THI TH I HC, CAO NG NM 2010 Mụn thi : TON Thi gian 180 phỳt (khụng k thi gian giao ) I:PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) CõuI: Cho hm s y = x + 2mx + (m + 3)x + cú th l (Cm) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C1) ca hm s trờn m = 1. 2) Cho (d ) cú phng trỡnh y = x + v im K(1; 3). Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m cho (d) ct (Cm) ti ba im phõn bit A(0; 4), B, C cho tam giỏc KBC cú din tớch bng . Cõu II: 1) Gii phng trỡnh: cos x + = 2(2 - cos x )(sin x - cos x) x + + y( x + y) = y 2) Gii h phng trỡnh: ( x + 1)( x + y 2) = y CõuIII: 1) Tớnh tớch phõn I = sin x ì sin x + (x, y R ) dx 2) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s thc m cho phng trỡnh sau cú nghim thc: 2 91+ x (m + 2)31+ x + m + = Cõu IV: Cho hỡnh chúp S. ABC cú gúc ((SBC), (ACB)) = 60 0, ABC v SBC l cỏc tam giỏc u cnh a. Tớnh theo a khong cỏch t B n mt phng (SAC). II. PHN RIấNG (3.0 im) x2 + y = . Chứng minh (P) giao (E) điểm phân biệt nằm đờng tròn. Viết p.trình đờng tròn qua điểm đó. 2.Cho mặt cầu (S) có phơng trình x + y + z x + y z 11 = mặt phẳng ( ) có phơng trình 2x + 2y - z + 17 = 0. Viết phơng trình mặt phẳng ( ) song song với ( ) cắt (S) theo giao tuyến đờng tròn có chu vi 6. Câu V.a: 1. Cho parabol (P): y = x x elip (E): Câu VI.a Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn x + x 2 23 2 n +1 n 6560 biết n số nguyên dơng thỏa mãn: 2Cn + Cn + Cn + + Cn = n +1 n +1 k ( Cn số tổ hợp chập k n phần tử) n x y z = = . Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, song song vi d v khong cỏch t d ti (P) l ln nht. CõuVb: 1. Cho im A(10; 2; -1) v ng thng d cú phng trỡnh ; trng tõm G ca ABC thuc ng thng (d): 3x y = 0. Tỡm bỏn kớnh ng trũn ni tip ABC. 2. Cho im A(2;3), B(3;2), ABC cú din tớch bng CõuVIb: Tỡm cỏc s thc b, c phng trỡnh z2 + bz + c = nhn s phc z = + i lm mt nghim. HNG DN GII ( S 7) I:PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) CõuI.1.(Hc sinh t gii) 2)Phng trỡnh honh im chung ca (Cm) v d l: x = (1) x ( x + 2mx + m + 2) = g( x ) = x + 2mx + m + = (2) (d) ct (Cm) ti ba im phõn bit A(0; 4), B, C phng trỡnh (2) cú nghim phõn bit khỏc 0. / = m m > m m ( a) . m g(0) = m + x + 2mx + (m + 3) x + = x + Mt khỏc: d ( K , d ) = + = Do ú: SKBC = BC.d (K , d ) = BC = 16 BC = 256 ( xB xC ) + ( yB yC ) = 256 vi xB , xC l hai nghim ca phng trỡnh (2). ( xB xC )2 + (( x B + 4) ( xC + 4))2 = 256 2( x B xC )2 = 256 ( x B + xC )2 xB xC = 128 m 4(m + 2) = 128 m m 34 = m = 137 (tha K (a)). Vy m = 137 2 CõuII:1. Phng trỡnh (cosxsinx) - 4(cosxsinx) = x = + k cos x - sin x = -1 sin( x ) = sin( x ) = sin (k Z ) 4 x = + k cos x - sin x = 5(loai vi cos x - sin x 2) x +1 y + ( x + y 2) = x2 + ,v = x + y 2) Hệ phơng trình tơng đơng với Đặt u = y