận xét rằng: VT #0, với mọi x # Ido đó phương trình vơ nghiệm

Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S = Ø

c Nhận xét rằng:

VT = |x| >0, với mọi x,

WP= 7 luén 4m,

2

do đó phương trình vơ nghiệm Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S = @

d Nhận xét rằng:

2x +2 < 2x+3= VP, do đó phương trình vơ nghiệm VT=

B g trinh co tap hop nghiệm S = ©

Trang 8

-CDTDHDS8-T2-œ Nhận xét: Qua ví dụ trên, chúng ta nhận thấy:

1 O cau a), bằng việc đánh giá được VT = VD với mọi x, chúng, ta đã đưa ra kết luận " Phương trình có tập hợp nghiệm S = R" Tuy nhiền,

trong nhiều trường hợp cho đù có được VT = VP nhưng, lại không, thể

+1 1

két luan duoc nhu vay, thi du: —

x°-1] x-l

x'T—l (x+l(x-l x-I

"

va trong, trudng hop nay ta lại kết luận " Phương trình có tập hop

nghiệm S = R\{ — 1, 1] ” — Các em học sinh hãy thử lí giải vì sao ? 2 O cau b), bang viec danh gra duoc VT #0 vdi moi x 4 1, chung ta da

đưa ra kết luận " Phương trình có tập hợp nghiệm S = Ø "

3 Ở cầu c), bằng việc đánh giá được VT > 0 và VP < 0 với mọi x, chúng ta đã đưa ra kết luận " Phương trình có tập hợp nghiệm S = Ø "

4 Ở câu đ), bằng việc đánh giá được VT < VP với mọi x, chúng ta đã

đưa ra kết luận " Phương trình có tập hợp nghiệm S = Ø "

5 Cả 4 câu a), b), c), d) đã cho chúng ta làm quen được với việc " Sư dựng

phương pháp đánh giá để giä phương trình "

Ví dụ 4c Ching minh rang phirong tinh x + |x| =0 nghiém ding voi moi x <0

Giải

Nhận xét rằng, với x < 0 ta luôn có: lx|= — x do dé: x+lAl=x-x =0

Vậy, phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x <0 Ví dụ 5: Cho phuong trinh: mx -3 =2m-x- 1

Chứng to rằng phương trình luôn nhận x = 2 làm nghiệm, dù m lấy

bát cứ giá trị nào Giải Với x = 2, ta được: VT=m.2 -3 =2m -3, VP=2m -2- l =2m -3, suy ra: VT = VP

Vậy, phương trình ln nhận x = 2 làm nghiệm, dù m lấy bất cứ giá trị nào

Ví dụ 6 Co phương (rình: (mẺ - 3m + 2)x* =m — T, với m là tham số

Chứng mình rằng:

a Vớim = T, phương trình nghiệm đúng với mọi X b Voi m =0, phương trình vơ nghiệm

¢ Voi m = 3, phương trình nhận x = T va x = — 1 làm nghiệm

A Ps ‘ F “Â lở s4

Trang 9

BS Giải

a V6im = 1, phuong trinh co dang: (1? - 3.1 + 2)x? = 1-1 <> 0x =0 dio dé,

phương trình nghiệm đúng với mọi x

b Với m =0, phương trình có dạng: (0° - 3.0 + 2)x”=0- l 2x ”= - II Nhận xét rằng: VT > 0; VP = —1 <0 nên phương trình vô nghiệm

c Vớim =3, phương trình có dạng:

(3?-3.3+2)x=3-I ©2x?=2œ©x?=l©x=+I

do đó, phương trình nhận x = 1 va x = — | lam nghiệm

Vấn đề 2: HAI PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Ví dụ lt Hai phương trình sau có tương đương khơng 2 Vì sao 3

x-2=0, (1)

x+1=3 (2)

BS Giải

Giải phương trình (1), ta được: x =2 > S, = {2}

Giải phương trình (2), ta được: x = 2 => S, = {2}

Vậy, ta thấy S, = S; do đó hai phương trình đã cho tương đương với nhau @* Nhận xét:

1 Nhu vay, dé xét tinh tương đương của hai phương trình đã cho, trong

lời giải trên chúng ta đi giải từng phương trình rồi thực hiện phép so

sánh hai tập nghiệm, và ở đây vì S, = S; chúng ta kết luận "Z2;

phương trình tương đương "

2 Néu S, = S, = @ thì hai phương trình cũng tương đương, do đó "Z#27 phương trình vơ nghiệm cũng tương đương với nhau "

Ví dụ 2: Chứng tổ rằng cặp phương trình sau là tương đương:

4x? -9 2x +3 =e

2x -3=0 (2)

4£ Giải

Nghiệm của phương trình (1) là các giá trị của x thoả mãn

e -9=0 _ {os +3)(2x~3)=0

2x+3z0 2x+320

đó chính là phương trình (2)

Vậy, hai phương trình đã cho tương đương

©2x-3=0

Œ* Nhận xét: Như vậy, trong lời giải trên để chứng tỏ hai phương trình tương đương với nhau chúng ta sử dụng cách biến đổi tương

B đương một phương trình về phương trình cịn lại

Trang 10

-CDTĐHĐS&-T2-Ví dụ 3®: Hai phitony trình sau có tương đương khóng 2 Vì sao 2

x+l=2, (1)

x`-8x + I5 =0 (2)

BS Sidi

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Caw 1: Giải phương trình (1), ta được: x= I > S, = {1}

Giải phương trình (2), ta được:

x? -8x + 15 =0 (x? -8x + 16)-1 =0

> (x ~ 5x —3) =O x= 5S hoic x =3 > S, = (5, 3)

Vậy, ta thấy S, # S; do đó hai phương trình khơng tương đương Cáïch 2: Giải phương trình (1), ta duoc: x = 1 => S, = {1}

Thay x = 1 vao phuong trinh (2), ta duoc: 1? - 8.14 15 = 0 <> 8 = 0, mau thuẫn tuc 1a, x = 1 không phải là nghiệm của (2)

Vậy, hai phương trình khơng tương đương

- Nhận vét:

1 Nhu vay, dé xét tinh tương đương của hai phương trình đã cho, trong lời

giải trên chúng ta đi giải phương trình (1) rồi nhận xét rằng x = 1 không phải là nghiệm của (2) từ đó kết luận " /#27 phương trành tương đương; " Sở dĩ chúng ta lựa chọn hướng làm như vậy là bởi việc giải phương trình

(2) là khó khăn

Như vậy, để chứng tỏ hai phương trình khơng tương đương, ta có thể

lựa chọn một trong hai cách:

nN

Cich 1: Tim tap hợp nghiệm của mỗi phương, trình, rồi đưa ra nhận

xét về hai tập hợp này

Cach 2 Chỉ ra một giá trị của ẩn là nghiệm của phương trình này nhưng không là nghiệm của phương trình kia

Ví dụ 7: Cho hai phuong trình:

x'-3x+2=0, (1)

2x? -5x +3=0 (2)

a Chứng mình rằng hai phương trình có nghiệm chung x = T1 b Chứng mình rằng x = 2 là nghiệm của (1) nhưng không là

nghiệm của (2)

c Chứng mình rằng x là nghiệm của (2) nhưng không là

wilw

nghiém cua (1)

ov phương trình đã cho có tương đương với nhau hay khơng 2 ạ 5È Vì sưo 2

sé) A? 12- 9

Trang 11

BS Giải

a V6ix = 1, ta duoc:

1? -3.1 +2 =0, do đó x = 1 langhiém chia (1)

2.1° -5.1+3=0, do dé x = 1 1A nghiém cita (2)

Vậy, hai phương trình có nghiệm chung x = 1

b Vớix=2, ta được:

2?-3.2+2=0, do đó x =2 là nghiệm của (1)

2.2?- 5.2 + 3 = 1, do đó x = 2 không là nghiệm của (2) Vay, x = 2 là nghiệm của (I) nhưng không là nghiệm của (2) c Thực hiện tương tự câu b)

d Ta có ngay kết luận hai phương trình khơng tương đương vì "v = 2 Id nghiệm của (Ú) nhĩng không là nghiệm của (2) "

