bộ giáo dục đào tạo trờng đại học s phạm hà nội Đề thức đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên năm 2005 Môn: Toán Ngày thi thứ hai: 15/06/2005 Thời gian làm bài:150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1. Cho P(x) = (x- )3+(x+ )3+(x+1)3+(x+2)3 , thực 2 phép tính viết P(x) dới dạng P(x)= a x3 + b x2 +c x + d . Hãy tính tổng S = a + b + c +d Câu 2. Cho số tơng đơng a,b,c,d. Đặt: x = 2a + b - cd , y = 2b + c - da z = 2c + d - ab , t = 2d + a - bc Chứng minh số x, y, z, t có hai số dơng. Câu 3: Tìm tất số nguyên n cho số T = 2n + 3n + 4n bình phơng số nguyên. Câu 4: Cho tam giác ABC, E điểm thuộc cạnh AC (E A). K trung điểm đoạn thẳng AE.Đờng thẳng EF qua E vuông góc với đòng thẳng AB (F AB) cắt đờng thẳng qua C vuông góc với đờng thẳng BC D. a./ Chứng minh tứ giác BCKF hình thang cân. b./ Chứng minh KE.EC = ED.EF c./ xác định vị trí E cho đoạn KD có độ dài ngắn nhất. Câu 5: Trên mặt bàn có 2005 đồng xu kích thớc nhau, đồng xu có hai mặt: mặt màu xanh, mặt màu đỏ, tất đồng xu ngửa mặt xanh lên trên. Thực trò chơi sau đây: lợt chơi phải đổi mặt đồng xu mặt bàn . Hỏi sau 2006 lợt chơi nhận đựoc tất cả2005 đồng xu mặt bàn ngửa mặt đỏ lên hay không? Giải thích sao. .Hết giáo dục đào tạo trờng đại học s phạm hà nội Đề thức cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2008 Môn thi: Toán học (Dùng riêng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán chuyên tin) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: Ba số dơng a, b, c thoả mãn: b c , a + b c a + b = ( a + b - c )2 . Chứng minh đẳng thức: a + ( a c )2 a c . = b + ( b c) b c Câu 2: 1. Với số dơng a thoả mãn a3 = 6(a+1), Chứng minh phơng trình sau vô nghiệm: x2 + ax + a2 - = 2. Tìm tất giá trị a b cho: 2(a2 +1)(b2+1) = (a+1)(b+1)(ab+1). Câu 3: Ba số nguyên dơng a, b, c đôi khác thoả mãn đồng thời điều kiện: i) a ớc b + c + bc ii) b ớc a + c + ac iii) c ớc a + b + ab 1, Hãy ba số (a; b; c) thoả mãn điều kiện trên. 2, Chứng minh a, b, c đồng thời số nguuyên tố. Câu 4: Cho tam giác ABC. Một đờng tròn (C ) qua điểm A, B cắt cạnh CA, CB điểm L, N tơng ứng (L A, L C, N B, N C). Gọi M trung điểm cung LN đờng tròn (C ) v M nm tam giác ABC. Đờng thẳng AM cắt đờng thẳng BL BN điểm D F tơng ứng. Đờng thẳng BM cắt đờng thẳng AN AL điểm E G tơng ứng. Gọi P giao điểm AN BL. 1, Chứng minh DE // GF. 2, Nếu tứ giác DEFG hình bình hành, chứng minh: a) Tam giác ALP đồng dạng với tam giác ANC. b) DF EG. Câu 5: Cho 13 điểm phân biệt nằm hay cạnh tam giác có cạnh 6cm. Chứng minh tồn hai điểm số 13 điểm cho mà khoảng cách chúng không vợt cm. .Hết đại học quốc gia hà nội trờng đại học ngoại ngữ cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên ngoại ngữ năm 2008 môn thi: toán đề thức Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi : 08 - 06 - 2008 Đề thi gồm: 01 trang (Chú ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu nào, CBCT không giải thích thêm) Câu 1: ( 2,0 điểm) Cho biểu thức: x y x+ y x3 y 2y x y + y x x y y x x+ y x y Chứng minh P nhận giá trị nguyên với x, y thoả mãn điều kiện: x > , y > x y . P=( + ) Câu 2: (3,0 điểm ) 1) Giải phơng trình: x + + x + = + x + 3x + 2) Tìm x, y số nguyên tố thoả mãn đẳng thức: x2 - xy - y + = Câu 3: (3,0 điểm) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB C điểm cung AB. Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC. Đờng thẳng qua hai điểm A K cắt đờng tròn (O) điểm M (M A). Kẻ CH vuông góc với AM (với H chân đờng vuông góc). Đờng thẳng OH cắt đờng thẳng BC N, đờng thẳng MN cắt đờng tròn (O) điểm D (D M). 