Đề luyện thi ĐH-CĐ MÔN TOÁN- KHỐI D– NĂM 2010 - 2011 (Thời gian làm 180 phút-không kể thời gian phát đề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH x−2 (C) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C). b) Chứng minh rằng: với giá trị m, đường thẳng d : y = − x + m cắt đồ thị (C) hai điểm A,B phân biệt. Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng AB. Câu II: (2 điểm) a)Giải bất phương trình: 2 x − x +1 −34.152 x − x + 252 x − x +1 > b)Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm : x+1 + y − = a x + y = 2a + Câu III: (2 điểm) π cos x + cos (π + x) = + sin x + 3cos( x + ) + sin x a) Giải phương trình: 3 Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y = b) Tính : ∫e x +1 dx Câu IV: (1 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho điểm I(1;5;0) hai đường thẳng x = t x y−2 z ∆1 : y = − t = ; ∆2 : = −3 −3 z = −1 + 2t Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm I cắt hai đường thẳng ∆1 ∆ Viết phương trình mặt phẳng( α ) qua điểm I , song song với ∆1 ∆ PHẦN RIÊNG: Thí sinh làm câu V.a V.b Câu V.a DÀNH CHO HỌC SINH HỌC THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN (3 điểm) 1)Trong không gian , cho hệ trục toạ độ Đề Các vuông góc Oxyz Tìm số điểm có toạ độ khác đôi một,biết toạ độ số tự nhiên nhỏ 10. Trên mặt phẳng toạ độ có điểm ? 2) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy đường cao, a. Tính khoảng cách hai đường thẳng SC AB 3) Giải phương trình: 3log2 x = x − Câu V.b: DÀNH CHO HỌC SINH HỌC THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO (3 điểm) 1) Chứng minh phương trình : x − x − = có nghiệm x2 y 2)Viết phương trình tiếp tuyến e líp (E): + = , biết tiếp tuyến qua điểmA(4;3) 16 3) Có số tự nhiên có chữ số khác đôi , chữ số đứng liền hai chữ số 3. ĐÁP ÁN PHẦN (7 điểm) Câu I điểm Nội dung kết a) (1điểm) D=R/ { 1} ' y = > , ∀x ∈ D ⇒ h/số đồng biến D cực trị ( x − 1) Các đường tiệm cận: T/c đứng x=1; T/c ngang: y =1 Tâm đối xứng I(1;1) BBT x -∞ y’ + + +∞ y 0,25 +∞ 0,25 -∞ Đồ thị Điểm y f(x)=(x-2)/(x-1) f(x)=1 x(t)=1 , y(t)=t 0,5 x -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 b) (1 điểm) * Phương trình hoành độ giao điểm d ∩(C ) là: x − mx + m − = (1) ; đ/k x ≠ ∆ = m2 − 4m + > Vì với ∀m ,nên p/t (1) có nghiệm phân biệt khác với ∀m .Suy f (1) = −1 ≠ d ∩(C ) hai điểm phân biệt với ∀m *Gọi giao điểm d ∩(C ) là: A( x A ; − x A + m ) ; B( xB ; − xB + m );với x A ; xB nghiệm p/t (1) AB = 2( xA − xB ) = [ ( x A + xB ) − xA .xB 2 = [ m − 4(m − 2) = [ ( m − 2) + ≥ 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy : AB = 2 , đạt m = Câu II điểm a) (1 điểm) 92 x − x +1 − 34.152 x − x + 252 x − x 2 52 x − x + 25.52(2 x − x ) > +1 > ⇔ 9.32(2 x − x ) − 34.32 x − x . 