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bai 1: Cho phương trình: x°—4 =0

Cho biết các khẳng định sau là đúng hay sai ?

a 2 là nghiệm của phương trình

b {2} là tập hợp nghiệm của phương trình

Bai 2: Cho phương trình: x”°= 2x

a 0 là nghiệm của phương trình

b {0} la tap hop nghiệm của phương trình Bai 3: Tim nghiém cua cdc phuong trinh sau:

a 2x-1=2 SỐ aif

b x(x —4)=0 vi: =x+l

c: x = 16,

d 2(x-3)=2x -6 f Ixl=-x Bài 4: Tìm tập nghiệm của phương trình 42x +^A|—x =1

Bài 5: Chứng minh rằng phương trình x — lxI =0 nghiệm đúng với mọi x > 0

Bài 6: Chứng tỏ rằng phương trình 2mx - 1 = 2m + x — 2 luôn nhận x = †! làm nghiệm, dù m lấy bất cứ giá trị nào

Bai 7: Cho phương trình: (m? — Sm + 6)x* = m - 2, với m là tham số Chứng minh rằng:

a Với m =2, phương trình nghiệm đúng với mọi x

b Với m =3, phương trình vơ nghiệm

c Với m =0, phương trình vơ nghiệm

d Với m =4, phương trình nhận x = l và x= — 1 làm nghiệm

i8: Cho hai phương trình: x - 4x + 3 =0, (1)

3x°-5x+2=0 (2)

a Chimg minh rằng hai phương trình có nghiệm chung x = 1

b Chứng minh rằng x = 3 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2)

c Chin gpinh rằng x= : là nghiệm của (2) nhưng khong 1a nghiém ctia (1! ) A ih lffơng trình đã cho có tương đương với nhau hay không ? Vì sao ?

Trang 12

-CDTĐIHĐS8-T2-Bài 9: Các cấp phương trình sau có tương đương khơng 2 Vì sao ?

ủ x=2=2VÀ2X=l]=7 b xt} =O0vax?-1=0

ce 2x+ 3=0và4x)+ I2x+9=0 d, IXI=2waw =4 6, 2X % eVWK# [ =ửU,

Bài 1Ú: Hãy tìm giá trí của hãng số a biết rằng x = T là một nghiệm của phương trình: (3x —a)(x + 1)—(x +2)° = I

D HƯỚNG DÂN - ĐÁP SỐ

Bai 1:

al "2 da nghiém của phương trình "là cầu trả lời đúng, bởi khi thay 2 vào phương

trình ta được: 2” = 4 =0 é»4—4—0, luôn đúng

b ”⁄2/ là tập hợp nghiệm của phương trình" là câu trả lời đúng, bởi ngồi 2 ra phương trình cịn có nghiệm x = — 2

Nếu với yêu cầu “Sưư lại cho đúng "thì ta viết "(2, — 2} là tập hợp nghiệm của phương trình "

Bài 2: Học vữnh tự làm — Tham khảo bài tập I Bài 3:

b x=0,x=4 d Moix f Moix <0

4, X= ;

â jị|Ịta› c x=‡d44 e Mọixzl

Bài 4: S= 2

Bài 5: Nhận xét rằng, với x > Ota ludn c6 Ixl = x do dé: x — Ixl= x -x =0

Vậy, phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x 2 0

Bài 9

a Nhận thấy rằng:

= Phương trình x =2 = 2 c6 tap nghiém S, = {4}

“Phương trình 2x - l =7 có tập nghiệm S; = {4] Vậy, hai phương trình tương đương

b Nhận thấy rằng:

* x= 1 langhiém của phương trình x°- 1 =0

= x= 1 khdéng la nghiém cia phương trình x + l =0 Vay, hai phương trình khơng tương đương

c Nhận thấy rằng phương trình 4x” + 12x +9=0<> (2x +3)”=0<»2x+3=0

đó chính là phương trình cịn lại

Vậy, hai phương trình tương đương

d._ Nhận thấy rằng phương trình lx| = 2 <> x? = 4

đó chính là phương trình cịn lại Vậy, hai phương trình tương đương

e Nhận thấy rằng:

" Phương trình 2x” + I =0 có tập nghiệm S, = |Ø}

® Phương trình x?+ 1 =0 có tập nghiệm S; = |Ø) Vậy, hai phương trình tương đương

Bai 10 Vi x = T là nghiệm của phương trình nên:

3.1Zâ)(1 + 1) (1 +2)°= 1 ©2(T—a)—3”=1 @6-2a-9=1 a=-2

V§ỆXối ge — 2 thoả mãn điều kiện đầu bài

Trang 13

CHỦĐÊ? DLTJNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1 HAIQUY TẮC BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH

Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng Ltử từ

vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó

Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể nhân (hoặc © thìa) cả hai vế với cùng một số khác 0

2 ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH BAC NHAT MOT AN

Định nghĩa: Phương trình:

ax +b=0, với a và b là hai số đã cho và a # Ö,

được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình bậc nhất một ẩn được giải như sau:

b

ax+b=O0 ax=-box= —

a

Vậy, phương trình ln có nghiệm duy nhất x = all, a

B PHUONG PHAP GIAI TOAN

Vấn đề 1; ĐIỀU KIỆN ĐỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌÌNH BAC NHAT MOT AN

Ví dụ: (Bai 7/tr 10 — Sgk): Hdy chi ra cdc phuong trinh bac nhdt trong cdc phương trình sau:

a 1+x=0 b x+x?=0

c 1-2t=0 d 3y=0

e 0x-3=0

Giải

a Phương trình l + x = 0 là phương trình bậc nhất với ẩn x vì nó có diạng ax +b =0 với a= I và b= Ï

b Phuong trinh x + x? = 0 không phải là phương trình bậc nhất Đây là mot

phương trình bậc hai với ẩn x

c Phuong trinh | — 2t = 0 là phương trình bậc nhất ẩn t d Phương trình 3y =0 là phương trình bậc nhất ẩn y

e Phươn Gy" 0x - 3 =0 không phai 1a phuong trinh bac nhat Vi diéu kién dé

AB h ax +b =0 là phương trình bậc nhất là a z 0

Trang 14

HDS8-T2-Ví dụ 2: Tim điều kiện của tham xố m để phương trình sau là phương trình bac nhat mot an:

(m`- l)x+*+mx +1 =0 b mx+(m-—l)y+2=U

ì

| we Giat

| a Dé phuong trinh là phương trình bậc nhất một ẩn khi và chỉ khi:

m? -1=0 mel

= ome=tli

m0 m#0

Vay, v6i m = | hoa’c m =— | phvong trinh da cho 1a phuong trinh bac nhat

một ẩn x

b Để phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn có hai trường hợp:

Trường hợp †: Nó là phương trình bậc nhất một ẩn x khi và chỉ khi:

m #0 m #0

KG ome=l

m-1=0 m=l

Trường hợp 2: Nó là phương trình bậc nhất một ẩn y khi và chỉ khi:

m=0 m=0

c© om=0

m-1#0 m#l

Kết luận:

"=- Vớim =I phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn x " Vớim =0 phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn y

Ví dụ 3: (Bài 6/tr 9 — Sgk): Tính diện tích S của hình thang ABCD theo x

bằng 2 cách:

Cách 1: Theo công thức S = BH x (BC + DA): 2

Cách 2: S= Sàpu + Sy{n + Seo

San đó, sử dụng giả thiết S = 20 để thu được hai phương trình tương đương với nhau Trong hai phương trình ấy, có phương trình nào là phương trình bậc nhất khơng?