1) Chng minh t giác BHCM l hình bình hành. 2) Chứng minh hai tam giác OHC OHM nhau. 3) Chứng minh ba điểm BHD thẳng hàng. Câu (1,0 điểm) Tìm tất nghiệm nhỏ phơng trình: x2 x2+ = 8. ( x + 1) Câu (1.0 điểm) Cho a, b số không âm thoả mãn a2 + b2 , tìm giá trị lớn biểu thức: M = a 3b(a + 2b) + b 3a (b + 2a ) . giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam trờng đại học s phạm hà nội Độc lập - Tự - Hạnh Phúc đề thức đề thi tuyển sinh vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2008 Môn thi: Toán học (Dùng cho thí sinh thi vào khối chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: Cho biểu thức: P= a + b a+ b a+b b a : + ab + a a b b ab ( a b ) với a > , b > 0, a b . 1. Rút gọn biểu thức P . 2. Tìm a b cho b = ( a + ) P = -1 Câu 2: Cho phơng trình: x + ( m + 1) x + m = với m tham số. 1. Chứng minh với giá trị m, phơng trình có hai nghiệm phân biệt. 2. Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình, tìm tất giá trị m cho: x1 x 55 + = x1 x + . x2 x1 x1 x Câu 3: Cho tam giác ABC vuông C. Trên cạnh AB lấy điểm M tuỳ ý (M A, M B). Ký hiệuO, O1, O2 lần lợt tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AMC, BMC. 1.Chứng minh điểm C, O1, M, O2 nằm đờng tròn (C). 2. Chứng minh điểm O nằm đờng tròn (C). 3. Xác định vị trí M để đờng tròn (C) có bán kính nhỏ nhất. Câu 4: Các số thực a, b, c, d thoả mãn đồng thời điều kiện: i) ac - a - c = b2 - 2b ii) bd - b - d = c2 - 2c iii) b 1, c 1. Chứng minh đẳng thức: ad + b + c = bc + a + d . Câu Các số thực không âm x,y,z đôi khác thoả mãn: (z+x) (z+y)=1. Chứng minh bất đẳng thức: ( x y) + ( z + x) + ( z + y) 4. .Hết . sở giáo dục & đào tạo hà tây kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp thcs Năm học 2004 - 2005 đề thức Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài (4 điểm): Cho phơng trình (ẩn x): ( ) M = x ( 2m + 1) x + 2m 5m + x + 2m 3m + = 0( *) a, Giải phơng trình m = 3. Gọi x1,x2,x3 nghiệm phơng trình (*). Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: M = x1 + x + x3 + x1 x + x1 x3 + x x3 x y + x + y + = 10 xy ( xy + x + y + 1) = 27 xy Câu (3 điểm):Giải hệ phơng trình: Câu 3(3 điểm): Cho x, y x + y 2. 1 + xy x + y So sánh: 12 xy + với 41 12 . Câu ( 2,5 điểm ): Cho đa thức f (x) = ax2 + bx + c ( a, b, c cá số nguyên a ). Biết f (2005) = 3. Tìm tất số nguyên nghịêm phơng trình: ax2 + bx + c = ( ẩn x ). Câu ( 7,5 điểm ): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đờng tròn (O).Các đờng cao AD, BE, CF kéo dài cắt đờng tròn (O) lần lợt A1, B1, C1. a) Tính tổng: AA1 BB1 CC1 + + AD BE CF . b) Điểm M di chuyển động cung nhỏ BC (trừ B, C) đờng tròn (O). Gọi I, K lần lợt điểm đối xứng M qua AB, AC. Chứng minh : IK qua điểm cố định. c) Chứng minh : Tam giác ABC tam giác khi: A sin + B sin giáo dục đào tạo hà tây đề thức + C sin = 6. kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp - thcs năm học 2006-2007 môn: toán Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian giao đề ) ` Đề thi gồm 01 trang Bài (4 điểm) 1+ + 3 1+ 1+ 1 2 b.Giải phơng trình: + x + x + (1 + x )( x ) = a. Tính giá trị biểu thức: M = Bài 2: (2 điểm) Cho phơng trình x (3 + 2) x ( + 1) = (1) Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình (1). Tính giá trị biểu thức: ( )( ) ( )( S = x12008 + x 22008 3 + x12007 + x 22007 + x12006 + x 22006 b. Cho x > , y > , thoả mãn x + y = ) Bài 3: (4 điểm) a. Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x + y + xy = x + y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = Bi (2,5 điểm) 2 + + xy xy x +y Giải hệ phơng trình: x + x + y ( x + 1) + x + 12 y + = x + y + x = 11 Bài (7,5 điểm) 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Đờng tròn tâm I bán kính r nội tiếp tam giác ABC. Nối AI kéo dài cắt đờng tròn (O) K (K A). a. Cho BC cố định, A chuyển động cung lớn BC. Tìm vị trí A để AI lớn nhất. b. Chứng minh rằng: IB.IC = 2r.IK . 