Phương pháp giải hình học trong tin học

... DẠNG BÀI TOÁN HÌNH HỌC THƯỜNG GẶP Dạng Mối quan hệ điểm, đoạn thẳng, đa giác Phương pháp: Đây số dạng toán hình học đơn giản Việc giải toán dạng chủ yếu sử dụng kiến thức hình học (đã trình bày... diện tích phủ hình chữ nhật Phương pháp: Giả sử có n hình chữ nhật Để tính diện tích phủ n hình chữ nhật ta làm sau: Bước Sử dụng a,b mảng lưu hoành độ tung độ đỉnh hình chữ nhật (mỗi hình chữ nhật... trình: Ví dụ Hình chữ nhật bao Cho N hình chữ nhật mặt phẳng mà cạnh song song với trục toạ độ Biết hình chữ nhật i bao hình chữ nhật j đỉnh hình chữ nhật j nằm hình chữ nhật i nằm cạnh hình chữ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH PASCAL

Tin học và nhà trườngQua quá trình tham gia giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi chúng tôi thấy nhiều bài toánđòi hỏi học sinh phải tìm ra mô hình toán học cụ thể từ yêu cầu phức tạp của bài toán

Thực tế cho thấy những học sinh có khả năng vận dụng kiến thức toán học vào quá trìnhphân tích đề bài sẽ nhanh chóng phát hiện được mô hình toán học của bài toán và đưa ralời giải hợp lý Việc hướng cho học sinh phát hiện ra những mối liên hệ của bài toán cần giảiquyết với các kiến thức toán thông dụng qua quá trình tìm hiểu nội dung bài toán là không

dễ dàng gì Với mong muốn phần nào giúp học sinh cũng như giáo viên trong việc tìm ra lờigiải cho một số dạng bài toán thường gặp trong chương trình THPT cần giải quyết lập trình

đó là các bài toán hình học, chúng tôi xin giới thiệu phương pháp giải toán hình học bằng ngôn ngữ lập trình Pascal mà chúng tôi đã áp dụng trong quá trình giảng dạy.

I KHÁI NIỆM HÌNH HỌC VÀ CÁC ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC CƠ BẢN

1 Khái niệm hình học.

Đa số các thuật toán đều tập trung vào văn bản và các con số, chúng được thiết kế và xử lýsẵn trong phần lớn các môi trường lập trình Đối với các bài toán hình học thì tình huốngkhác hẳn, ngay cả các phép toán sơ cấp trên điểm và đoạn thẳng cũng có thể là một tháchthức về tính toán

Các bài toán hình học thì dễ hình dung một cách trực quan nhưng chính điều đó lại có thể

là một trở ngại Nhiều bài toán có thể giải quyết ngay lập tức bằng cách nhìn vào một mảnhgiấy nhưng lại đòi hỏi những chương trình không đơn giản

Ví dụ: Bài toán kiểm tra một điểm có nằm trong đa giác hay không?

2 Đối tượng hình học cơ bản.

Trong các bài toán tin học thuộc loại hình học có 3 đối tượng cơ bản là: Điểm, đoạn thẳng

và đa giác

- Điểm: Được xác định là cặp (x,y) trong hệ toạ độ đề các

- Đoạn thẳng: Là cặp điểm được nối với nhau bằng một phần của đường thẳng

- Đa giác: Là dãy các điểm mà 2 điểm liên tiếp nối với nhau bởi đoạn thẳng và điểm đầunối với điểm cuối tạo thành đường gấp khúc khép kín

3 Dữ liệu lưu trữ các đối tượng hình học cơ bản

II MỘT SỐ PHÉP TOÁN CƠ BẢN

1 Vị trí tương đối của điểm so với đường thẳng, tia và đoạn thẳng

a) Kiểm tra M có thuộc đường thẳng đi qua 2 điểm A, B hay không?

b) Kiểm tra M có thuộc đoạn thẳng AB hay không

c) Kiểm tra M có thuộc tia AB hay không

Phương pháp:

