ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi : TOÁN Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ 10 I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH. (7 điểm) Câu I.(2 điểm) Cho hàm số y = x3 + mx + (1) 1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -3. 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh điểm nhất. Câu II. (2 điểm) x + y = 1. Giải hệ phương trình : x y + xy + y = π 2 2. Giải phương trình: sin ( x − ) = sin x − tan x . Câu III.(1 điểm) Tính tích phân I =∫ − x2 dx x Câu IV.(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = h vuông góc mặt phẳng (ABCD), M điểm thay đổi CD. Kẻ SH vuông góc BM. Xác định vị trí M để thể tích tứ diện S.ABH đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn đó. Câu V.(1 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x2 +1 − x = m II. PHẦN RIÊNG. (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần a họăc phần b) Câu VI a.(2 điểm) 1.Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x – 2y + = 0, d2 : 4x + 3y – = 0. Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I d1, tiếp xúc d2 có bán kính R = 2. x = −1 − 2t x y z 2.Cho hai đường thẳng d1: = = , d2: y = t mặt phẳng (P): x – y – z = 0. Tìm tọa 1 z = + t độ hai điểm M ∈ d , N ∈ d cho MN song song (P) MN = Câu VII a.(1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn : z +i =1 z −i Câu VI b.(2 điểm) 1. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x – 2y – = 0, đường chéo BD: x – 7y + 14 = đường chéo AC qua điểm M(2 ; 1). Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật. 2. Cho ba điểm O(0 ; ; 0), A(0 ; ; 4), B(2 ; ; 0) mp(P): 2x + 2y – z + = 0. Lập p.tr m.cầu (S) qua ba điểm O, A, B có khỏang cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) Câu VII b.(1điểm) Giải bất phương trình: log x < log x 3 . HƯỚNG DẪN GIẢI ĐẾ 10 Câu I. 1. (Tự giải) ( x ≠ 0) x 2 − 2x3 + 2 Xét f(x) = − x − ⇒ f ' ( x) = −2 x + = x x x2 Ta có x - ∞ +∞ 2. Pt : x3 + mx + = ⇒ m = − x − f’(x) + + - +∞ -3 ∞ ∞ -∞ Đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh điểm ⇔ m > −3 . Câu II. 3 3 (1) x + y = x + y = ⇔ 1. 3 2 x y + xy + y = 2 x + y − x y − xy = (2) 3 x + y = (3) y ≠ . Ta có: x x x (4) 2 − − 2 + = y y y f(x) Đặt : x = t (4) có dạng : 2t3 – t2 – 2t + = ⇔ t = ± , t = . y 3 x + y = 1 ⇔x=y=3 a) Nếu t = ta có hệ x = y x + y = ⇔ hệ vô nghiệm. b) Nếu t = -1 ta có hệ x = − y x + y = 23 ⇔x= , y= c) Nếu t = ta có hệ 3 y = 2x π π 2 2. Pt sin ( x − ) = sin x − tan x (cosx ≠ 0) ⇔ [1 − cos(2 x − )] cos x = sin x. cos x − sin x ⇔ (1 - sin2x)(cosx – sinx) = ⇔ sìn2x = tanx = 1. Câu III. 2 − x2 − x2 dx = ∫ xdx . I= ∫ x x2 1 Đặt t = − x ⇒ t = − x ⇒ tdt = − xdx t (−tdt ) = I= ∫ − t Câu IV. t2 t−2 dt = ∫ t2 − ∫ (1 + t − )dt = t + ln t + 3 − = - + ln + S h D A M H B C SH ⊥ BM SA ⊥ BM suy AH ⊥ BM h VSABH = SA. AH .BH = AH .BH . 