ÔN THI THPTQG LƯỢNG GIÁC RẤT NGẮN GỌN VÀ ĐẦY ĐỦ

... C cú th cha hm lng giỏc) v quan nim l phng trỡnh bc hai i vi sinx hoc cosx (phng phỏp hng s bin thi n) PHN X 7: Vớ d 1: (D 2010) Vớ d 2: Vớ d 3: (B 2005) Chỳ ý: *) Cỏc vớ d 1, xem li cỏch gii... PHN X 9: Khi gii phng trỡnh lng giỏc khụng quờn vic t iu kin nu phng trỡnh cha n di mu (khụng nht thit phi gii chi tit iu kin) v phi kim tra li iu kin (xem li cỏch loi nghim ca phng trỡnh lng giỏc)... linh hot loi i nhng nghim rỳt gn li gii PHN X 10: Khi ng trc bi toỏn gii phng trỡnh lng giỏc kỡ thi i Hc Cao ng Hóy ghi nh phn x u tiờn PHN X 9: Khi gii phng trỡnh lng giỏc khụng quờn PHN X

10 PHẢN XẠ HAY DÙNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG

GIÁC TRONG KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG SƠ

Đ Ồ C H UN G GI Ả I P H Ư Ơ N G TR Ì N H L Ư ỢN G G I Á C

ĐỀ BÀI

( 2* )

ĐÁP SỐ Dùng các công thức

Lượng giác (*) biến đổi về

4 phương trình lượng giác cơ bản

(Công thức nghiệm)

phương trình tích (hoặc đánh giá)

4 dạng phương trình cơ bản

2 sin sin

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Công thức cộng Công thức nhân đôi

Công thức thường gặp

1sin cos 1 2sin cos 1 sin 2

23sin cos 1 3sin cos 1 sin 2

cos 2 2cos 1cos 2 1 2sin

2

1 cos 2sin

2

a a

a a

sintan cot 1

1

1 cot

sin

a a

cossin cos 1

1

1 tan

cos

a a

sin sin cos sin cos

cos cos cos sin sin

21sin cos sin sin

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:

sinu sinv

é = + p ê

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:

Nếu đặt t = sin x2 hoặc t = sinx thì điều kiện là 0 £ £ (tương tự cho cos) t 1

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ CÁC KẾT QUẢ QUAN TRỌNG CẦN NHỚ KĨ:

1 sin2x + = sin x cos x 2sinxcosx + + = sinx cosx +

1 sin2x - = sin x cos x 2sinxcosx + - = sinx cosx

- sin x3 + cos x3 = ( sinx cosx 1 sinxcosx + ) ( - )

 sin x cos x3 - 3 = ( sinx cosx 1 sinxcos - ) ( + x )

tanx cot x

+

a sinu b+ cosu= a +b cosv

a sinu b+ cosu=a sinv b+ cosv

H Ư Ơ N G T R Ì N H Đ ẲN G CẤ P

( )

asin x bsinxcosx ccos x d + + + = 0 * *

Vô lí: không phải là nghiệm của (**)Đúng: là nghiệm của (**)

Chia hai vế

2

=

2 1 cos 2x 2 1 cos 2xsin x ;cos x

Ví du: Giải phương trình:

Cách 1: *) Với : (**) có dạng: (vô lí) *) Với : Chia cả hai vế (**) cho Cách 2:

(**)

CÁCH LOẠI NGHIỆM TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

DẠNG 1

ĐK:

Giải PT

kx

Biểu diễn trên đường tròn đơn vị n điểm D={D , , D1 n}

CÁCH LOẠI NGHIỆM TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

DẠNG 2: TÌM NGHIỆM THUỘC MỘT KHOẢNG, ĐOẠN

Ví dụ 1: (D-2002) Tìm nghiệm đúng phương trình

Giải:

hoặc (loại)

Với

Hay nghiệm của phương trình:

Ví dụ 2: Tìm nghiệm thuộc khoảng của phương trình:

Giải: ĐK:

Khi đó:

(loại) hoặc

+) Với +) Với

Điều kiện

( nếu có ) Giải PT

kx

n π

= α +

10 PHẢN XẠ HAY DÙNG KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Hướng 1: “Ghép bộ” để giảm góc và tạo tích bằng việc dùng công thức biến đổi tổng (hiệu) thành tích.

Hướng 2: Chuyển về phương trình dạng a sin x b cos x c+ = hoặc dạng mở rộng của nó.