Đặt

- Điểm M thuộc đường thẳng AB khi

- Điểm M thuộc đoạn thẳng AB khi:

- Chương trình:

2 Giao của các đoạn thẳng, đường thẳng và tia

điểm (nếu có) của 2 đường thẳng trên

Phương pháp:

+ Nếu D=Dx=Dy=0 thì kết luận 2 đường thẳng trùng nhau

+ Nếu D=0 và ((Dx ≠0) hoặc (Dy ≠ 0)) thì kết luận 2 đường thẳng song song

+ Nếu D ≠ 0 thì kết luận 2 đường thẳng cắt nhau tại điểm có (Dx/D, Dy/D)

Chương trình:

điểm (nếu có) của 2 đoạn thẳng

Phương pháp:

Bước 1 Tìm giao điểm M của 2 đường thẳng AB và CD

Bước 2 Kiểm tra M có thuộc đồng thời cả 2 đoạn AB và CD hay không Nếu có đó là giaođiểm cần tìm, ngược lại kết luận không có

Chương trình:

Bài toán 4 Cho tia AM chứa điểm B (khác A) và đoạn thẳng CD

với Tìm giao điểm (nếu có) của tia AM với đoạn thẳngCD

- Phương pháp:

Bước 1 Tìm giao điểm N của 2 đường thẳng AB và CD

Bước 2 Kiểm tra N có thuộc tia AM và đoạn thẳng CD hay không Nếu có đó là giao điểmcần tìm, ngược lại kết luận không có

Chương trình:

3 Vị trí của điểm so với đa giác

M với miền trong đa giác

+ Đỉnh d[i] không thuộc đoạn thẳng MN, đỉnh d[i+1] nằm trên đoạn thẳng MN, 2 đỉnh d[i]

và d[i+2] khác phía so với đường thẳng MN

+ Đỉnh d[i-1], d[i+2] ngoài đoạn thẳng MN, hai đỉnh d[i] và d[i+1] thuộc đoạn MN, d[i-1]

và d[i+1] khác phía so với đường thẳng MN

+ Đỉnh d[i] và d[i+1] không thuộc MN và cạnh (d[i],d[i+1]) cắt đoạn thẳng MN

PHẦN II MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN HÌNH HỌC THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Mối quan hệ giữa điểm, đoạn thẳng, đa giác.

Phương pháp: Đây là một trong số dạng bài toán hình học đơn giản nhất Việc giải

bài toán dạng này chủ yếu sử dụng các kiến thức hình học cơ bản (đã trình bày đầy

đủ trong phần trên)

Cho N điểm, hãy kiểm tra xem có bao nhiêu bộ 3 điểm thẳng hàng

Input: Cho trong tệp văn bản DL.INP

- Dòng thứ 1 ghi số N

- N dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi toạ độ của một điểm

Output: Ghi vào tệp KQ.OUT chứa một số duy nhất là số bộ 3 điểm thẳng hàng.

(Giới hạn: 1<=N<=2000, toạ độ các điểm có giá trị tuyệt đối không quá 10000)

Chương trình:

- Mỗi đường thẳng được đặc trưng bởi 3 thông số a,b,c được xác định:

a:=(y1-y2); b:=(x2-x1) ; c:=x1*y2-x2*y1;

- Hai đường thẳng cắt nhau khi: D:=a1*b2-a2*b1 ? 0;

Chương trình:

Cho đa giác không tự cắt A1A2 AN với các đỉnh Ai(xi,yi) nguyên Với điểm A(xA,yA) chotrước, hãy xác định xem A có nằm trong đa giác đã cho hay không (Trong trường hợptrên cạnh đa giác xem như nằm trong đa giác)

Dữ liệu: Cho trong tệp Dagiac.inp

- Lưu toạ độ các đỉnh đa giác vào mảng A

- Kiểm tra xem điểm A có trùng với đỉnh đa giác

- Kiểm tra xem điểm A có nằm trên cạnh đa giác

- Tìm giao điểm nếu có của tia Ax (Ax//Ox và Ax hướng theo phần dương trục hoành)với các cạnh của đa giác Trường hợp tia Ax chứa đoạn thẳng cạnh đa giác ta xemnhư tia Ax có 1 điểm chung với cạnh này Cụ thể:

+ Giả sử điểm A(x0,y0), chọn điểm B(xb,yb) với xb=x0+1,yb=y0

+ Kiểm tra tia AB có cắt đoạn thẳng CD bằng cách:

B1 Tìm giao điểm N của 2 đường thẳng AB và CD

Tính

a1:=yb-ya; b1:=xa-xb; c1:=ya*xb-xa*yb;

a2:=yd-yc; b2:=xc-xd; c2:=yc*xd-xc*yd;

D:=a1*b2-a2*b1; Dx:=c2*b1-c1*b2; Dy:=a2*c1-a1*c2;

Xác định: Nếu D ≠0 thì toạ độ giao điểm là N(Dx/D,Dy/D) B2 Kiểm tra N có thuộc tia

AM và đoạn thẳng CD hay không

- Điểm N thuộc đoạn thẳng CD khi: Min(xC,xD) ≤xN ≤ Max(xC,xD) vàMin(yC,yD) ≤ yN ≤ Max(yC,yD)

- Điểm N thuộc tia AB khi có nghĩa là N phải thoả mãn điều kiện: (xN-xA)(xB

-xA) ≥0 và (yN-yA)(yB-yA) ≥0

+ Kiểm tra tia AB chưa cạnh CD hay không bằng cách: (yc=yd)and(yc=yo)

- Đếm số giao điểm, nếu số giao điểm lẻ thì A thuộc đa giác

Chương trình:

VD 4 Đếm số điểm có toạ độ nguyên thuộc đa giác

Cho đa giác gồm n đỉnh (x1,y1), (x2,y2), , (xn,yn), biết xi và yi(i=1, ,n) là các sốnguyên trong đoạn [-106,106] Các đỉnh được liệt kê theo thứ tự cùng chiều kim đồnghồ

Viết chương trình tìm số điểm có toạ độ nguyên nằm trong hay trên biên đa giác

Dữ liệu: Cho trong tệp tin DL.INP

- Dòng đầu chứa số nguyên duy nhất cho biết số đỉnh

- Tiếp theo là các dòng, trên mỗi dòng có 2 số nguyên cách nhau một khoảng trắnglần lượt là hoành độ, tung độ các đỉnh đa giác

Kết quả: Xuất ra màn hình số điểm có toạ độ nguyên nằm trong hay trên biên đa giác

Ý tưởng:

- Tính a,b theo công thức:

- Xác định số điểm có toạ độ nguyên: Sđ=round(abs(a/2)+b/2+1)

Chương trình:

Dạng 2.Tính diện tích đa giác

Phương pháp: Giả sử cho đa giác có n đỉnh và toạ độ các đỉnh lưu vào mảng a Đểtính diện tích đa giác ta làm như sau:

Bước 1 Gắn thêm đỉnh phụ:

a[n+1].x:=a[1].x; a[n+1].y:=a[1].y;

Bước 2 Diện tích đa giác tính theo công thức:

Lưu ý: Có thể áp dụng công thức khác để tính diện tích trong các trường hợp đặc biệt

- Nếu đa giác là tam giác (n=3) thì diện tích tính theo công thức:

- Nếu đa giác là hình chữ nhật (n=4) có các cạnh là a,b thì diện tích là: S=ab

- Nếu đa giác là hình vuông (n=4) có cạnh là a thì diện tích là: S=a2

- Nếu đa giác là hình tròn có bán kính R thì diện tích là

VD1 Xác định diện tích đa giác

Cho N đa giác lồi A1A2A3 AN-1AN với các đỉnh Ai(xi,yi) có toạ độ nguyên Hãy tính diệntích đa giác trên

Dữ liệu: Cho trong file DL.INP gồm 2 dòng

- Dòng 1: Chứa số nguyên dương N

- Dòng 2: Chứa 2xN số nguyên dương x1 y1 x2 y2 xN yN là toạ độ các đỉnh của đagiác Mỗi số ghi cách nhau một dấu cách

