Đề thi và đáp án thi thử ĐH lần II 2011

Trờng thpt nam phù cừ Tổ toán tin ******** đề thi thử đại học lần II năm 2011 Môn thi : Toán (Thời gian làm bài: 180 phút) Phần chung cho tất thí sinh (7,0 điểm): Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số x4 y= 3x + 2 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số. 2/ Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ xM = a. Viết phơng trình tiếp tuyến (C) M, với giá trị a tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm phân biệt khác M. Câu II (2,0 điểm) 1/ Giải phơng trình: sin x + sin ( x + ) + cos x + cos ( x + ) = sin 4 x . 4 2/ Tìm tất số thực x thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: a) ( x x) x x (1) b) (6 27) x + 8.(6 + 27) x = 3x+ Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: (2) (1 + cosx)1+ sinx ln + sinx dx I= Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a, AA = AB = AC mặt phẳng (AAB) vuông góc với mp(AAC). Tính VABC . A ' B 'C ' . Câu V (1,0 điểm) Cho p, q số tự nhiên lớn x 0; . Tìm giá trị lớn biểu thức: T = cos p x.sin q x Phần riêng ( 3,0 điểm): Thí sinh đợc làm hai phần (phần A B) A/ Theo chơng trình Chuẩn. Câu VI.a (3,0 điểm) 1/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(1;2), đờng chéo BD có phơng trình: x + y + = . Điểm M nằm đờng thẳng AD cho M D nằm hai phía so với A AM = AC. Đờng thẳng MC có phơng trình: x + y = . Tìm toạ độ đỉnh lại hình bình hành ABCD. 2/ Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) mặt cầu (S) có phơng trình: x + y + z + x y + z = . Viết phơng trình mp(P) qua hai điểm A, B (P) cắt (S) theo đờng tròn có bán kính 1. 3/ Trong số phức z thoả mãn điều kiện: z + + 2i = , tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. B/ Theo chơng trình Nâng cao. Câu VI.b (3,0 điểm) 1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đờng tròn (C): ( x 1) + ( y 2) = . Tìm đờng thẳng : x + y = điểm M cho từ M kẻ đợc tới (C) hai tiếp tuyến tạo với góc 600. x = t (t R ) 2/ Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) đờng thẳng (d): y = + t z = 2t Viết phơng trình đờng thẳng qua A cắt đờng thẳng (d) cho khoảng cách từ B đến lớn nhất. 3/ Tìm môđun số phức: z = + 2i (1 i ) . 1+ i Câu Câu I (2,0đ) Hãy làm theo cách bạn --------------Hết-----------Biểu điểm đáp án môn toán Nội dung 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số. ( 1,0đ) 1) Tp xỏc nh D=R 2) Sự biến thiên a) Chiều biến thiên Ta có y ' = x3 x = x x , y ' = x = 0, x = ( ) Điểm 0,25 Trên khoảng (; 3) (0; 3) , y ' < nên hàm số nghịch biến Trên khoảng ( 3; 0) ( 3; +) , y ' > nên hàm số đồng biến b) Cực trị Tại x = , hàm số đạt CĐ: yCD = y (0) = 0,25 Tại x = , hàm số đạt CT: yCT = y ( 3) = y = +; lim y = + c) Giới hạn: : xlim x + d) Bảng biến thiên: x y y - 0,25 0 + + + - -2 + + -2 3) Đồ thị * Điểm uốn Ta có y '' = x 0,25 y '' = x = Do y đổi dấu x qua nên đồ thị có hai điểm uốn U1(-1;0) U2(1;0) * Đồ thị qua điểm (2; ), ( 3; 2), (0; ), ( 3; 2), (2; ) 2 * Nhận xét: Đồ thị nhận oy làm trục đối xứng Đồ thị cắt oy C (0; ) 2/ . Viết phơng trình tiếp tuyến (C) M, với giá trị a tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm phân biệt khác M. (1,0đ) + Viết phơng trình