Hướng 3: Khử và giảm số lượng góc lớn bằng việc sử dụng công thức cộng hoặc công thức tích thành tổng hoặc đánh giá.

sin 3x sin x cos3x cosx 2 cos 2x

2cos 2x sin x 2 cos 2x cos x 2 cos 2x

2 cos 2x 2 sin x cos x 1 0

cos3x cos x 4 cos 2 x 1 2cos x 0

2cos 2x cos x 8cos x 2cos x 0

cos x cos 2x 4cos x 1 0

cos3x cos x 1 cos 2 x 02sin 2x sin x 2sin x 02sin x cos x 1 0

sin x 1 2sin x cos x sin 2 x 3 cos3x 2cos 4x

sin x cos 2x cos x sin 2x 3 cos3x 2cos 4x

sin 3x 3 cos3x 2 cos 4x

3 cos5 sin 5 sin sin 0

3 cos5 sin 5 2sin

PHẢN XẠ 2: Khi xuất hiện 3 thường chuyển về dạng asin x bcosx c + = hoặc dạng mở rộng của nó.

Ví dụ 1: (A,A1 – 2012) 3 sin 2x+cos 2x=2cosx−1

2

3 sin 2 2cos 1 2cos 1

2cos 3 sin cos 1 0

3 sin 2 2cos 1 2cos 1

2 cos 1 2 3 sin cos cos 3 sin

cos 2 3 sin 2 cos 3 sin

* 1 2sin cos 3 1 2sin sin

cos sin 2 3 cos 2 sin

cos 3 sin sin 2 3 cos 2

3 cos5 sin 5 sin sin 0

3 cos5 sin 5 2sin

PHẢN XẠ 3: Khi phương trình có nhiều biểu thức cùng chứa nhân tử chung, chúng ta nghĩ tới việc chuyển phương trình về dạng tích (hoặc để giản ước nếu nhân tử chung ở dưới mẫu) Sau đây là các biểu thức chứa nhân tử chung thường gặp:

BẢNG TỔNG KẾT MỘT SỐ BIỂU THỨC CHỨA NHÂN TỬ CHUNG THƯỜNG GẶP

STT Nhân tử chung `Biểu thức chứa nhân tử chung

1 sinx tan ,x sin 2 ,x tan 2 ,1x −c 2 ,sinos x 3 , x

2 cosx cot ,sinx 2 ,x tan 2 ,1 cosx + 2 ,cos3 , x x

3 s inx±cosx cos 2 ,1 tanx + x,1 cot ,1 tan± x ± x,1−cot2x,1−tan2x,sin3x±cos3x,

4 1 sin± x 2 2 ,sin2 , cos2 , tan2 ,cot2 , 2 cos sin 2 ,

6 1 2sin± x cosx±sin 2 , 1 4x − sin x,2 3−4 cos , 2cos 22 x x−1, cotx±2 cos , cox s3x,

7 1 2± cosx sinx±sin 2 , 1 4cosx − 2x 3, −4sin2 x, 2 cos 2x+1, tanx±2sin , sin 3 , x x

Ví dụ 1: (2cos x 1 2sin x cos x− ) ( + ) =sin 2x sin x−

Phân tích: (2cos x 1 & sin 2x sin x sin x 2cos x 1− ) − = ( − ) có nhân tử chung là (2cos x 1− )

1 sin x & tan x

cos x 1 sin x 1 sin x

− = − − đều chứa nhân tử chung là (cos x sin x− ).

*) cos 2 x=(cos x sin x cos x sin x &1 tan x− ) ( + ) + =(cos x sin x+ ) 1 đều chứa nhân tử là

1 cos 2x 2cos x; sin 2x 2sin x cos x+ = =

Đều có nhân tử chung là cos x

Phân tích:−sin x 1− = −(sin x 1+ )

& sin 2x 2cos x 2cos x sin x 1+ = ( + ) đều có nhân tử chung là (sin x 1+ ).

Ví dụ 7: sin 2x cos 2x 3sin x cos x 1 0− + − − =

PHẢN XẠ 4: Khi nhóm được các bộ “cùng tên, cùng góc” thì nghĩ tới việc phân tích nó thành tích.

( 2sin2x − sin x 1 − = sin x − 1 2sin x + 1 ;cos3x + 3cos2+ 4cos x + = 2 cos x + 1 cos2x + 2cos x + 2 ; )

(Hoặc nhẩm nghiệm, hoặc dung máy tính để trợ giúp tìm nghiệm,….)

