PHÒNG GD – ĐT PHƯỚC LONG THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG HUYỆN MÔN : TOÁN Năm học : 2010 – 2011 ĐỀ ( đề xuất ) Học sinh làm giấy thi . Câu (4 đ ) : Chứng minh : tích hai số nguyên dương liên tiếp không số phương . Câu (4 đ ) : Tính + + . Câu (4 đ ) : Cho a , b , c , d số thực dương . Chứng minh : 1< a b c d + + + b+c+d c+d +a d +a +b a+b+c Câu ( đ ) : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau : xy - 2x -3y + = Câu (4đ) : Cho nửa đường (O, R) đường kính AB, bán kính OC vuông góc với AB. M điểm nửa đường tròn (O) ( M khác A , B ). Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) M cắt tia OC, cắt tiếp tuyến A cắt tiếp tuyến B nửa đường tròn (O) D, E H. Gọi F giao điểm AE BD. Chứng minh EA. EF= AB . PHÒNG GD – ĐT PHƯỚC LONG THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG HUYỆN MÔN : TOÁN Năm học : 2010 – 2011 ĐÁP ÁN Câu (4 đ ) : - Gọi hai số nguyên dương liên tiếp n , n + ( n ∈ N*) . - Khi : n(n + 1) = n2 + n . (0,5đ) - Ta có : n2 < n2 + n (Do n nguyên dương ) . (1đ) - Ta lại có : n2 + n < n2 + 2n + 1(Do n nguyên dương ) hay n2 + n < (n + 1)2 . (1đ) - Từ ta có : n2 < n2 + n < (n + 1)2 hay n2 < n(n + 1) < (n + 1)2 . (0,5đ) 2 - Do n số nguyên dương nên n (n + 1) hai số phương liên tiếp , hai số phương liên tiếp số phương . Do n(n + 1) không số phương . Vậy tích hai số nguyên dương liên tiếp không số phương . (1đ) Câu (4 đ ) : Đặt x = + + . , Ta có : > nên x > . (0,5đ) x = + + . ⇔ x2 = + + + . ⇔ x2 = + x ( Do x = + + . ) (1đ) ⇔ x2 – x – = ⇔ x2 + x –2x – = ⇔ x(x + 1) – 2(x + ) = ⇔ (x + 1)(x – 2) = (1đ) ⇔ x + 1=0 x – =0 x +1 = ⇔ x − = Vậy + + . = x = − ( loai x = ) (1đ) (0,5đ) Câu (4 đ ) : - Ta có : a + b + c +d > b + c + d (Do a , b , c , d số thực dương ). (0,5đ) ⇒ a a < a+b+c+d b+c+d (0,5đ) - Tương tự , ta có : b b < a+b+c+d c+d +a c c < a+b+c+d d +a+b (0,5đ) (0,5đ) d d < a+b+c+d a+b+c (0,5đ) - Cộng vế , , , ta : a b c b a b c d + + + < + + + a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c (0,5đ) a+b+c+d < a b c d + + + a+b+c+d b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c a b c d ⇔ 1< + + + b+c+d c+d +a d +a +b a+b+c (0,5đ) ⇔ (0,5đ) Câu ( đ ) : Ta có : xy - 2x -3y + = ⇔ xy - 2x -3y + + = (1đ) ⇔ xy - 2x -3y + = ⇔ x(y – 2) -3(y – 2) = ⇔ (x-3)(y – 2) = (1đ) Ta phân tích = 1.5 = -1 .(-5) . (0,5đ) Khi , x − = x = y − = y = x − = −1 x = y − = −5 y = −3(loai ) ⇔ ⇔ x − = x = y − = y = x − = −5 x = −2 y − = −1 y = ( loai ) (1đ) Vâỵ nghiêm nguyên dương (x,y) = (8;3) , (4;7) . (0,5đ) Câu ( đ ) : Chứng minh -Ta có : OA=OB ( Bán kính (O) ) -Ta có : EA ⊥ AB , HB ⊥ AB (GT) . Do , AE//BH . Khi , EABH hình thang . -Ta lại có : OD ⊥ AB (GT) nên OD//AE//BH . -Trong hình thang ABHE có OD//AE//BH OA=OB nên DE = DH . (0,5đ) -Xét hai tam giác :FED DHB , có : · · FED = DHB (So le , FE // BH ) DE = DH · · FDE = BDH (Đôí đỉnh ) ⇒ ∆ FDE = ∆ BDH ( g-c-g) ⇒ FE = BH (0,5đ) - Hai tiếp tuyến HM HB (O) cắt H nên HM = HB (0,5đ)và OH tia phân giác - - · BOM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Tương tự , OE l tia phân giác ·AOM . (0,5đ) · Khi , OE OH hai tia phân giác hai góc kề bù nên EOH = 900 ( T ính chất hai tia phân giác hai góc kề bù ) . Hay tam giác HEO vuông O . (0,5đ) Ta lại có : OM ⊥ HE (Tính chất tiếp tuyến) nên OM đường cao tam giác HEO . ⇒ EM.MH = OM2 ( Hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ). (0,5đ) - Từ ta có : FE = MH mà EM = EA (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên FE.EA = OM2 (0,5đ) - Ta lại có : OM2 = EA. EF= AB AB ( Do OM bán kính , AB đương kính ) nên . (0,5đ) F H D M C E A O B . PHÒNG GD – ĐT PHƯỚC LONG THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN MÔN : TOÁN Năm học : 2010 – 2011 ĐỀ ( đề xuất ) Học sinh làm bài trên giấy thi . Câu 1 (4 đ ) : Chứng minh rằng : tích của. EF= 2 4 AB . PHÒNG GD – ĐT PHƯỚC LONG THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN MÔN : TOÁN Năm học : 2010 – 2011 ĐÁP ÁN Câu 1 (4 đ ) : - Gọi hai số nguyên dương liên tiếp là n , n + 1 ( n ∈ N*) . - Khi