phuong phap giai nhanh de dh mon toan

Hoàng Việt Quỳnh Các phương pháp giải nhanh đề thi đại học M O C . S H T A V M N Các phương pháp giải toán đại số giải tích Lời nói đầu: Sau 12 năm học tập, kì thi chờ đợi em kì thi đại học. Đây kì thi khó khăn suốt 12 năm em ngồi ghế nhà trường. Kì thi đại học bước ngoặt lớn đời học sinh học sinh cần phải chuẩn bị kiến thức thật toàn diện nội dung đề thi mang tính liên tục. Có lẽ môn, môn toán chiếm vị trí quan trọng vật cản lớn bước đường tiến tới giảng đường đại học. Vì xin mạo muội góp chút kiến thức thu lượm trình học tập để viết lên sách này. Hy vọng tài liệu bổ ích cho em học tập. Quyển sách chia thành sáu đơn vị học hai phụ lục. Mỗi phần quan trọng, xuất thường xuyên đề thi đại học. Ở có đặc điểm sau:  Phần tóm tắt kiến thức học trình bày ngắn gọn tổng quát nhằm khơi lại phần kiến thức quên em.  Hệ thống làm chọn lọc kĩ lưỡng, có tính điển hình khai thác tối đa góc cạnh vấn đề nêu ra, đồng thời phương pháp giải ngắn gọn, trực quan nhiều kinh nghệm giải đề giúp em hiểu nội dung giải cách áp dụng cho dạng đề thi gặp sau này. Đồng thời, ví dụ trình bày từ đến nâng cao. Đây đề trích từ đề thi dự trữ năm trước tham khảo từ tài liệu thầy cô có nhiều năm kinh nghiệm trình luyện thi nên đảm bảo mức độ giới hạn kiến thức. Lời giải ví dụ tượng trưng nhằm mục đích nêu lên phương pháp giải, em thầy cô tham khảo liệu tìm trình bày cách giải cách trình bày hợp lí hơn. Các em nên tập giải dạng cách thục độc lập. sau giải xong mời xem phần lời giải. Đó điều mà tác giả kì vọng nhiều nhất.  Lí giải phương pháp, đưa thuật toán giải chung, đưa chất lời giải, phần lời bình, lưu ý cuối tập. Phần phụ lục 12 đề thi tiêu biểu theo cấu trúc đề thi Bộ GD&ĐT công bố. Các đề thi có mức độ khó cao, đòi hỏi người làm phải tư nhiều. Với mức độ khó đó, mong em giải thục đề thi em có đủ tự tin kiến thức để đạt điểm cao làm môn toán. Phụ lục số mẹo để dùng máy tính đoán nghiệm cố định, phục vụ cho trình giải tập phương trình tích lượng giác, hệ phương trình, phương trình, cách giải nhanh toán hình học máy tính… Đồng thời giới thiệu thêm phương pháp chia Horner để giúp em làm nhanh toán có chia đa thức, phân tích thành tích… Với dự định giới thiệu sách cho em tháng cuối trước thi đại học nên sách giản lược số phần không cần thiết kiến thức bên lề, giới thiệu trọng tâm đề thi nên tập ít. Tôi có lời khuyên cho sinh tìm thêm đề thi mạng internet kho kiến thức vô tận. Mặc dù cố gắng sách nhiều thiếu sót thời gain biên soạn ngắn đồng thời kinh nghiệm hiểu biết hạn chế. Rất mong góp ý bạn đọc. Mọi góp ý xin liên hệ với tác giả qua địa sau: M O C . S H T A M N V Hoàng Việt Quỳnh Khu 6a – Thị trấn Lộc Thắng – Bảo Lâm – Lâm Đồng Email: vquynh2971991@yahoo.com.vn Blog: http://vn.myblog.yahoo.com/vquynh-qflower Tel: 063-3960344 - 01676897717 Mục Lục LỜI NÓI ĐẦU: BÀI I: ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC. 1. NHẮC LẠI KIẾN THỨC VỀ ĐƯỜNG THẲNG 2. ỨNG DỤNG BÀI II: CÁC CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. .5 1. LŨY THỪA .5 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ M O 3. LOẠI III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC .8 BÀI III: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. . 12 1. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ: . 12 C . S 2. CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC: . 13 3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: 14 H T 4. NGUYÊN TẮC CHUNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC . 15 BÀI IV: TÍCH PHÂN . 18 A 1. NGUYÊN TẮC CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN: . 18 2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN . 21 M N BÀI V:CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 25 1. SỰ TĂNG GIẢM CỦA HÀM SỐ: 25 2. V CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 27 3. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ 34 4. DẠNG TOÁN: HỌ ĐƯỜNG CONG TIẾP XÚC VỚI MỘT ĐƯỜNG CỐ ĐỊNH 38 BÀI VI: MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC CẦN LƯU Ý. . 41 1. GIỚI HẠN: 41 2. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT: 42 3. BÀI TẬP ÁP DỤNG: . 