Kết quả: Xuất ra màn hình diện tích đa giác

Ý tưởng:

- Lưu toạ độ các đỉnh đa giác vào mảng toado

- Sử dụng công thức tính diện tích đa giác:

VD2 Dãy hình chữ nhật

Trong mặt phẳng toạ độ trực chuẩn, cho N hình chữ nhật có các cạnh song song vớitrục toạ độ Mỗi HCN được xác định bởi toạ độ đỉnh dưới bên trái và đỉnh trên bênphải của nó Hãy đưa ra dãy các hình chữ nhật theo thứ tự tăng dần diện tích

Dữ liệu: Cho trong file HCN.inp gồm N+1 dòng

- Dòng 1 Chứa số N

-Dòng i+1 (1 ≤i ≤N): Ghi 4 số nguyên x1, y1, x2 ,y2 lần lượt là toạ độ đỉnh dưới bêntrái và đỉnh trên bên phải của HCN i (Các số ghi trên một dòng cách nhau ít nhất mộtdấu cách)

Kết quả: Ghi vào tệp HCN.out dãy các hình chữ nhật sau khi sắp xếp

Ý tưởng:

- Lưu toạ độ các đỉnh đa giác vào mảng a

- Tính diện tích hình chữ nhật theo công thức:

- Sắp xếp mảng a tăng dần theo diện tích

Bước 3 Lần lượt kiểm tra các hình chữ nhật có toạ độ đỉnh trên bên phải (xi+1,yi+1) vàtoạ độ đỉnh dưới bên phải là (xi,yi) với 1 ≤i ≤n-1 Nếu hình chữ nhật này thuộc một

trong các hình chữ nhật ban đầu thì cộng thêm vào phần diện tích đang cần tìm diệntích của hình chữ nhật con này.

Ví dụ 1 Diện tích phủ bởi các hình chữ nhật

Trong mặt phẳng toạ độ trực chuẩn, cho N hình chữ nhật có các cạnh song song vớitrục toạ độ Mỗi HCN được xác định bởi toạ độ đỉnh dưới bên trái và đỉnh trên bênphải của nó Hãy tính diện tích phần mặt phẳng bị phủ bởi các HCN trên

Dữ liệu: Cho trong file HCN.inp gồm N+1 dòng.

- Dòng 1: Chứa số N

-Dòng i+1 (1 ≤i ≤N): Ghi 4 số nguyên x1,y1,x2,y2 lần lượt là toạ độ đỉnh dưới bêntrái và đỉnh trên bên phải của HCN i Các số ghi trên một dòng cách nhau ít nhất mộtdấu cách

Kết quả: Đưa ra màn hình diện tích phần mặt phẳng bị phủ bởi hình chữ nhật trên.

Ý tưởng:

- Lập mảng X[1 2n], Y[1 2n] lần lượt chứa hoành độ, tung độ các hình chữ nhật

- Lưu toạ độ ban đâu các hình chữ nhật vào mảng a

- Sắp xếp mảng X,Y tăng dần

- Lần lượt kiểm tra các hình chữ nhật có toạ độ đỉnh trên bên phải (xi+1,yi+1) và toạ độđỉnh dưới bên phải là (xi,yi) với 1 ≤i ≤n-1 Nếu hình chữ nhật này thuộc một trong cáchình chữ nhật ban đầu thì cộng thêm vào phần diện tích đang cần tìm diện tích củahình chữ nhật con này

Chương trình:

Ví dụ 2 Phủ S

Trên mặt phẳng tọa độ, một hình chữ nhật với các cạnh song

song với các trục toạ độ được xác định bởi hai điểm đối tâm:

đỉnh góc trên bên trái và đỉnh góc dưới bên phải Cho N hình

chữ nhật song song với các trục toạ độ Phủ S của các hình chữ nhật có diện tích nhỏnhất chứa N hình chữ nhật đã cho

Dữ liệu vào: Đọc từ tệp PHUCN.INP có cấu trúc:

- Dòng đầu tiên chứa N (N ≤30);

- Trong N dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi 4 số là toạ độ của hai đỉnh đối tâm của mộthình chữ nhật, các số này là các số nguyên có trị tuyệt đối không quá 100

Kết quả: Ghi ra tệp văn bản PHUCN.OUT

- Dòng 1 ghi toạ độ hai đỉnh đối tâm của phủ S các hình chữ nhật

- Dòng 2 ghi diện tích của phần hình S không nằm trong hình chữ nhật nào trong Nhình đã cho

- Ý tưởng:

- Xác định hình chữ nhật H nhỏ nhất bao tất cả các hình

chữ nhật ban đầu:

Gọi minx,maxx lần lượt là hoành độ nhỏ nhất và lớn nhất

trong các hoành độ các đỉnh hình chữ nhật đã cho; miny,

maxy lần lượt là tung độ nhỏ nhất và lớn nhất trong các tung độ các đỉnh hình chữnhật đã cho Khi đó hình H có toạ độ đỉnh dưới trái là (minx,miny) và đỉnh trên phải là(max,maxy) Đó là phủ S cần tìm

- Tính diện tích hình H là (maxx-minx)(maxy-miny)

- Tính diện tích s phủ bởi các hình chữ nhật (đã nêu rõ ở phương pháp chung)

- Phần diện tích cần tìm là: s1:=abs((maxx-minx)*(maxy-miny))-s

- Chương trình:

Ví dụ 3 Diện tích phủ bởi các hình tròn

Trên mặt phẳng cho N hình tròn Tính diện tích phần mặt phẳng bị phủ bởi các hìnhtròn trên

Dữ liệu: Cho trong file INP.BL3 dòng đầu là số lượng hình tròn, từ dòng thứ 2 trở đi

mỗi dòng chứa 3 số nguyên dương là tọa độ x, y của tâm và bán kính của từng hìnhtròn (các số trên cùng một dòng ghi cách nhau ít nhất 1 dấu cách)

- Chương trình

Dạng 4 Xác định đa giác nhỏ nhất bao tất cả các

điểm, đa giác đã cho

không tự cắt chứa một số điểm đã cho và bao tất cả các điểm còn lại ta làm như sau:Bước 1 Tìm điểm có tung độ nhỏ nhất Điểm đó sẽ là đỉnh đa giác

Bước 2 Giả sử ta đã chọn được điểm PM Tìm điểm Pi sao cho góc hợp bởi PMPi và trụchoành là nhỏ nhất và đồng thời góc này phải lớn hơn góc hợp bởi PMPM-1 và trụchoành Điểm Pi sẽ là một đỉnh của đa giác

Bước 3 Lấy kết quả là dãy các đỉnh P tìm được

Lưu ý: Với bài toán tìm đa giác bao nhau thì cần ghi nhớ đa giác a bao đa giác b khimọi điểm trong đa giác b đều nằm trong đa giác a

Ví dụ 1 Đa giác không tự cắt

Cho N điểm A1, A2, , AN trên mặt phẳng Các điểm đều có toạ độ nguyên và không

có 3 điểm bất kỳ trong chúng thẳng hàng Hãy viết chương trình thực hiện các côngviệc sau đây: Xác định một đa giác không tự cắt có đỉnh là một số điểm trong cácđiểm đã cho và chứa tất cả các điểm còn lại và có chu vi nhỏ nhất Hãy tính diện tích

đa giác này

Dữ liệu: cho trong tệp HCN.INP gồm n+1 dòng

+ Dòng 1: Chứa số N

+ Dòng i+1 (1≤ i ≤ N): Ghi 2 chữ số nguyên xi,yi là toạ độ đỉnh Ai.