Ví dụ 1: (D – 2010) sin 2x−cos 2x+3sinx−cosx− =1 0

sin 2 1 2sin 3sin cos 1 0

sin 2 cos 2sin 3sin 2 0

cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0

2sin 1 sin cos 2 0

9sin 6cos 6sin cos 1 2sin 8

6sin cos 6cos 2sin 9sin 7 0

6cos sin 1 sin 1 2sin 7 0

sin 1 2sin 6cos 7 0

3 sin 4 cos 2 2sin 2 3sin 2 1 0

3 cos 2 2sin 2 1 2sin 2 1 sin 2 1 0

2sin 2 1 3 cos 2 sin 2 1 0

⇔ = − hoặc cos2x+2 cos( x+sinx) =4 *( )

(*) vô nghiệm vìcos2x+2 cos( x+sinx) ≤ +1 2 2 4<

Chú ý: *) Trước khi làm ví dụ 3 ta nên chỉ ra 6 6 ( 2 2 )3 2 2 ( 2 2 ) 3 2

sin cos sin cos 3sin cos sin cos 1 sin 2

4

*) Các ví dụ 1,2,3,4 còn có cách tiếp cận khác.

PHẢN XẠ 5: Khi trong phương trình có mặt cos2x thì ta dựa vào các dấu hiệu đi kèm để biến đổi.

PHẢN XẠ 6: Khi gặp các biểu thức “đồng dạng” hãy nghĩ tới việc nhóm để tạo tích và khi gặp phương trình chứa

PHẢN XẠ 7 : Khi phương trình có dạng a sin 2x b cos 2x c sin x d cos x e 0 + + + + = , ta nghĩ tới việc biến đổi phương trình về dạng tích bằng một trong hai kĩ thuật sau:

I Nhóm, tách ghép để làm xuất hiện nhân tử chung(Xem lại các phản xạ 1, 2, 3, 4, 5, 6)

II Đưa phương trình về dạng Asin x Bsin x C 02 + + = hoặc Acos x Bcos x C 02 + + = ( A, B, C có thể chứa hàm lượng giác) và quan niệm là phương trình bậc hai đối với sinx hoặc cosx (phương pháp hằng số biến thiên)

Ví dụ 3: (B – 2005) Chú ý: *) Các ví dụ 1, 2 xem lại cách giải khác ở phản xạ 4.

*) Cách giải ở ví dụ 3 chỉ chứng tỏ một điều có một góc nhìn khác nhưng hơi dài – khi làm theo kĩ thuật I có thể nhìn thấy và khá ngắn gọn.

*) Cách tiếp cận ở kĩ thuật II chỉ làm được khi delta có “hình thức” là số chính phương (), nếu không được thì ta chuyển phương trình bậc hai với sinx sang cosx hoặc ngược lại Nếu vẫn không ổn thì ta sẽ đi

PHẢN XẠ 8: Khi xuất hiện góc cộng thêm k ;k

6 4

π π

( gồm cả k ;k ; k

3π π π2 với k∈¢) thì khử nó bằng cách “dùng bảng công thức chuyển về góc nhọn và các công thức cộng, tích, hạ bậc”.(Xem lại phần công thức ở phần đầu).

Ta có:

Hoặc Hoặc Khi đó:

PHẢN XẠ 9: Khi giải phương trình lượng giác không quên việc đặt điều kiện nếu phương trình chứa ẩn dưới mẫu (không nhất thiết phải giải chi tiết điều kiện) và phải kiểm tra lại điều kiện (xem lại cách loại nghiệm của phương trình lượng giác) Trong quá trình có thể linh hoạt loại đi những nghiệm để rút gọn lời giải.

xạ đầu tiên”.

việc đặt điều kiện nếu phương trình chứa ẩn dưới mẫu … PHẢN XẠ 1: Khi gặp các góc lớn ( từ 3x trở lên) thì có 3

a sin x bcos x c + = hoặc dạng mở rộng của nó….

a sin 2x b cos 2x c sin x d cos x e 0 + + + + = , ta nghĩ tới việc biến đổi

phương trình về dạng tích bằng một trong hai kĩ thuật ….

chứa nhân tử chung, chúng ta nghĩ tới việc chuyển phương trình về dạng tích ….