44 PHỤ LỤC: MỘT SỐ ĐỀ THI CẦN THAM KHẢO 46  ĐỀ 1: 46  ĐỀ 2: 47  ĐỀ 3: 48  ĐỀ 4: 49  ĐỀ 5: 50  ĐỀ 6: 51  ĐỀ 7: 52  ĐỀ 8: 53  ĐỀ 9: 54  ĐỀ 10: 55  ĐỀ 11: 56  ĐỀ 12: 57 M O C . S PHỤ LỤC II: CÁCH GIẢI NHANH BÀI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI.PHÉP CHIA THEO SƠ ĐỒ HORNER. 58 H T 1. GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI FX – 570ES . 59 2. SƠ ĐỒ HORNER VÀ ỨNG DỤNG: 60 A M N V Bài I: Ứng dụng phương trình đường thẳng để giải phương trình thức. VD1. Nhắc lại kiến thức đường thẳng. 1) Phương trình tổng quát:  Đường thẳng qua M(x0;y0) có vetơ pháp tuyến n (A;B) đường thẳng có phương trình: (d): A(x-x0)+B(y-y0)=0 Ax+By+C=0 (d):  VD1. Đường thẳng qua M(1;2) nhận n (2;1) làm vectơ pháp tuyến. M O (d): 2(x-1)+1(y-2)=0  (d): 2x+y-4=0 2) Phương trình tham số:  Đường thẳng qua M(x0;y0) có vectơ phương a (a1;a2) (d):  x  x0  a1t   y  y0  a2t H T  VD2. C . S Đường thẳng qua M(3;4) nhận a (2;3) làm vtcp có phương trình:  x   2t (d):   y   3t A VD3. Cho (d): x+y=4. Viết phương trình tham số (d). Giải:  Vectơ pháp tuyến : n (1,1) M N  Vectơ phương : a (1,-1) Điểm qua M(2;2)  (d) : V x   t  y   t VD2. Ứng dụng VD1. Giải phương trình : x   12  x  10 Giải: Đặt: x  =1+3t  x +8=(1+3t) (*) và 12  x =3-t Đk( -1/3 ≤t≤1/3) 12-x = (3-t) (**) Lấy (*)+(**) ta có 20=10t +10  t2=1  t=1 t=-1(loại)  x =8  x=2 Tip: Có phải bạn tự hỏi: thuật toán giúp ta nhìn thấy cách đặt ẩn t ??? Không phải ngẫu nhiên mà lại trình bày lại vấn đề đường thẳng, vấn đề tưởng chừng chẳng liên quan đến đại số. Nhưng ta nhận “đường thẳng” “tuyệt chiêu” để giải phương trình dạng thức. Mấu chốt là: x   3 12  x  10      B1: X Y Từ ta có phương trình đường thẳng : X+3Y=10 B2: ta viết lại phương trình: X+3Y=10 theo tham số t  X  + 3t  Y  - t Lúc phương trình quy ẩn t việc giải phương trình không khó. (Vì kiến thức “lớp nhí”) Để hiểu rõ phương pháp bạn đến với VD2. VD2. Giải phương trình : X Giải: Gọi (d): X=1+t (1) M O + 3x =1 x Y Y=0+t  x    t Đặt  3 x   t C . S  x    2t  t   x   t (t≤1)  Lấy phương trình trừ pt1 ta có: -1=t -t +2t-1  t -t2 +2t=0  T=0  x=-2 Lưu ý: Trong giải đề thi, bạn nên trình bày từ bước(1) trở nhằm đảm bảo tính ngắn gọn cho toán. Bước gọi phương trình đường thẳng nên làm giấy nháp.   Trong ta đặt A H T  x   u 3  x   v M N quy giải hệ phương trình. Các bạn xem cách tập. bạn làm so sánh ưu việt phương pháp. Trong ta hạn chế phương pháp lũy thừa muốn khử thức khác bậc trên, ta phải ^6 phương trình. Ta gặp khó khăn đối mặt với phương trình “kinh khủng” ta phải giải “xịt khói” nghiệm. VD3. V Giải hệ phương trình :  x  y  xy  1   x   y   2 (đề thi ĐH năm 2005) Giải: Đặt:  x    t   y    t (-2≤t≤2)  x   t  4t    y   t  4t    x  t  4t     y  t  4t  Phương trình(1) trở thành: 2t2+6- (t   4t )(t   4t ) =3 t  10t  =2t2+3      t=0 VD4.  x=y=3 Định m để phương trình sau có nghiệm: Giải: Để phương trình có nghiệm: f ( x)  m Min f(x)≤m ≤Max f(x)  x  2m   3t (-1/3≤t≤3)   3m  x   t  x  2m   6t  9t  cộng vế với vế => 5m=10+10t2  2t2+2=m  f(t)=m  3m  x   6t  t Đặt  Với f(t)= 2t2+2 F’(t)=4t =>f’(t)=0  t=0 t F’(t) -∞ 0 H T 20/9 F(t) VD3. C . S miền xác định: D=[-1/3;3] -1/3 M có nghiệm  2≤m≤20 M O A +∞ + 20 M N Bài tập tự luyện V 1) Giải hệ phương trình: 2) Giải hệ phương trình: 3) Giải hệ phương trình: 4) Giải phương trình:  x  y   x    3 x  y  (đề thi dự bị1A – 2005)  sin( x)   cos( x)  (đề thi dự bị2A – 2004) Bài II: Các cách giải phương trình bất phương trình vô tỉ. 1)Lũy Thừa Phương pháp lũy thừa phương pháp tổng quát để giải phương trình có căn. Khi gặp phương trình có dạng phức tạp biết “mẹo lũy thừa” giải toán cách dễ dàng. Đây phương pháp bản, bạn phải thực tập nhuần nhuyễn phương trình đề thi đại học có lúc dễ ta lại không để ý. bạn theo dõi ví dụ sau. Nhưng trước hết lưu ý vấn đề sau:  Đặt điều kiện  Lũy thừa chẵn hai vế không âm  Các dạng bản:  AB  AB  AB B   A  B B    0  A  B  B    A    B    A  B M O  H T A VD1. Giải: M N x  5  x     10  x    x   x  x(5  x)  10   0  x    x  6x    x=1  x=5 VD2. Giải: C . S V 0  x  0  x     2 2 x  x   x 4(5 x  x )  25  10 x  x x  x   x 1  x   x  x = x  + x 1    4 x  x   x   ( x  3)( x  1)  x  x   x  x  x      x=1  x  x  2x   x  2x  2 VD3. Giải: Đk: 2x+1>0  x>1/2 Bpt  (4x2-4x+1)(x2-x+2)≥36 Đặt t = (x2-x) bpt trở thành: (4t+1)(t+2)≥36 4t2+9t-34≥0 t≤-17/4 t≥2  x2-x≤-17/4 x2-x≥2  x≤1 x≥2 VD4. Giải bất phương trình : Giải:  x  x     x  x    x  x   M O  x  0 x 1 C . S Lưu ý: Ở bất phương trình bạn không nên lũy thừa để tính toán trình lũy thừa nhân phân phối thời gian. Hơn nữa, quy phương trình hệ quả, giải dễ sai giao tập nghiệm giá trị thỏa mãn. Trong sử dụng cách đánh giá theo kiểu sau: H T B   A B ≥0   B    A  Đó mấu chốt toán A M N VD5. Giải phương trình : Giải:  V    3x   0 2        3 x     x    x       x=3 Lưu ý: Trong phương trình bạn phải “để ý” “nhanh” chút ta để nguyên phương trình đề cho để lũy thừa điều “không dại bằng” ta đối mặt với chuyện lũy thừa lần => phương trình bậc 4. Phương trình ta bấm máy tính. Nhưng giải tay phải giải “xịt khói” thời gian không chờ đợi ai. Đồng thời không cần giải điều kiện vội giám khảo quan tâm đến làm kết quả. Chúng ta viết “cái sườn” điều kiện. sau giải nghiệm việc vào điều kiện xong. 2) Phương pháp đặt ẩn phụ:  CÁCH GIẢI: f u ( x); n u ( x)   f u ( x); f u ( x);  n n  u ( x)   u ( x)   t= n u ( x)  Phương trình hữu tỉ hệ phương trình M O BÀI TẬP ÁP DỤNG: C . S VD1. Giải:   3t=2(t2-1)  t=-0.5 (loại) t=2 x2+x=6  x=2 x=3 VD2. x 1 A M N Giải: T= H T Đặt t= t    t   x V Phương trình trở thành:   t2+1-(t+1)=2 x=5  t2-t-2=0  t=2 t=-1 VD3. Giải:  => => t>0 ; t2+2= x2 + x PHỤ LỤC: MỘT SỐ ĐỀ THI CẦN THAM KHẢO (Theo cấu trúc đề thi Bộ GD& ĐT 2010) ĐỀ 1: A. PHẦN CHUNG: Câu 1: Câu 2: y Cho hàm số (C) x  m  x  1 , m tham số.  1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =3 2. Định m biết đồ thị hàm số (C) cắt Ox A B cho tiếp tuyến A B vuông góc. cos3 x  sin x  2sin x 2. Giải phương trình: x x   x    x   x   1. Giải phương trình: Câu 3: Tính giới hạn: lim M O x  log  cos x  x 0 x sin x  x 1 C . S Câu 4: Cho hình nón đỉnh S có thiết diện qua trục SO=a tam giác vuông. Mặt phẳng qua S cắt đường tròn đáy A B cho  SAB đều. Tình thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp SOAB. Câu 5: Cho x,y,z   0;1 . Tìm giá trị lớn nhất: A   x  y    y  z    z  x  H T B. PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu Câu 6: (Chương trình chuẩn) a. Trong Oxy cho  ABC có A(0;2), B(2;6), C  d : x  y   cho phân giác kẻ từ A song song A với d. Tìm tọa độ C. M N b. Trong Oxyz viết phương trình đường thẳng  qua A(0;1;2) cắt d1 : x y 1 z 1   hợp với 1 1 x 1 y  z    góc 600 1 n n 1 n c. Cho an  x  1  an 1  x  1  .  a1  x  1  a0  x , x  R . Tìm n biết a2  a3  a1  231 d2  Câu 7: V (Chương trình nâng cao) a. Trong Oxy tìm M E : x2 y2   biết khoảng cách từ M đến d: x+y=0 lớn b. Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng qua M(1;2;2) cắt Ox, Oy, Oz A,B,C cho: 1 1    2 OA OB OC OM c. Bằng cách khai triển: 1  i  2n chứng minh: C20n  C22n  C24n  .   1 C22nn  2n cos n  n  N , n  0 . 46 n , ĐỀ 2: A. PHẦN CHUNG: Câu 1: y   x4  Cho hàm số (C) 2 x 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) 2. Tìm đồ thị (C) điểm A biết tiếp tuyến A cắt (C) B C cho AB=AC ( B,C khác A) Câu 2: 1. Giải phương trình: 1  2. Giải hệ phương trình: e Câu 3: Tính tích phân: trụ.    cos x cos x   x  y  x  y  3 2  x   x  y  dx  xx Câu 4:  cos x sin x   ln x Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB’=a; BC’=b a  b  a  Câu 5: Cho C . S x, y  1; 2 . Tính giá trị lớn nhỏ nhất:  1 1  A   x2  y       x  y     y  x x y M O  ABC vuông cân A. Tính thể tích lăng H T B. PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu Câu 6: (Chương trình chuẩn) A x2 y2   biết góc F1MF2 600. b. Trong Oxyz viết phương trình tham số đường thẳng  song song với (P): 2x+2y-z-3=0 cắt hai x  y z 1 x 1 y 1 z đường thẳng d1 :   d :   A B cho AB=3 2 1 2 a. Trong Oxy tìm M E : M N c. Gieo đồng thời xúc xắc, tính xác suất để tích số nốt xuất số chẵn. V Câu 7: (Chương trình nâng cao) a. Trong Oxy viết phương trình tắc hypebol qua M(2;1) thỏa góc F1MF2 600 b. Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng hợp với (Oxy) góc 450, song song với Ox cách Ox khoảng c. Cho z=  i . Tìm số tự nhiên n>0 cho z n số nguyên dương bé nhất. 47 ĐỀ 3: A. PHẦN CHUNG: Câu 1: y Cho hàm số (C) mx  xm 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =-1 2. Tìm đồ thị (C) cắt Ox A, Cắt Oy B cho tiếp tuyến A B song song Câu 2: 3. Giải phương trình: cos x  cos x  sin x  4. Giải phương trình: log x  x  12 .log x  x  12   Câu 3: Tính tích phân:     sin xdx  1  cos x  M O Câu 4: Tính thể tích hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, chiều cao SA=a hợp với (SBC) (SBD) góc 450 300 Câu 5:  y2 x  xy    Định m để hệ sau có nghiệm:   x2  x  y  m  C . S H T B. PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) Câu 6: (Chương trình chuẩn) a. Viết phương trình đường tròn qua gốc tọa độ cắt Ox, Oy A,B cho AB= tâm đường tròn thuộc d:x+y-4=0 b. A Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(1;1;0), song song với M N gốc tọa độ khoảng 1. c. Tìm a, b  R biết phương trình V d: . Biết x 3 y z   cách 5 a b 5i   có nghiệm z1  . Tìm nghiệm lại. z 1 z   2i Câu 7: (Chương trình nâng cao) a. Tìm tọa độ đỉnh  ABC vuông cân A có trục đối xứng x-2y+1=0; A  Ox; B  Oy C  d : x  y 1  . b. Viết phương trình tham số đường thẳng d qua M(1;2;0), song song với (P):2x-y+z-1=0 hợp với (Q): x+y+2z-1=0 góc 600 c. Trong hộp đựng 15 viên bi gồm bi đỏ, bi xanh bi vàng. Tính xác suất để chọn viên bi đủ màu. 48 ĐỀ 4: A. PHẦN CHUNG: Câu 1: x3 Cho hàm số y    x có đồ thị (C) 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) 2. Viết Phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ O cắt (C) A B (khác O) saocho tiếp tuyến (C) A B vuông góc. Câu 2: tan x  2tan x sin x  21 2sin 2x  2x  x 6. Giải bất phương trình: x  2x  x 5. Giải phương trình:  Câu 3: Tính tích phân: sin x 0 sin x  cos4 xdx M O Câu 4: Tính thể tích hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông chiều cao SA. Biết SC=2a hợp với (SAB) góc 300. Câu 5: Cho a,b,c>0 a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất: C . S A  a  b3  c  a  b2  c B. PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) Câu 6: H T (Chương trình chuẩn) I/ Trong Oxyz cho A(2;3;-1), B(5;-3;2) (P): x+y+z-3=0: a. Viết phương trình tham số đường thẳng d vuông góc với (P) cắt đường thẳng AB I cho   AI  BI  b. Tìm M  ( P ) cho AM2+2BM2 nhỏ A II/ Hãy phân phối 2010 điểm lên đường thẳng song song cho tổng số tam giác thu lớn nhất. M N Câu 7: (Chương trình nâng cao) I/ a Viết phương trình đường tròn Oxy qua A(2;1), Tâm thuộc Oy cắt Ox B C cho góc BAC 600 b. Trong Oxyz cho A(0;1;2), B(1;-1;1), C(-1;3;0). Viết phương trình tham số đường thẳng d vuông góc với (ABC) cắt (ABC) trực tâm H  ABC. V x   m  1 x  2m  II/ Định m biết đồ thị hàm số y  tiếp xúc với Ox. xm 49 ĐỀ 5: A. PHẦN CHUNG: Câu 1: Cho hàm số x 3 có đồ thị (C) x 1 y 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) 2. Cho A(0;2). Tìm (C) điểm M cho AM ngắn nhất. Câu 2: cos x  cos x cos x  cos x  1. Giải phương trình: 2.  1  x   y  3 x y  Giải hệ phương trình:    1  x  y xy Câu 3: Tính tích phân:  Câu 4: x ln x 1 x C . S Cho hình chóp S.ABCD có (SAB)  (ABC),  ABC mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Biết SC= a Câu 5: M O dx  ABC vuông cân A. Tính thề tích 1 a b 25ab Cho a,b,>0   . Tìm giá trị nhỏ nhất: A    a b a  b   a  b2  H T B. PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) Câu 6: (Chương trình chuẩn) A I/ Trong Oxyz cho A(2;-1;2), B(3;-3;3); C(1;-2;4) (P): 2x-3y+z+1=0: a. Viết phương trình tham số đường thẳng d qua tâm đường tròn ngoại tiếp với (P) b. Tìm M  ( P ) cho AM2+2BM2+CM2 nhỏ II/ Tìm a, b  R biết Z  i  i  i  i  .  i 2009 nghiệm phương trình nghiệm lại. Câu 7: M N V (Chương trình nâng cao) x  t x 1 y z  I/ Trong Oxyz cho d1 :  y   2t ; d :   1 2  t  a Tìm A  d1 biết khoảng cách từ A đến d2 b. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d2 hợp với d1 góc 300 2log3 x  y log3   II/ Giải hệ phương trình: log y  log x  y  x x3 50  ABC vuông góc a b   . Tìm 1 z 1 z ĐỀ 6: A. PHẦN CHUNG: x4 Cho hàm số (C) y   mx  m  , m tham số. Câu 1: Câu 2: 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =1 2. Định m biết đồ thị hàm số (C) có điểm cực trị tạo thành tam giác có trực tâm gốc tọa độ       sin  x    cos  x    tan  x   6 3 4     1 1    x  y       x  y       y  x x y Giải hệ phương trình:  log x log y   2 3 1. Giải phương trình: 2. Câu 3: Tính tích phân: I M O xdx e 1 x C . S Câu 4: Tính thể tích hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ biết AC’=a góc BD CD’ 600. Câu 5: Cho a,b,c>0 1 bc ca a b    . Tìm giá trị lớn nhất: A  3   3 a b c b c c a a b H T B. PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu Câu 6: (Chương trình chuẩn) a. Trong Oxy cho  ABC vuông cân A có diện tích 2, biết A A  d1  x  y   B, C  d : x  y   . Tìm tọa độ A,B,C với xA, xB>0. M N b. Trong Oxyz viết phương mặt phẳng (P) qua A(0;1;2), B(1;3;3) hợp với nhỏ nhất. c. Tìm số tự nhiên n thỏa: V Cn31  Cn21  góc An Câu 7: (Chương trình nâng cao) 2 a. Trong Oxy cho hai đường tròn  Cm  : x  y  2mx  my  m   biết số tiếp tuyến chung hai đường tròn số lẻ. b. Trong Oxyz viết phương trình đường thẳng d song song với : 51  C  : x  y  3x   .  P  : x  y  z 1  x  y 1 z   điểm A,B cho AB ngắn nhất. 1 c. Giải phương trình: z  z   , z  C . Ox Q  : x  y  2z  Định m cắt đường thẳng ĐỀ 7: A. PHẦN CHUNG: Câu 1: Câu 2: y  x3  3ax  b , (1)  a, b   Cho hàm số (C) 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) a=1 b=4 2. Định a,b biết đồ thị hàm số (C) có điểm cực trị A B cho x  tan2 x   tan x. tan    sin x  1   x  y  xy   Giải hệ phương trình:    1  x  y x y 2 3. Giải phương trình: 4. Câu 3:  OAB vuông cân. Tính giới hạn: M O ex  x 1 x  ln 1  sin x  lim Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD chiều cao SA=2a, đáy hình thang vuông A B có AB=BC=a, AD=2a. Mặt phẳng qua trung điểm M SA chứa CD, cắt SB N. Tính diện tích tứ giác CDMN. Câu 5: C . S Định m để bất phương trình có nghiệm: mx  x  ln  x  x  m  x  m   . Tìm nghiệm tương ứng H T B. PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu Câu 6: (Chương trình chuẩn) a. Trong Oxy cho A A  7;1 , B  3; 4  , C 1;  . Viết phương trình đường tròn nội tiếp  ABC. M N b. Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ, song song với hợp với : x 1 y  z   góc 600 1 c. Tìm hệ số d: x 1 y 1 z    1 x3 khai triển thành đa thức biểu thức:  x  x  1 . V Câu 7: (Chương trình nâng cao) 2 a. Trong Oxy cho đường tròn  C  : x  y  x   . Tìm M thuộc trục tung cho qua M kẻ hai tiếp tuyến (C) mà góc hai tiếp tuyến 600 b. Trong Oxyz Cho M  2;1;0  đường thẳng d có phương trình x 1 y  z   . Viết phương trình 2 1 tắc đường thẳng qua điểm M, cắt vuông góc với đường thẳng d. c. Tìm hệ số x3 khai triển thành đa thức biểu thức:  x  x  1 . 52 ĐỀ 8: A. PHẦN CHUNG: Câu 1: y Cho hàm số (C) mx  x 1 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =-1 2. Định m biết tiếp tuyến điểm cố định họ đồ thị (C) cách I(1;0) khoảng lớn Câu 2: sin x  sin x.sin x  cos 2 x 3 x Giải bất phương trình :  22 3 x   x  2 x   15 1. Giải phương trình: 2. Câu 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng tạo C  : y  1 1   , trục Ox x x đường thẳng x=1; x=2 quay quanh Ox. Câu 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a hai đường thẳng d1 ; d qua A C vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Lấy M O   M  d1 , N  d cho AM , CN chiều có tổng độ dài 6a. Tính thể tích tứ diện MNBD Câu 5: Giải hệ phương trình: 1   xy  x  x   y ln y    xy   y   y  x ln x H T C . S B. PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) Câu 6: (Chương trình chuẩn) a. Trong Oxy cho A,B hai điểm  y A   biết OB ngắn nhất. b. A  P : y2  x cho  OAB vuông A. Tìm tọa độ A,B M N Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ song song với d: x 1 y 1 z    2 cách d khoảng 1. c. Cho đa giác lồi n đỉnh, biết số tam giác có đỉnh cạnh chung với đa giác 70. Tìm số tam giác có đỉnh chung cạnh chung với đa giác. V Câu 7: (Chương trình nâng cao) a. Trong Oxy viết phương trình tắc elip (E) qua M(2;1) cho MF1.MF2 nhỏ nhất. b. Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ hợp với mặt phẳng  Q  : x  z    R  : x  y  z   c. Tính giá trị: góc 300 600 Z  1  2i  3i  .  2009i 2008 1  2i  3i  4i  .  2009i 2008  . 