£ Giai

Theo cách tính thứ nhất, diện tích hình thang là:

5anco = BH(BC + AD): 2 = x(x + 77 +x +4): 2

= x(2k + 11): 2= > x(x + 11) (dvd a)

= cách tính thứ hai, diện tích hình thang là:

Sanco = Sana + Sacxn + Sexo

7x+2x`+4x _ 2x?+llx

C2 em r — a ve (2)

Trang 15

Vậy, với S = 20, ta có (1) và (2) tương đương với:

20 2 x(2x + 11) c 40 2x? + 11x, @)

Dễ dàng nhận thấy, phương trình (3) là một phương trình bậc hai

Vậy, trong hai phương trình trên, khơng có phương trình nào là phương

trình bậc nhất

Vấn đề 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Ví dụili ŠS/dlng hơi quy tắc biến đổi phương trình để giải các phương trình: sau:

a 2x=1 b x”#xex,

4 Giải

a Sử dụng quy tắc chia với một số, biến đổi phương trình về dạng: x = - Vậy, phương trình có nghiệm x = —

b Sử dụng quy tắc chuyển vế, biến đổi phương trình về dạng: x?+x-x'=0€©x=0

Vậy, phương trình có nghiệm x = 0

c Sử dụng lần lượt các quy tắc, biến đổi phương trình về dạng: 3x-x=8€©2x=8©x=4

%®” Chú ý: Trong các ví dụ tiếp theo chúng ta không cần nhắc tới tên của quy tắc được sử dụng để biến đổi phương trình nữa

Ví dụ 2: (Bài 8/tr 10— Sgk): Giải các phương trình:

a 4x-20=0 b 2x+x+12=0 c x¬=5=3—1 d 7-3x=9-x &S Giải a Ta có: 4x— 20=0 4x =20 ©x =5 b Tacó: 2x +x+12=0 ©S3x+ l2=0<©©3x=-l2©x=-4 ce Tacé:x-S=3-x@x+x=34+5 0 2x=8 Ox =4 d Tacé:7-3x =9-x@x-3x=9-7 -2x=20x=-l

Ví dụ 8: (Bài 9/tr 10 — Sgk): Gidi các phương trình sau, viết số gân đứng của

moi nghiệm ở dạng số thập phân bằng cách làm tròn đến hàng

phần trăm:

3x-11=0 b 12+7x=0 c 10-4x=2x —3

Trang 16

-CDTD,HĐS8-T2-a Toc6:3x- 10x = x= 367,

12

b Tete 12 DERE oe, €x% 2-171:

13

ce Tec6: 10-4x =2x-3 @6x=13 Sx= 3 3» K2 l2 Ví dụ 4: Co phương trình: (m°— 1)x + 1 =m

Giải phương trình trong mỗi trường hợp sau:

a m=], b m=-l c m=0 BS Giải

a.— Với m= Ï, phương trình có dạng:

O.x + 1=1< 1 = 1, luon dung voi moi x

Vay, v6i m = | phuong trình nhận mọi x làm nghiệm b V6im=-— 1, phuong trình có dạng:

Ú.x+ l= —l ©I= - l,mâu thuẫn Vay, voi m = — l phương trình vơ nghiệm

c._ Với m =0, phương trình có dang: -x+1=O0@-x=-1axe=l Vậy, với m = 0 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Bai 1: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau là phương trình bậc nhất

một ẩn: `

a (mn =4) `+(m~2)x +3 <0 b (m-1)x +(m?— ly +4=0

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a 3x-4=0 ce 3-7x=0 b 2x+13=0 d 14+5x=0

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a 2x+l6=0 c 9-6x=0

b 4x418=0 d -16-8x=0

Bai 4: Cho phương trình: (m”— 4)x — 2 =m

Giải phượng trình trong mỗi trường hợp sau:

Be b m=-2 c m=l

Trang 17

D HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ

Bai 1:

a Dé phuong trinh 1a phuong trinh bac nhat mot ẩn khi và chỉ khi:

m?-4=0 m=+2

Se @m=-2 m-2z0 m#2

Vậy, với m = — 2 phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn x

b Để phương trình là phương trình bậc nhất một ẩn có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nó là phương trình bậc nhất một ẩn x khi và chỉ khi: m-1#0 m #1

eo ome=-l

m?—l=0 m=#l

xường hợp 2: Nó là phương trình bậc nhất một ẩn y khi và chỉ khi:

m-1=0 m=1

m?-140 m#+l

Vậy, với m = — 1 phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn x

Bài 2:

a Ret wae &,

3 2 a were, Ao== 4 7 5 Bai 3 a x=-8 hga- 2 ens, d.x=-2 3 Bài 4:

a Với m =2, phương trình có dạng: 0.x - 2 = 2 © 0 = 4, mâu thuẫn

Vậy, với m = 2 phương trình vơ nghiệm

b Vớim= —2, phương trình có dạng: 0.x - 2 =— 2 © — 2 = - 2, luôn đúng Vậy, với m = — 2 phương trình nhận mọi x làm nghiệm

c Với m= 1, phương trình có dạng: (1 — 4)x -2 = l â - 3x= 3ô>x=-~ l Vậy, với , = 1 phương trình có nghiệm duy nhất x = — 1

Trang 18

-CDTDHDSS8-T2-cut PES PHUONG TRINH BUA VE DANG

ax + b = 0 hoặc ax = —b

A TOM TAT Li THUYET

Ta thực hiện theo các bước:

bước !: Bằng việc sử dụng phép toán bỏ dấu ngoặc hay quy đồng mẫu để biến đối phương trình ban đầu về dạng ax + b = 0 hoặc ax = —b bước 2: Giải phương trình nhận được, từ đó kết luận

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

Ví dụ: (Bài IO/tr 12— Sgk): Từn chỗ sai và sửa lại các bài giải sau cho đúng:

a 3x—6+x=0—x, b 2t—-3+5St=4t+ 12 ©3x+x-x=9-6 = 2t+S5t-4t=12-3 S3x= 3S x ='1 23t=9ot=3

BS Giải

a, Dé dang nhan ra ché sai trong Idi giai trén D6 là, khi chuyển vế không đổi dấu Do đó, ta sửa lại lời giải như sau:

3x—=6+x=9-x€ỀŒ3x+x+x=9+6€Ề©S5x=l5©x=3

b Dễ dàng nhận ra chỗ sai trong lời giải trên Đó là, khi chuyển vế khơng đổi dấu

Do đó, ta sửa lại lời giải như sau:

2t—3+5L=4t + 12 ©2t+ 5t 4t= 12+ 3 ©3L= 15 ©t=5

Ví dụ 24 (Bài lI/tr 13 — Sgk): Giải các phương trình sau:

a 3x—2=2x-3 b 3—4u+24+6u=u+27+3u

c 5—(x—6)=4(3 - 2x) d -6(1,5 — 2x) = 3(-15 + 2x) e 01-20 St-0,1I)=2(t-25)-07 f HỆ: =x

Giải

a Tacé: 3x -2 =2x -3 3x -2x=2-3x=-1 Vậy, phương trình có nghiệm x = —l

b Tacó: 3—4u+24+6u=u+27 +3u 2u=0 ©>u=Ơ0 Vậy, phương trình có nghiệm u = 0

c Tacó: 5.=Ée:26)=45-30ex6-xe§z182-ixesTeelesweed 7

a trình có nghiệm x = =

Al DAI HOC QUOC GIA HA NOI

aC HDS8-T2- | TRUNG TAM THONG TIN THU VIEN 17

Trang 19

d Tacé: -6(1,5 — 2x) = 3(-15 + 2x) = -9 + 12x = -45 + 6x

= 6x =-36 > x =-6

Vậy, phương trình có nghiệm x = ~6

e Taco: 0,1 —2(0,5t-0,1) =2(t- 2,5) -0,7 = 0,1 —t+0,2 = 2t-5— 0,7

Vậy, phương trình có nghiệm t = 2

` 5\ 5 3 35 5 3 15 5 f Tacé: -] x-— |-— =x @ =x-=.—-— =x @ -x-—-— = 2 4) 8 2 24 8 2 8 8 ws 1, 208, ©4x=20 ©x =5 8 8 8