BẢNG TỔNG KẾT MỘT SỐ NHÂN TỬ CHUNG THƯỜNG GẶP

tới việc nhóm để tạo tích và khi gặp phương trình chứa

sin x;cos x;1 sin 2x;cos2x ± hãy nghĩ tới các dạng tích của

chúng…

thì nghĩ tới việc phân tích nó thành tích….

BÀI TẬP

Bài 1: Giải phương trình:

a)

2

2 cos 4 6 s 1 3cos 2

0 cos

x

cos 1

sin 2 ) 1 cos

2

(

cos

−

− +

−

x

x x

x

3cosx− = − −2 3(1 cosx).cot x

Bài 2: Tìm các nghiệm trên khoảng (0;π) của phương trình:

7 sin 3 cos3 4 cos 2

2sin 2 1

x

−

Bài 3: Giải phương trình

a)

4sin 2 6sin 9 3cos 2

0 cos

x

1

1 sin 2

x

= +

c) 5sinx− =2 3(1−sinx).tan2 x

d) 8 8 17 2

16

Bài 5: Tìm các nghiệm trên khoảng (0; 2π) của phương trình:

cos3 sin 3

1 2sin 2

x

+

Bài 6: Cho phương trình : cos 2x−(2m+1) cosx m+ + =1 0 (*).

a) Giải phương trình khi m = 3/2

b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng ;3

2 2

π π

Bài 7: Giải phương trình:

a) 4cos32x+ 3sin6x=2cos4x+3cos2x

b) 8sinx 3 1 cosx sinx = +

c) sin2x−cos2x−cosx−sinx=0

d) 9sinx+3cosx−3sin2x+cos2x=8

e) 2cos x3 +cos 2x sinx+ =0

f) sin x cos x sinx cosx3 + 3 = −

g) 4 4 4 (sin x cos x+ )+ 3 sin 4x=2

h) 3(sin3x−cosx)=cos3x+sinx

i) 3sin3x− 3cos9x=2cos3x+4sin33x j) 8 3 1 sin cosx x cosx = + k) sin 2x+2sinx− =1 4sin xcosx cos x2 + 2 −2sin cos 2x x l) sinx+4cosx−sin 2x+2cos 2x=1 m) 2sin3x−cos 2x cosx+ =0 n) sin x cos x sinx cosx3 − 3 = + o) 8(sin6 x+cos6 x)−3 3sin4x=2 p) 3(cos3x+sinx)=sin3x−cosx q) 2 2 cos x− 3sin 2x= +1 sin x (1) r) 4sin2x– 3sin cosx x+( 3+4)cos2 x=4 (2) s) 2 2 10cos x– 5sin cosx x+3sin x=4 (3) t)cos2x+sin cosx x+3sin2 x=3 (4) u) 3sin2x−5 3sin cos – 6cosx x 2x=0 v) sin2x+(1+ 3)sin cosx x+ 3cos2x=0

x) 2sin2x+sin cos – 5cosx x 2x=1

y) cos2 x– 3sin2x– 4sin cosx x=0

z) tanx=sinxcosx−cos2 x

Bài 8: Giải các phương trình sau :

a) cos3x=sinx+cosx

b) 3sin3 x−2cos3 x+sin2 xcosx+2cosx=0

c) 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0

d) sin6 x+cos6 x=cos2 2x−sinxcosx

e) sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

f) sin3x + cos3x + 2cosx = 0

g) sinx – 4sin3x + cosx = 0

sin x cos x sinx cosx− = +

i) 8(sin6 x+cos6 x)−3 3sin4x=2

j) 3(cos3x+sinx)=sin3x−cosx

sin x cos x sinx cosx+ = −

l) 4(sin4x cos x+ 4 )+ 3 sin 4x=2

m) 3(sin3x−cosx)=cos3x+sinx

n) sin8 8 17 22

16

o) sin6 x cos x+ 6 =2cos x2 −1

p) (sinx−cosx)sin2x+12(cosx−sinx)+12cos2x=0

2

cos

r) sin3 x+sin2 x+2cosx−2=0

s) sin2 xcosx+12(sinx−cosx+sin2x)−sinxcos2 x=12

t) sin2 x−sinxcosx+cosx+2sin2x(sinx−1)=1

u) (sinxcosx−1)cos2x+cosx−sinx=0

v)2sin2x(sinx+cosx−1)+ 2cos −x π=2

3sin2

b) sin22x+cos23x=sin2 x+cos2 4x

c) sin3x−4cos2x−3sinx+4=0

2

1sin2cos3sin x+ x+ x+ 2 x+ =

2cos2

cossincos

sinsin

=

−

−+

+

x

x x x x x

x x

sin

cossin4cos

1cot

22

34

cos4sin2cos

+

x

x x

x

b) (sinx+cosx)cotx=cos2x.cosx+2sin3 x+cos3 x+sin2 x.cosx

c) 10cos2 x+cosx−2=3(cosx−cos2x).cotg2x

d) (2cosx− 3) (2sinx+cosx)=sin2x− 3sinx

Bài 11: Giải các phương trình sau :