2. Cho đờng tròn (O) nội tiếp hình vuông ABCD cạnh a. Gọi tiếp điểm cạnh BC CD lần lợt H K. Gọi E điểm chuyển động cung nhỏ HK. Tiếp tuyến đờng tròn tâm O E cắt AB M, cắt AD N. Tìm vị trí E để diện tích tam giác AMN nhỏ nhất. giáo dục đào tạo trờng đại học s phạm hà nội Đề thức Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên năm 2006 Môn: Toán (dành cho ngày thi thứ nhất) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (1,5 điểm) Cho a, b, c ba số phân biệt khác không thoả mãn điều kiện a + b + c = . Đơn giản biểu thức: b c b c c a a b a P= + + + + b c b c c a a b a Câu 2. (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = ( x + y )( x + z ) x, y, z ba số dơng thay đổi thoả mãn điều kiện ( x + y + z ) xyz = Câu 3. (2 điểm) Giải hệ phơng trình: xz = x + 2 y = xz x 14 x + z = 35 y Câu 4. (3,5 điểm) Cho đờng tròn (O) tâm O, đờng kính AB. E điểm nằm đoạn OA; M điểm nằm đoạn AE; CD dây cung vuông góc với đờng kính AB điểm E. Đờng thẳng DM cắt (O) điểm N (khác điểm D). Đờng tròn (O1) tâm O1 bán kính r tiếp xúc với (O) điểm J thuộc cung nhỏ CN tiếp xúc với đờng thẳng CM DN điểm I K tơng ứng. Biết AM = a ; ME = b ; EB = c. 1./ Chứng minh tam giác O1KM đồng dạng với tam giác MBC. 2./ Tính độ dài đoạn OO1, KM O1M theo a, b, c r. 3./ Chứng minh rằng: 1 = + r a b Câu 5. (1,5 điểm) Tìm chữ số x, y, z, t, u thoả mãn điều kiện xy + ztu = xyztu x, y chữ số hàng chục, đơn vị số xy ; z, t, u chữ số hàng trăm, chục, đơn vị số ztu ; x, y, z, t, u chữ số hàng vạn, nghìn, trăm, chục, đơn vị số xyztu . giáo dục đào tạo trờng đại học s phạm hà nội Đề thức đề thi tuyển sinh lớp 10thpt chuyên năm 2006 Môn: Toán (dành cho ngày thi thứ hai) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1:(2,5 điểm) Giải phơng trình: ( 3x + 4)( x + 1)( x + ) = Câu 2: (1,5 điểm) Tìm tất cặp số nguyên không âm x, y thoả mãn phơng trình ( y + 1) + y = ( x + 1) + x Câu 3: (1,0 điểm) Giả sử x1 x2 hai số nguyên dơng cho ; a b theo thứ tự trung bình cộng trung bình nhân x1 x2. Biết tỉ số a số nguyên dơng. b Chứng minh x1 = x2 . Câu 4: (4,0 điểm) Cho hai đờng tròn (C1) (C2) cắt hai điểm A B. Biết (C1) có tâm O1 bán kính r1 = cm ; (C2) có tâm O2 bán kính r2 = cm ; AB = cm hai điểm O1 O2 hai phía đờng thẳng AB. Xét đờng thẳng (d) qua A, cắt (C1 ) (C2) điểm M N cho A nằm đoạn MN. Tiếp tuyến (C1) M tiếp tuyến (C2) N cắt điểm E. 1./ Chứng minh tứ giác EMBN tứ giác nội tiếp. 2./ Tính độ dài cạnh tam giác AO1O2. 3./ Chứng minh 2EM + EN + 15 cm . 4./ Giả thiết thêm ba điểm A, B, E thẳng hàng. Chứng minh (d) đờng phân giác góc O1AO2. Câu 5: (1,0 điểm) Cho X tập hợp gồm 700 số nguyên dơng đôi khác nhau, số không lớn 2006. Chứng minh tập hợp X tìm đợc hai phần tử x, y cho x - y thuộc tập hợp E = { 3;6;9} ( trờng đại học quốc gia hà nội trờng đại học khoa học tự nhiên ) đề thi tuyển sinh lớp 10 hệ thpt chuyên năm 2006 Môn: Toán (vòng 1) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I:(2,0 điểm) Giải hệ phơng trình: Câu II: (2,0 điểm) x + xy + x + y = ( x + y )(1 + xy ) = Với giá trị x thoả mãn điều kiện x , tìm giá trị lớn biểu thức f ( x) = x + x + + x + x . Câu III: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số thoả mãn đồng thời hai tính chất: (i) Khi chia số cho 100 ta đợc số d 6, (ii) Khi chia số cho 51 ta đợc số d 17. Câu IV: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = a. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy lần lợt điểm M, N, P, Q cho : MN// AC, PQ//AC góc AMQ = 30o. 1) Gọi A' điểm đối xứng với A qua đờng thẳng MQ, C' điểm đối xứng với C qua đờng thẳng NP. Giả sử đờng thẳng QA' cắt đoạn thẳng NP E, đờng thẳng PC' cắt đoạn thẳng MQ F. Chứng minh năm điểm E, F, Q, D, P nằm đờng tròn. 2) Biết AC = 3MN, tính diện tích hình thang MNPQ theo a. Câu V: (1,0 điểm) Chứng minh số dơng a cho trớc, đa thức f(x) = x4 + ax2 + tổng bình phơng hai đa thức bậc hai.