53 ĐỀ 9: A. PHẦN CHUNG: Câu 1: y   x  m   x  x  1 Cho hàm số (C) 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =3 2. Định m biết (Cm) cắt Ox A, cắt Oy B cho hai tiếp tuyến (Cm) A B vuông góc. Câu 2: 1. Giải phương trình: tan x  2. Giải bất phương trình : Câu 3:   sin x  cos x  sin x  cos x 75  log x   3 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:  log x  log x 0.25 C  : y  x  x  d : y  x  Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD chiều cao SA=a, đáy hình vuông cạnh a. chứng minh AI  (SBD) av2 tính thể tích tứ diện SIBD, biết I trung điểm SC. Câu 5: M O 1  x  y2  có nghiệm x,y>0. Tìm nghiệm tương  2 x  y  m  Tìm giá trị nhỏ tham số m để hệ: C . S ứng. B. PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) H T Câu 6: (Chương trình chuẩn) a. Trong Oxy cho  ABC có đường cao trung tuyến kẻ từ A hA  x  y   , mA  y   đường trung tuyến kẻ từ B mB : 3x  11y  21  . Tính góc C A x  t x  y 1 z   b. Trong Oxyz cho d1 :   ,d :  y  2t Chứng minh có vô số mặt phẳng (P) chứa z  1 t  M N d2 song song với d1. Viết phương trình (P) cho d2 hình chiếu vuông góc d1 lên (P) c. Tìm x, y  R thỏa: V 1   x    y  i  y  xi 1  i  Câu 7: (Chương trình nâng cao) x2 y    a, b   có hai tiêu điểm F1 ; F2 . Đường thẳng d qua ; F2 vuông góc a b2 Ox cắt (H) M N cho F1MN đều. Tìm tâm sai (H) viết phương trình (H) biết diện a. Trong Oxy cho tích H : F1MN  b. Trong Oxyz cho A(-1;2;2), B(0;3;0). Hãy tìm (P) cho c. Một đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số tích  OAB. y  ABC đều. 3x  cắt đường tiệm cận A B. Tính diện x 54 ĐỀ 10: A. PHẦN CHUNG: Câu 1:  x4 Cho hàm số y    m  1 x  m, 1 có đồ thị (C) . m tham số. 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) m=0 2. Chứng minh đồ thị hàm số (1) qua điểm A B cố định. Định m biết tiếp tuyến A B hợp góc 600 Câu 2:   sin x sin  x     sin x  cos x 3   x  xy  y  4. Giải hệ phương trình:   xy  y  3x  12 x Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y  , trục Ox hai đường thẳng x=1;x=4. x  ln x e 3. Giải phương trình: M O Câu 4: Tính thể tích hình chóp S.ABC biết SA, SB, SC đôi hợp với góc 600 có độ dài a, 2a, 3a. Câu 5: Định m để phương trình log  x   m    log  m   x  1 x    có nghiệm nhất. Tìm C . S nghiệm nhât đó. B. PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) Câu 6: H T (Chương trình chuẩn) x  y z 1 I/ Trong Oxyz cho d :   (P): x-y-1=0: 1 A a. Viết phương trình tham số đường thẳng d’ hình chiếu vuông góc d lên (P). Tính góc d d’. b. Gọi A giao điểm (P) d. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc (P) A cắt d B cho AB= M N  x3  3 II/ Giải phương trình: log   log x  log     log x x  3 Câu 7: V (Chương trình nâng cao) x  t  I/ Trong Oxyz cho A giao điểm d1 :  y   2t mặt phẳng (P):x-2y+z=0 2  t  a Viết phương trình tắc đường thẳng  qua A vuông góc với d hợp với (P) góc 300 b. Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc d, qua A cắt P đường tròn dài 2 II/ Tìm φ   0; 2  biết đồ thị hàm số y x    cos   x  sin  có hai điểm cực trị A B x 1 cho AB dài nhất, ngắn nhất. 55 ĐỀ 11: A. PHẦN CHUNG: Câu 1: Cho hàm số 2x , 1 có đồ thị (C) . x 1 y 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 2. Tìm M (C) biết tiếp tuyến M tạo với tiệm cận (C) tam giác có chu vi bé nhất. Câu 2: 5. Giải phương trình: 6. Giải phương trình: Câu 3: 16sin x  cos x  cos x  sin x x5  x  x5  2 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình tròn  C  :  x  3   y  1  quay quanh trục Oy. Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AB=a, AC= a , AD=2a. Đường thẳng AC hợp với AB,AD góc 450 , AB hợp với AD góc 600. Tính tỉ số thể tích tứ diện hình cầu ngoại tiếp tứ diện. Câu 5: Cho B. PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) Câu 6: a. C . S (Chương trình chuẩn) Trong Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) qua H(1;2;3) cắt Ox, Oy, Oz A, B, C H T cho H trực tâm ∆ABC b. M O a  b  c  1. Chứng minh rằng: a  b3  c  3abc  . A Trong Oxyz viết phương trình mặt cầu tâm I ∈ Oz, qua A(1;1;1) cắt (Oxy) đường tròn dài 2π c. Giải phương trình : Câu 7: M N C20  C31  C42   Cxx   120 , x  N V (Chương trình nâng cao) I/ Trong Oxyz cho A(3;0;0) B(1;-2;8) mặt phẳng (P):x-2y+2z+6=0 a Tìm M∈(P) cho   AM  BM nhỏ nhất. b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B cắt (P) theo giao tuyến d hợp với AB góc 900 x y x y  x 4 y  xy  5.4 xy II/ Giải hệ phương trình :  log x  log y  log5 x.log y 56 ĐỀ 12: A. PHẦN CHUNG: Câu 1:  x3 16 Cho hàm số (C) y   mx   m   x  1 3 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) m =0 2. Chứng minh (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định. Câu 2: 3. Giải phương trình: sin x  sin x   cos x  1 4. Giải bất phương trình : log Câu 3: Tính tích phân: I   log x2 2x 0, 25  log 0.5 x x dx  2x M O Câu 4: Cho hình trụ có chiều cao bán kính đáy a. Lấy đươgn tròn đáy (O) (O’) điểm A, B cho AB=2a. tính góc hai đường thẳng OA, O’B thể tích tứ diện O’OAB Câu 5: C . S 1 a  b2 ab Cho a,b>0   . Tìm giá trị nhỏ nhất: P   a  b ab ab ab B. PHẦN TỰ CHỌN: (Thí sinh chọn Câu Câu 7) Câu 6: a. H T (Chương trình chuẩn) Trong Oxy cho  ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I(2;1), A∈Oy đường thẳng A BC: 3x  y  10  . Tìm tọa độ A,B,C biết góc BAC 450 b. M N y A   yB Trong Oxyz cho A(0;1;0), B(1;-2;2). Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, B cách A khoảng 2 V c. Giải phương trình : 4z   Câu 7: (Chương trình nâng cao) a. Trong Oxy cho  P  : y  x có hai tiêu điểm F . Đường thẳng d quay quanh F cắt (P) M,N. Chứng minh 1  không đổi. MF NF b. Trong Oxyz viết phương trình tham số đường thẳng qua M(1;-2;2). d  OM d hợp với Oy góc 450 c. Tìm hệ số x khai triển thành đa thức biểu thức: P   x  1 x10 10. 57 n 1 x  x  1 . Biết hệ số n PHỤ LỤC II: Cách giải nhanh toán máy tính bỏ túi.Phép chia theo sơ đồ Horner. Trong kì thi quan trọng có môn toán, máy tính bỏ túi phép sử dụng trở thành công cụ thiếu thí sinh. Tuy nhiên tận dụng tối đa chức máy tính giải toán. Nay xin giới thiệu số phương pháp tìm nghiệm chức SOLVE máy tính. Bài viết viết với máy fx-570ES khuyên em tập làm quen sử dụng máy trình giải toán. VD1. Tìm nghiệm cố định: x   a  1 x  6ax   Giải: Soạn phương trình (1) vào máy tính. 1 x   A  1 x  Ax   . Dấu = soạn cách nhấn: ALPHA + CALC Nhấn tiếp: Shift + SOLVE Sau đó, máy hỏi: A=? ta cho ngẫu nhiên A=2 nhấn phím = Tiếp đến, dựa vào “linh cảm” mách bảo, ta đoán x=-3, nhấn tiếp phím = Máy nghiệm x=0.5. Ta ghi nghiệm giấy. nghiệm cố định cần tìm??!! Nhấn tiếp Shift + SOLVE với A=2 Lần ta thử với x=10 Máy x=2 . Thay A=-3;4;5 làm tương tự ta thấy máy báo x=2 Vậy ta kết luận x=2 nghiệm cố định. Đây cách tìm nghiệm cố định tập trang 35 M O VD2. Tìm m cho: C . S H T y  x3   m  1 x   m  4m  1 x  4m  m  1 cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ >1 Giải: Soạn phương trình x3   A  1 x   A2  A  1 x  A  A  1  vào máy nhấn Shift + SOLVE. A Máy hỏi giá trị A. Ta cho a=3 Tai lại tiếp tục đoán nghiệm x=-5 Máy x=1.732281591 . Ta không quan tâm đến nghiệm nghiệm “xấu”. Mục đích ta tìm nghiệm hữu tỉ để phân tích thành nhân tử. Nhấn tiếp Shift + SOLVE. Lần ta cho A=9 x=10 Máy x=10. Ta ghi nhận nghiệm Với A=9 cho x=-5 ta nhận kết x=2 Thử tương tự với A vài giá trị x=2, x=10 vào ta nhận thông báo x=2. Vậy x=2 nghiệm cố định phương trình. M N VD3. V Giải phương trình: sin x  cos x  cos x  3sin x  1 Giải: Lúc “lí trí” mách bảo ta rằng. Cần phân tích phương trình phương trình tích. Hơn nữa, phải có nghiệm “đẹp” phân tích được. Ta dùng Shift + SOLVE để tìm nghiệm này. Nhập phương trình vào máy Nhấn Shift + SOLVE. Ta thử x góc đặc biệt như:  Khi thử đến nghiệm    ;  ;  .   máy nhanh. Để kiểm tra ta nnấn: sin( _ ALPHA _X_) 58 . Và coi sin(x) biến phân tích phương trình qua nhân tử  sin x  1 hay  2sin x  1 . Ta chọn phân tích theo hướng  sin x  1 . Máy =1 = 1  3sin x    cos x  sin 2x  cos x   3(sin x  1)   1  2sin x   sin x  cos x    sin x  1  2(1  sin x)  sin x  cos x    sin x  11  2sin x   2sin x cos x  cos x   sin x  11  2sin x   cos x  2sin x  1    sin x  11  2sin x  cos x   Đến đây, ta hoàn thành ý đồ đưa phương trình phương trình tích. Việc giải phương trình đầu trở nên dễ dàng. GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI FX – 570ES Câu 1:  x   2t x    Trong Oxyz cho: d1 :  y  1  t ; d :  y   t z  z   t   M O C . S a) Tính khoảng cách giửa d1 d2. b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 song song với d2. Giải: Để sử dụng chức vectơ máy ta nhấn: MODE + (vector) Chọn vectơ A máy hỏi ta chọn hệ vectơ (Vct A(m) m?) Chọn 1:3 Nhập tọa độ vecto phương d1. (2;1;0) Nhấn tiếp Shift + STO + B để copy thông số vextơ A vào vectơ B. Sửa tọa độ vectơ B thành (0;1;-1) H T Ta có A  M (2; 1; 0)  d1 ; N 1;1;3  d  MN  1; 2;3 (Bước ghi giấy) M N Nhấn Shift+5(vector) Nhấn (Dim) 3(Vct C) sau nhập thông số vector a) Theo công thức: tính. V d  d1 ;d   MN  1; 2;3        d1 ; d  .MN  A; B  .C      tương ứng với: vec tơ lưu máy      d1 ; d   A; B        Để tính tích có hướng hai vectơ A & B ta nhấn: ONShift+53(vct A)x Shift+54= Để tính độ dài vector ta dùng chức ABS(. cách nhấn phím Shift+hyp   Để tính tích vô hướng A & B ta nhấn ONShift+53(vct A)Shift+5 7:●(dot) Shift+54(vct B)= Vậy nên để tính độ dài cần tìm ta soạn vào hình máy tính sau: (Abs((VctAxVctB)●VctC))÷(Abs(VctAxVctB)) 11 Kết máy hiện: . b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 song song với d2: 59 Việc cần làm ta phải tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng        a  d1 cần tìm a ta thấy:    d1  A ; d  B a  d     Nên a cần tìm  d1 ; d  . Để tìm a máy tính ta làm sau:      . gọi vector pháp tuyến  ONShift+53(vct A)x Shift+54= Màn hình soạn thảo sau: VctAxVctB nhấn phím = để xem kết Máy hiện: Vct Ans (-1;2;2) Vậy  a   1; 2;  . Mp   qua M(2;-1;0) Nên   :   x     y  1   z     x  y  z   Thí sinh cần gi bước làm vào làm, công việc lại máy tính. Ta thấy hoàn thành hình học giải tích đề thi thật nhẹ nhàng. Các bạn thử làm toán có lời giải sách giáo khoa hình học 12 hay sách tham khảo máy tính mình. Sẽ có nhiều bất ngờ chờ bạn khám phá! M O SƠ ĐỒ HORNER VÀ ỨNG DỤNG: Chia đa thức P  x   a0 x n  a1 x n 1   an cho  x  c  ta có: C . S P  x    x  c   b0 x n 1  b1 x n    bn 1 x  bn  Trong bi  i  0;1; 2;3; .; n  định bội sơ đồ Horner: a0 b0 c Áp dụng: VD1. a1 b1 =cb0+ a1 a3 b3 =cb2+ a3 … -1 bi =cbi-1+ A Tính thương số dư phép chia: P  x   x  x3  x  x  cho x+2 Giải: Ta có sơ đồ Horner: -2 Vậy H T a2 b2 =cb1+ a2 M N -3 P  x    x    x3  3x  x  3  -8 -2 V Đến đây, hiểu phần công dụng sơ đồ horner. Trong toán liên quan đến tham số, việc tìm nghiệm cố định phân tích thành tích làm công việc giải toán nhẹ nhàng nhiều. Nghiệm cố định có máy tính, việc chia đa thức: Hãy để sơ đồ Horner làm cho bạn. Ta quay lại với ví dụ đầu phần phụ lục: VD2. Phân tích thành tích: x   a  1 x  6ax   1 Giải: x3   a  1 x  6ax   Ta có nghiệm cố định x=2. nên 2 Vậy (1)   x    x -3(a+1) -(3a-1) 6a   3a  1 x    Đây phần làm Bài3 trang 35. VD3. -4 Định m để phương trình: mx3   3m   x   3m   x  m   có nghiệm dương phân biệt. 60  A Giải: Ta dễ dàng nhận ra: a+b+c+d=0 Sơ đồ Horner: m -3m-4 m -2(m-2)  phương trình (A) có nghiệm x=1 3m+7 m-3 -m+3  A    x  1  mx   m   x  m  3  (A) Có nghiệm dương phân biệt  g  x   mx   m   x  m   Nên có hai nghiệm dương phân biệt khác  m     '   m    m  m  3   m2  m   ;0    3;   S  0 m  m3  P  m    g 1  m   m    m   VD4. C . S Định m để phương trình có nghiệm phân biệt: x3   m  x  1  Giải: 1  x  mx  m  Dùng máy tính ta “mò” nghiệm: x=1 Sơ đồ Horner: 1 1 Vậy (1)   x  1 x H T A  x 1 m  M O -m 1-m 1 m-1 g ( x)  x  x   m  có hai nghiệm phân biệt khác    4m   m     m3  g 1     m  m  (1) Có nghiệm phân biệt: M N V Sơ đồ Horner ứng dụng nhiều giải toán, dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số. Các bạn nên tập sử dụng sơ đồ cách thục. Bài tập áp dụng nêu lên dạng chia đa thức nhằm giúp bạn hoàn thiện kĩ năng. BÀI TẬP: Bài 1. lại. Bài 2. Nếu x=-m nghiệm phương trình Cho biểu thức: x3  4mx  m x  6m3  . Hãy tìm ghiệm  Q   x5  3x  x3  x  11x  a. Tính giá trị biểu thức x=3 b. Tìm thương phép chia (Q) cho x-3 Gợi ý: Dư số phép chia (Q) cho x-3 giá trị Q(3). 61 [...]... 2 x  3 y   x  y   x 2  y 2   25  2 x  3 y 2     x  y   x  y   25    x3   25 y 2  1 y   25      4  2  y  2  A Lời bình: V M N Làm sao ta có thể phân tích nhanh  12 x 2  26 xy  12 y 2  thành nhân tử  3x  2 y  2 x  3 y  ?? Lúc này, công cụ của chúng ta chính là máy tính bỏ túi! Các bạn hãy làm như sau: Coi như ta không thấy ẩn y vậy nên ta có phương . hệ phương trình, phương trình, cách giải nhanh bài toán hình học bằng máy tính… Đồng thời giới thiệu thêm phương pháp chia Horner để giúp các em làm nhanh bài toán có chia đa thức, phân tích. đề thi có mức độ khó rất cao, đòi hỏi người làm phải tư duy rất nhiều. Với mức độ khó đó, tôi mong rằng khi các em giải thuần thục các bài trong bộ đề thi này các em sẽ có đủ tự tin và kiến. Hoàng Việt Quỳnh Các phương pháp giải nhanh đề thi đại học VNMATHS.COM VNMATHS.COM Các phương pháp giải toán đại số và giải tích Lời