Với sự cộng tác của các giáo viên và chuyên viên bậc Trung học cơ sở :
Cao Đức Khónh - Nguyễn Ngọc Hữu -
Nguyễn Anh Hoòng - Nguyễn Đức Hòo - Nguyễn Đoòn Vũ
Công ty Cổ phần Đầu tư và Phát triển Giáo dục Phương Nam —
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam giữ quyển công bố tác phẩm
Trang 4
LOI NOI DAU
Các em học sinh thân mến,
Xuất phát từ yêu cầu đổi mới chương trình và phương pháp dạy —
học, nâng cao tính chủ động của học sinh trong quá trình học tập và rèn luyện, Công ty Cổ phần Đầu tư và Phát triển Giáo
dục Phương Nam - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam phối hợp với Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh biên soạn
bộ sách Bài tập thực hành TOÁN 8 (hai tập)
Bài tập thực hành TOÁN 8 được biên soạn bám sát chương trình chuẩn trong sách giáo khoa, nhằm giúp cho học sinh có
thêm tài liệu để ôn tập và thực hành tốt môn học này và
chuẩn bị tốt cho các kì thi
Sách được viết theo từng đơn vị bài học Cấu trúc của mỗi bài học gồm :
A.Các kiến thức cơ bản : Nêu tóm tắt nhưng đầy đủ những kiến thức cơ bản, những công thức mà học sinh cần vận dụng và nhấn mạnh đến những điểm quan trọng mà học sinh cần nắm vững
B Các ví dụ : Mỗi ví dụ là một bài toán minh hoạ tiêu biểu
Trang 5Chúng tôi tin rằng cuốn sách này là một tài liệu tham khảo
thiết thực, bổ ích trong bộ sách học toán của các em học sinh
lớp 8 THCS
Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của bạn đọc để sách ngày
càng được hoàn thiện hơn !
Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng gởi về Phòng Khai thác bản thảo - Công ti Cổ phần Đầu tư và Phát triển Giáo dục Phương Nam — 231 Nguyễn Van Cừ, quận 5, TP Hồ Chí Minh
Xin chân thành cảm ơn !
Tổ chức biên soạn
Trang 6PHÀN ĐẠI SÓ
ma ——
Chung I
PHEP NHAN VA PHEP CHIA CAC BA THUC
§1 NHAN DON THUC VOI DA THUC
A KIEN TH@C CAAN NHOU
* Van dụng được tính chất phân phối của phép nhân :
A(B + C) = AB + AC
trong dé : A, B, C 1a cde sé hoae cdc biéu thitc dai sé
Trang 7Ví dụ 2 Rút gọn : (sr-š>°)e£)+»° 2ướug đẫm Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức Giải 3 3\(_ 3 v2 5 (2x ) axy + (2x l(-š~ +e = 4xty —3x° +3x° = 4xty | - 3x*)(20°) +3x° % Dang todn 2
* Tinh giá trị của biểu thức
Trang 8% Dang toan 3 Tim x Ví dụ 5 Tìm x, biết : 3x(2x — 3) — (3 + 2x”)3 = 0 26ướug din Khai triển và rút gọn biểu thức bên trái dấu bằng Giải 3x(2x — 3) - (3 + 2x”)3 = 0 6x? — 9x -9- 6x” =0 -9x-9=0 9 ies il -9 xe Vay x=-1 C BÀI TẬP REN LUYEN 1.1 Làm tính nhân : a) 2x(3x —B) b) 3x” (x” ~ 3) e) -7xy(~9x + 3y”) a) lš~-;)» 3 2 e) (34x — x)(-2x) f) 2ax” (sx-ax+ dax”] 1.2 Rút gọn các biểu thức sau : a) 2x(x2 ~ 3) ~ (4 - 3x).3~ 2x” + õx b) %|x~3]~@~» ©) 9xŸ ~(3x + 1).3x + 9x2 ~ 2x” ~ 5 d) 2-2(x-1)x + x(x - 2)
1.3 Tính giá trị của biểu thức :
a) (x+y)(8xy)~3xy? tại x=1;y =—1
Trang 91.4 Chứng tỏ giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến : a) 2 (0X) ~ 4x + 6)~(2 + x)x = 2= 2x) b) ša-z°›-2[š— x5 +1) 2 3 ©) 6x + 8x(5x =8) ~ 30 + 2xx” ~ 6x) ~ x” (2x ~ 2) d) 10-x-x (x +1) +x(1+x+x7) 1.5 Tim x, biết : a) x(x-1)-x? =0 b) >(x+3)~ 22 ~1 ©) x~(Œx~9)+x2 =1 8) 2x(2—x)=0 1.6 Rút gọn các biểu thức : a) 6x" (x? — 1) +2x(3x""1 +1)
b) Bx B2(qeB*2 _ yM*2) 4 yD4B(ggm-2 _ yn-2y
Trang 10Vi du 6 Lam tính nhân : (x- y)(x+y) Giải (x-y)(x +y) =x? + xy —xy-y? 2 _y2 Ví dụ 7 Lam tính nhân : (x +3)(x? +3x—5) Giai Cách 1: 2 AAA v +3x—B) = xổ + 8x” ~õx + 8x” + 9x — 15 = xổ +6x” + 4x — 15 (x+8)(x Cách 2 :
Sắp xếp các đa thức theo thứ tự luỹ thừa giảm dân của một biến; sau đó lập bảng nhân như sau : x7 43x-5 x x+3 x? + 3x? — 5x + 8x? 49x-15 xổ +6x” + 4x ~ 1ð
Ví dụ 8 Viết biểu thức tính diện tích của một hình chữ nhật theo x và
y, biết hai kích thước của hình chữ nhật đó là : (2x + y) và (2x- y) Giải Biểu thức tính diện tích hình chữ nhật đó là : (2x + y)(2x - y) = 4x? - 2xy + 2xy T— v? = 4x? - y” % Dang toan 2
* Tính giá trị của biểu thức
* Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
Trang 11Ví dụ 9 Tính giá trị của biểu thức
3xỞ + 2(-9xP + 1) — (8x - 6)(x° + 33] tai x= 3
Fung dan
Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức
rôi rút gọn biểu thức tìm được Gịai 3x? + 2(-2x? +1) - (3x - 6)(x° +2x) = 3x9 ~4x? + 2-(3x* 42x” ~ 6x? ~ 4x) = 3x9 — 4x? + 2-3x9 - 2x? + 6x? + 4x 1 Ax+2=41+2=4 X#+ 5
Ví dụ 10 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc
Trang 12Giải 3x” + 2(-2x? +1) - (3x - 6)(x? +2x) 0 3x2 ~4x? +8~ (3x” + 2x” — 6x? -4) 0 3x3 — 4x? + 2- 3x9 - 2x? + 6x? + 4x = 0 _1 -1 4x+2=0>4x=-2>x= va ay x=> == % Dang toan 4 Chứng minh chia hết Ví dụ 12 Chứng minh biểu thức P = n(3n - 1) - 3n(n - 2) chia hết cho 5 Giải P =n(3n - 1)~ 3n(n - 2) = 8n” - n - 3n” + 6n P =õn là bội của 5
Vậy P chia hết cho ð
Cc BAI TAP REN LUYEN 2.1 Làm tính nhân :
a) (~3a - 2b)(b - 2a) b) (2x +7)(3x +4)
©) (4x4y - 7x? + 3y) (2y — 3x2y) d) (šx->)ey-x+Ð
1 1.2, XY, 32 2 2
e) ($x-»](d« tm ) f) (x 0,2y)(x ~0,4xy + 0,04y )
8) (y-2)(y +2)(y? +4) h) (a+ b+e)?
Trang 132.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 12 Rút gọn các biểu thức : a) 3x(4x - 3) - (2x - 1)(6x + B)
b) (x? +y?)(s°y +y*)-y(x! +y')
"Tính giá trị của biểu thức a) A = 9x(x ~ 8) ~ (2x ~ 9)(x ~ 2) tại x=} b) P=3x2 -[2x? ~ 8xx =4)| tại x =-3 Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến : a) M=2x(x - 3) - (2x - 2)(x - 2) b) N = (8x —5)(2x + 11) - (2x + 3)(8x + 7) Tim x, biét : a) 3x(2x +3) —(2x + 5)(38x -2)=8 b) (3x - 1)(2x + 7) - (x + 1)(6x - ð) = (x + 2) - (x - ð)
Tim ba sé tu nhién chan liên tiếp biết tích của hai số sau lớn hơn tích
của hai số đầu là 24
Trang 14§3,4,5 NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A KIẾN THỨC CÂN NHƠ
* Hiểu và vận dụng được các hằng đẳng thức :
(A +B)” = A? + 2AB + B’, (Bình phương của một tổng)
(A - B)” = A? - 2AB + B’, (Bình phương của một hiệu) A? - BỀ = (A + B) (A - B), (Hiệu hai bình phương)
(A+ B)Ể = A° + 3A?B + 3ABẺ + B, (Lập phương của một tổng)
(A - B)Ÿ = AÖ - 3A?B + 3ABP - BỂ, (Lập phương của một hiệu)
A3®+BẺ=(A+B) (A?-AB+B, (Tổng bai lập phương)
AŠ - BỂ = (A - B) (A + AB +BỂ), — (Hiệu hai lập phương) (A +B +0)" =A? +B? + C” + 2AB + 2AC + 2BC
(Bình phương của một tổng 3 hạng tử)
trong đó : A, B là các số hoặc các biểu thức đại số
* Luỹ thừa bậc chẵn của hai số đối nhau thì bằng nhau; luỹ thừa bậc /¿
Trang 15Giải (9a + 1)? = (9a)? + 2(2a).1 + 12 = 4a? + 4a +1 2 Ví dụ 14 Khai triển hằng đẳng thức : (2a)2 -(3) Giải (9a)? ~ ( = (20 = HỆ + ;| Ví dụ 15 Khai triển hằng đẳng thức : (9a + LỔ Gidi
(2a +1)° = (2a)? + 3(9a)Ê.1 + 3(2a).12 + 12 = 8a” +12aÊ + 6a +1
Trang 16Giải
x? + 6xy + (By)? =(x + 3y)?
Ví dụ 19: Khôi phục lại hằng đẳng thức đáng nhớ : 2x2 — +1=( —Đ?
Wubng din
Cân xác dinh A va B trong hing dang thtc (A — B) = A” - 2AB + B”
Ở ví dụ trên 2x2 đóng vai trò A’; 1 đóng vai trò BỀ Qiải 2x2 ~2x\J2.1+1= (x2 - ĐỀ % Dang toan 3 Chứng minh đẳng thức Ví dụ 20 Chứng minh rằng : (a+ b)Ÿ = (a - b)Ể + 4ab Giải Vế phải (a - b)Ÿ + 4ab = a? — 2ab +b? + 4ab = a2 + 2ab + bỂ = (a + b)Ê Vậy (a+ b)Ÿ = (a - b)Ể + 4ab
Ví dụ 21 Chứng minh rằng : (a- 1Ê ~a2 =(a + 1)” —a(a +4)
Gidi
2®=a?~9a+1~a? =1-2a
Vẽ trái (a-UÊ-a
Vế phải (a+L)-a(a+4)=a2 +2a+1-a2 4a =1~2a
Trang 1716 Giải © 257 = 100.2.3 + 25 = 625 + 95° = 100.9.10 + 25 = 9025 © 105 = 100.10.11 + 25 = 11025 % Dang toan 4
Chứng minh biểu thức luôn dương (hoặc âm)
Tìm giá trị bé nhất (hoặc lớn nhấU của biểu thức
Ví dụ 23 Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị
của biến x: A=x2+2x+2
Giải
A=x2+2x+2=x?+2x+1+1=(x+ +1
Vì (x+U?>0 với mọi x nên (x+1U?+1>1 với mọi x Vậy A luôn dương với mọi giá trị của x
Ví dụ 24 Chứng minh rằng biểu thức sau luôn âm với mọi giá trị của 2 biến x: B=-x“+x—1 2 2
Vì [*-3) >0 với mọi x nên -(«-3) <0 với mọi x
Trang 18Vi du 25 Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 +2x+2
Z2frớug đẫn
e Muốn chứng minh biểu thức A(x) có giá trị nhỏ nhất là M, ta chứng mỉnh : A(x)>M và có giá trị x„ để A(xo) =M
e Muốn chứng minh biểu thức A(x) có giá trị lớn nhất là N, ta chứng mình: A(x)<N và có giá trị x„ để A(xo) =N
Giải
A=x2+2x+2=x2+2x+1+1=(x+UÊ+1
Vì (x+ 1” >0 với moi x nén (x +1)? +121 với moi x;
Voix =-1thiA=1,
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x =-1
Trang 20b) (9x + 12x + 4] + 6(3x + 8) + 9 = 0 ) (8x +1) - (x +2)" =-5 d) (6x ~ 2)? + (5x -2)” ~4(3x-1)(5x-2)=0 ° 6) (x=1)~(x+8)(xẺ = 8x + 9) + 8(x” - 4) =2 3.6 Chứng minh rằng : a) (a + b)Ể ~ 4ab = (a - b) b) (a + b)Ể = Ca = b)Ể = | ~(a + b) | ©) (a~ b)Ÿ = (~a + b)Ÿ d) (a—b)Ÿ =~(~a + b)Ể 8.7 Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn có giá trị đương với mọi giá trị của biến : a) x? 42x42 b) x2 +x41 ©) x2 +8x + 17 d) 4x” ~ 12x + 13 e) x?°+y2+2(x—y)+8 f) x? -2x+y?-4y+6
g) 4x2 +y? —4xy +4x-2y +2 h) x?-x41
3.8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a) A=x2~2x+2 b) B=x2-x+1
© C=x2+8x+3 đ)D=3x2~3x+1
e) E=x2+2y? +2xy —2y Ð F=83x2+1
8.9 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
a) F=-x?-2x+2 b) G=3-4x-x”
c) H=2x-2-3x? d) I=2-x?-y?-2x+y)
e) K = 2x 3x” ÐĐL=2-3x2
3.10* Chứng minh rằng : aŸ + bỂ + c5Ÿ =(a + b+ e)Ÿ ~3(a + b)(a + e)(b +) 3.11* Chứng minh rằng : a' + bŸ +(a + b)f = 2(a? + ab + b2)
Trang 21§6 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
A KIẾN THứC CÂN NHỚ
Vận dụng được phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử :
Phương pháp đặt nhân tử chung : A.B + A.C = A.(B + C) B DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP % Dang toan 1 Nhân tử chung là đơn thức Ví dụ 27 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4a? + 2ab 26ướug din
Vận dụng linh hoạt tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để phân tích đa thức thành nhân tử và tìm ra nhân tử chung
Giải
4a” + 2ab = 2a(2a +b)
Ví dụ 28 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 6x2yŸ + 8xŸy ~10x2y? Giải 6x?y° + 8x°y - 10x?y? = 2x°y (3y? +4x— by) % Dang todn 2 Nhân tử chung có chứa đa thức Ví dụ 29 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x7 (x — 2y) - 1ỗx(x - 2y) Giải
5x? (x — 2y) — 15x(x — 2y) = Bx(x ~ 2y)(x ~ 3)
Ví dụ 30 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3(x - y)— x(y - x)
Trang 23A
§7 PHAN TiCH DA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BANG PHUONG PHAP DUNG HANG DANG THUC KIẾN THứC CÂN NHỚ Các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học B DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 22 % Dang todn 1 Phân tích thành nhân tử Vi du 32 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4a? + 4ab + bỂ Giải
4a” + dab +b? = (2a) + 2(2a)(b) + (b)” = (2a +b)”
Trang 24% Dang todn 2 Tinh nham Ví dụ 36 Tính nhanh : 105? — 257 Tubing din Dùng hằng đẳng thức dé tạo ra các nhân tử tròn chục, tròn trăm Giải 105 ~ 282 = (105 + 25) (105 - 25) = 130.80 = 10400
C BAI TAP REN LUYEN
7.1 Phan tich da thie thanh nhan tu :
a) 4a? ~9 b) 4x? - 12xy + 9y?
©) -x? — 2xy —y? d) (x-y)?-4
e) 3-16x” f) 9-(x-y)*
g) (8x ~ 9y)” ~ (2x — 3y) h) 9(x- y)Ÿ - 4(x + y)°
Trang 25§8 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ A KIẾN THứC CÂN NHỚ Vận dụng được phương pháp nhóm để phân tích đa thức thành nhân tử B DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP \ Dạng toán Phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 37 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ax - ay + bx - by Giải ax - ay + bx~ by = (ax ~ ay) + (bx — by) =a(x~y)+b(x~ y) =(x~ y)(a + b) Ví dụ 38 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x(a=1)=a +1 giải
4x(a =1)—=a+1= 4x(a - 1)~ (a =1) = (a = 1)(4x — 1)
Ví dụ 39 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x9 +8x2 +3x+9
Gidi
x9 48x? 43x49 = x7(x +3) + B(x +3)= (x + 3)(x? +3) C BAI TAP REN LUYEN
8.1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
Trang 26k) x? -2x+1-y? +2y-1 1) 8xy -2-3x+yz
m) xt -1-3(x? +1) n) (x+y)? -x3-y?
0) axta-—bx-—b+ex+e p) ax” -ax + bx” -bx+a+b q) xÊ —9xy + 8xz + x— 9y + 3z T) XYZ-— Xÿ — ÿZ— XZ+X+ÿ+Z—1
2
s) x’ +y? +2Qxy +yz+xz
§9 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
A KIẾN THứC CÂN NHỚ
Vận dụng được vài phương pháp khác như thêm bớt hạng tử; tách hạng
tử; đặt ẩn phụ và phối hợp các phương pháp đã học để phân tích đa thức thành nhân tử B DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP \ Dạng toán Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử 1 Phương pháp
— Một trong các phương pháp để phân tích tam thức bậc hai dạng x?+bx+e (có hệ số bậc hai bằng 1 ; b, e là các số nguyên) thành nhân tử là tìm 2 số nguyên có tích bằng hệ số tự do e và có tổng bằng hệ số bậc nhất ö
— Một trong các phương pháp để phân tích tam thức bậc hai dạng
ax? +bx+e (có hệ số bậc hai bằng a và a, b, e là các số nguyên)
thành nhân tử là tìm 2 số nguyên có tích bằng a.e và có tổng bằng
hệ số bậc nhất ð 2 Các ví dụ
Ví dụ 40 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x7 45x46
Trang 2726ớug dẫn Với hệ số của hạng tử bậc hai bằng 1, ta có thể căn cứ vào hệ số tự do (số 6) để tìm 2 số nguyên có tích bằng 6 và có tổng bằng hệ số của số hạng bậc nhất (số 5) Cặp nhân tử Tổng các nhân tử 1;6 7 2:3 5 (Chon) Giwi x? 45x+6 =x" +3x+2x+6=x(x+3)+2(x+3) =(x +2)(x+3) Vi du 41 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x°-2x-8 2fướug đẫm Căn cứ và hệ số tự do (số -8 ) ta tìm 2 số nguyên có tích bằng -8 và có tổng bằng hệ số của số hạng bậc nhất (số -2) Cặp nhân tử Tổng các nhân tử -1;8 7 1;-8 -7 -2; 4 2 2;—4 —2 (Chọn) Gidi x? -2x-8 =x" +2x-4x-8=x(x+2)-4(x+2) =(x+8)(x~4) Ví dụ 43 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 6x? +5x-4 Huing din
Với hệ số của hạng tử bậc hai bằng 6 và hệ số tự do -4, tích của chúng bang —24 ta tim 2 số nguyên có tích bằng -24 và có tổng bằng hệ số
của số hạng bậc nhất (số 5)
Trang 2928 % Dang toén Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến Ví dụ 45 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A =(x? +x) + 9x7 49x 414 Giải Dat X=x2+x thi (x2 +x)’ 49x? 4+9x4+14=X249X414 A=X?47X+2X +14 =X(X+7)+2(K+7) =(X+7)(X +2) Do đó A=(x? +x47)(x? +x+2) % Dang toan Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp các phương pháp Ví dụ 46 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x’y -4xy + 4y — 4y Giải xỔy - 4xy + 4y —4y5 = vị" ~4x+4-4y?) = v[(x-3Ÿ -(ay} | =y[x-2+2y][x-2- 2y] ** Những lưu ý cần thiết :
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta nên làm theo thứ tự sau :
Dùng phương pháp đặt nhân tử chung (nhân tử chung của tất cả các
hạng tử có trong đa thức với số mũ nhỏ nhất)
Xem xét đa thức cần phân tích có mấy hạng tử
a) Nếu đa thức có hai hạng tử phải nghĩ ngay đến việc áp dụng hằng đẳng
Trang 303
4
b) Nếu đa thức bậc hai có ba hạng tử phải nghĩ ngay đến hằng đẳng thức bình phương của tổng (hiệu) và phương pháp tách hạng tử (như
ở các ví dụ 40, 41, 42)
e) Nếu đa thức có bốn hạng tử trở lên, ta thử đưa về hằng đẳng thức lập phương của tổng (hoặc hiệu) hai hạng tử, nếu không được, nên tìm cách nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Chỉ khi nào các bước trên không cho kết quả mới nghĩ đến phương
pháp khác
Luôn suy nghĩ xem còn có thể phân tích tiếp các nhân tử là đa thức,
thành tích các nhân tử khác nữa hay không và chỉ dừng lại khi không
thể phân tích tiếp thành các nhân tử khác C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 9.1 9.2 9.3 9.4 Phân tích đa thức thành nhân tử (Phương pháp tách số hạng) : a) x7 -6x+5 b) x? -x-12 c) x? —5x-24 d) 3x” +13x-10 e) 3x” -10x-8 f) 8x” - 16x +5 g) 6x? +5x-4 h) 2x” - 5x —12 ï) 4x! ~12x? +1 j) x -7x46 k) x8 ¢x441 1) x7" 45x" 24 Phân tích đa thức thành nhân tử (PP thêm bớt) : a) x +64 b) 4x* +81 c) xty* +64 ay® x 4x4 41 e) xt 44y? fy x8 4x41 Phân tích đa thức thành nhân tử (PP đổi biến) : 2 a) (x? +x) = 2(x? +x) -15 b) (x? 4x+1)(x? +x+2)-12 c) (x +2)(x+3)(x+4)(x+5)-24 đ) x(x+4)(x+6)(x + 10) + 128
Phân tích đa thức thành nhân tử (Phối hợp các phương pháp) :
a) 2x? +4xy+9y? b) 2xy? -x2y-yẺ
€) 2y? —14y +24 d) 4x —4y +x? -2xy +y?
e) x? ~y? +10x +10y Ð 9x?(x+y)~x—y
8) xổ +x2~4x~—4 h) x? - 3x? - 3x41
Trang 31i) x? + x?y —xy? -y? j xt ¢xP 4x? -1
k) x4 — 4x3 — 8x? + 8x 1) 16x4(x-y)-x+y
m) xt x? 42x42 n) x2y?+1-x?—y?
0) 4x2y? -œ2+ y? =i p) 16xŸy +iye
q) 6x! — 10x2y? + by! r) 81x4(z? - y”) i y?
8) (x? + y? + xy)? — x2y? — y2z2 — z2x” +) R + y’) ~ax?y?
u)* xÍÍ + xÌÐ + +x? + x+1 v) x9(x2 ~ 7)” ~ 36x w)* (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y*
x)* (x= ya? +(y- zx? +(Z- xy?
9.5* Chting minh rang sé M = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 (ne N) 1a mot sé
chính phương
§10,11 CHIA DON THUC CHO DON THUC -
Trang 32Ví dụ 48 Làm tính chia : (x-y)® :(y-x} b Gidi (x~y)°:(y=x)” =(x=y)Ï:(x~y}” =(x~y}! =x~y % Dang toan 2 Làm tính chia đa thức cho đơn thức Ví dụ 49 Làm tính chia : (12x°y4z - 30xy* + 18x’y*) § 15xyỞ Giải
(12x°y*z ~30xy? + 18x’y*) :15xyŠ=
Trang 3310.1 Làm tính chia :
a) (2x°y?) (sx?y?) b) 10xŸy?z : (2xy2z)
c) nh š sy" d) (2a — 4b)® : (2a — 4b)
e) (x-y)" s(y-x)® Ð (2a - 4b)Ÿ : 2(2a - b)
8) (x-y)! :(y-x)# h) (3b - 6a)Ÿ : 9(2a — b)
10.2 Tìm n để phép chia sau đây là phép chia hết :
a) 1.3 2\ (lon 5x") :($x v) v) (Baty?) :(my”) -2 5.3) n
11.1 Lam tinh chia : a) b) c) d) e) 3 2 2) 1 4x” — 3x“y + 5xy ):sx 3 22 1
6xŠy - 2xÊy: + Bxy): “SN
xây? - xi _ xay): xe?
Trang 34A KIẾN THứC CẲN NHỚ * Quy tắc chia đa thức một biến đã sắp xếp cho đa thức (một biến đã sắp xếp) * Sắp xếp đa thức theo thứ tự luỹ thừa giảm dân của biến B DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP % Dạng toán 1 Lam tinh chia da thức cho đa thức Vi dy 51 Lam tinh chia : (3x-3x? +x? ~1):œ%=Ð Giải (3x - 3x? + x° -1): (x-1)= (x° - 3x? + 3x1): x1) bi chia vay (x - 3x? +x” =1): œ=Ð= x? 2x41 Vi du 52 Lam tinh chia : (6x+ 3xt + x3 -5) 10x? +1) Huing din
Ở ví dụ này, cần lưu ý rằng đa thức bị chia không có hạng tử bậc hai (x2) Khi thực hành phép chia, ta cần chừa chỗ cho hạng tử khuyết này
(vì trong quá trình chia có thể xuất hiện hạng tử bậc hai) Khi thực
hành phép chia, ta dừng thao tác chia khi đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia
Trang 35điải (6x + 3x! + x3 —5):(x? +) 2 (3x4 + x° + 6x—5):(x? +1) 3 +6x-5 xr +d 2 2 3x4 +x — 3x +3x 3x7 4+x-3 0+ xỔ ~8x” + 6x—5 — xã +x 0 -3x? +5x-5 -3x?7 -3 Vay (6x +3x4 +x° -5):(x? += ax? +x-34 25-2 x +1 Ta có thể viết : 6x +3x4 + x5 -5 =(x? +1](3x? +x-3)+5x-2 % Dang todn 2 Điều kiện để có phép chia hết
Trang 36Tham số trong bài toán chia đa thức cho đa thức Ví dụ 54 Tìm số a để đa thức P(x) = 2xÖ -3x2+x+a chia hết cho đa thức x-2 Giải
Đây là phép chia hết nên có thể viết P(x) = Q(x).(x - 2) Trong d6 Q(x)
là thương của phép chia Do đó P(2) = 0
Đặt T(x) = 2x° - 3x? +x
Ta được : P(x) = T(x) +a
Mà P(2) = 0nên a = -T(2)
Ta có thể dùng máy tính bỏ túi để tính T(2) và tìm được a = =6
Cc BAI TAP REN LGYEN
12.1 Lam tinh chia : a) (x° + 6x? + 12x +8):(3 +4x+4) b) (x° - 6x? +12x-8) :(x-2) €) (6x° + 2x - 9x! = 15x° +x? + 7-2): (3x? +x=1) đ*) @xf ~ xổy + x?y? ~ xy"): (x? +y?) e) (3x° -4x? +13x-4): (3x-1) 12.2 Lam tinh chia : a) (x + 6x? + 12x +8): (x" +4) b) (2x? +12x+8):(x+4) â) (xđ = 2x ~ x” =4): (8x =4) d) (-4x°—4): 2x? -5)
12.3 Tìm giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức Pín) = 3n° +10n? -6 chia hết cho giá trị của biểu thức 3n +1
Trang 383 Chứng minh rằng : a) x” -4x+4,5>0 b) x?-x+1>0 c) -2x7 +x-1<0 d) x-x? <0 4, Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của biểu thức : a) A = x? ~10x + 95 b) B= xŸ - 6x +10 2 e)C=x-x d) D=-2xŸ + 8x —7 ð Thực hiện phép chia : a) (-2x” ~x~3+x”) : (3~ 2x) b) (x*-3x? +x+1):(x-1) €) (-xt 4x9 42x44): x? -x-2) a) (2x° - 18x” + 54x ~54):(x” - 6x +9) 6 Tinh nhanh : a) 682 + 382 + 76.63 —1 b) 8x* - 12x?y + 6xy? - yŸ với x = 6; y= 2 e) 1012 - 99? 7 Tim x biét : a) 3x7 44x =x b) 25x” - 0,64 =0 c) x4 -16x” =0 d) x2 +x=6 e) x? -x” =-x 8 Cho a+b+c=0 Chứng minh rằng : aỞ + bổ + cŸ = 8abe
9 Xác định hệ số b, c sao cho đa thức xt+x2+ 2x? -7x-5 phân tích
được thành hai đa thức x”+2x+5 và x”+bx+c
10 Chứng minh rằng số có dạng N =n^-4nŸ -2n2 +12n+9 (neN) là một số chính phương
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Trang 40PHAN THUG BAI SO
§1,2 PHAN THỨC ĐẠI SỐ - TÍNH CHẤT CƠ BẢN
A KIẾN THứC CÂN NHỚ
Nhận biết phân thức đại số
Phân thức đại số là biểu thức đại số có dạng 5 trong đó A và B là các
đa thức và B là đa thức khác đa thức khơng
B DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
% Dang todn 1
Nhận biết phân thức đại số