giải toán trên máy tính cầm tay

> Giả lập Casio fx 570MS: Ngoài chức năng tương tự như một máy tính Casio fx 570MS, chương trình này cho phépgọi ra dãy phím vừa bấm trên máy với thời gian cụ thể kèm theo bằng chức năng

Mục lục

§1 Giới thiệu tổng quát về chức năng Casio fx 570MS và Casio fx 570ES 2

§2 Đại số sơ cấp 8

§3 Số học phổ thông 17

§4 Hình học trung học cơ sở 32

§5 Cấp số, dãy số và giới hạn dãy số 39

§6 Toán phần trăm, toán kỹ thuật, tính thời gian 44

§7 Một số dạng toán đại học 50

§8 Giới thiệu các đề thi máy tính cầm tay THCS cấp khu vực và toàn quốc 53 Tài liệu tham khảo 54 Các phụ lục 55 ?A Mẫu phiếu điền kết quả dành cho thi kết thúc môn học 55

?B Trích Tập san Toán học: Giải toán trên máy tính bỏ túi, bạn cần gì? 56

?C Trích Tập san Toán học: Xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy bằng MT Casio fx570MS 63

?D Giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1, 2 67

?E Dùng máy tính cầm tay (Casio fx500,570(MS,ES)) hỗ trợ xử lý số liệu thống kê 70 ?F Cách đổi năm dương lịch ra năm âm lịch 76

abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbc d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

Học viên chuẩn bị ít nhất một trong các loại máy sau để tham gia học tập: Casio fx 570MS, Casio fx 570ES, Casio fx 570ES PLUS, Casio fx 991ES (2 kiểu năng lượng), Casio fx 991ES PLUS, VinaCal 570MS, VinalCal 570ES, VinalCal 570ES PLUS, VietNamCalculator Vn-570RS

Môn học thiên về giải Toán bằng giải thuật lập trình nên các dòng máy Casio fx 500MS, VinaCal 500MS, Casio fx 500ES xem như không dùng được cho môn học này Các mục ghi "tham khảo thêm" sẽ không được hướng dẫn trên lớp, học viên tự nghiên cứu thêm (không thi)

Mong góp ý của các bạn sinh viên, học viên để quyển bản thảo này hoàn chỉnh hơn cho các khóa dạy sau Thông tin liên lạc với GV: 0985 572 881; lthdhdt@yahoo.com; lthieu@dthu.edu.vn

e e e e e e e e e e e e e e e e e e

fggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh

§ 1 Giới thiệu tổng quát về chức năng Casio fx 570MS

và Casio fx 570ES

1.1 Chương trình giả lập máy tính cầm tay trên vi tính

Học viên có thể download các chương trình giả lập máy tính cầm tay trên vi tính tại trangwww.bitex.edu.vn

> Giả lập Casio fx 570MS:

Ngoài chức năng tương tự như một máy tính Casio fx 570MS, chương trình này cho phépgọi ra dãy phím vừa bấm trên máy (với thời gian cụ thể kèm theo) bằng chức năng "Viewlog" Thuận lợi của chức năng này là người báo cáo thuyết trình về máy tính cầm tay cóthể cho hiện lại thao tác ấn phím một cách nhanh chóng để người nghe thực hiện theo;hơn nữa giáo viên có thể copy các phím này vào bài soạn máy tính cầm tay của mình.Bạn có thể liên hệ với tác giả của chương trình giả lập Casio fx 570MS qua địa chỉ

"nguyendangkimkhanh.casio@gmail.com" để được khắc phục sự cố chương trình (nếu có)

và cập nhật miễn phí chương trình này

Chú ý : Nhấp chuột phải vào chương trình giả lập này để tùy chọn hoặc thoát (exit)

MODE 1: COMP (COMPUTING) Tính toán thông thường.

MODE 2: CMPLX (COMPLEX) Tính toán với số phức

MODE2 1: SD (STANDAR DEVIATION) Toán thống kê

MODE2 2: REG (REGRESSIVE) Toán hồi quy, tương quan

Một số chức năng cài đặt trong MODE REG như sau:

1 LIN (LINEAR): Hồi quy tuyến tính

2 LOG (LOGARIT): Hồi quy logarit

3 EXP (EXPONENTIAL): Hồi quy mũMODE2 3: BASE Toán trên các hệ đếm 2-8-10-16

MODE3 1: EQN (EQUATION) Giải phương trình, hệ phương trình

Một số chức năng cài đặt trong MODE EQN như sau:

2 UNKNOWNS, 3 UNKNOWNS: Hệ phương trình tuyến tính 2, 3 ẩn (unknown)

2 DEGREE, 3 DEGREE: Phương trình bậc (degree) 2, bậc 3

MODE3 2: MAT (MATRIX) Toán ma trận.

MODE3 3: VCT (VECTOR) Toán véctơ

MODE4 1: DEG (DEGREE) Cài đặt chế độ "độ" cho phép tính lượng giác

MODE4 2: RAD (RADIAN) Cài đặt chế độ "radian" cho phép tính lượng giác

MODE4 3: GRA (GRADE) Cài đặt chế độ "grát" cho phép tính lượng giác (1gra =

MODE6 1: DISP (DISPLAY)

Một số chức năng cài đặt trong MODE DISP như sau:

1: ENG ON, 2: ENG OFF Bật, tắt chế độ hiển thị số kỹ thuật

I 1: ab/c, 2: d/c Quy định một phân số mn (có m > n) luôn hiển thị dạng hổn sốhoặc không

I I 1: DOT, 2: COMMA Quy định hiển thị dấu phân cách các chữ số (bộ basố: nghìn, triệu, tỷ, ) và dấu phân cách thập phân là dấu phẩy (comma) hay dấuchấm (dot)

> Biến nhớ và cách sử dụng:

Các biến gồm: A, B, C, D, E, F, X, Y, M, Ans, trong đó Ans là biến nhận giá trị hiện hànhtrên máy

 Lưu giá trị vào biến:

Lưu 10 vào biến A, thao tác 10 Shift Sto A, sau này ta viết tắc là 10 → A.Lưu 20+100 vào biến D, thao tác 20+ 100 Shift Sto D, viết tắc là 20 + 100 → D.Riêng biến M sẽ thay đổi giá trị khi ấn phím M+ hoặc M-

Ví dụ: 5 → M , sau đó ấn 7 M+, khi đó biến M sẽ nhận giá trị 12

 Gọi giá trị biến ra:

Ấn Alpha A =, kết quả: 10 (vì đã lưu 10 → A ở trên)

Ấn Alpha A + Alpha D =, kết quả: 130

 Đối với biến Ans: Máy tự động lưu lại giá trị hiện hành vào Ans

Ấn 2+8 =, ấn tiếp Ans +5 =, kết quả: 15

> Một số phím chức năng thường dùng:

AC (CANCEL): Hủy lệnh (công thức) vừa nhập

DEL (DELETE), INS (INSERT): Xóa, chèn ký tự

SHIFT: Gọi chức năng các phím màu vàng

ALPHA (ALPHABET): Gọi chức năng các phím màu đỏ

CLR (CLEAR): Xóa cài đặt các Mode để trở về trạng thái mặc định ban đầu của máy

CALC (CALCULATE): Tính giá trị biểu thức chứa biến (một hoặc nhiều biến).SOLVE: Giải gần đúng phương trình dạng tổng quát f (x) = 0.

Dấu "=" màu đỏ, dấu ":" màu đỏ: Dùng vào lập trình

Chú ý : Trong giải thuật lập trình sau này quy ước nếu viết = thì hiểu dấu bằng màu đỏlập trình, nếu viết = thì hiểu dấu bằng màu trắng

CONV (CONVERT) Đổi các đơn vị vật lý (Y ard ↔m, mile ↔ km,hp ↔ KW ) Xemthông số chuyển đổi ở nắp máy

CONST (CONSTANT) Hằng số vật lý quốc tế (Xem ở nắp máy)

ab/c, d/c: Chuyển đổi qua lại giữa dạng số thập phân và phân số

LOGIC Thực hiện phép toán lôgic và các hệ đếm

DEC (DECIMAL) Hệ thập phân, HEX (HEXADECIMAL) Hệ thập lục phân, BIN(BINARY) Hệ nhị phân, OCT (OCTAL) Hệ bát phân

Hyp (Hyperpolic): sinh x = e

2 ⇒ arcsin(

√ 2

2 ) = π4)ENG (ENGINE) Hiển thị kiểu số kỹ thuật a.10x

i màu xanh (Imaginary): Đơn vị ảo i của số phức

Arg (Argument) Argument ϕ của số phức z = r(cos ϕ + i sin ϕ)

Abs (Absolute) Trị tuyệt đối, môđun số phức

Conj (Conjugate) Số phức liên hợp

Pol( (Polarity) Chuyển đổi dạng cực của số phức

Rec( (Rectangle) Chuyển đổi dạng đại số của số phức z = a + bi

Re↔Im (Real, Image): Gọi ra phần thực, phần ảo

EXP (EXPONENTIAL): 10x, ví dụ để nhập 90000, ấn 9 EXP 4

Rnd (Round): Làm tròn số trong tính toán

Ran # (Random): Gọi ra một số ngẫu nhiên từ máy

DRG (Degree, Radian, Grade): Tính toán một biểu thức có nhiều chế độ tính, ví dụtính giá trị biểu thức A = sin 300+ cos(π

7r

) − tan 26gMAT (Matrix ): Tính toán với ma trận (Dim (chiều, cỡ), Edit (sửa), Det (định thức),Trn (vết), )

VCT (Vector): Tính toán với vectơ (Dim (chiều), Edit (sửa), Dot (tích vô hướng), )

DT (DATA): Nhập số liệu (toán thống kê hoặc toán hồi quy)

S-Sum (Sumary), S-Var (Variance): Gọi kết quả thống kê

DISTR (Distribute) Tính giá trị hàm phân phối chuẩn tắc Φ(x)

nPr: Chỉnh hợp Arn = n!

(n − r)!.nCr: Tổ hợp Cnr = n!

r!(n − r)!.

Các ký hiệu màu vàng: k (kilo) 103, M (mega) 106, G (giga) 1)9, T (tera) 1012, m (mili)

10−3, µ (micro) 10−6, p (pico) 10−12, n (nano) 10−9, f (femto) 10−15

1.3 Máy Casio fx 570ES (= 991ES (máy 2 năng lượng))

> Các Mode và phím chức năng:

Ở đây chỉ nêu một số chức năng MODE khác so với máy 570MS

 Các chế độ MODE:

MODE STAT (STATISTICS): Toán thống kê

MODE TABLE: Liệt kê bảng giá trị của hàm số f (x) với các thông tin nhập vào như:Giá trị biến khởi đầu (Start); giá trị biến kết thúc (End) và bước nhảy (Step) Chứcnăng quan trọng nhất của TABLE trong giải toán là ứng dụng vào việc dò tìm khoảngphân ly nghiệm của phương trình, dò tìm cực trị của hàm số

 Các Phím chức năng:

SETUP: Cài đặt các hiển thị

Bấm Shift SETUP để chọn các chức năng cài đặt theo ý riêng như sau:

1: MthIO Chọn hiển thị phân số dạng sách giáo khoa (dạng ab)

2: LineIO Chọn hiển thị phân số trên 1 dòng (dạng ayb)

3→8: Deg, Rad, Gra, Fix, Sci, Norm Chức năng tương tự máy 570MS

Ấn tiếp dấu mũi tênH, chọn các chức năng sau:

1, 2: ab/c, d/c Hiển thị phân số dạng ab hay hổn số abc khi tử số lớn hơn mẫu số.3: CMPLX Hiển thị một số phức ở dạng đại số hay dạng lượng giác

4: STAT Bật hay tắt cột tần số trên màn hình nhập dữ liệu thống kê, hồi quy.5: Disp Cài đặt hiển thị dấu phẩy của số thập phân là dấu "," hay "."

6: CONST (Contrast) Tăng I, giảm J độ tương phản trên màn hình máy tính.S↔D: Chuyển đổi qua lại giữa dạng số thập phân và phân số

Các chức năng còn lại có ký hiệu tương tự như trên máy 570MS

 Chú ý: Đối với máy 570ES, khi dùng phím Solve để giải ẩn thì ẩn cần phải được dùng

là X hoặc Y

> Biến nhớ và cách sử dụng: Hoàn toàn tương tự máy 570MS

> So sánh một số điểm yếu và điểm mạnh cơ bản trong giải toán của hai dòngmáy 570MS và 570ES :

Viết tắt MS thay cho dòng máy Casio fx 570MS, VinalCal 570MS; ES thay cho dòngmáy Casio fx 570 ES

+ MS bấm lập trình nhanh hơn ES (ES phải ấn thêm Calc)

+ MS có chức năng Copy dùng kết nối biểu thức (ES không có chức năng này)

+ MS nhập thống kê được nhiều bộ giá trị (xi; ni) hơn ES

+ MS cho phép giải ẩn là các biến tùy ý trong biểu thức, đối với máy ES thì ẩn phảiđược dùng là biến X hoặc Y

+ Ở Mode BASE, MS có chức năng viết ra các chữ số sau dấu phẩy của phép chia abmột cách nhanh chóng, máy ES không có chức năng này.

+ ES có thêm chức năng Table có thể áp dụng tìm khoảng phân ly nghiệm hoặc tìm cựctrị

+ ES được thiết kế tính toán thuận tiện hơn MS, trong khi MS phải thao tác đúng theo

cú pháp (VD tính tích phân, ma trận, véctơ)

+ ES cho kết quả nhiều chữ số hơn MS

+ ES hiển thị được phân số dạng ab đối với số lớn hơn mà trên máy MS không hiển thịđược

+ ES có phím P thuận lợi hơn MS đối với việc tính tổng có biến chỉ số chạy

abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbcd

fggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh

§ 2 Đại số sơ cấp

2.1 Tính giá trị biểu thức không chứa biến và chứa biến

> Giải theo nhiều cách: Dùng các biến A, B, C, , Ans, dùng phím Calc , dùng Table.Chú ý: Thiết lập chế độ tính toán phù hợp (rad, độ, grad) đối với bài toán lượng giác

Bài tập

1B Cho biểu biểu thức A = tan sinh(

√2)
log√ 3

3

5

√5cot cosh(√

2)
, trong đó sinh x, cosh x lần lượt làsinhyperpolic và coshyperpolic của x

2; b) a = sinπ5, b = log e, c = C74.ĐS:

3B a) Tính giá trị hàm số f (x) = sin x cos x

2

ex tại x = 10, x = −1, 572, x = π2.b) Tính gần đúng giá trị của hàm số f (x) = 2 sin

ĐS:

4B a) Cho biết tanα2 =√

7, tính I = 1 + cos α

1 − sin α.b) Biết cos 2x = 35, tính J = sin3x + cos3x

7B * Cũng với câu hỏi như bài tập trên nhưng thay f (x) bởi g(x) = ln | sin x + π2|
.HD: Phím giá trị tuyệt đối trên máy ở chế độ Mode COMP là gì?

2.2 Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0

> Dùng phím Solve (chỉ dùng cho 570MS, 570ES)

> Phương pháp lặp đơn (có thể áp dụng chung cho 500MS, 500ES)

> Phương pháp Newton (pp tiếp tuyến) (có thể áp dụng chung cho 500MS, 500ES).Chú ý: Phím Solve được xây dựng trên cơ sở phương pháp Newton Không phải mọiphương trình đều có thể giải được bằng cách dùng phím Solve

3 −√

5x −

1 −√6

3 +√2



x − 3 −

√7

4 −√3



= 15 −

√11

2√

3 − 5ĐS:

7B Tìm một nghiệm gần đúng (ở radian) của phương trình : sin(3x+ 5x) = 7x(log3x + 1).ĐS:

8B Tìm nghiệm thực của phương trình 1

9B Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình sau với sai số bé hơn 10−9(ở chế độ radian)sin(2009√

x) + sin(2007p(x + 2)) + sin(2005p(x + 4)) + sin(2003p(x + 6)) −x

1x! ≈ 5

HD: Lập trình, cho biến X chạy từ 1, quan sát giá trị của biến tổng để kết luận.ĐS:

2.3 Phương trình nghiệm nguyên hai biến x, y

Một số phương pháp cơ bản tìm nghiệm nguyên của phương trình f (x, y) = 0 (1) trên máytính cầm tay

> Một số dạng giải nhờ suy luận, kết hợp suy luận và lập trình

Bài tập

1B Giải phương trình nghiệm nguyên 3 ≤ x < 20 thỏa A62x− Cx

15− x! − 57!9005 = 0ĐS:

2B Cho đường thẳng (d) : 2x + 3y = 7 Hãy tìm tất các các cặp (x, y) thuộc (d) thỏa:a) x, y đều nguyên dương.

b) x, y đều nguyên âm

c) x, y tùy ý

ĐS:

3B Tìm cặp số nguyên dương (x, y) với x nhỏ nhất thỏa √3

156x2+ 807 + (12x)2 = 20y2+52x + 59

5B Cho phương trình x3− y2 = xy (*), hãy:

a) Tìm cặp số tự nhiên (x, y) với x bé nhất có 3 chữ số và thỏa mãn (*)

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) với x bé hơn 100 và thỏa mãn (*)

HD: Đưa về phương trình bậc hai theo y, x chạy từ 100

Dùng chức năng giải phương trình bậc ba để giải phương trình bậc ba, biến y:

y3+ by2− b4 = 0, (thử lần lượt các giá trị của b tìm y nguyên, với b = 10, 11, , 38)

Hoặc nhập vào phương trình X3+ BX − B4 = 0, dùng chức năng Solve, lần lượt gán

B từ 10 cho đến 38, gán giá trị đầu X = 0

ĐS: (12; 24)

2.4 Giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình (tham khảo thêm)

1B Để đắp 1 con đê, địa phương đã huy động 4 nhóm người gồm học sinh, công nhân, nôngdân và bộ đội Thời gian làm việc như sau (giả sử thời gian làm việc của mỗi ngườitrong một nhóm là như nhau): Nhóm bộ đội mỗi người làm việc 7 giờ; nhóm công nhânmỗi người làm việc 4 giờ; nhóm nông dân mỗi người làm việc 6 giờ; nhóm học sinh nỗi

em làm việc 0,5 giờ

Địa phương cũng đã chi tiền như nhau cho từng người trong một nhóm theo cách: Nhóm

bộ đội mỗi người nhận 50.000 đồng; nhóm công nhân mỗi người nhận 30.000 đồng; nhómnông dân mỗi người nhận 70.000 đồng, nhóm học sinh mỗi em nhận 2.000 đồng.Cho biết: Tổng số người của 4 nhóm là 100; Tổng thời gian làm việc của 4 nhóm là 488;Tổng số tiền của bốn nhóm nhận là 5.360.000 đồng

Hãy tìm số người trong từng nhóm?

