toan 8

A. L DO M CHUYấN Qua thc t ging dy tụi nhn thy a vo mt s phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t nh: Phương pháp tách hạng tử ,phưương pháp thêm bớt hạng tử ,phương pháp đặt ẩn phụ, giỳp hc sinh cú hng thỳ gii nhiu bi toỏn khú v gii mc nhanh hn. c bit cũn lm tin cho vic gii phng trỡnh, bt phng trỡnh nờn tụi quyt nh m chuyờn kết hợp CC PHNG PHP PHN TCH A THC THNH NHN T B. NI DUNG Phần I : Các phương pháp phân tích 1. Phương pháp đặt nhân tử chung 2. Phương pháp dùng đẳng thức : 3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử : 4. Phương pháp tách hạng tử : 5. Phng phỏp thờm bt cựng mt hng t 6. Phng phỏp t n ph: Phần II : Các tập áp dụng Trỡnh tự suy nghĩ phân tích đa thức thành nhân tử Thường suy ngh theo trỡnh tự sau : Bước 1: Nghĩ đến đặt nhân tử chung dùng đẳng thức . VD1: 3(x-y) + 5x(x-y) = (x-y)(3+5x) VD2: x2 - 4x + = (x-2)2 Bước 2: Nghĩ đến nhóm hạng tử . VD3 : x2 -3x + xy-3y = (x2 -3x) + (xy-3y) = x(x-3) + y(x-3) =(x-3)(x + y) Bước 3: Nghĩ đến phương pháp đặc biệt . ( Cú th kt hp cựng mt lỳc nhiu phng phỏp) Phần I : Các phương pháp phân tích a thc thnh nhõn t 1/ Phương pháp đặt nhân tử chung a. Các bước tiến hành : Bước : Phát nhân tử chung đặt nhân tử chung dấu ngoặc . Bước : Viết hạng tử ngoặc cách chia hạng tử đa thức phải phân tích cho nhân tử chung . Bước 3: Trường hợp nhân tử chung mà có nhân tử đối thỡ phải tiến hành đổi dấu để xuất nhân tử chung b.Các ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử VD1:P= -17x3y-34x2y2 +51xy3 P= 17xy(-x2-2xy +3y2) VD2: Q= 16x2(x-y)-10y(y-x) Q= 16x2(x-y)+10y(x-y) Q= (x-y) (16x2 +10y ) 2. Phương pháp dùng đẳng thức : (Dùng hạng tử đa thức cần phân tích có dạng đẳng thức ) 2.1 Học sinh cần nắm vng đẳng thức đáng nhớ . (A+B)2 =A2 + 2AB + B2 (A-B)2 =A2 - 2AB + B2 A2 B2 =(A-B)(A+B) (A+B)3 = A3 +3A2B +3AB2 +B3 (A-B)3 = A3 -3A2B +3AB2 - B3 A3 -B3 =(A- B)(A2 + AB + B2 ) A3 +B3 =(A+B)(A2 - AB + B2 ) Lưu ý thêm đẳng thức : a. (A+B+C)2 = A2 +B2 +C2 +2AB +2BC +2CA). b. An -Bn =(A- B)(An-1 + An-2 B + .+Bn-1 ) c. 1-xn = (1-x)(1+x+x2 + . +xn-1 ) Các ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử: VD1: P= (a2 +4)2 16a2 2 P= (a +4) (4a) (A B ) 2 P = (a +4 4a) (a +4 + 4a) 2 = (a - 2) (a+ 2) VD2: Q = (x+y)2 + 2(x+y) +1 = (x+y + 1)2 VD3: R = a3 +6a2 +12a +8 = (a+2)3 3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử : Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp đa thức cần phân tích đa thức có nhân tử chung, chưa áp dụng đẳng thức, ta tiến hành theo bước sau : Bước 1: Phát nhân tử chung dùng đẳng thức đáng nhớ nhóm . Bước 2: Nhóm hạng tử để áp dụng phương pháp đẳng thức nhân tử chung cho nhóm . Bước 3: ặt nhân tử chung cho toàn đa thức . 4. Phương pháp tách hạng tử : a/ Trường hợp đa thức dạng : ax2 +bx+c (a,b,c Z ; a,b,c 0) *Nội dung : Kiểm tra : b2 - 4ac : Nếu b2 - 4ac < : a thức không phân tích Nếu b2 - 4ac = : a thức chuyển dạng bỡnh phương nhị thức Nếu b2 - 4ac > : ặt b2 - 4ac = k2 (k Q ), đa thức phân tích tập hợp Q . Khi b2 - 4ac k2 : đa thức phân tích đưược tập hợp R cách làm : Tỡm tích ac Xem tích a.c = b1.b2 mà b1 + b2 = b . Tách bx = b1x+ b2x ( Sau ú phân tích theo cách thông thường) Phân tích đa thức thành nhân tử : P = x2 - 6x + = x2 -2x - 4x+8 = x(x-2) - 4(x-2) = (x-2)(x-4) Q = 3x2 +5x+2 = 3x2 +3x+2x+2 =3x(x+1)+2(x+1) =(x + 1)(3x + 2) Trường hợp đa thức từ bậc trở lên *Nội dung: + Nhẩm nghiệm đa thức Nếu tổng hệ số hạng tử thỡ đa thức có nghiệm . Nếu tổng hệ số hạng tử bậc chẵn với hệ số đối hạng tử bậc lẻ thỡ đa thức có nghiệm -1 . + Lưu ý định lý : ô Nếu đa thức có nghiệm nguyên thỡ nghiệm nguyên phải ước hạng tử tự .Nếu đa thức có nghiệm hu tỷ p/q thỡ P ước hạng tử tự do, q ước dương hệ số hạng tử có bậc cao nhấtằ. Ví dụ Phân tích đa thức : x3 +3x2 - thành nhân tử Giải Cách : x3 +3x2 - = x3 x2 +4x2 -4 3 Cách 2: x +3x - = x +3x Cách 3: Tng h s 1+3-4 =0 Ta c: (x-1)(x2 + 4x +2) Phân tích đa thức thành nhân tử 2 VD1:P= -17x y-34x y +51xy 2 P= 17xy(-x -2xy +3y ) 2 P= 17xy(-x -xy +3xy+3y ) 2 P=17xy[(-x - xy) +(3xy +3y )] P=17xy[-x(x +y) +3y(x +y)] P=17xy(x +y)(-x +3y) 5. Phương pháp thêm bớt hạng tử * Nội dung : Phải thêm bớt hạng tử để đa thức chuyển dạng hiệu hai bỡnh phương , áp dụng phương pháp nhóm . *Các ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử P = x4 +4 = x4 +4+ 4x2 -4x2 = (x2 +2)2 - (2x)2 = (x2 +2-2x) ( x2 +2+2x) Q = x2 -6x+8 = x2 -6x+8+1-1 2 = (x-3) - = (x-3-1) (x-3+1) = (x-4)(x-2) 6. Phương pháp đặt ẩn phụ *Nội dung : Phát giống biểu thức đa thức phân tích để chọn đặt ẩn phụ thích hợp. * Ví dụ : Phân tích đa thức A thành nhân tử A = (x2 + x)2 +4x2 +4x-12 = (x2 + x)2 + (x2 + x )- 12 ặt x2+x = X ta có A = X2 + 4X -12 =X2 + 4X+4 -16 = (X +2)2 - 42 = (X+6)(X-2) Thay X = x2 + x vào ta có A = (x2 +x +6)(x2 +x - 2) = (x2 + x+6) (x-1) (x+2) Phần II : Các tập áp dụng Phương pháp tách hạng tử : Phân tích đa thức thành nhân tử : P = x -7xy+12y = x2 -3xy - 4xy +12y2 = x(x - 3y)- 4y(x - 3y) =(x - 3y)(x - 4y) Q = x3 - 3x + = x - - 3x + =(x-1)(x +x+1)- 3(x-1) = (x-1)(x2 + x-2) Phương pháp thêm bớt hạng tử : Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử Q = x4 + 64 2 = x +16x + 64 -16x 2 = (x + 8) -(4x) =(x2 +8- 4x)(x2 +8+4x) R=x +3x - R= x +3x - = x3 x2 +4x2 -4x+4x-4 =x (x-1)+4x(x-1)+4(x-1) = (x-1) ( x2+4x+4) = (x-1) (x+2)2 Phân tích đa thức P=(x2+x)2 +3(x2+x)+2 thành nhân tử. ặt x +x = y ta có P = y2 +3y +2 = y2 +y+2y+2 P = y(y+1)+2(y+1)=(y+1)(y+2) Thay y = x +x