tiếp tuyến (C) M Vì M (C ) M (a; a 3a + ) 2 Ta có: y ' = x x y '(a ) = 2a 6a 4 Vậy tiếp tuyến (C) M (a; a 3a + ) có PT: y = (2a 6a )( x a ) + a 3a + 2 2 + Tìm a để tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm phân biệt khác M. Hoành độ giao điểm tiếp tuyến (C) nghiệm phơng trình: x4 a4 3x + = (2a 6a )( x a ) + 3a + ( x a ) ( x + 2ax + 3a 6) = 2 2 x = a 2 g ( x) = x + 2ax + 3a = Yêu cầu toán đợc thoả mãn khi: g(x) = có nghiệm phân biệt khác a ' g ( x ) = a (3a 6) > a < a < a a g (a) = 6a Câu II (2,0đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy giá trị a cần tìm là: a ( 3; 3) \ { 1} 1/ Giải phơng trình: sin x + sin ( x + ) + cos x + cos ( x + ) = sin 4 x (*) (1,0đ) 4 Ta có PT(*) sin4x + cos4x + sin4 (x+ ) + cos4 (x+ ) = sin x 4 2 0,25 ).cos2(x+ ) = sin x 4 2 1- sin 2x +1 - sin (2x + ) = sin x 2 2 - sin 2x - cos22x = sin x 2 3 sin44x = 2 sin 4x = cos 4x = 4x = + k x = + k với k Z Vậy PT có nghiệm là: x = + k với k Z 2/ Tìm tất số thực x thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: (1,0đ) a) ( x x) x x (1) b) (6 27) x + 8.(6 + 27) x = 3x+ (2) 2sin2x cos2x + 2sin2(x+ a) Giải bất pt: ( x x) x x 0,25 0,25 0,25 (1) x 3x = Ta có (1) x x > ( x x) 0,25 0,25 T1 = ; { 2} [ 3; + ) b) Giải pt: (6 27) x + 8.(6 + 27) x = 3x+ (2) Ta có (2) (6 27) x + 8.(6 + 27) x = 9.3x x x 27 + 27 + 8. ữ ữ ữ ữ =9 3 27 + 27 Vì nên đặt ữ ữ ữ. ữ= 3 t = PT trở thành: 8t 9t + = t = Với t = x = x + 27 ữ ữ = t, t>0 0,25 (t / m) Với t= (t / m) 1 x = log 6+ 27 8 T2 = 0, log 6+ 27 0,25 Vậy số thực thoả mãn đồng thời hai điều kiện là: x = log + 27 *Lu ý: điều kiện (1) thiếu TH: x 3x = bị nghiệm x = 2. A g ( x) = Nghĩa bất PT: f ( x). g ( x) o g ( x ) > f ( x ) Câu III (1,0đ) Tính tích phân: I= (1 + cosx )1+sin x ln + sin x dx ( 1,0đ) 0,25 Ta có I = ln(1 + cos x)dx + sin x ln(1 + cos x)dx ln(1 + sin x)dx (I)1 Chứng minh: I1 = I3 Đặt: x = ( I2) (I3) t dx = dt Đổi cận x = t = x = t = 0,25 I1 = ln(1 + sin t ) dt = ln(1 + sin x)dx . Suy I1 - I3 = Tính: I = sin x ln(1 + cos x)dx Đặt: t = + cos x dt = sin xdx : Đổi cận u = ln t Khi đó: I = ln tdt Đặt: dv = dt du = dt t v = t x = t = x = t = 0,25 0,25 I = t ln t 12 dt = (t ln t t ) 12 = ln Vậy: I = 2ln Câu IV C A (1,0đ) B I A C M B Gọi M trung điểm BC O trọng tâm tam giác ABC Vì AA = AB = AC nên A ' O ( ABC ) AO BC AA ' BC 0,25 0,25 Gọi I hình chiếu B AA . AA ' ( BIC ) BIC = 900 IM = BC a = 2 0,5 Tacó: AA ' ( BIC ) AA ' IM A ' AO MAI MI = AM . A ' O = a A ' O AA ' Vậy VABC . A ' B 'C ' = S ABC . A ' O = a Câu V (1,0đ) a a3 . . = Kết luận Cho p, q số tự nhiên lớn x 0; . Tìm GTLN biểu thức: T = cos p x.sin q x Vì T x 0; , nên T đạt GTLN T = (cos x) p .( sin x) q lớn Xét hàm số: y = (cos x) p .( sin x ) q với x 0; . Đặt t = cos x , xét hàm số: p q f (t ) = t (1 t ) với t [ 0;1] Ta có f '(t ) = t p (1 t ) q [ p ( p + q ).t ] f '(t ) = t = Bảng biến thiên: t f(t) p p+q + (3,0đ) - [ 0;1] Câu VIa 0,25 Nhìn vào BBT ta thấy max f (t ) = ( Từ 0,25 p t = t = p+q f(t) 0,25 max y = ( [ 0;1] p p q q p ) ( ) t= p+q p+q p+q p p q q ) ( ) p+q p+q x = arc tan q p Kết luận . * Chú ý: Có thể làm theo cách khác (Sử dụng bất đẳng thức Côsi) 1) Tìm toạ độ đỉnh hình bình hành ABCD (1,0đ) t +1 t Vì C MC C (t ;1 t ) . Giả sử AC BD = I I ( ; ) 2 Do I BD . t = C (7;8), I (3;5) Vì AMC = ACM = MCB MC phân giác ACB tam giác ABC Từ A kẻ AA1 MC ( A1 BC ). G / s AA1 MC = J . J (0;1) A1 (1;0) PT BC: x + y + = 0,25 0,25 0,25 0,25 13 Ta có B = BC BD . B ( ; 2) D( ;12) 0,25 2 13 Vậy B ( ; 2) , C (7;8) , D( ;12) 2 2) Viết ptmp(P) qua A, B (P) cắt (S) theo đờng tròn có bán kính 1. (1,0đ) Mặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) bán kính R = r Mặt phẳng (P) qua A(0; -2; -6) nhận maxf véctơ(t n) (a, b, c ), (a + b + c 0) làm véctto pháp tuyến 0,25 có PT: ax + by + cz + 2b + 6c = Từ giả thiết: B (2;0; 2) ( P) . tìm đợc a, b, c suy PT mp(P) d ( I ;( P )) = Kết luận có hai mặt phẳng: (P1): x + y z = (P2): 7x 17y + 5z = 0,5 0,25 3/ Trong số phức z thoả mãn đ/k: z + + 2i = (*) tìm số phức z có môđun nhỏ (1,0đ) Gi z = x + yi , ( x, y R ) M(x ; y ) l im biu din s phc z. 0,25 z + + 2i = ( x + 1) + ( y + 2) = Ta có : ng trũn (C) : ( x + 1) + ( y + 2) = cú tõm (-1;-2) ng thng OI cú phng trỡnh y = 2x S phc z tha iu kin (*) v cú mụdun nh nht v ch im biu din nú thuc (C) v gn gc ta O nht, ú chớnh l mt hai giao im ca ng thng OI v (C) x = y = x Khi ú ta ca nú tha h 2 ( x + 1) + ( y + 2) = y = x = + , y = + 5 + i (2 + ) số phức thoả mãn yêu cầu toán. 5 1/ Tìm đờng thẳng (d): x + y = điểm M cho từ M kẻ đợc tới (C) hai tiếp tuyến tạo với góc 600. (1.0đ) Đờng tròn (C) có tâm I(1 ; 2) bán kính R = Vì M M (m; m + 9) Giả sử từ M kẻ đợc tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB với A, B tiếp điểm Xét hai trờng hợp : a) IMB = 300 0,5 0,25 Dễ dàng kiểm tra đợc z = + Câu VIb (3,0đ) Ta có : IM = IB =6 sin300 m = M (1;8), M (7; 2) Từ đẳng thức : IM = 2m 16m + 14 = m = b) IMB = 600 Trờng hợp giá trị m thoả mãn Kết luận : Vậy có hai điểm M (1;8), M (7; 2) thoả mãn yêu cầu toán. 3/ Viết phơng trình đờng thẳng qua A ( 1,0đ) Giả sử cắt d M nên M (1 t ; + t ; 2t ) Ta có d ( B, ) = 28t 152t + 208 3t 10t + 20 Xét hàm f (t ) = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 28t 152t + 208 16(11t 8t 60) f '( t ) = 3t 10t + 20 (3t 10t + 20) t = f '(t ) = 30 , t = 11 BBT . lim f (t ) = t 28 Từ BBT ta thấy maxf (t ) = 12 t = d ( B, ) max = 12 t = x y z Khi đờng thẳng có PT: = = 0,25 0,5 3/ Tìm môđun số phức: z = + 2i (1 i ) 1+ i Ta có : z = nên z = (1,0đ) + 2i (1 i )3 + 2i (1 3i + 3i i ) , i = 1, i = i = 1+ i 1+ i + 4i = + i 1+ i 2 0,5 0,5 Vậy z = ữ + ữ = 2 Kết luận z = 2 Chú ý : + Trên biểu điểm chấm đáp án vắn tắt, làm thí sinh phải trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết. + Nếu thí sinh làm theo cách khác nhng vẫn cho điểm theo quy định. + Điểm toàn làm tròn đến 0,25. . Trờng thpt nam phù cừ đề thi thử đại học lần II năm 2011 Tổ toán tin Môn thi : Toán ******** (Thời gian làm bài: 180 phút) Phần chung cho tất cả. Hết Biểu điểm và đáp án môn toán Câu Nội dung Điểm Câu I (2,0 đ ) 1/ Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số. ( 1,0 đ ) 1) Tp xỏc nh D=R 2) Sự biến thi n a) Chiều biến thi n Ta có (. (2) Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I = 1 2 0 (1 ) 1 sinx cosx ln dx sinx + + + Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, AA = AB = AC và mặt