0,25 x−x ÷ ⇔ x − x 25 > ÷ 2(2 x − x ) 3 ⇔ 9. ÷ 5 x−x 3 − 34. ÷ 5 0,25 2 x − x2 > ⇔ ⇔ x ∈ (−∞;1 − 3) ∪ (0; 2) ∪ (1 + 3; +∞) x − x < −2 KL: Bpt có tập nghiệm T= (−∞;1 − 3) ∪ (0; 2) ∪ (1 + 3; +∞) x + + y − = a b)(1 điểm) đ/k x ≥ −1; y ≥ .Bất pt ⇔ 2 ( x + 1) + ( y − 1) = 2a + x +1 + y −1 = a ⇔ x + 1. y − = a − (2a + 1) ; Vậy x + y − nghiệm p/t: 0,5 0,25 T − aT + (a − 2a − 1) = 0* .Rõ ràng hệ có nghiệm p/t* có nghiệm không âm a − 2(a − 2a − 1) ≥ ∆ ≥ ⇔ S ≥ ⇔ a ≥ ⇔ 1+ ≤ a ≤ + P ≥ 1 ( a − 2a − 1) ≥ 2 0,25 Câu III điểm π 2 2cosx+ cos (π + x) = + sin x + 3cos(x+ )+ sin x 3 ⇔ 2cosx+ cos x = + sin x − 3s inx+ sin x 3 ⇔ 6cosx+cos x = + 6s inx.cosx-9sinx+sin x 0,5 a) (1 điểm) ⇔ 6cosx(1-sinx)-(2sin x − 9s inx+7) = ⇔ 6cosx(1-sinx)-2(s inx-1)(s inx- ) = − s inx=0 (1) π ⇔ (1-sinx)(6cosx-2sinx+7) = ⇔ ⇔ x = + k 2π ;(k ∈ Z ) 6cosx-2sinx+7=0(2) (p/t (2) vô nghiệm ) 0,25 0,25 0,5 b) (1 điểm) Tính: I= ∫ e x +1 dx Câu x = → t = 2 Đặt 3x + = t ; t ≥ → x + = t → dx = t.dt ; x = → t = 2 u = t → du = dt t Vậy I= ∫ te dt Đặt . 31 dv = et dt → v = et 2 t 2 t Ta có I = (te − ∫ e dt ) = e 3 Nội dung kết I(1;5;0) , Câu IV điểm x = t ∆1 : y = − t z = −1 + 2t ∆2 : 0,5 0,5 Điểm x y−2 z = = −3 −3 ∆1 có vtcp u1 (1; −1; 2) ;và ∆1 qua điểm M (0; 4; −1) ∆ có vtcp u2 (1; −3; −3) ; ∆ qua điểm M (0; 2;0) r uuuur ur • mp(P)chứa ∆1 điểm I có vtpt n = M 1I , u1 = (3; −1; −2) → p/t mp(P) : 3x –y - 2z + = ur Tương tự mp(Q) chứa ∆ điểm I có vtpt n ' (3;-1;2) → p/t mp(Q) : 3x - y + 2z + = *Vì đường thẳng d qua I , cắt ∆1 ∆ , nên d = (P) ∩ (Q) uur r ur → đường thẳng d có vtcp ud = n, n' = (1;3;0); d qua điểm I(1;5;0) 0,25 0,25 x = 1+ t Nên p/t tham số d y = + 3t z = uur ur uur *mp( α ) qua điểm I song song với ∆1 ∆ nên ( α ) có vtpt nα = u1 , u2 =(9;5;-2) → p/t ( α ) : 9x + 5y -2z – 34 = 0,5 CâuVa điểm 1)(1 điểm) Tập hợp số tự nhiên nhỏ 10 : { 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} *Số điểm có toạ độ khác đôi là: A10 = 720 (điểm) * Trên mặt phẳng toạ độ,mỗi điểm có toạ độ 0, hai toạ độ lại khác khác 0.Số điểm là: A9 = 72 (điểm) 2) * Xác định k/c(AB;SC) Vì AB//mp(SDC) → d(AB,SC) = d(AB,mp(SDC)) Lấy M,N trung điểm AB,DC;Gọi