Các số trên cùng một dòng cách nhau một khoảng trắng

Kết quả: Xuất ra tệp HCN.Out

+ Dòng 1: Ghi 3 số K, V, S với K là số đỉnh đa giác tìm được, V là chu vi, S là diện tíchcủa nó

+ Dòng i+1(1≤ i ≤ K): Ghi toạ độ của đỉnh đa giác

- Ý tưởng:

- Tìm điểm có tung độ nhỏ nhất Điểm đó sẽ là đỉnh đa giác

- Giả sử ta đã chọn được điểm PM Tìm điểm Pi sao cho góc hợp bởi PMPi và trục hoành

là nhỏ nhất và đồng thời góc này phải lớn hơn góc hợp bởi PMPM-1 và trục hoành Điểm

Pi sẽ là một đỉnh của đa giác

Ví dụ 2 Đa giác bao nhau

Cho N đa giác thoả mãn các tính chất

- Với 2 đa giác bất kỳ luôn có một đa giác mà mọi điểm của nó nằm trong đa giác kia

- Các cạnh của chúng không có điểm chung

Bài toán đặt ra là: Với mỗi đa giác i, có bao nhiêu đa giác bao nó? (i nằm trong baonhiêu đa giác)

Dữ liệu vào: Ghi trong tập tin văn bản Dagiac.Inp.

- Dòng đầu tiên ghi số tự nhiên N (3≤N≤10000)

- Trên N dòng tiếp theo: Dòng thứ i+1 ghi thông tin về đa giác có số hiệu thứ i Baogồm số đầu tiên Si là số đỉnh của đa giác (Si≥3), Si cặp số nguyên tiếp theo lần lượt làhoành độ và tung độ các đỉnh của đa giác

Các số trên cùng dòng cách nhau bởi ít nhất một

- Sử dụng các mảng a,vt,kq (với a[i] lưu giá trị hoành độ nhỏ nhất của các đỉnh của

đa giác thứ i, vt[i] chỉ đa giác thứ i, mảng kq lưu kết quả)

- Thực hiện sắp xếp các đa giác theo thứ tự tăng dần của giá trị hoành độ nhỏ nhấtcủa các đỉnh của các đa giác

- Do theo điều kiện bài toán là với 2 đa giác bất kỳ luôn có một đa giác mà mọi điểmcủa nó nằm trong đa giác kia nên KQ[vt[i]] =i-1

- Chương trình:

Ví dụ 3 Hình chữ nhật bao nhau

Cho N hình chữ nhật trên mặt phẳng mà các cạnh song song với các trục toạ độ Biếthình chữ nhật i bao hình chữ nhật j nếu cả 4 đỉnh của hình chữ nhật j đều nằm tronghình chữ nhật i hoặc nằm trên cạnh của hình chữ nhật i

Một dãy các hình chữ nhật được gọi là hình chữ nhật bao nhau chiều dài k (k≥1) nếudãy này gồm các hình chữ nhật H1, H2, , Hk sao cho hình chữ nhật i bao hình chữnhật i+1 với i=1 (k-1) Hãy tìm số k lớn nhất nói trên

Dữ liệu vào: Được cho trong tập tin HCN.INP

- Dòng thứ nhất ghi số N (1≤N≤1000)

- N dòng tiếp theo, dòng thứ i ghi 4 số nguyên x1, y1, x2, y2 (-10000<x1,y1,x2,y2<10000) lần lượt là hoành độ, tung độ các đỉnh trái trên, phải dưới củahình chữ nhật.

Kết quả: Được ghi vào tệp văn bản HCN.OUT gồm một dòng chứa số nguyên duy

nhất là số k tìm được hoặc số -1 nếu không tồn tại số k thoả điều kiện đề bài

- Ý tưởng:

- Tính diện tích các hình chữ nhật (HCN)

- Sắp xếp lại các HCN theo thứ tự không giảm của diện tích các HCN

- Lập hàm kiểm tra HCN i bao HCN j, thoả mãn điều kiện:

(x1[i]<=x1[j]) and (y1[i]>=y1[j]) and (x2[i]>=x2[j]) and (y2[i]<=y2[j])

- Xác định số lượng các HCN bao HCN i và lưu vào phần tử mảng kq[i] biết rằng:nếu thì kq[i]:=kq[j]+1

- Chương trình: