Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP ƠN TẬP MƠN: TỐN *** GV; QUAN VĂN DỖN I Bµi tËp rót gän Bµi : 1) §¬n gi¶n biĨu thøc : P = 14 + + 14 − . x +2 x − x +1 − 2) Cho biĨu thøc : Q = ÷ ÷. x x + x +1 x −1 a) Rót gän biĨu thøc Q. b) T×m x ®Ĩ Q > - Q. c) T×m sè nguyªn x ®Ĩ Q cã gi¸ trÞ nguyªn. Híng dÉn : 1. P = 2. a) §KX§ : x > ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : Q = . x −1 b) Q > - Q ⇔ x > 1. c) x = { 2;3} th× Q ∈ Z II hµm sè bËc nhÊt VÝ dơ : 1) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4). 2) T×m to¹ ®é giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng trªn víi trơc tung vµ trơc hoµnh. Híng dÉn : 1) Gäi pt ®êng th¼ng cÇn t×m cã d¹ng : y = ax + b. 2 = a + b a = ⇔ Do ®êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4) ta cã hƯ pt : − = − a + b b = −1 VËy pt ®êng th¼ng cÇn t×m lµ y = 3x – 2) §å thÞ c¾t trơc tung t¹i ®iĨm cã tung ®é b»ng -1 ; §å thÞ c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng . III Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Çn HƯ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt Èn . A. kiÕn thøc cÇn nhí : 1. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt : ax + b = 0. Ph¬ng ph¸p gi¶i : −a + NÕu a ≠ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt : x = . b + NÕu a = vµ b ≠ ⇒ ph¬ng tr×nh v« nghiƯm. + NÕu a = vµ b = ⇒ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiƯm. ax + by = c 2. HƯ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn : a' x + b' y = c' Ph¬ng ph¸p gi¶i : Sư dơng mét c¸c c¸ch sau : +) Ph¬ng ph¸p thÕ : Tõ mét hai ph¬ng tr×nh rót mét Èn theo Èn , thÕ vµo ph¬ng tr×nh thø ta ®ỵc ph¬ng tr×nh bËc nhÊt Èn. +) Ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè : - Quy ®ång hƯ sè mét Èn nµo ®ã (lµm cho mét Èn nµo ®ã cđa hƯ cã hƯ sè b»ng hc ®èi nhau). Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 - Trõ hc céng vÕ víi vÕ ®Ĩ khư Èn ®ã. - Gi¶i mét Èn, suy Èn thø hai. B. VÝ dơ minh häa : VÝ dơ : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y : x x + =2 a) §S : §KX§ : x ≠ ; x ≠ - 2. S = { } . x -1 x + 2x - b) =2 x + x +1 Gi¶i : §KX§ : x + x + ≠ 0. (*) −3 2x - Khi ®ã : = ⇔ 2x = - ⇔ x = x + x +1 −3 −3 −3 Víi ⇔ x = thay vµo (* ) ta cã ( ) + +1≠0 2 −3 VËy x = lµ nghiƯm. VÝ dơ : Gi¶i vµ biƯn ln ph¬ng tr×nh theo m : (m – 2)x + m2 – = (1) + NÕu m ≠ th× (1) ⇔ x = - (m + 2). + NÕu m = th× (1) v« nghiƯm. -------------------------------------------------------------------Gi¶I bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Bµi (trang 23): Một ôtô xe đạp chuyển động từ đầu đoạn đường sau gặp nhau. Nếu chiều xuất phát điểm sau hai xe cách 28 km. Tính vận tốc xe. HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h. Bµi : (trang 24): Một ôtô từ A dự đònh đến B lúc 12 trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B lúc chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B lúc 11 trưa. Tính độ quảng đường AB thời diểm xuất phát A. Đáp số : AB = 350 km, xuất phát A lúc 4giờ sáng. Bµi : (trang 24): Hai vòi nước chảy vào cài bể nước cạn, sau đầy bể. Nếu lúc đầu mở vòi thứ nhất, sau mở vòi thứ hai sau bể . Nếu vòi thứ hai chảy bể. Đáp số : giờ. Bµi : (trang 24): Biết m gam kg nước giảm t0C tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi phải dùng lít 1000C lít 200C để hỗn hợp 10 lít 400C. Hường dãn : x + y = 10 x = 2,5 ⇔ Ta có hệ pt : 100x + 20y = 400 y = 7,5 Vậy cần 2,5 lít nước sôi 75 lít nước 200C. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------Híng dÉn : Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 x +1 a) §KX§ : x > ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : P = . 1− x b) Víi x = th× P = - – 2 . Bµi : Cho biĨu thøc : A = x x +1 x −1 − x −1 x +1 a) Rót gän biĨu thøc sau A. b) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A x = c) T×m x ®Ĩ A < 0. d) T×m x ®Ĩ A = A. Híng dÉn : x a) §KX§ : x ≥ 0, x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A = . x −1 b) Víi x = th× A = - 1. c) Víi ≤ x < th× A < 0. d) Víi x > th× A = A. + Bµi : Cho biĨu thøc : A = ÷ − ÷ a + a a −3 a) Rót gän biĨu thøc sau A. b) X¸c ®Þnh a ®Ĩ biĨu thøc A > . Híng dÉn : a) §KX§ : a > vµ a ≠ 9. BiĨu thøc rót gän : A = . a +3 b) Víi < a < th× biĨu thøc A > . x + x − x − 4x − x + 2003 − + Bµi : Cho biĨu thøc: A= . ÷. x2 − x x −1 x +1 1) T×m ®iỊu kiƯn ®èi víi x ®Ĩ biĨu thøc cã nghÜa. 2) Rót gän A. 3) Víi x ∈ Z ? ®Ĩ A ∈ Z ? Híng dÉn : ± a) §KX§ : x ≠ ; x ≠ 1. x + 2003 b) BiĨu thøc rót gän : A = víi x ≠ ; x ≠ ± 1. x c) x = - 2003 ; 2003 th× A ∈ Z . Bµi : Cho biĨu thøc: a) Rót gän A. b) T×m x ®Ĩ A < 0. ( ) x x −1 x x +1 x − x +1 − : A = . ÷ ÷ x − x − x x + x Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 c) T×m x nguyªn ®Ĩ A cã gi¸ trÞ nguyªn. Híng dÉn : x +1 a) §KX§ : x > ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A = . x −1 b) Víi < x < th× A < 0. c) x = { 4;9} th× A ∈ Z. Bµi : Cho biĨu thøc: x+2 x x −1 + + : ÷ A = ÷ x x −1 x + x +1 − x a) Rót gän biĨu thøc A. b) Chøng minh r»ng: < A < 2. Híng dÉn : a) §KX§ : x > ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A = x + x +1 b) Ta xÐt hai trêng hỵp : +) A > ⇔ > lu«n ®óng víi x > ; x ≠ (1) x + x +1 +) A < ⇔ < ⇔ 2( x + x + ) > ⇔ x + x > ®óng v× theo gt th× x > 0. (2) x + x +1 Tõ (1) vµ (2) suy < A < 2(®pcm). a +3 Bµi : Cho biĨu thøc: P = a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P víi a = 9. a −2 − a −1 a +2 + a −4 (a ≥ 0; a ≠ 4) 4−a a) §KX§ : a ≥ 0, a ≠ 4. BiĨu thøc rót gän : P = Híng dÉn : a −2 b) Ta thÊy a = ∈ §KX§ . Suy P = a + a a − a ÷ − ÷ Bµi : Cho biĨu thøc: N = + a + ÷ a − ÷ 1) Rót gän biĨu thøc N. 2) T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ N = -2004. Híng dÉn : a) §KX§ : a ≥ 0, a ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : N = – a . b) Ta thÊy a = - 2004 ∈ §KX§ . Suy N = 2005. Bµi 10 : Cho biĨu thøc P = x x + 26 x − 19 x − + x+2 x −3 x −1 x −3 x +3 a. Rót gän P. b. TÝnh gi¸ trÞ cđa P x = − c. Víi gi¸ trÞ nµo cđa x th× P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. Híng dÉn : x + 16 a ) §KX§ : x ≥ 0, x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : P = x +3 Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 103 + 3 b) Ta thÊy x = − ∈ §KX§ . Suy P = 22 c) Pmin=4 x=4. x + Bµi 11 : Cho biĨu thøc P = x +3 a. Rót gän P. x x +3 − b. T×m x ®Ĩ P < − 3x + x − : − 1 x − x − c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa P. Híng dÉn : −3 a. ) §KX§ : x ≥ 0, x ≠ 9. BiĨu thøc rót gän : P = x +3 b. Víi ≤ x < th× P < − c. Pmin= -1 x = Bµi tËp vỊ hµm sè bËc nhÊt Bµi : 1) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4). 2) T×m to¹ ®é giao ®iĨm cđa ®êng th¼ng trªn víi trơc tung vµ trơc hoµnh. Híng dÉn : 1) Gäi pt ®êng th¼ng cÇn t×m cã d¹ng : y = ax + b. 2 = a + b a = ⇔ Do ®êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4) ta cã hƯ pt : − = − a + b b = −1 VËy pt ®êng th¼ng cÇn t×m lµ y = 3x – 2) §å thÞ c¾t trơc tung t¹i ®iĨm cã tung ®é b»ng -1 ; §å thÞ c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng Bµi : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3. 1) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ hµm sè lu«n nghÞch biÕn. 2) T×m m ®Ĩ ®å thÞ cđa hµm sè c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng 3. 3) T×m m ®Ĩ ®å thÞ cđa hµm sè trªn vµ c¸c ®å thÞ cđa c¸c hµm sè y = -x + ; y = 2x – ®ång quy. Híng dÉn : 1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + ⇔ m – < ⇔ m < 2. 2) Do ®å thÞ cđa hµm sè c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é b»ng 3. Suy : x= ; y = Thay x= ; y = vµo hµm sè y = (m – 2)x + m + 3, ta ®ỵc m = . y = −x + 3) Giao ®iĨm cđa hai ®å thÞ y = -x + ; y = 2x – lµ nghiƯm cđa hƯ pt : y = 2x − ⇔ (x;y) = (1;1). §Ĩ ®å thÞ y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + vµ y = 2x – ®ång quy cÇn : (x;y) = (1;1) lµ nghiƯm cđa pt : y = (m – 2)x + m + 3. −1 Víi (x;y) = (1;1) ⇒ m = . Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 B µi : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3. 1) T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ®å thÞ cđa hµm sè song song víi ®å thÞ hµm sè y = -2x + 1. 2) T×m gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ®å thÞ cđa hµm sè ®i qua ®iĨm (1 ; -4). 3) T×m ®iĨm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cđa hµm sè lu«n ®i qua víi mäi m. Híng dÉn : 1) §Ĩ hai ®å thÞ cđa hµm sè song song víi cÇn : m – = - ⇔ m = -1. VËy víi m = -1 ®å thÞ cđa hµm sè song song víi ®å thÞ hµm sè y = -2x + 1. 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vµo pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta ®ỵc : m = -3. VËy víi m = -3 th× ®å thÞ cđa hµm sè ®i qua ®iĨm (1 ; -4). 3) Gäi ®iĨm cè ®Þnh mµ ®å thÞ lu«n ®i qua lµ M(x0 ;y0). Ta cã x0 = y0 = (m – 1)x0 + m + ⇔ (x0 – 1)m - x0 - y0 + = ⇔ y0 = VËy víi mäi m th× ®å thÞ lu«n ®i qua ®iĨm cè ®Þnh (1;2). Bµi : Cho hai ®iĨm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB. 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa m ®Ĩ ®êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song víi ®êng th¼ng AB ®ång thêi ®i qua ®iĨm C(0 ; 2). 1) Gäi pt ®êng th¼ng AB cã d¹ng : y = ax + b. Híng dÉn : 1 = a + b a = −2 ⇔ Do ®êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm (1 ; 1) vµ (2 ;-1) ta cã hƯ pt : − = a + b b = VËy pt ®êng th¼ng cÇn t×m lµ y = - 2x + 3. 2) §Ĩ ®êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song víi ®êng th¼ng AB ®ång thêi ®i qua ®iĨm C(0 ; m − 3m = −2 ⇔ m = 2. 2) ta cÇn : m − 2m + = VËy m = th× ®êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song víi ®êng th¼ng AB ®ång thêi ®i qua ®iĨm C(0 ; 2) Bµi : Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 3. 1) T×m m ®Ĩ ®å thÞ cđa hµm sè ®i qua ®iĨm (2; 5) 2) Chøng minh r»ng ®å thÞ cđa hµm sè lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh víi mäi m. T×m ®iĨm cè ®Þnh Êy. 3) T×m m ®Ĩ ®å thÞ cđa hµm sè c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é x = − . Híng dÉn : 1) m = 2. 2) Gäi ®iĨm cè ®Þnh mµ ®å thÞ lu«n ®i qua lµ M(x0 ;y0). Ta cã −1 x = y0 = (2m – 1)x0 + m - ⇔ (2x0 + 1)m - x0 - y0 - = ⇔ − y = Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 −1 − VËy víi mäi m th× ®å thÞ lu«n ®i qua ®iĨm cè ®Þnh ( ; ). 2 Chđ ®Ị : Ph¬ng tr×nh – bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Çn HƯ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt Èn . A. kiÕn thøc cÇn nhí : 1. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt : ax + b = 0. Ph¬ng ph¸p gi¶i : + NÕu a ≠ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt : x = −a . b + NÕu a = vµ b ≠ ⇒ ph¬ng tr×nh v« nghiƯm. + NÕu a = vµ b = ⇒ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiƯm. ax + by = c 2. HƯ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn : a' x + b' y = c' Ph¬ng ph¸p gi¶i : Sư dơng mét c¸c c¸ch sau : +) Ph¬ng ph¸p thÕ : Tõ mét hai ph¬ng tr×nh rót mét Èn theo Èn , thÕ vµo ph¬ng tr×nh thø ta ®ỵc ph¬ng tr×nh bËc nhÊt Èn. +) Ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè : - Quy ®ång hƯ sè mét Èn nµo ®ã (lµm cho mét Èn nµo ®ã cđa hƯ cã hƯ sè b»ng hc ®èi nhau). - Trõ hc céng vÕ víi vÕ ®Ĩ khư Èn ®ã. - Gi¶i mét Èn, suy Èn thø hai. B. VÝ dơ minh häa : VÝ dơ : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y : x x + =2 a) §S : §KX§ : x ≠ ; x ≠ - 2. S = { } . x -1 x + 2x - b) =2 x + x +1 Gi¶i : §KX§ : x + x + ≠ 0. (*) −3 2x - Khi ®ã : = ⇔ 2x = - ⇔ x = x + x +1 −3 −3 −3 Víi ⇔ x = thay vµo (* ) ta cã ( ) + +1≠0 2 −3 VËy x = lµ nghiƯm. VÝ dơ : Gi¶i vµ biƯn ln ph¬ng tr×nh theo m : (m – 2)x + m2 – = (1) + NÕu m ≠ th× (1) ⇔ x = - (m + 2). + NÕu m = th× (1) v« nghiƯm. VÝ dơ : T×m m ∈ Z ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiƯm nguyªn . (2m – 3)x + 2m2 + m - = 0. Gi¶i : Ta cã : víi m ∈ Z th× 2m – ≠ , v©y ph¬ng tr×nh cã nghiƯm : x = - (m + 2) . 2m - ®Ĩ pt cã nghiƯm nguyªn th× 2m – . Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 Gi¶i ta ®ỵc m = 2, m = 1. VÝ dơ : T×m nghiƯm nguyªn d¬ng cđa ph¬ng tr×nh : 7x + 4y = 23. Gi¶i : 23 - 7x x −1 a) Ta cã : 7x + 4y = 23 ⇔ y = = – 2x + 4 ∈ ⇒ V× y Z x – 4. Gi¶i ta ®ỵc x = vµ y = . BÀI TẬP x - (m + 3)y = Bµi (trang 22): Cho hƯ ph¬ng tr×nh : (m lµ tham sè). (m - 2)x + 4y = m - a) Gi¶i hƯ m = -1. b) Gi¶i vµ biƯn ln pt theo m. x - m y = Bµi : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh : (m lµ tham sè). mx − 4y = m + a) Gi¶i hƯ m = -1. b) Tìm giá trò nguyên m để hệ có hai nghiệm nguyên. c) Xác đònh hệ có nghiệm x > 0, y > 0. Bµi 10 (trang 23): Một ôtô xe đạp chuyển động từ đầu đoạn đường sau gặp nhau. Nếu chiều xuất phát điểm sau hai xe cách 28 km. Tính vận tốc xe. HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h. Bµi 11 : (trang 24): Một ôtô từ A dự đònh đến B lúc 12 trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B lúc chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B lúc 11 trưa. Tính độ quảng đường AB thời diểm xuất phát A. Đáp số : AB = 350 km, xuất phát A lúc 4giờ sáng. Bµi 12 : (trang 24): Hai vòi nước chảy vào cài bể nước cạn, sau đầy bể. Nếu lúc đầu mở vòi thứ nhất, sau mở vòi thứ hai sau bể . Nếu vòi thứ hai chảy bể. Đáp số : giờ. Bµi 13 : (trang 24): Biết m gam kg nước giảm t 0C tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi phải dùng lít 1000C lít 200C để hỗn hợp 10 lít 400C. Hường dãn : x + y = 10 x = 2,5 ⇔ Ta có hệ pt : 100x + 20y = 400 y = 7,5 Vậy cần 2,5 lít nước sôi 75 lít nước 200C. Bµi 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dòch axít dung dòch có nồng độ 50%. Lại thêm 300g nước vào dung dòch dung dòch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít dung dòch ban đầu. Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y khối lượng dung dòch ban đầu. Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 ( x + 200) y + 200 .100% = 50% Theo ta có hệ pt : ( x + 200) .100% = 40% y + 500 x = 400 ⇔ y = 1000 Vậy nồng độ phần trăm dung dòch axít ban đầu 40%. Ph¬ng tr×nh bËc hai ®Þnh lý viet vµ øng dơng A.Kiến thức cần ghi nhớ 1. Để biện luận có nghiệm phương trình : ax + bx + c = (1) a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét trường hợp a)Nếu a= ta tìm vài giá trị m ,thay giá trị vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nên : - Có nghiệm - vơ nghiệm - vơ số nghiệm b)Nếu a ≠ Lập biệt số ∆ = b2 – 4ac ∆ / = b/2 – ac * ∆ < ( ∆ / < ) phương trình (1) vơ nghiệm b * ∆ = ( ∆ / = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = 2a b/ (hoặc x1,2 = - ) a / * ∆ > ( ∆ > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt: −b− ∆ −b+ ∆ x1 = ; x2 = 2a 2a − b / − ∆/ − b / + ∆/ (hoặc x1 = ; x2 = ) a a 2. Định lý Viét. Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) b S = x + x2 = a c p = x1x2 = a Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p hai số nghiệm (nếu cã ) cđa ph¬ng tr×nh bËc 2: x2 – S x + p = 3.DÊu cđa nghiƯm sè cđa ph¬ng tr×nh bËc hai. Cho ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) . Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh .Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: x1 vµ x2 tr¸i dÊu( x1 < < x2 ) ⇔ p < ∆ ≥ Hai nghiƯm cïng d¬ng( x1 > vµ x2 > ) ⇔ p > S > Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 ∆ ≥ Hai nghiƯm cïng ©m (x1 < vµ x2 < 0) ⇔ p > S < ∆ > Mét nghiƯm b»ng vµ nghiƯm d¬ng( x2 > x1 = 0) ⇔ p = S > ∆ > Mét nghiƯm b»ng vµ nghiƯm ©m (x1 < x2 = 0) ⇔ p = S < 4.Vµi bµi to¸n øng dơng ®Þnh lý ViÐt a)TÝnh nhÈm nghiƯm. XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) c a • NÕu a + b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = , x2 = • NÕu a – b + c = th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = -1 , x2 = - • c a NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ ∆ ≥ th× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai biÕt hai nghiƯm x1 ,x2 cđa nã C¸ch lµm : - LËp tỉng S = x1 + x2 - LËp tÝch p = x1x2 - Ph¬ng tr×nh cÇn t×m lµ : x2 – S x + p = c)T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc cã nghƯm x1 , x2 tho¶ m·n ®iỊu kiƯn cho tríc.(C¸c ®iỊu kiƯn cho tríc thêng gỈp vµ c¸ch biÕn ®ỉi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 x + x2 S 1 + = *) = x1 x x1 x p x1 x x1 + x S2 − 2p + = *) = x x1 x1 x p *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 x1 + x − 2a 1 S − 2a + = = *) x1 − a x − a ( x1 − a )( x − a ) p − aS + a (Chó ý : c¸c gi¸ trÞ cđa tham sè rót tõ ®iỊu kiƯn cho tríc ph¶i tho¶ m·n ®iỊu kiƯn ∆ ≥ ) d)T×m ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc hai cã mét nghiƯm x = x1 cho tríc .T×m nghiƯm thø C¸ch gi¶i: • T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x= x1 cho tríc cã hai c¸ch lµm +) C¸ch 1:- LËp ®iỊu kiƯn ®Ĩ ph¬ng tr×nh bËc ®· cho cã nghiƯm: ∆ ≥ (hc ∆/ ≥ ) (*) - Thay x = x1 vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ,t×m ®ỵc gi¸ trÞ cđa 10 Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 tham sè - §èi chiÕu gi¸ trÞ võa t×m ®ỵc cđa tham sè víi ®iỊu kiƯn(*) ®Ĩ kÕt ln +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iỊu kiƯn ∆ ≥ (hc ∆/ ≥ ) mµ ta thay lu«n x = x1 vµo ph¬ng tr×nh ®· cho, t×m ®ỵc gi¸ trÞ cđa tham sè - Sau ®ã thay gi¸ trÞ t×m ®ỵc cđa tham sè vµo ph¬ng tr×nh vµ gi¶i ph¬ng tr×nh Chó ý : NÕu sau thay gi¸ trÞ cđa tham sè vµo ph¬ng tr×nh ®· cho mµ ph¬ng tr×nh bËc hai nµy cã ∆ < th× kÕt ln kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cđa tham sè ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x1 cho tríc. • §ª t×m nghiƯm thø ta cã c¸ch lµm +) C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cđa tham sè t×m ®ỵc vµo ph¬ng tr×nh råi gi¶i ph¬ng tr×nh (nh c¸ch tr×nh bÇy ë trªn) +) C¸ch :Thay gi¸ trÞ cđa tham sè t×m ®ỵc vµo c«ng thøc tỉng nghiƯm sÏ t×m ®ỵc nghiƯm thø +) C¸ch 3: thay gi¸ trÞ cđa tham sè t×m ®ỵc vµo c«ng thøc tÝch hai nghiƯm ,tõ ®ã t×m ®ỵc nghiƯm thø B . Bµi tËp ¸p dơng Bµi 1: Gi¶i vµ biƯn ln ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = Gi¶i. Ta cã ∆/ = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – + NÕu ∆/ > ⇔ m2 – > ⇔ m < - hc m > .Ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiƯm ph©n biƯt: x1 = m + - m − x2 = m + + m − + NÕu ∆/ = ⇔ m = ± - Víi m =3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm lµ x1.2 = - Víi m = -3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm lµ x1.2 = -2 + NÕu ∆/ < ⇔ -3 < m < th× ph¬ng tr×nh v« nghiƯm KÕt kn: • Víi m = th× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x = • Víi m = - th× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x = -2 • Víi m < - hc m > th× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm ph©n biƯt • x1 = m + - m − x2 = m + + Víi -3< m < th× ph¬ng tr×nh v« nghiƯm m2 − Bµi 2: Gi¶i vµ biƯn ln ph¬ng tr×nh: (m- 3) x2 – 2mx + m – = Híng dÉn • NÕu m – = ⇔ m = th× ph¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng ⇔ ≠ ≠ * NÕu m – m .Ph¬ng tr×nh ®· cho lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã biƯt sè ∆/ = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 - NÕu ∆/ = ⇔ 9m – 18 = ⇔ m = .ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp b/ x1 = x2 = =-2 = a 2−3 - NÕu ∆/ > ⇔ m >2 .Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt - 6x – = ⇔ x=- 11 Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 m±3 m−2 m−3 - NÕu ∆/ < ⇔ m < .Ph¬ng tr×nh v« nghiƯm KÕt ln: Víi m = ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x = Víi m = ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x1 = x2 = -2 x1,2 = Víi m > vµ m ≠ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x1,2 = Víi m < ph¬ng tr×nh v« nghiƯm m±3 m−2 m−3 Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt a) 2x2 + 2007x – 2009 = b) 17x2 + 221x + 204 = c) x2 + ( − )x - 15 = d) x2 –(3 - )x - = Gi¶i a) 2x + 2007x – 2009 = cã a + b + c = + 2007 +(-2009) = c − 2009 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = , x2 = = a b) 17x2 + 221x + 204 = cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = -1 , c 204 x2 = - = − = - 12 a 17 c) x2 + ( − )x - 15 = cã: ac = - 15 < . Do ®ã ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2 .¸p dơng hƯ thøc Viet ta cã : x1 + x2 = -( − ) = - + x1x2 = - 15 = (- ) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm lµ x1 = - , x2= (hc x1 = , x2 = - ) d ) x –(3 - )x - = cã : ac = - < Do ®ã ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2 .¸p dơng hƯ thøc ViÐt ,ta cã x + x = - x x = - = 3(-2 ) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x1 = , x2 = - Bµi : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸nh nhÈm nhanh nhÊt (m lµ tham sè) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = Híng dÉn : a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + = Suy : x1 = 12 Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 m +1 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*) * m- = ⇔ m = (*) trë thµnh – 4x – = ⇔ x = - x1 = −1 * m – ≠ ⇔ m ≠ (*) ⇔ x = 2m − m−3 Hc x2 = Bµi 5: Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghÞªm cđa ph¬ng tr×nh : x2 – 3x – = a) TÝnh: A = x12 + x22 B = x1 − x C= 1 + x1 − x − D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) 1 vµ x1 − x2 − Gi¶i ; Ph¬ng tr×nh b©c hai x – 3x – = cã tÝch ac = - < , suy ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2 . Theo hƯ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = x1 − x = S − p = 37 b) lËp ph¬ng tr×nh bËc cã c¸c nghiƯm lµ 1 ( x1 + x ) − S −2 + = =− = x1 − x − ( x1 − 1)( x − 1) p − S + 2 + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2 = 10x1x2 + (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - b)Ta cã : 1 + = − (theo c©u a) S= x1 − x − 1 = =− p= ( x1 − 1)( x − 1) p − S + 1 VËy vµ lµ nghiƯm cđa h¬ng tr×nh : x1 − x2 − 1 X2 – SX + p = ⇔ X2 + X - = ⇔ 9X2 + X - = 9 +C= Bµi : Cho ph¬ng tr×nh : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè) 1. Chøng minh ph¬ng tr×nh (1 ) lu«n cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi gi¸ trÞ cđa k 2. T×m nh÷ng gi¸ trÞ cđa k ®Ĩ ph¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm ph©n biƯt tr¸i dÊu 3. Gäi x1 , x2 lµ nghƯm cđa ph¬ng tr×nh (1) .T×m k ®Ĩ : x13 + x23 > Gi¶i. 13 Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 1. Ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã: ∆ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 - k+ ) 5 36 36 = 5(k2 – 2. k + + ) = 5(k - ) + > víi mäi gi¸ trÞ cđa k. VËy ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã 25 25 5 hai nghiƯm ph©n biƯt 2. Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt tr¸i dÊu ⇔ p < 1 ⇔ - k2 + k – < ⇔ - ( k2 – 2. k + + ) < 4 ⇔ -(k ) < lu«n ®óng víi mäi k.VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt tr¸i dÊu víi mäi k 3. Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) V× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm víi mäi k .Theo hƯ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k – x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7) 87 = (k – 1)[(2k - )2 + ] 16 87 Do ®ã x13 + x23 > ⇔ (k – 1)[(2k - )2 + ] >0 16 87 ⇔ k – > ( v× (2k - )2 + > víi mäi k) 16 ⇔k>1 VËy k > lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2( m + 1) x + m – = (1) (m lµ tham sè) 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -5 2. Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiƯm x1 , x2 ph©n biƯt víi mäi m 3. T×m m ®Ĩ x1 − x ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt (x1 , x2 lµ hao nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh (1) nãi phÇn 2.) Gi¶i 1. Víi m = - ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x + 8x – = vµ cã nghiƯm lµ x1 = , x2 = - 2. Cã ∆/ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m + 1 19 19 = m2 + 2.m. + + = (m + )2 + > víi mäi m 4 VËy ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2 3. V× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm víi mäi m ,theo hƯ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4) 19 = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ] 1 19 19 => x1 − x = (m + ) + = 19 m + = ⇔ m = ≥2 2 4 VËy x1 − x ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 19 m = 14 Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 Bµi : Cho ph¬ng tr×nh (m + 2) x + (1 – 2m)x + m – = (m lµ tham sè) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = 2) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiƯm víi mäi m 3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cđa m cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt vµ nghiƯm nµy gÊp ba lÇn nghiƯm kia. Gi¶i: 1) Thay m = vµo ph¬ng tr×nh ®· cho vµ thu gän ta ®ỵc 5x2 - 20 x + 15 = ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = , x2= 2) + NÕu: m + = => m = - ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh; 5x – = ⇔ x = + NÕu : m + ≠ => m ≠ - .Khi ®ã ph¬ng tr×nh ®· cho lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã biƯt sè : ∆ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > Do ®ã ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt 2m − + 2m + 2m − − 2(m − 3) m − = = = x2 = x1 = = 2(m + 2) 2(m + 2) 2( m + 2) m + 2m + Tãm l¹i ph¬ng tr×nh ®· cho lu«n cã nghiƯm víi mäi m 3)Theo c©u ta cã m ≠ - th× ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiƯm ph©n biƯt.§Ĩ nghiƯm nµy gÊp lÇn nghiƯm ta sÐt trêng hỵp m−3 Trêng hỵp : 3x1 = x2 ⇔ = gi¶i ta ®ỵc m = (®· gi¶i ë c©u 1) m+2 m−3 11 ⇔ m + = 3m – ⇔ m = Trêng hỵp 2: x1 = 3x2 ⇔ 1= 3. (tho¶ m·n ®iỊu kiƯn m ≠ - 2) m+2 11 KiĨm tra l¹i: Thay m = vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ta ®ỵc ph¬ng tr×nh : 15x2 – 20x + = ph¬ng tr×nh nµy cã hai nghiƯm x1 = , x2 = = (tho¶ m·n ®Çu bµi) 15 Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh : mx2 – 2(m-2)x + m – = (1) víi m lµ tham sè . 1. BiƯn ln theo m sù cã nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh (1) 2. T×m m ®Ĩ (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu. 3. T×m m ®Ĩ (1) cã mét nghiƯm b»ng 3. T×m nghiƯm thø hai. Gi¶i 1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = ⇔ x = / + NÕu m ≠ .LËp biƯt sè ∆ = (m – 2) – m(m-3) = m2- 4m + – m2 + 3m =-m+4 / ⇔ ⇔ < m + < m > : (1) v« nghiƯm ∆ / ∆ = ⇔ - m + = ⇔ m = : (1) cã nghiƯm kÐp b/ m − − x1 = x2 = - = = = a m 2 ∆/ > ⇔ - m + > ⇔ m < 4: (1) cã nghiƯm ph©n biƯt 15 Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 m−2− −m+4 m−2+ −m+4 x1 = ; x2 = m m VËy : m > : ph¬ng tr×nh (1) v« nghiƯm m = : ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiƯm kÐp x = ≠ m < : ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = m−2− −m+4 m ; x2 = m = : Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm ®¬n x = m−2+ −m+4 m c m−3 m < m < ⇔ ⇔ m − < m < m > m > m > Trêng hỵp kh«ng tho¶ m·n m < 2. (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ m < ⇔ 0 => x2 = VËy víi m = - th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiƯm x= *)§Ĩ t×m nghiƯm thø ,ta cã c¸ch lµm 16 9 .Sau ®ã thay m = 4 Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 C¸ch 1: Thay m = - vµo ph¬ng tr×nh ®· cho råi gi¶i ph¬ng tr×nh ®Ĩ t×m ®ỵc x2 = (Nh phÇn trªn ®· lµm) vµo c«ng thøc tÝnh tỉng nghiƯm: 2(− − 2) 2(m − 2) 34 = = x1 + x2 = −9 m 34 34 x2 = - x1 = -3= 9 C¸ch 2: Thay m = - vµo c«ng trøc tÝnh tÝch hai nghiƯm − −3 m−3 21 21 21 = = x1x2 = => x2 = : x1 = :3= m 9 9 − Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2kx + – 5k = (1) víi k lµ tham sè 1.T×m k ®Ĩ ph¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm kÐp 2. Tim k ®Ĩ ph¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n ®iỊu kiƯn : x12 + x22 = 10 Gi¶i. 1.Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm kÐp ⇔ ∆/ = ⇔ k2 – (2 – 5k) = C¸ch 3: Thay m = - ⇔ k2 + 5k – = ( cã ∆ = 25 + = 33 > ) − − 33 − + 33 k1 = ; k2 = 2 − − 33 − + 33 VËy cã gi¸ trÞ k1 = hc k2 = th× ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiƯm kÐp. 2 2.Cã c¸ch gi¶i. C¸ch 1: LËp ®iỊu kiƯn ®Ĩ ph¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm: ∆/ ≥ ⇔ k2 + 5k – ≥ (*) Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 b Víi ®iỊu kiƯn(*) , ¸p dơng hƯ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - = - 2k vµ x1x2 = – 5k a VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – = (Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = §Ĩ ®èi chiÕu víi ®iỊu kiƯn (*) ta thay lÇn lỵt k1 , k2 vµo ∆/ = k2 + 5k – + k1 = => ∆/ = + – = > ; tho¶ m·n 49 35 49 − 70 − 29 − −2= =− + k2 = => ∆/ = kh«ng tho¶ m·n 4 VËy k = lµ gi¸ trÞ cÇn t×m 17 Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 C¸ch : Kh«ng cÇn lËp ®iỊu kiƯn ∆ ≥ .C¸ch gi¶i lµ: Tõ ®iỊu kiƯn x12 + x22 = 10 ta t×m ®ỵc k1 = ; k2 = (c¸ch t×m nh trªn) Thay lÇn lỵt k1 , k2 vµo ph¬ng tr×nh (1) + Víi k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 = 39 + Víi k2 = (1) => x2- 7x + = (cã ∆ = 49 -78 = - 29 < ) .Ph¬ng tr×nh v« nghiƯm 2 VËy k = lµ gi¸ trÞ cÇn t×m / Bµi 10: Ph¬ng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 • XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1 • XÐt 2m-1≠0=> m≠ 1/2 ®ã ta cã ∆, = m2-2m+1= (m-1)2≥0 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0) m − m +1 víi m≠ 1/2 pt cßn cã nghiƯm x= = 2m − 2m − 1 pt cã nghiƯm kho¶ng (-1,0)=> -1< >0 => 2m − =>m R M n»m trªn ( O ; R ) hay M thc R) ( O ; OM = R M n»m ( O ; R ) OM < R * Cđa mét ®êng th¼ng víi mét ®êng trßn : 18 Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 xÐt ( O ; R ) vµ ®êng th¼ng a bÊt k× ( víi d lµ kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn ®êng th¼ng a ) vÞ trÝ t¬ng ®èi Sè ®iĨm chung HƯ thøc a c¾t ( O ; R ) dR * Cđa hai ®êng trßn : xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ ) vÞ trÝ t¬ng ®èi Sè ®iĨm chung HƯ thøc Hai ®êng trßn c¾t R – r < d < R- r Hai ®êng trßn tiÕp xóc : + tiÕp xóc ngoµi : d=R+r + tiÕp xóc : d=R–r Hai®êng trßn kh«ng giao : +hai ®êng trßn ë ngoµi : d>R+r +®êng trßn lín ®ùng ®êng trßn nhá : d < R -r . TiÕp tun cđa ®êng trßn : a. §Þnh nghÜa : ®êng th¼ng d ®ỵc gäi lµ tiÕp tun cđa mét ®êng trßn nÕu nã chØ cã mét ®iĨm chung víi ®êng ®ã . b, TÝnh chÊt : + TÝnh chÊt : NÕu mét ®êng th¼ng lµ mét tiÕp tun cđa mét ®êng trßn th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®I qua tiÕp ®iĨm . + TÝnh chÊt : NÕu hai tiÕp tun cđa mét ®êng trßn c¾t t¹i mét ®iĨm th× giao ®iĨm nµy c¸ch ®Ịu hai tiÕp ®iĨm vµ tia kỴ tõ giao ®iĨm ®ã qua t©m ®êng trßn lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc t¹o bëi hai tiÕp tun . c, C¸ch chøng minh : • C¸ch : chøng minh ®êng th¼ng ®ã cã mét ®iĨm chung víi ®êng trßn ®ã . • C¸ch : chøng minh ®êng th¼ng ®ã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh cđa ®êng trßn ®ã t¹i mét ®iĨm vµ ®iĨm ®ã thc ®êng trßn . . Quan hƯ gi÷a ®êng kÝnh vµ d©y cung : * §Þnh lÝ : §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y cung th× chia d©y cung Êy thµnh hai phÇn b»ng . 19 Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 * §Þnh lÝ : §êng kÝnh ®I qua trung ®iĨm cđa mét d©y cung kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y cung Êy. . Quan hƯ gi÷a d©y cung vµ kho¶ng c¸ch ®Õn t©m : * §Þnh lÝ : Trong mét ®êng trßn hai d©y cung b»ng vµ chØ chóng c¸ch ®Ịu t©m . * §Þnh lÝ : Trong hai d©y cung kh«ng b»ng cđa mét ®êng trßn, d©y cung lín h¬n vµ chØ nã gÇn t©m h¬n . II. Gãc ®êng trßn: 1, C¸c lo¹i gãc ®êng trßn: - Gãc ë t©m - Gãc néi tiÕp - Gãc cã ®Ønh ë bªn hay bªn ngoµi ®êng trßn - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tun vµ d©y cung 2, Mèi quan hƯ gi÷a cung vµ d©y cung: * §Þnh lÝ 1: §èi víi hai cung nhá mét ®êng trßn: a, Hai cung b»ng c¨ng hai d©y b»ng b, §¶o l¹i, hai d©y b»ng tr¬ng hai cung b»ng nhau. * §Þnh lÝ 2: §èi víi hai cung nhá mét ®êng trßn: a, Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n b, D©y lín h¬n tr¬ng cung lín h¬n. 3, Tø gi¸c néi tiÕp: a, §Þnh nghÜa: Tø gi¸c néi tiÕp mét ®êng trßn lµ tø gi¸c cã ®Ønh n»m trªn mét ®êng trßn . §¬ng trßn ®ã ®ỵc gäi lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c. b, C¸ch chøng minh : * C¸ch 1: chøng minh ®Ønh cđa tø gi¸c cïng thc mét ®êng trßn * C¸ch 2: chøng minh tø gi¸c cã tỉng hai gãc ®èi diƯn b»ng 1800 * C¸ch 3: chøng minh tø gi¸c cã hai ®Ønh kỊ nh×n c¹nh ®èi diƯn díi cïng mét gãc. II. Mét sè h×nh kh«ng gian: 1. H×nh l¨ng trơ: Sxq = P . h víi P: chu vi ®¸y V=B.h h : chiỊu cao 1. H×nh trơ: Sxq = P.h = 2πR.h víi R: b¸n kÝnh ®¸y V = B.h = πR2.h h: chiỊu cao. B: diƯn tÝch ®¸y 2. H×nh chãp: P.d = πR.l H×nh nãn: 1 V = B.h = πR .h 3 S xq = 20 Gi¸o ¸n «n thi vµo líp 10 S xq = V = P.d B.h víi d: ®êng cao mỈt bªn d: ®êng sinh; h: chiỊu cao. 2. H×nh chãp cơt: S xq = V = ( P + P').d ( 3. H×nh nãn cơt: ( P + P').d = π ( R + r ) d π .h V = B + B '+ B.B ' .h = R + r + R.r 3 S xq = ) B + B'+ B.B ' .h ( 4. H×nh cÇu: S = 4πR V = πR 3 21 ) ( ) [...]...Giáo án ôn thi vào lớp 10 tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc / 0 ) mà ta thay luôn x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số - Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải phơng trình Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà... = 0 -9x2 +34x 21 = 0 4 4 4 x1 = 3 / có = 289 189 = 100 > 0 => x2 = 7 9 9 Vậy với m = - thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3 4 *)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm 16 9 9 Sau đó thay m = 4 4 Giáo án ôn thi vào lớp 10 Cách 1: Thay m = - 9 7 vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x2 = (Nh phần trên đã 4 9 làm) 9 vào công thức tính tổng 2 nghiệm: 4 9 2( 2) 2(m 2) 34 4 = =... cần tìm 17 Giáo án ôn thi vào lớp 10 Cách 2 : Không cần lập điều kiện 0 Cách giải là: 7 Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = (cách tìm nh trên) 2 Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1) + Với k1 = 1 : (1) => x2 + 2x 3 = 0 có x1 = 1 , x2 = 3 7 39 + Với k2 = (1) => x2- 7x + = 0 (có = 49 -78 = - 29 < 0 ) Phơng trình vô nghiệm 2 2 Vậy k = 1 là giá trị cần tìm / Bài 10: Phơng trình: (... kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai phần bằng nhau 19 Giáo án ôn thi vào lớp 10 * Định lí 2 : Đờng kính đI qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với dây cung ấy 5 Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm : * Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm * Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng... Giáo án ôn thi vào lớp 10 1 Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có: = (k -1)2 4(- k2 + k 2) = 5k2 6k + 9 = 5(k2 - 6 9 k+ ) 5 5 3 9 36 3 36 = 5(k2 2 k + + ) = 5(k - ) + > 0 với mọi giá trị của k Vậy phơng trình (1) luôn có 5 25 25 5 5 hai nghiệm phân biệt 2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0 1 1 7 - k2 + k 2 < 0 - ( k2 2 k + + ) < 0 2 4 4 1 2 7 -(k ) < 0 luôn đúng với... < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm +) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình bầy ở trên) +) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2 +) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm... giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = 2 14 Giáo án ôn thi vào lớp 10 Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x + (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số) 9 1) Giải phơng trình khi m = 2 2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m 3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia Giải: 9 1) Thay m = vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc 2 5x2... Tìm nghiệm thứ hai Giải 3 1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x 3 = 0 x = 4 2 / + Nếu m 0 Lập biệt số = (m 2) m(m-3) = m2- 4m + 4 m2 + 3m =-m+4 / < 0 - m + 4 < 0 m > 4 : (1) vô nghiệm / = 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) có nghiệm kép b/ m 2 4 2 1 x1 = x2 = - = = = a m 2 2 / > 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt 15 Giáo án ôn thi vào lớp 10 m2 m+4 m2+ m+4 x1 = ; x2 = m m Vậy : m >... trớc một khoảng cách R > 0 không đổi gọi là đờng tròn tâm 0 bán kính R Kí hiệu : ( 0 ; R) 2, Vị trí tơng đối: * Của một điểm với một đờng tròn : xét (0 ; R ) và điểm M bất kì vị trí tơng đối Hệ thức M nằm ngoài ( O ; R ) OM > R M nằm trên ( O ; R ) hay M thuộc R) ( O ; OM = R M nằm trong ( O ; R ) OM < R * Của một đờng thẳng với một đờng tròn : 18 Giáo án ôn thi vào lớp 10 xét ( O ; R ) và đờng thẳng... Trờng hợp không thoả mãn m < 0 2 (1) có nghiệm trái dấu m < 3 0 . x = x 1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của 10 Giáo án ôn thi vào lớp 10 tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập. luôn đi qua là M(x 0 ;y 0 ). Ta có y 0 = (2m 1)x 0 + m - 3 (2x 0 + 1)m - x 0 - y 0 - 3 = 0 = = 2 5 2 1 0 0 y x 6 Giáo án ôn thi vào lớp 10 Vậy với mọi m thì đồ thị luôn. mãn Vậy k = 1 là giá trị cần tìm 17 Giáo án ôn thi vào lớp 10 Cách 2 : Không cần lập điều kiện / 0 .Cách giải là: Từ điều kiện x 1 2 + x 2 2 = 10 ta tìm đợc k 1 = 1 ; k 2 = - 2 7 (cách