ta có P=(x2 +x+1)(x2 +x+2) Phân tích đa thức Q=x2+2xy+y2+3x+3y-10 thành nhân tử. Gii Q =(x+y)2 +3(x+y)-10 ặt x+y = t ta có Q = t2 +3t-10 = t2 -2t+5t-10 = t(t-2)+5(t-2) = (t-2) (t+5) Thay t = x+y ta : C. KT LUN Trên số kinh nghiệm bn thân qua thực tế ging dạy Toán 8. Tuy nhiên bao quát hết tất c nhng toán liên quan tới việc phân tích đa thức thành nhân tử phạm vi rộng Toán ại số THCS . Rất mong cộng tác đóng góp ý kiến quý thầy cụ để nõng cao chất lợng ging dạy giáo viên chất lượng học tập học sinh. Phát huy tối đa kh nng tư vốn có học sinh . [...]... x - 1 - 3x + 3 2 =(x-1)(x +x+1)- 3(x-1) = (x-1)(x2 + x-2) Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử : Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử Q = x4 + 64 4 2 2 = x +16x + 64 -16x 2 2 2 = (x + 8) -(4x) =(x2 +8- 4x)(x2 +8+ 4x) R=x +3x - 4 3 2 R= x +3x - 4 = x3 x2 +4x2 -4x+4x-4 2 =x (x-1)+4x(x-1)+4(x-1) = (x-1) ( x2+4x+4) = (x-1) (x+2)2 3 2 Phân tích đa thức P=(x2+x)2 +3(x2+x)+2 thành nhân tử ặt x +x = y ta... chuyển dạng hiệu hai bỡnh phương , hoặc áp dụng được phương pháp nhóm *Các ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử P = x4 +4 = x4 +4+ 4x2 -4x2 = (x2 +2)2 - (2x)2 = (x2 +2-2x) ( x2 +2+2x) Q = x2 -6x +8 = x2 -6x +8+ 1-1 2 2 = (x-3) - 1 = (x-3-1) (x-3+1) = (x-4)(x-2) 6 Phương pháp đặt ẩn phụ *Nội dung : Phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức phân tích để chọn và đặt ẩn phụ thích hợp * Ví... trong tập hợp R cách làm : Tỡm tích ac Xem tích a.c = b1.b2 nào mà b1 + b2 = b Tách bx = b1x+ b2x ( Sau ú phân tích theo cách thông thường) Phân tích đa thức thành nhân tử : P = x2 - 6x + 8 = x2 -2x - 4x +8 = x(x-2) - 4(x-2) = (x-2)(x-4) Q = 3x2 +5x+2 = 3x2 +3x+2x+2 =3x(x+1)+2(x+1) =(x + 1)(3x + 2) Trường hợp đa thức từ bậc 3 trở lên *Nội dung: + Nhẩm nghiệm của đa thức Nếu tổng hệ số của các... Gii Q =(x+y)2 +3(x+y)-10 ặt x+y = t ta có Q = t2 +3t-10 = t2 -2t+5t-10 = t(t-2)+5(t-2) = (t-2) (t+5) Thay t = x+y ta được : C KT LUN Trên đây là một số kinh nghiệm của bn thân qua thực tế ging dạy Toán 8 Tuy nhiên không thể bao quát hết được tất c nhng bài toán liên quan tới việc phân tích đa thức thành nhân tử trong các phạm vi rộng trong Toán ại số THCS Rất mong được sự cộng tác đóng góp ý kiến của . = (x+y + 1) 2 • VD3: R = a 3 +6a 2 +12a +8 = (a+2) 3 3%Ph¬ng ph¸p nhãm nhiÒu h¹ng tö  RG6S;GC@@$ 8  ;H6@$5  @!G"#$@6> T. ;T IF. ∈ ≠ ;@$> • P = x 2 - 6x + 8 = x 2 -2x - 4x +8 = x(x-2) - 4(x-2) = (x-2)(x-4) • Q = 3x 2 +5x+2 = 3x 2 +3x+2x+2 =3x(x+1)+2(x+1) . +4+ 4x 2 -4x 2 = (x 2 +2) 2 - (2x) 2 = (x 2 +2-2x) ( x 2 +2+2x) • Q = x 2 -6x +8 = x 2 -6x +8+ 1-1 = (x-3) 2 - 1 2 = (x-3-1) (x-3+1) = (x-4)(x-2) 6. Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô  *Néi