O = AC ∩ BD → mp(SMN) ⊥ mp(SDC) Hạ MH ⊥ SN , (H ∈ SN) → MH ⊥ mp(SDC) → MH = d(M;(SDC)) = d(AB;(SDC))= d(AB;SC) → * Tính MH: Hạ OI ⊥ SN MH = 2.OI 1 ON .OS2 = + → OI = ∆ SNO vuông có: OI ON OS2 ON + OS2 0,5 0,5 0,25 0,25 S 0,25 H a a I B M C O N A Với ON = ; OS = D a → 2a MH= 5 log x = x − * ; Đ/k x>0 . Đặt log x = t ⇒ x = 2t ta tính OI = 3) (1 điểm) t 0,5 0,5 t 3 1 p/t * ⇔ 3t = 4t − ⇔ ÷ + ÷ = 1. Nhận thấy p/t có nghiệm t = 1, c/m 4 4 nghiệm nhất. Vậy , ta : log x = ⇔ x = KL: p/t có nghiệm x = Câu Vb 1)(1 điểm) Đặt f ( x ) = x − x − ⇒ f ' ( x ) = 5( x − 1) = 5( x − 1)( x + 1)( x + 1) x = −1 điểm f '( x ) = ⇔ .Ta có bảng biến thiên h/s f(x): x = x -∞ -1 +∞ f’(x) + 0 + -1 +∞ f(x) -∞ -9 Nhìn vào bảng biến thiên,ta thấy : đường thẳng y=0 cắt đồ thị h/s f(x) điểm nhất. Vậy p/t cho có nghiệm xx y y 2) (1 điểm) Gọi toạ độ tiếp điểm ( x0 ; y0 ), PTTT (d) có dạng: + = * 16 x0 y0 → + = (1) Vì A(4;3) ∈ (d) 16 x0 y0 ∈ ( E ) Vì tiếp điểm ,nên + = (2) .Từ (1),(2) ta có 16 12 − 3x0 x0 = 4; y0 = y0 = → . Từ p/t * , ta thấy có tiếp tuyến (E) qua 9 x + 16 y = 144 x0 = 0; y0 = điểm A(4;3) : (d ) : x – = ; (d ) : 3)(1 điểm) TH1 : Số phải tìm chứa 123: Lấy chữ số ∈ { 0; 4;5;6;7;8;9} : có A7 cách 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 y–3=0 Cài 123 vào vị trí đầu,hoặc cuối,hoặc hai chữ số liền chữ số vừa lấy: có cách → có A74 = 5.840 = 4200 số gồm chữ số khác chứa 123 0,5 Trong số trên, có A6 = 4.120 = 480 số có chữ số đứng đầu → Có A7 - A6 = 3720 số phải tìm có mặt 123 TH : Số phải tìm có mặt 321 (lập luận tương tự) Có 3720 số gồm chữ số khác , có bặt 321 Kết luận: có 3720.2 = 7440 số gồm chữ số khác đôi một,trong chữ số đứng liền hai chữ số 0,5 Chú ý :- Nếu học sinh làm theo cách khác CŨNG cho điểm tối đa Gưi Ngày 9/4/2011 . điểm) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2( 2 ) 2 9 34.15 25 0 9.3 34.3 x x x x x x x x x x− + − − + − − − + > ⇔ − . 2 2 2 2 (2 ) 5 25 .5 0 x x x x− − + > 2 2 2 2 2 2 (2 ) 2 2 3 1 5 3 3 9. 34. 25 0 5 5 3 25 5. [ 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 4 . 2 4( 2) 2 ( 2) 4 8 A B A B A B AB x x x x x x m m m = − = + − = − − = − + ≥ Vậy : AB min 2 2= , đạt được khi m = 2 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 2 Câu II 2. = 3 720 số phải tìm trong đó có mặt bộ 123 2 TH : Số phải tìm có mặt bộ 321 (lập luận tương tự) Có 3 720 số gồm 7 chữ số khác nhau , có bặt 321 Kết luận: có 3 720 .2 = 7440 số gồm 7 chữ số khác