x + ( x + y 2) = y x2 + =1 Suy y . x + y = x > x > x > 0,50 x = x = x = x = log x = x = 1 3x=2 ln x ữ = x = x = 2 x > x > x > 0,50 iu kin: | x | | y | u = x y ; u t ; x = y khụng tha h nờn xột x y ta cú v = x + y u2 y = v ữ. v H phng trỡnh ó cho cú dng: u + v = 12 u2 u v v ữ = 12 1,00 0,25 u = u = hoc v = v = x y = u = + (I) v = x + y = u = x y = + (II) v = x + y = 0,25 Gii h (I), (II). Sau ú hp cỏc kt qu li, ta c nghim ca h phng trỡnh ban u l S = { ( 5;3) , ( 5; ) } Sau ú hp cỏc kt qu li, ta c nghim ca h phng trỡnh ban u l S = { ( 5;3) , ( 5; ) } III Din tớch phng gii hn bi: y =| x x | (C ) v ( d ) : y = x Phng trỡnh honh giao im ca (C) v (d): x x x = | x x |= x x x = x x x = x = x = x x = x x 2x = Suy din tớch cn tớnh: 0,25 0,25 1,00 0,25 S= ( x ) x x dx + ( x 0,25 ) x x dx Tớnh: I = ( | x x | x ) dx Vỡ x [ 0; 2] , x x nờn | x x |= x + x I = ( x + x x ) dx = 0,25 Tớnh K = ( | x x | x ) dx 2 Vỡ x [ 2; 4] , x x v x [ 4;6] , x x nờn 0,25 K = ( x x x ) dx + ( x x x ) dx = 16 . 1,00 52 Vy S = + 16 = 3 IV 0,25 Gi H, H l tõm ca cỏc tam giỏc u ABC, ABC. Gi I, I l trung im ca AB IC AB ( CHH ') ( ABB ' A ' ) ( CII ' C ' ) AB, AB. Ta cú: AB HH ' Suy hỡnh cu ni tip hỡnh chúp ct ny tip xỳc vi hai ỏy ti H, H v tip xỳc vi mt bờn (ABBA) ti im K II ' . 0,25 Gi x l cnh ỏy nh, theo gi thit 2x l cnh ỏy ln. Ta cú: x x I ' K = I ' H ' = I 'C ' = ; IK = IH = IC = 3 x x Tam giỏc IOI vuụng O nờn: I ' K .IK = OK . = r x = 6r Th tớch hỡnh chúp ct tớnh bi: V = ( h B + B '+ B.B ' 0,25 ) 4x x 3r Trong ú: B = = x = 6r 3; B ' = = ; h = 2r 4 T ú, ta cú: V = 2r 3r 3r 21r . 6r + ữ= + 6r 3. 2 ữ V 0,25 0,25 1,00 Ta cú: +/ 4sin3xsinx = ( cos2x - cos4x ) ; +/ 4cos 3x - ữcos x + ữ = cos 2x - ữ+ cos4x = ( sin 2x + cos4x ) 4 +/ cos 2x + ữ = + cos 4x + ữữ = ( sin 4x ) 2 Do ú phng trỡnh ó cho tng ng: 1 ( cos2x + sin2x ) + sin 4x + m - = (1) 2 t t = cos2x + sin2x = 2cos 2x - ữ (iu kin: t ). Khi ú sin 4x = 2sin2xcos2x = t . Phng trỡnh (1) tr thnh: t + 4t + 2m = (2) vi t (2) t + 4t = 2m õy l phung trỡnh honh giao im ca ng ( D) : y = 2m (l ng song song vi Ox v ct trc tung ti im cú tung 2m) v (P): y = t + 4t vi t . Trong on 2; , hm s y = t + 4t t giỏ tr nh nht l ti t = v t giỏ tr ln nht l + ti t = . Do ú yờu cu ca bi toỏn tha v ch 2m + 2 m 2 . VIa im C CD : x + y = C ( t ;1 t ) . t +1 t ; Suy trung im M ca AC l M ữ. 0,25 0,25 0,25 0,25 2,00 1,00 0,25 t +1 t + = t = C ( 7;8 ) im M BM : x + y + = ữ+ T A(1;2), k AK CD : x + y = ti I (im K BC ). Suy AK : ( x 1) ( y ) = x y + = . x + y = I ( 0;1) . Ta im I tha h: x y +1 = 0,25 0,25 Tam giỏc ACK cõn ti C nờn I l trung im ca AK ta ca K ( 1;0 ) . x +1 y = 4x + 3y + = ng thng BC i qua C, K nờn cú phng trỡnh: + Gi (P) l mt phng i qua ng thng , thỡ ( P ) //( D) hoc ( P ) ( D) . Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn (P). Ta luụn cú IH IA v IH AH . d ( ( D ) , ( P ) ) = d ( I , ( P ) ) = IH Mt khỏc H ( P ) Trong mt phng ( P ) , IH IA ; ú maxIH = IA H A . Lỳc ny (P) v trớ (P0) vuụng gúc vi IA ti A. r uu r r Vect phỏp tuyn ca (P0) l n = IA = ( 6;0; 3) , cựng phng vi v = ( 2;0; 1) . Phng trỡnh ca mt phng (P0) l: ( x ) 1. ( z + 1) = 2x - z - = . VIIa ý rng ( xy + 1) ( x + y ) = ( x ) ( y ) ; yz + y + z v tng t ta cng cú zx + z + x Vỡ vy ta cú: 1 x y z + + + + +1+1+1 ( x + y + z) ữ xy + yz + zx + yz + zx + xy + x y z + + +3 yz + zx+y xy + z z y vv = x ữ+ yz + zx + y xy + z z y x ữ+ z+ y y+z =5 0,25 1,00 uuur Ta cú: AB = ( 1; ) AB = . Phng trỡnh ca AB l: 2x + y = . I ( d ) : y = x I ( t ; t ) . I l 0,25 trung im ca AC v BD nờn ta cú: C ( 2t 1; 2t ) , D ( 2t ; 2t ) . Mt khỏc: S ABCD = AB.CH = (CH: chiu cao) CH = . 0,25 8 | 6t | t = C ; ữ, D ; ữ = Ngoi ra: d ( C ; AB ) = CH 5 t = C ( 1;0 ) , D ( 0; ) 8 Vy ta ca C v D l C ; ữ, D ; ữ hoc C ( 1;0 ) , D ( 0; ) 3 3 0,50 1,00 Gi P l chu vi ca tam giỏc MAB thỡ P = AB + AM + BM. Vỡ AB khụng i nờn P nh nht v ch AM + BM nh nht. x = + 2t ng thng cú phng trỡnh tham s: y = t . z = 2t im M nờn M ( + 2t ;1 t ; 2t ) . ( + 2t ) + ( t ) + ( 2t ) = 9t + 20 = BM = ( + 2t ) + ( t ) + ( + 2t ) = 9t 36t + 56 = AM + BM = ( 3t ) ( ) ( ) + ( 3t ) ( AM = + ( 3t ) ( 3t ) + ( + ) ) 0,25 ( + ) r r Trong mt phng ta Oxy, ta xột hai vect u = 3t ; v v = 3t + 6; . r | u |= Ta cú r | v |= ( 3t ) + ( 3t ) ( ) ( ) + r r r r r r Suy AM + BM =| u | + | v | v u + v = 6; | u + v |= 29 r r r r r r Mt khỏc, vi hai vect u , v ta luụn cú | u | + | v || u + v | ( ( ) 0,25 ) Nh vy AM + BM 29 r r ng thc xy v ch u , v cựng hng 3t = t =1 3t + M ( 1;0; ) v ( AM + BM ) = 29 . Vy M(1;0;2) thỡ minP = VIIb 1,00 ( 11 + 29 0,25 ) 0,25 a + b > c Vỡ a, b, c l ba cnh tam giỏc nờn: b + c > a . c + a > b a+b c+a = x, = y , a = z ( x, y , z > ) x + y > z , y + z > x, z + x > y . 2 V trỏi vit li: a+b a+c 2a VT = + + 3a + c 3a + b 2a + b + c x y z = + + y+ z z+ x x+ y 2z z > Ta cú: x + y > z z ( x + y + z ) < z ( x + y ) . x+ y+z x+ y x 2x y 2y < ; < . Tng t: y+z x+ y+z z+x x+ y+z 2( x + y + z) x y z + + < = 2. Do ú: y+z z+x x+ y x+ y+z b c + + + . ) 6 2 2 | 4 | 2K x x x dx= − − ∫ Vì [ ] 2 2;4 , 4 0x x x∀ ∈ − ≤ và [ ] 2 4 ;6 , 4 0x x x∀ ∈ − ≥ nên ( ) ( ) 4 6 2 2 2 4 4 2 4 2 16K x x x dx x x x dx= − − + − − = − ∫ ∫ . 0,25 Vậy 4 52 16 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 9 20 3 2 5 4 2 2 6 2 9 36 56 3 6 2 5 3 2 5 3 6 2 5 AM t t t t t BM t t t t t t AM BM t t = − + + − − + = + = + = − + + − − + −. theo giả thi t 2x là cạnh đáy lớn. Ta có: 1 3 1 3 ' ' ' ' ' ; 3 6 3 3 x x I K I H I C IK IH IC= = = = = = Tam giác IOI’ vuông ở O nên: 2 2 2 2 3 3 ' . . 6r 6 3 x x I