-2 -2 -2 -2

Ví dụ: Giải phương trình: Be eS 2 SS ,

4 5 6

Giải

Biến đổi phương trình về dạng:

x=2,x-2_x-2_x-2 =0 =2 S+z~s=c]=0

3 4 5 3 4 5 6

©x-2=0©x=2

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

Œ” Nhận xét:

1 Trong lời giải trên, ta không máy móc quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức, bởi xuất phát từ nhận xét về nhân tử chung x — 2, điều

này sẽ giúp giảm đáng kể độ phức tạp trong lời giải

2 Quá trình biến đổi phương trình có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là

hệ số của ẩn bằng 0 Khi đó, phương trình có thể vơ nghiệm hoặc

nghiệm đúng với mọi x, thí dụ: " Phương trỡnh:

2x+1=2x1ô@â2x-2x=1-1â0=~-2

= Phng trỡnh vụ nghiệm "Phương trình:

x+2=x+2œx-x=2-2œ©0=0

= Phương trình nghiệm đúng với mọi x

Ví dụ: (Bài 12/tr 13 — Sgk): Giải các phương trình sau:

5x-2 5-3x 10x +3 6+8#x

= b =l+ b

!3 2 12 9

Tat an = SEE, d đi ~1JNj= -=Ẽ,

-CDTĐHĐS&-12-

Trang 20

Giải

¬ ` —= 2(5x-2) 3(Š-3x)

a Ta có: = © ———=——

S 3 6 6

10x +3 6+8x 3(10x +3) 36 4(6+8x) =l+ = =—+ 12 9 36 36 36 2 40x +9= 364244 32x 9 2x= Starx = St b Ta có: - 5

Vậy, phương trình có nghiệm x = >

c Tacó: 7x —] es l6—x = 5(7x =1) | 30.2x - 6(l6—x)

6 5 30 30 30

Vậy, phương trình có nghiệm x = l

de Teams ty Oe gg SE NE-Ủ

3 2

= 6-— 18x =-5x +60 13x =00x =0 Vậy, phương trình có nghiệm x = 0

Ví dụ 4: Gi¿i phương trình: (3x — 4)(2x + 1) - (6x + 5)(x — 3) = 3 (1)

Giải

Để tránh phải ghi lại nhiều lần, ta đi biến đổi riêng VT: VT=0x? + 3x - 8x — 4 - 6x? + 18x -5x +15 =8x +11

Khi đó, phương trình (1) có dạng: 8x + II = 3 ©8x= -8x=-l

Vậy, phương trình có nghiệmx = —]

Ví dụ ã: (Bài 13/tr 13— Sgk): Bạn Hoà giải một phương trình như sau: x(x + 2) = x(x + 5)

©x+2=x+ð ()

©x-x=35-2 (2)

& Ox = 1 (vd nghiém) (3)

Theo em ban Hoa giai dting hay sai? Em sé giai phuong trinh dé nhu thé nao?

Giải

Bạn Hoà đã giải sai ngay ở bước (1) Vì bạn đã chia cả hai vế cho x mà

không quan tâm đến x bằng 0 hay khác 0

Ta chỉ nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho khi chịattả hai vế cho một số khác 0

LẠ thể giải lại phương trình như sau:

Trang 21

X(x +2) = X(x + 3) @ x74 2x =x? + 3x

©x?+2x - (x?+ 3x) =0 © -x =0 ©x =0

Ví dụ@› (Bài 15/tr l3— Sgk): Một xe máy khởi hành từ Hà Nội di Hai Phong với vận tốc trung bình 32km/h Sau đó 1 giờ, một ôtô cũng: khởi hành từ Hà Nội đi Hải Phòng, cùng đường với xe máy và vớ? vận tốc trung bình 48kmjh Hãy viết phương trình biểu thị việc ôtô gặp

xe máy sau x giờ, kể từ khi ôtô khởi hành

Giải

Goi x là thời gian ôtô đã chạy cho tới lúc gặp xe máy (x > l, đơn vị: giờ)

Vì xe máy đi trước ôtô l giờ nên thời gian xe máy đã đi cho đến lúcc gặp

ôtô là x + 1 (giờ)

Quãng đường xe máy đã đi cho đến lúc gặp ôtô là 32(x + 1) (km) Quãng đường ôtô đã đi cho đến lúc gặp xe máy là 48x (km)

Vì quãng đường đi từ Hà Nội cho tới chỗ gặp nhau của hai xe là như nhatu nên

ta có phương trình: 32(x + 1) = 48x 32x + 32 = 48x © l6x = 32 © x = 2'

Ví dụ: (Bài 16/r 13 — Sgk): Viết phương trình biểu thị cân thăng bằng

trong hình bên (đơn vị khối lượng là gam) Giải Ta có:

" Khối lượng đặt trên đĩa cân bên trái x el

là: 3x + 5 (gam) xỊ]5 Ped |

= Khối lượng đặt trên đĩa cân bên

phải là: 2x + 7 (gam)

Vì cân ở vị trí cân bằng nên ta có phương trình:

3x+5=2x+7

Ví dụfu (Bài 19/tr 14 — Sgk): Viết phương trình ẩn x rồi tính x (mét) drong

mỗi hình sgk (S là diện tích của hình)

4 Giải

a Ta có: 9(2x +2) = 144 © I8x + 18 = 144 ©x =7

b Ta có: 6x + l5 =75 © 6x = 75 - 15 © 6x = 60 © x = 10 c Taco: 12x +24 = 168 © 12x = 168 —- 24 © 12x = 24 â x = 2

Vớ d đ (Bài 20/tr 14-— Sgk): Trung bảo Nghĩa hãy nghĩ ở trong đẩu nuột xố tự nhiên tuỳ ý, sau đó Nghĩa thêm 5Š vào số đó, nhân tổng ,nhận được với 2, được bao nhiêu đem trừ đi 10, tiếp tục nhân hiệtH tìm được với 3 rồi cộng thêm 66, cudi cling chia kết quả cho 6 Chẳng hạn, nếu Nghĩa nghĩ đến số 7 thì quá trình tính tốn sẽ là:

73> (7+5=12) —> (12x2= 24) — (24 - 10 = 14) g0 > (14 x 3 = 42) > (42 + 66 = 108) —> (108: 6 = 18)

Trang 22

-CDTDHDSiS-"2-Trưng chỉ cần biết kết quá cuối càng (số 18) là đoán ngay được số

Nghĩa dã nghĩ là xố nào

Nghĩa tứ nấy lân, Trung đều đoán đúng Nghĩa phục tài Trung lâm Đố em tìm ra bí quyết của Trung đấy!

Giải

Gọi x là số Nghĩa nghĩ ra thì biểu thức biểu diễn kết quả là:

13I2(x +5) ~ 10]+66]:6=x + II

Trung chỉ việc lấy kết quả cuối cùng mà Nghĩa cho biết trừ đi 11 là được ma số Nghĩa đã nghĩ

Bí quyết của Trung là yêu cầu Nghĩa làm những phép tính có vẻ rắc rối nhưng thát ra Trung chỉ thực hiện một phép tính đơn giản là có ngay kết quả

Bài I: Giải các phương trình:

4x+1=6x - 13 b 5-3x=6x+7 15-8x =9-Sx d 9-2x=x+1

Bài 2: Giải các phương trình:

a 2%x-2)+3=1-2(x +1) b 2(x-3) 4+ 1=2(x +1)-9

c 3(x + 1)(x-1)-5 = 3x? +2

d x? + 2(x = 1) - 2x - I(x + 1) =x? +x -—4-(x-7)

2 = 3 4 ate 2 4 8 2 ges 3 2 — 3 2x+0,3 2x-1,5 2x-2,5 x-3 x-3 Xx-3 x-3 & —-———= k d + =——+ : 2 3 12 13 14 15 16

ge 2 = a 3 [X13 9 2xtl b x4 V4 2xtl x+2 12 6 1§ 3 2 5 3x+2 x x+5 2x-3 I 1 1 ¢, SEE d =(2x=1)+=(x-3)=1-—(3x +2) c ia A s 5 2( x ys 0 3) goxt) Bài S: Giải các phương trình:

x-2 x-l x-4 x-3 x+l x+2 x+3 x+4 a ——+ i + ‘ ——+ = + 7 § 5 6 15 14 13 14 D HƯỚNG DÂN - ĐÁP SỐ Bai 1: a *=7, b ee, c x=2 d „.Ö 9 8 Bai 2:

a Nhag m6f% lam nghiém b V6 nghiém c NE rbj/Ấ làm nghiệm d x=l

Trang 23

Bài 3:

a Bằng sạch quy dâng mẫu số theo vế ta biến đổi phương trình:

5 (OK =1)= 2 (6x4 1) e24(4x— 1) 46x + Le 10K = 5x=

wie

b Bang cach quy déng mau sé theo vế ta biến đổi phương trình:

sC%+?= cứ~9© —10x+14=x-4‹>llx= l8 c>x=T,

A Broce 18

Vay, phương trình có nghiệm x ath

103

20° 1

d Viết lại phương trình dưới dạng: (x — at +h-t-2) =00x-320 x53

Vay, phương trình có nghiệm x = 3

Bai 4:

a Bang cach quy déng miu sé theo vé ta bién đổi phương trình:

J exis aa + 2x) @3x= -449 ox =- soe

12 15

Vậy, phương trình có nghiệm x = — “

b Bằng cách quy đồng mẫu số theo vế ta biến đổi phương trình: 14x ~ i= | 16 8 kbd ees ae Sa

3 10 64

67

Vậy, phương trình có nghiệm x = 64"

c Bang cach quy déng mau số theo vế ta biến đổi phương trình:

Š s= I8 =I 6B la 2a 1c”,

6 6

Vậy, phương trình có nghiệm x =

d Bằng cách quy đồng mẫu số theo vế ta biến đổi phương trình:

2œ=D= Ì(4—3x)e©21x=23csx= 2

4 6 21

Vậy, phương trình có nghiệm x = = Bai 5:

419

a.x=8 rrn

Trang 24

ĐS8-12-CHIỦ ĐỀ 4 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

A(x) =0

Ta su dung Kết quá: A(x).B(x) =0 © ms ’

B(x) =0

PA(x) = 0

Mở rộng: Với phương trình: A(x) B(x) M(x) =0 © B= :

M(x) = 0

Lay các nghiệm của các phương trình trên, ta được nghiệm của phương

trình bạn đầu

Như vậy, để giải những phương trình đưa được về dạng tích, ta thực hiện

theo các bước;

Bước I: Bàng việc xác định nhân tử chung (hoặc chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái, lúc này vế phải bằng 0) ta đưa phương trình ban

đầu về dạng tích

Bước 2: Giải phương trình rồi kết luận

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

Ví dụ 1; (Bài 2l/tr 17— Sgk): Giới các phương trình sau:

a (3x -— 2)(4x -5) =0 b (2,3x - 6,9)(0,1x + 2) =0 c (4x + 2)x° +1) =0 d (2x +7)(x —5)(5x + 1) =0 BS Giải 2 3x-2 = ne a Tacó: (3x —- 2)(4x—5)=0 © mm c© 3, 4x-5=0 R= 5 4 c Tacó: (4x +2)(xÌ+ Í=4+2=D @x=—L

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = = ;

Trang 25

=

2x+7=0 |*> 79

d Tacé: (2x +7)(x —-S5)(5x+1I=O@][x-5=0 &/x=5

5x+1=0 ein

5 Vậy, phương trình có ba nghiệm x = -i, x=5,x= “3:

Œ” Chú ý: Nhiều phương trình ở dạng ban đầu chưa phải là một phương

trình tích, khi đó chúng ta cần sử dụng phương pháp phân tích

đa thức thành nhân tử để biến đổi phương trình về dạng tích Vídụ 2; Giải phương trình: 2x(x? + 2) = (x -3)(x? + 2) (1)

4 Giải

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

2x(X? +2) — (x - 3)(x? + 2) =0 @ (x?+ 2)(2x - x + 3) =0

2 =

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = —3

2x? + 4x =x? + 2x -3x?-6 & 2X + 4x — xÌ — 2x + 3x” + 6 =0 > x? + 3x? + 2x +6 =0 (x? + 3x”) + (2x + 6) =0

©x?% +3) + 2(x +3) =0 © (x + 3)” + 2) =0 Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = -3

Cách 3: Vì x? +2 > 0 nên chia cả hai vế của phương trình (1) cho x” + 2 > 0, ta được: 2x =x - 3 > 2x-x=-3 ©©x= -3

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = -3

Œ>* Nhận xét: Như vậy, để giải phương trình đã cho chúng ta đã chỉ ra đurợc ba

cách trình bày, cụ thể:

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng tích bằng cách đặt nhân tử chungg

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng tích bằng cách chuyển vế

Cách 3 Sử dụng quy tắc chia cả hai vế của phương trình cho một số khátc 0

Và ở đó:

1 Cách 2 là quá cổng kểnh do việc chúng ta đã không đánh giá được sự có

mặt của#fbân tử chung ban đầu là x? + 2

Trang 26

-CDTĐHĐS8-T2-2 Cách 3 cho lời giải đơn giản hon, tuy nhién néu" chia ca hai ve cua phuong trình cho một số chưa khang đựnh được đã khác 0" sẽ dẫn tới hiện tượng mất

| nyhiém cua phương trình Ví dụ sau sé minh hoa điều này |

Ví dụ 3: (siai phitong trinh: 3x(2x - 3) = 7(2x - 3) (1)

Giải

Biến đổi phương trình vẻ dạng:

3 3x(3x - 3) ~7(2x ~3) =0 © (2x -3)(3x~7)=0©| 239 =% 3x(2x =.3) =7(2x =3) = x=3)2x-7)= l 3x-7=0 a x=-— 3 ‘ 4 , _ 3 7

Vậy, phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x = = ã

@ Nhan xét:

1 Nếu chia ca hai vế của phương trình (1) cho (2x — 3) thì ta sẽ bị mất

một nghiệm x = ; ‘

2 C6 thể giải ví dụ trên bằng cách xét hai trường hợp:

Trường hợp ï Néu x # ; thi 2x - 3 #0 Chia ca hai vế của (1) cho

7 — 3

2x — 340 duoc: 3x =7 < x =—, thoa manx # —

3 2

Trường hợp 2 Nếu x = 3 thì (1) được nghiệm đúng

a tae = 42, 2,

3 2

Ví dụ 4 (Bài 2l/tr 17 — Sgk): Bảng cách phân tích vế trái thành nhân tử,

giải các phương trình sat

Trang 27

5

Vậy, phương trình có các nghiệm x =3 x = màn

b Ta cé: (x?— 4) + (x — 2)(3 — 2x) =0 & (x — 2)(x + 2) + (x — 2)(3 — 2x) = 0

& (x —2)(x +243 -2x)=0 4 (x —2)(5-—x) =0 x-2=0 x22

5-x=0 x=5

Vậy, phương trình có các nghiệm x = 2, x = 5

c Tacó: x`—3x?+3x—I=0©(x—l)'=0©x=l

Vậy, phương trình có các nghiệm

d Ta có: x(2x— 7)- 4x + 14=0ôâ> x(2x -7) - 2(2x + 7) = 0

@

2x+7=0 ame

= n+ NKx-2)=02| ad c i 2 x-2=0 x=2

Vậy, phương trình có các nghiệm x = ca: x=2

e Tacó: (2x—5)*—(x+2)°=0 ©[(2x - 5) - (x + 2)][(2x — 5) + (x + 2)] = 0

x-7=0 x=7

â Đ

3x -3=0 | =1 Vay, phuong trinh c6 cdc nghiém x = 7, x = 1

f Tac6é: x?-— x — (3x — 3) =0 x(x — 1)-3(x-1) =0

x-1=0 x=1

° :

x-3=0 x=3

Vậy, phương trình có các nghiệm x = l, x = 3

Ví dụ 5: Giải phương trình: (x? + x°) + (x +x) =0

&S Gidi

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

x?(x+1)+x(x + 1)=0 © (x + 1)(x? + x)=0 x=0 x âx(x+])(x+1)=0ô< ô x+1=0 x 2&~?0x~3)=0 | =&~Dw=3=0đ| 0 asl] ” Vậy, phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x = — 1, x =0

8 4 x=0 x20

Sai 204 = Oca DỆ=0€ | =| x+1=0

pe trinh cé 2 nghiém phan biét 14 x = — 1, x = 0

x=-l

Trang 28

-CDTPHDSS8-T2-œ Nhạn xét: Trong, lời giải trên, việc trình bày hai cách giải nhằm mục đích giúp các em học sinh có được phép so sánh, từ đó lựa

chọn cho mình phương, pháp thích hợp

Ví dụ 6 Gidi phuong trình: x`= 2x - 3=Ú

BS Giải

Trước tiền ta đi phân tích đa thức x” - 2x - 3 thành nhân tử, để thực hiện

cóng việc này ta có thể lựa chọn mới trong các cách sau: Cách 1: (Sứ dụng phép tách theo B): Ta có: x -2x-—3 =x?+ g-3x⁄ —3=(X +X)-(2xX+3) tách~=3x=x=3 = X(X + l)— 3(x + l)=(x + I)(x- 3) Cách 2: (Sứ dụng phép tách theo A): Ta có: x” -2x—-3=(3xÌ—3) - (2xÌ+ 2x) K28 3 = 487 tách x” =3 = 3(x°— ])— 2x(x + l)= 3(x — 1)(x + ])— 2x(x + 1) =(x+ l){3(x — l)— 2x] = (x + l)(x — 3) Cách 3: (Sứ dụng phép tách theo €): Ta có: x?-2x-3 =x?-2x -2-1 =(x) -l)—(2x+2) ——¬— tách ~Ä==3~l =(x —1)(x + 1)-2(x + 1) = (x + I(x — 1 - 2) = (x +: I(x - 3) Cách 4: (Sứ dụng pháp tách tạo hằng đẳng thức): Ta có: x'=2x—3 =x'-2xl+ I4 =Œ&-I-4 tich—3=1-4 =(x-—1-2)(x-14+2)=(x-3)(x + 1) : x-3 xea Khi đó, phương trình có đạng: (x — 3)(x + 1)=0 © = ‘ x+1=0 x=-l

Vày, phương trình có 2 nghiệm phân biệt là x = 3, x =- 1

Œ®*” Nhận xét: Bôn cách phân tích đa thức dang ax” + bx + c thành nhân tử trong,

lời giải trên đã được trình bày rất chỉ tiết trong chương I

Ví dụ 2: (Bài 24/tr l7 — Sgk): Giới các phương trình:

a (X`—=2x+l)—-4=0 b xÌ—x=-2x+2 c 4x '+4x+l=xẺ d x'-5x+6=0 .£ Giai a Taco: (2x4 1)—4=0(% = 17 —4=06 & = 1 = 2)(x= 14+ 2)=0 =© (x7 3)(x + 1) =04 x =F hoac x =-1,

Vaygn lương trình có 2 nghiệm x = 3, x = —]

Trang 29

b Tacé: x°-x =-2x +29 x(x -—1) + 2(x-1)=0

Vậy, phương trình có 2 nghiệm x = l, x = -2

c Ta có:

Vay, phuong trinh cé 2 nghiém x = 1, x = 5: d Tacú: x5x+6=0ôâ>x2x- 3x +6=0

Vậy, phương trình có 2 nghiệm x = 2, x = 3

Ví dụ: (Bài 25/tr 17 — Sgk): Giải các phương trình:

a 2x+6x?°=x?+3x b (3x— l)(XÌ+2)= (3x - 1)(7x — 10)

4 Giải

ex =O hoje x = -3 hoặc X = =

Vay, phuong trinh cé 3 nghiém x = 0, x =-3, x = >

b Tacé: (3x — 1)(x? + 2) = (3x — 1)(7x — 10)

<> (3x — 1)(x? -— 3x — 4x + 12) =0 & (3x — 1)(x — 3)(x — 4) =0

@x=5 hoặc x = 3 hoặc x = 4

Vậy, phương trình có 3 nghiệm x = m x=3,x=4

Ví dụ9q+ Cho phương trình: (x + 1 - 3m)(3x - 5 + 2m) =0

a Tim cdc giá trị của m sao cho một trong các nghiệm của

phương trình là x = 1

b Voi mdi m vừa từn được ở câu a), hãy giải phương trình đã cho

4 Giải

Trang 30

-CDTDHĐS8-T2- 2 Te ¬

Vìy, với m = W hoặc m = [ thoả mãn điều kiện đầu bài b T:¡ lần lượt thực hiện: 3 = Vớime= = phương trình có dạng: 2 (X+1~3 23-5 +2 wl )Z0(x=1Jđx= =0 x-1=0 x=] © & 3x5 =0 pole Ø

Vậy, với m = 5 phương trình có các nghiệm x = l, x =

s©|=

“ Với m= I1, phương trình có dạng:

x-2=0 x=5 6+1<300x= 532006 (~2/0x~3)=02] “|

3x—3=( x=l

Vậy, với m = [ phương trình có các nghiệm x = 2, x = 1

Ví dụ 10; Cho phuong trinh: 2x*+ ax + 3 =0 (1)

a Biét rdng x = -1 la mot nghiệm của phương trình (1), hãy xác

dinh a

b Với a vừa từn được 6 cau a) hdy tim ede aghiém còn lại của

phương trình

Giải

a Vìx =—] là một nghiệm của phương trình (I) nên ta được: 2(— 1)'+a(—1)+3=0© -2-a+3=0€Ằa=l Vay, voi a = 1 phương trình (1) có một nghiệm là x = - 1

b V6ia=1, phương trình (1) có dạng: 2x'+x+3=0 (2)

Để giải phương trình (2) ta cần phân tích đa thức 2xÌ+ x + 3 thành nhân tử, để thực hiện công việc này chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện phép phân tích:

2x'+x+3 =2xÌ+2+x+lI=2(x+l)+(x+])

=2(x+l)(xÌ-x+l)+(x+])

= (x + 1)(2x?-2x +24 1) =(x + 1)(2x? - 2x + 3)

Cách 2: Vì x =— I là nghiệm của phương trình nên đa thức 2x” + x + 3 sé chia

hết cho x + I (thực hiện phép chia đa thức 2xÌ+ x + 3 cho x + I ra nháp), từ đó ta được: 2xÌ+ x + 3 = (x + 1)(2x? - 2x + 3)

Khi đó, phương trình có dạng:

aby

Trang 31

¥+120 (l)

2x°-2x+3=0 (2) Giải (1), ta được x = —]

Giải (2), ta có nhận Xét:

2x? - 2x + 3 =2(x?-x + 1) + 1 >0= phuong trinh (2) v6 nghiérn

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x = —l

@” Nhận xét: Trong lời giải trên, việc việc phân tích đa thức 2x? + x + 3 thành

nhân tử được trình bày hai cách, ở đó:

Cách 1 Việc thực hiện là tương đối tự phát, nó được dựa trên kinh n;ghiệm

trong việc phân tích đa thức thành nhân tử

Cách 2 Chúng ta đã tận dụng được giả thiết cho x = — 1 là nghiệm của phương trình Ta có kết quả tổng quát sau:

" Nếu phương trình f(x) = 0 có nghiệm x = a thì đa thức Í(x)

chia hết cho x — a "

Tức là, khi đó f(x) = (x — a).g(x) và phương trình trở thành (x — a)g(x) =0

Ví dụ LH Giải phương trình: 2xÌ+ x`— 5x +2=0

biết rằng phương trình có một nghiệm là x = 1

4 Giải

Thực hiện phép chia đa thức 2xÌ+ x”— 5x + 2 cho x - l, ta được:

2x3 + x?— 5x +2 = (x— 1)(2x?+ 3x — 2) =(x — 1)(2x?+ 4x — x - 2)

= (x — 1)[2x(x + 2) - (x + 2)] = (x — 1)(2x - 1)(x + 2)

x-1=0 „

Vậy, phương trình có ba nghiệm phân biệt x = l, x =— 2, x= ; `

Œ* Nhận xét: Như vậy với việc cho thêm giả thiết "Phương trình có một

nghiệm lả x = 1 " đã giảm bớt được đáng kể độ khó cua bài

tốn trong bước phân tích đa thức thành nhân tử Điều này

được hiểu là:

1 Với các em học sinh trung bình, bài toán được cho dưới dạng:

" Giải phương trình 2x + x? — 5x + 2 = 0 biéf rằng phương

trùnh có một nghiệm là x = 1 "

2 Với em học sinh khá, bài toán được cho dưới dạng:

| ph trình 2x) + x?— 5x + 2 =0"

Trang 32

C BÀI TẬP LUYÍ

Bài l: Giải các phương trình:

a (2x—6)(3+4x) =0, b (4x — 55x 4+ 66x — 7) = 0

É (&—3)J(2x+ 12x — 34x + 30

d (3x — 2)(2x + Sy&x — 34x + 13K — 1) = 0

a (X=6Xx+l)=2(x+# 1) bi (w=2J(5x £ÄJ=(3x—8)\(x—3)

c 2X(l5x+ 25) -33(3x+5) =0, d.(2x 1+ (2x+5)=(2x/+ 1)(x— Ú)

a x7 -9x+20=0 & # +2e=15 =0,

b xi -4x7 + 5x =0 do (x°-1y S4x 41

Bai 4: Giai phuong tinh: 4x‘- 9x7 + 6x — 1 =0

biết rằng phương trình có một nghiệm là x = 1

NTẬP

Bài 5: Giải phương trình: xÌ— 4xÌ— xÌ+ 16x - 12 =0

biết rằng phương trình có hài nghiệm là x = lvàx= —2

Bài 6: Cho phương trình: (2x + 3m)(3x — 2m — 1) = 0

a Tim cdc giá trị của m sao cho một trong các nghiệm của phương trình là x = |

b Voi moi m vừa tìm được ở câu a), hay giải phương trình đã cho Bài 7: Cho biểu thức hai bién: f(x, y) = (x - 3y + 4)(2x + 3y - 1)

a Tìm các giá trị của y sao cho phuong trinh (an x) f(x, y) = 0 nhan x = 2 lam

nghiệm

b Tìm các giá trị của x sao cho phương trình (ẩn y) f(x, y) = 0 nhận y = I làm

nghiệm

Bài 8: Cho phương trình: xÌ+ ax’ + 1x —6 = 0

a Biét rang x = | 1a mot nghiém cla phuong trinh, hay xdc dinh a

b Với a vừa tìm được ở câu a) hãy tìm các nghiệm cịn lại của phương trình Bài 9: * Giải các phương trình:

a 3x'— 8x'-2x +4 =0 d 2x'-9x +2=0 b x'= 4x74 7x -6=0 e 8x'—4x"+ 10x —5 =0 c 2x'+ 7x'+ 7x +2=0 f xt4x?-xJ/2 -2V2 =0 D HƯỚNG DÂN - ĐÁP SỐ Bài I 3 # a rime = S) b ee ere 4 4 5 6 3 2

c ihes—) et ent, Bis ies ie ae bee

Trang 33

Bài 3:

a Biến đổi: x'—9x +20= x?~ 4x - 5x +20 = x(x — 4) - 5(x —4) =(x — 4)(x — 5)

x-4=0 x=4

ma I" cố”

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 4, x = 5

b Biến đổi: x' -4x? + 5x = x(X? - 4x + 5) = x[(x — 2)? + 1]

c Biến đổi: x°+2x— 15 =x?+5x— 3x — l5 = x(x +5) — 3(x + 5) = (x + 5)(x — 3)

x-3=0 x=3

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt x = — 5, x = 3

d Biến đổi phương trình về asi

(P-1P=4x+1oxt-2°4+1=4x+ 1x ee > x(x? - 2x - 4) =0& x(x? - 4x + 2x -4) = & x[x(x? — 4) + 2(x - 2)] =0 © x[x(x - 2)(x + 8 +2(x -2))=0 Khi đó, phương trình có dạng: (x — 4)(x — 5) =0 © Khi đó, phương trình có dạng: (x + 5)(x — 3) = 0 © x=0 x=0 > x(x — 2)(x? + 2x +2) & l x-2=0 x=2

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 0, x = 2

Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức 4x”— 9x?+ 6x - I cho x7—l, ta được: 4x? — 9x?+ 6x — 1 = (x — 1)(4x? —5x +1) =(x—- 1)(4x? — 4x —x + l) =(x— Dl4x(x — I) -(&— DJ = — 1x — Dia = 1) x-1=0 Khi đó, phương trình có dạng: (x — l)(x— 1)(4x — 1) =0 © ©© 4x-l=0 x= pM as

Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1, x = ï i

Bài 5: Thực hiện phép chia đa thức x*— 4x`— x?+ 16x -12 cho x - 1, r6i tiiép tục

chia thương cho x + 2, ta được:

x*— 4x3 — x?+ I6x — 12 = (x — 1)(x +2)(x? — 5x +6) = (x — 1)(x +2)(x? — 3x — 2x + 6) = (x — 1)(x + 2)[x(x — 3) - 2(x — 3)| =(x~ l)(x + 2)(x — 2)(x — 3) Khi đó, phương trình có dạng: x-1=0 x=l x+2=0 x=-2 (x— 1)(x+2)(x—2)(x—3)=0© c x-2=0 Kia x-3=0 x=3 va nớ trình có bốn nghiệm phân biệt x = l, x = #2, x = 3

Ss

Trang 34

-CDTĐHĐ.S8-T2-Bài 6: Hoe sinh nelam Bài 7: Aloe sinh nelam Bai 8:

a Vix =1 14 mét nghiém cua phuong trinh nén ta duoc:

Peal+1L1-6=0@ a=-6

‘Vay, véi a = — | phuong trinh cé mot nghiém 1a x = 1

b Voi a=-— 1, phuong trinh co dang: x* - 6x? + 11x —6 = 0

Vix = 1 là nghiệm của phương trình nén da thite x? — 6x" + 11x — 6 sẽ chia hết cho x — I (thực hiện phép chia da thite x* — 6x? + 11x — 6 cho x — I ra nhap), tir dé ta

duoc: x’ — 6x? + 11x — 6 = (x — 1)? — 5x + 6)

x-l=0 x=l

(x — 1)(x`-5x +6)=0 ©@(x~ 1)(x—-2)(x— 3)=0 ©|x-2=0 ©|x=2 x-3=0 x=3 Vậy, phương trình có ba nghiệm phân biệt x = 1, x = 2, x= 3

Bài 9:

a Phân tích: 3xÌ— 8x?— 2x + 4 = (3x — 2)(x? - 2x — 2)

“= Giải (l), ta được x=

wily

w

"Giải (2), ta bién déi: x? — 2x —2=00x?-2x+1=3 @(x-1)=3

x-I=: J3 x=l+3

°

x—I=:—/3 x=I-3

Vay, phương trình có ba nghiệm phan biét x = 1, x = 1+ dã

eS

b Phân tích: x'`— 4x?+ 7x —6 = (x — 2)(x? - 2x + 3) Tơi đây đê nghị các em học sinh giải tiếp

Trang 35

i Ề ` ⁄, + 2 ~

cHUPES DHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN ỞMẪU

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

A,0) + A) 2 =0

B,(x) B,(x) B, (x)

B(x) #0

Đối với các phương trình dạng:

điều kiện xác định của phương trình được cho bởi hệ:

B,(x) #0 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước I: Tìm điều kiện xác định của phương trình

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

Bước 4: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều

kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ Us Tìm điều kiện xác định cho mỗi phương trình sau:

ee og 6 = eee

x-2 x+l x-4

a

&S Giải

a Diéu kién x4c dinh cua phuong trinh 1a: x -2 #0 & x #2

x+1#0 #-1

=

b Diéu kién xdc dinh ca phuong trình là:

x-4z0 x#4 0

PF Chi y: Trong những trường hợp hệ điều kiện phức tạp, chúng ta nêm giải từng điều kiện một để giảm độ phức tạp, thí dụ sau sẽ minlh hoạ trường hợp này

Ví dụ 2: Tìm điêu kiện xác định cho phương trình sau:

2x? 2x-1

Trang 36

-CDTDHĐSS-T2-BS (Giải

Log l 7 7 x? -140 (1)

Điều kiện xác định của phương trình là: + „ ‘

x° -5x+4#0 (2)

“- Giải (1), tà được: x#l x etl

x-1#0 fe

€>(x— l)(x—4) z0 =

x-4z0 x4

xz+#l

‘ied x#4

Vấn để 2: GIẢI PHƯƠNG TRINH CHUA ẨN Ở MẪU

Ví dụ L: (Bai 27/tr 22 — Sgk): Giải các phương trình sau:

a Ta, b Š — ngu x+5 x 2 (x7 +2x)- x46) 9 ad T7 =2y—Ị, x-3 3x +2 BS Gidi a Diéukién: x+5 40x #-5S 2x~5 Ta có: _ =3 © 2x—-5=3(x + 5) © x = 20 (thoả mãn) +

Vậy, phương trình có nghiệm x = 20 b Diéu kién: x #0

Taed: ~—* 2x + ; > 2(x?- 6) =2.x.x + 3.x xX

> 2x? — 12 = 2x? + 3x & x =—4 (thoa man)

Vậy, phương trình có nghiệm x = -4

Trang 37

d Điều kiên: 3x4 2#0cox#-= Ta có: =2x— Ï ©5 =(2x - 1)(3x + 2) © 6x?T— 6x + 7x -7:=0 3x+2 x=l â6x(x- l)+7(xT l)=0ô<â(x- 1)(6x+7)=0ô<â 1 xe

Vậy, phương trình có 2 nghiệm ¬.=

Ví dụ 2:¡ (Bài 28/tr 22 — Sgk): Giới các phương trình sau:

OF pid, x-1 x- kh 2x42 cổ ai eẼ x+1 1 a, Í x+3 x-2 c X+—=X+— d ——+ = x x? x+I x &S Gidi a Diéukién:x-1400x#1

Ta o6: 5) 41 = 1 em 2x— 14-1 = 1 eo x= 1 (khong thoả mãn)

x- x-

Vậy, phương trình vơ nghiệm

b Điều kiện: x +140<9x #-1

Tạ có: 2T +1=——- 2x+2 x+1 œ5x.+2x+2<C4)2

<> 7x =-14 x =-2 (thoa min) Vậy, phương trình có | nghiént

c Điều kiện: x0 Tạ có: X+ > =x?+ @XX + ZX”X + | eo x) + =X + Í x x ex'-x4x-1=00x(x-1)+(x-1)=0 © (x - 1)? - 1) =0 © (x — 1) - 1)? +x + 1) =0 q) 2 Nhận thấy: x2+x+1=x?+1.1x+ + Ì- got] «1 wo 2 4 4 2 4

Do đó: (1) & (x - 1)? =0 x = | (thoa min)

B g trình có | nghiém

Trang 38

-CDTĐHĐS4-T2-d Điều kiện: x + Ï #0 @x#-] vax 40 k —., Ta có: s3 +Š—^ =2 x+] X = x(x + 3) + (x — 2)(x + 1) = 2x(x + 1) ox 43x 4x? -x—2= 2x? + 2x <= 0.x = 2 (mau thudn)

Œ” Chú ý: Việc giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, đôi khi cần tới những phép biến đổi linh hoạt để giúp giảm bớt độ phức tạp khi thực hiện phép quy đồng mẫu số Ví dụ sau sẽ minh hoa điều này

1

7-x +8

Ví dụ 3: Gidi phuong trinh: ts =

x-

Giải

ne 7, lon Sẽ l : và [X-7#0 xéT

Điều kiện xác định của phương trình là:

7-x#0 x#7

Tới đây để thực hiện tiếp chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu:

x-8 1 x-8 1 8(x -7) =- 8o =- + x-7 x-7 x-7 x-7 x-7 Sx-8 =-1 4+ 8(x-7) Ox -8 =-1 + 8x -56 2x -8x =-1 -56+8 @-7x =-49 < x= 7, khong thoả mãn

Cách 2: Thực hiện phép quy đồng cục bộ:

x-8 1 x-8 1 x-8+1

_—= +8 + c- =

x-7 7-x x-7 x-7 x-7

Œ®” Nhận vét: Cách 2 trong lời giải trên được trình bày để minh hoạ bước

đầu cho hiệu quả của phép quy đồng cục bộ

.- phương trình: x? + AI =3x+ 2

Pi), x=2 x-2

Trang 39

BS Giải

Biến đổi phương trình về dạng:

hate EF tent peg BOI xụ

x = 2loại vì khơng thoả mãn điều kiện `

Vậy, phương trình có một nghiệm x = 1

r Nhận xét:

I Trong lời giải trên, chúng ta sử dụng phép quy đồng cục bộ để từ đó

nhận được phương trình x”-3x+2 = 0, và việc đưa phương trình này về dạng tích tương đối đơn giản

2 Trong trường hợp chúng ta không sử dụng phương pháp quy đồng cục

bộ thì sẽ nhận được:

x(x — 2) + 2x - 1 = 3x(x — 2) + 3.9 x? — 2x? + 2xT— 1= 3x?— 6x + 3 =x’ - 5x? + 8x -4=0

Dé thấy, việc chuyển đổi phương trình nay vé dang tich khé khan hon nhiều so với phương trình x?— 3x + 2 = 0

2

Vidw as Giải phương trinh: —*—"— =0 x"-5x+4

4£ Giải

Kiểm tra điều kiện:

"- Với X= ],tacó: l°—5.1+4= 1-5 +4=0, không thoả mãn điều kiện (*)

® V6ix=—-1,tacd: 16-5(-1)+4=1+5+4=10#0, thoa man (*) Vậy, phương trình có một nghiệm x = - 1

Trang 40

-CDTDPHDS8-T2-a Nhán xét: Như vậy, trong những trường hợp việc tìm r-CDTDPHDS8-T2-a được điều kiện một cách cụ thể là rất khó khăn, chúng; ta sẽ lựa chọn theo hướng: Bước I: Tìm điều kiện xác định của phương trình (và không,

giải)

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Thử lại

Bước 4: Kết luận về nghiệm cho phương trình

Ví dụ ã: (Bài 3l/tr 23 — Sgk): Giới các phương trình sau:

‘i 1 x, aR ae — x-I x -l X'+x#l 3 + 2 2, 1 (K-DK=2) 0 (K-3K-1) (x-2x—3) 1 12 ce, 1+ = 5 x+2 8+x 13 1 6 đ + S 3 (x—3)(2x+7) 2x+7 (x — 3)(x +3) BS Gidi a Diéukién: x -1400x#1, 1 2 2 ‘ a tee = 28 2 cpg n gp jm el ote 1) x¬I il x? +x4l & -4x°-x 44x 4+ 1=0-x(4x + 1) + (4x +1) =0 ] (4x4 Dx-)s00]* 5 x=l (loại)

Vậy, phương trình có I nghiệm b._ Điều kiện: x # Ï và x # 2 và x # 3

Ta có: - = + : = !

(x-l\(x-2) (x-3\(x-l) (x-2)(x-=3)

Định dạng
Số trang	111
Dung lượng	19,58 MB