a) 1+sinx−cosx−sin2x−cos2x−sin3 x+cos3 x=0 b)

x x

x

tan

1cot

.cossin

c) 1+(1+sin2 x)cosx=sin2x+sinx(1+cos2 x)

a) ( ) ( ) sin2 1 0

2sin34

cossin

=

−+

x x

b) sin23x.cos2x+sin2 x=0

32cos5

2cos2cossin

++

x

x x

x x

x

d) sinx.tanx+sin2x=tanx

e) 1+(1+sin2 x)cosx=sin2x+sinx(1+cos2 x)

g) 2cos2 x+cosx=1−cos7x

Bài 13: Giải các phương trình :

a) (1−sin2 x)cosx−(1−cos2 x)sinx=sin2x−1

3sin

e) 3cosx(1−cos2x)+2sin2x+sinx+cos2x=0

f) sin3 x+ 3cos3x+cos2x=sinxcos2 x+ 3sin2 xcosx

Bài 14: Giải phương trình:

)cos1)(

x x

2cos

3sin3cos

−

x x

x x

x

cos

cossin43

Bài 15: Giải các phương trình sau :

1

2cos1

x x

2sin

22

sin4tan

2costan

.42

Bài 1 6:Giải các phương trình sau :

a) 5sinx−2=3(1−sinx)tan2 x

b)(2cosx−1)(2sinx+cosx)=sin2x−sinx Bài 1 7:Giải các phương trình sau :

a) cos23x.cos2x−cos2 x=0

b) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0

2

3)43sin(

)

4cos(

sincos4 x+ 4x+ x−π x−π − =

Bài 18:Giải các phương trình sau :

sin22

cossinsin

x

x x x

x

2tan.tan1(sincotx+ x + x x =

c) cos3x+cos2x−cosx−1=0

Bài 19:Giải các phương trình sau :

a) (1+sin2 x)cosx+(1+cos2 x)sinx=1+sin2x

b) 2sin22x+sin7x−1=sinx

2

cos2sin

2

=+

3sin

1sin

π

b) sin3x− 3cos3 x=sinxcos2x− 3sin2 xcosx

c) 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx

Bài 2 1:Giải các phương trình sau :

sin x cos x sin 2x+ + 3 cos3x 2(cos 4x sin x)= +

c) 3 cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0− − =

PTLG TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013

Bài 1 (ĐH A2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình :

5 sin cos3 sin 3 cos 2 3

Bài 2 (ĐH B2002) Giải phương trình :

sin 3 2 x− cos 4 2 x= sin 5 2 x− cos 6 2 x ĐS : ;

Bài 7 (ĐH A2004) Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện

os2 2 2 cos 2 2 cos 3

Tính ba góc của tam giác ABC ĐS : A=90 ;0 B C= =450

Bài 8 (ĐH B2004) Giải phương trình :

5sinx− =2 3(1 sinx) tan − 2x ĐS : 2 ; 5 2

( k Z∈ )

Bài 14 (ĐH B2006) Giải phương trình:

cot s inx 1 tan x tan 4

Bài 15 (ĐH D2006) Giải phương trình:

os3c x c+ os2x−cosx− =1 0ĐS : ; 2 2

Bài 19 (ĐH A2008) Gptrình:

4sin( )3

Bài 26 (ĐH B2010) Giải phương trình:

(sin 2x c+ os2 ) cosx x c+ os2x s− inx=0 ĐS :

4 2

k

( k Z∈ )

Bài 27 (ĐH D2010) Giải phương trình:

Bài 29 (ĐH B2011) Giải phương trình:

sin2x cos +sinxcosx=cos2x+sinx cosx + x ĐS : 2 ; 2

Bài 32 (ĐH B2012) Giải phương trình:

2(cosx+ 3 sin ) cosx x=cosx− 3 sinx+1.ĐS : 2 2 ; 2

k

Bài 33 (ĐH D2012) Giải phương trình:

sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2 cos2x