6 VSABH lớn AH.BH lớn nhất. Ta có: AH + BH ≥ AH.BH ⇒ AH + BH ≥ AH .BH a2 AH = BH H tâm hình vuông , ⇒ a ≥ AH .BH , AH.BH lớn AH.BH = a2h M ≡ D . Khi VSABH = . 12 Câu V. x + − x = m D = [0 ; + ∞) 3 x − x (1 + ) 3 x x − ( x + 1) x x − = = *Đặt f(x) = x + − x ⇒ f ' ( x) = 3 x 24 ( x + 1) 24 ( x + 1) . x x (1 + ) . x x 1 − (1 + ) x < ∀x ∈ (0 ; + ∞) Suy ra: f’(x) = 24 (1 + ) . x x x2 +1 − x x2 +1− x2 lim ( x + − x ) = lim = lim =0 * x →+∞ 2 x → +∞ x → +∞ x +1 + x ( x + + x )( x + + x) * BBT x +∞ f’(x) f(x) Vậy: < m ≤ Câu VI a. x = −3 + 2t 1.d1: , I ∈ d1 ⇒ I ( −3 + t ; t ) y = t 27 , t= 11 11 2 21 27 (C1 ) : x − + y − = 11 11 d(I , d2) = ⇔ 11t − 17 = 10 ⇔ t = • t= 27 21 27 ⇒ I1 ; 11 11 11 19 7 − 19 ⇒ I2 ; (C ) : x + + y − = 11 11 11 11 11 x = t1 x = −1 − 2t , M ∈ d1 ⇒ M (t1 ; t1 ; 2t1 ), N ∈ d ⇒ N (−1 − 2t ; t ; + t ) 2. d1 : y = t1 , d : y = t z = 2t z = + t • t= MN = (−1 − 2t − t1 ; t − t1 ; + t − 2t1 ) → t1 = + 2t MN //( P ) t1 = + 2t MN . n = ⇔ ⇔ ⇔ Theo gt : 12 MN = 13t + 12t = MN = t = ; t = − 13 * t = ⇒ t1 = , M (1 ; ; 2) , N (−1 ; ; 1) − 12 11 11 11 22 11 12 11 ⇒ t1 = − , M − ;− ;− , N ; − ;− * t2 = 13 13 13 13 13 13 13 13 Câu VII a. z + i z + i z+i = ⇔ − 1 + 1 = z −i z − i z − i z+i z+i = ±1 ⇔ z = * −1 = ⇔ z −i z −i z + i z + i z+i z+i * +1 = ⇔ − i = ⇔ − i + i = ⇔ z = ±1 z −i z −i z − i z − i Câu VI b. 1.B(11; 5) AC: kx – y – 2k + = k+2 = ⇔ k − 8k + = ⇔ k = 1; k = cos CAB = cos DBA ⇔ k +1 • k = , AC : x – y – = • k = , AC : x – 7y + = // BD ( lọai) Ta tìm A(1 ; 0), C(6 ; 5), D(-4 ; 0) 2.(S): x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = có tâm I(-a ; -b ; -c) , R = a + b + c − d . O, A, B thuộc (S) ta có : d = , a = -1, c = -2 d(I, (P)) = ⇔ − 2b + = ⇔ b = 0, b = • b = , (S): x2 + y2 + z2 - 2x – 4z = • b = , (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 10y – 4z = Câu VII b. x > ĐK : x ≠ x ≠ < Bất phương trình trở thành : log x log x ⇔ 1 1 < ⇔ − ⇔ log x < ∨ log x > log x(log x − 1) * log x < ⇔ x < kết hợp ĐK : < x < * log x > ⇔ x > Vậy tập nghiệm BPT: x ∈ (0 ; 1) ∪ (3 ; + ∞) ⇔ . ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2 010 Môn thi : TOÁN Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ 10 I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH. (7 điểm) Câu. −++ 222 . O, A, B thu c (S) ta có : d = 0 , a = -1, c = -2 d(I, (P)) = 5,0552 3 5 ==⇔=+−⇔ bbb • b = 0 , (S): x 2 + y 2 + z 2 - 2x – 4z = 0 • b = 5 , (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 10y – 4z = 0 Câu. (P) bằng 3 5 . Câu VII b.(1điểm) Giải bất phương trình: 3log3log 3 xx < HƯỚNG DẪN GIẢI ĐẾ 10 Câu I. 1. (Tự giải) 2. Pt : x 3 + mx + 2 = 0 x xm 2 2 −−=⇒ ( x )0≠ Xét f(x) = 2 2 2 2)(' 2 x xxf x x