Nguyễn Đức Hùng 01999933338 01699934162 KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số y = x − 2mx + m x − m + có đồ thị (C). 1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2. Tìm m để đồ thị (C) tiếp xúc với trục hoành. Câu 2: (2 điểm) 1. Giải phương trình tgx + cot g x = 2(cos x − sin x ) cot gx − . x2 + y + x + y = 2. Giải hệ phương trình . x − y + x − y = Câu 3: (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x + y = . Tìm giá trị thực m cho đường thẳng x − y + m = có điểm mà từ kẻ hai tiếp tuyến với (C) cho góc hai tiếp tuyến 900 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z + = đường thẳng (d): x−3 = y −1 = z−2 . Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(1;0;-1) cắt đường thẳng −1 (d) điểm A, cắt mặt phẳng (P) điểm B cho M trung điểm AB. Câu 4: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân S; mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD); góc đường thẳng SD mặt phẳng (ABCD) 45 0. Gọi M, N, E trung điểm cạnh CD, SC AD. Gọi F hình chiếu E lên cạnh SD. Tính thể tích hình chóp S.ABCD chứng minh mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (CEF). Câu 5: (2 điểm) 1. Tính tích phân ∫ x x +1 2. Tính tổng: C2011.2 2010 dx + C2011.2 2008 + C2011.2 2006 2011 + . + C2011 Câu 6: (1 điểm) Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = . Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau P = xy + yz + zx + x + y + z ------------------------HẾT---------------------Chú ý: Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên:…………………………………………………SBD:………………………………… TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ Câu (2điểm) ý KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN Nội dung Điểm Với m=1 ta có y = x − x + x TXĐ: R x =1 y ' = 3x − x + > . y ' = ⇔ x = 0,25 Giới hạn: limy = ±∞ x →±∞ bảng biến thiên x -∞ y’ + y - 0,25 + +∞ 27 -∞ +∞ Hàm số đồng biến khoảng (−∞; );(1; +∞) Hàm số nghịch biến khoảng ( ;1) 0,25 ) ; điểm cực tiểu (1;0) 27 Điểm cực đại ( ; Đồ thị 2 ) 27 Điểm uốn I ( ; y O -5 x 0,25 -2 2 ) tâm đối xứng 27 2 Đồ thị hàm số y = x − 2mx + m x − m + tiếp xúc với trục hoành x − 2mx + m x − m + = ⇔ có nghiệm 3x − 4mx + m = Nhận xét: đồ thị nhận điểm I ( ; 0,25 x − 2mx + m x − m + = 0(1) ⇔ x = m 3 x = m 0,25 Với x = m vào (1) ta : m=1 0,25 Với 3x = m vào (1) ta : x3 − x3 + x3 − 3x + = ⇔ x3 − 3x + = x = −1 ⇒ m = −3 ⇔ x = ⇒ m = 2 Vậy m = 1; m= -3; m = 2 (2điểm) 0,25 sin x ≠ Điều kiện : cot gx ≠ tgx + cot g x ≠ 0,25 (cos x − sin x) sin x = tgx + cot g x cos x − sin x = sin x ⇔ sin x cos x ⇔ sin2x = sinx + cos x sin x Pt ⇔ ⇔ sinx(2cosx – ) = ⇔ 2cosx – = (vì sin2x ≠ 0) π (k ∈ Z ) ⇔ cosx = ⇔ x = ± + 2kπ π + 2kπ π với x = − + 2kπ với x = 0,25 ( k ∈ Z ) cotgx = (loại) ( k ∈ Z ) thỏa mãn điều kiện Vậy nghiệm phương trình : x = − 0,25 0,25 π + 2kπ (k ∈ Z ) x2 + y + x + y = x2 + y + x + y = ⇔ 2 x − y + 2x − y = x + 2x + − y − y − = x + y + x + y = 2(1) x + y + x + y = ⇔ ⇔ x = y +1 2 ( x + 1) − ( y + 2) = x = − y − 0,5 Với x = y+1 vào (1) ta : y + y = ⇔ 0,25 Với x = − y − vào (1) ta : y = −1 ⇒ x = − 2 y2 + y + = ⇔ y = −2 ⇒ x = − Vậy hệ có nghiệm (1;0) ; (-1;-2); (-2;-1) y = ⇒ x =1 y = −2 ⇒ x = −1 0,25 (2điểm) A M O B Gọi M(a;a+m) điểm thuộc đường thẳng d Goi A ,B hai tiếp điểm Vì tiếp tuyến kẻ từ M vuông góc với nên ∆ MAB vuông cân M Vì ∆MAB vuông cân M nên suy ∆MAO vuông cân A ta có: MO = OA2 + AM = 0,25 0,25 a + (a + m) = ⇔ 2a + 2am + m − = (1) Trên đường thẳng d tìm điểm M⇔ phương trình (1) có nghiệm ⇔∆’=0 ⇔ m = ±2. Vậy m =±2 thoả mãn đầu x =3+ k x − y −1 z − = = ⇔ y =1− k Phương trình tham số (d) −1 z = 2+ k Gọi A(3+2k;1-k;2+k) thuộc đường thẳng (d). Vì M trung điểm AB nên tọa độ B(-1-2k;-1+k;-4-k) Vì B thuộc mặt phăng (P) suy : −1 − k − + k − − k + = ⇔ k = −1 0,5 0,25 0,25 uuuu r Suy A(1;2;1) ⇒ AM (0; −2; −2) / /(0;1;1) x = Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y = k z = −1 + k 0,5 (1điểm) Gọi H hình chiếu S lên AB. Vì ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) mà ∆SAB cân S nên H trung điểm AB. Vì SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ 0,25 5 a ⇒ SH = DH = a = a Ta có DH = AD + AH = = SH .S ABCD Vậy VSABCD 0,25 Vì ∆CDE=∆DAH suy Mà SH ⊥ CE ⟹CE⊥(SDH) ⟹CE⊥SD mà EF⊥SD ⟹SD⊥(CEF) Mặt khác ta có SD//MN nên SD//(AMN) Suy (AMN)⊥(CEF) (2điểm) 0,25 0,25 Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ tdt = xdx x= 3⇒t =2 0,25 x= 8⇒t =3 ∫x = dx = ∫ x +1 t2 −1 dt = 13 1 ∫ ( − ) dt 2 t −1 t +1 0,25 t −1 3 ln | = ln t +1 2 C2011.2 2010 + C2011.2 0,5 2008 + C2011.2 2006 2011 + . + C2011 Ta có 2011 2010 2009 2011 2011 2011 C2011.2 + C2011.2 + C2011.2 + . + C2011 = (1 + 2) =3 2011 2010 2009 2011 2011 C2011.2 − C2011.2 + C2011.2 − . − C2011 = (2 − 1) =1 2011 −1 Vậy C .2 2010 + C .2 2008 + C .2 2006 + . + C 2011 = 2011 2011 2011 2011 (1điểm) Ta có: x + y + z ≥ 3 xyz ⇒ xyz ≤ Ta có xy + yz + zx + 3 + + ≥ 33 x2 y z + x y z xyz 1 + 33 ≥9 Mà 3 x y z + 3 xyz xyz Và 3 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 2 ≥3 xyz 3 + + ≥ 33 x2 y z + ≥ 12 x y z xyz Vậy Pmin =12 x=y=z=1 Suy P = xy + yz + zx + Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án cho điểm tối đa 0,25 0,25 . có 1 20 20 11 20 10 20 09 20 11 20 11 20 11 20 11 20 11 20 11 20 11 .2 .2 .2 (1 2) 3C C C C =+ + + + = + 1 20 20 11 20 10 20 09 20 11 20 11 1 20 11 20 11 20 11 20 11 .2 .2 .2 (2 1)C C C C =− −+ − = − Vậy 1 3 5 20 11 20 10. = 0 ,25 3 2 2 8 3 2 3 2 1 1 1 1 1 ( ) 2 1 1 1 1 dx dt dt t t x x t = − ∫ − + + = − ∫ ∫ 0 ,25 3 2 1 1 ln 2 1 1 3 | ln 2 2 t t − = + = 0,5 2 1 3 520 10 20 08 20 06 20 11 20 11 20 11 20 11 20 11 .2 .2 .2 C. là : x = ) (2 4 Zkk ∈+− π π 0 ,25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 1 4 4 0 x y x y x y x y x y x y x x y y ⇔ + + + = + + + = − + − = + + − − − = 2 2 2 2 2 2 2( 1) 2 1 ( 1) ( 2) 0 3 x y