4B Một người nông dân có một cánh đồng cỏ hình tròn bán kính R = 100m, đầy cỏ, không

có khoảnh nào trống Ông ta buộc con bò vào một cây cọc trên mép cánh đồng Hãytính chiều dài đoạn day buộc sao cho con bò chỉ ăn được một nửa cánh đồng

2.5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 1 biến (tham khảo thêm)

> Một số phương pháp thường dùng: Tam thức bậc hai; Đặt ẩn phụ; Dùng chức năng Table(máy 570ES); Đạo hàm; Bất đẳng thức

Bài tập

1B Cho hàm số y = −1, 32x2+ 3, 1 − 2

√5

√

6, 4 − 7, 2x − 7, 8 + 3

√2a) Tính y khi x = 2 + 3√

5; b) Tính ymax.ĐS:

2B Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) = cos3x − 6cos2x + 9 cos x + 5.ĐS:

3B Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) = 3x + 5 cos 5x trên đoạn[0; π]

ĐS: max f (x) = 12, 5759; min f (x) = −3, 1511

4B Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2 sin x − 2 cos x −

6B Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x) = e

sin x+ x2cos x + 1

x2+ 1 trênđoạn [0; 1]

7B Cho x, y nguyên dương thỏa x3 + y3 = 2009 , tìm giá trị lớn nhất của sin(xy) (chế dộrad) Hãy tổng quát bài toán?

ĐS:

2.6 Đa thức, sơ đồ Hoocne

> Tính giá trị đa thức dạng đặc biệt

> Tìm đa thức dư trong phép chia hai đa thức

> Thao tác ấn phím nhanh đối với sơ đồ Hoocne tìm đa thức thương và dư

> Tìm đa thức thỏa điều kiện ban đầu

6B Khai triển biểu thức P (x) = (1 + 2x + 3x2)15 ta được đa thức a0 + a1x + + a30x30.Tính giá trị biểu thức A = a0− 2a1+ 4a2− 8a3+ − 536870912a29+ 1073741824a30.HD: A = P (?)

8B Cho đa thức bậc ba, biết f (0) = 10, f (1) = 12, f (2) = 4, f (3) = 1 Tìm f (10)?

13B Tìm thương và dư trong phép chia P (x) = x7− 2x5− 3x4 + x − 1 cho (x + 5) bằng sơ

đồ Hoocne, viết thuật toán

ĐS:

14B Chia x8 cho (x + 0, 5) được thương q1(x) dư r1, chia q1(x) cho (x + 0, 3) được thương là

q2(x) và dư r2 Tìm r2 bằng cách dùng sơ đồ Hoocne



gm(x0)

, n,m ∈ N∗

> Dùng biến Ans (không an toàn nếu ấn dư phím hoặc thiếu phím)

HD: a) Lập trình, hoặc dùng biến tổng là M + ; b) Dùng phím M + cho biến tổng là M(với lưu ý là phải lưu 0 → M trước khi chạy vòng lặp).

ĐS:

abbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbcd

fggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggh

§ 3 Số học phổ thông

3.1 Số nguyên tố và các thuật toán kiểm tra nguyên tố

Để kiểm tra 1 số nguyên dương A có là số nguyên tố hay không ta chỉ cần kiểm tra A cóước từ 2 đến √

A hay không

> Thao tác 1: 1 → X, X = X + 2 : A

X = =

X chạy đến √

A, nếu thấy thương đều lẻ thì kết luận A nguyên tố

> Thao tác 2: Kiểm tra A có chia hết cho 3 không, nếu không thì lập trình như sau

0 → X, X = X + 1 : A

6X − 1 :

A6X + 1 = =

Câu hỏi : Giải thích các thao tác ấn phím 1 và 2?

3.2 Tìm số dư khi chia số nguyên dương a cho số nguyên dương b (a >b)

Giả sử a chia b dư r (r < b), ta chia các trường hợp sau:

> Trường hợp 1 : a chia b có phần nguyên q không tràn màn hình

Ta có a = bq + r suy ra r = a − bq với q là phần nguyên của thương

Ví dụ: 20094 = 502, 25 suy ra số dư khi chia 2009 cho 4 là 2009-4.502=1

> Trường hợp 2 : a chia b có phần nguyên tràn màn hình

Giả sử

a = a1a2a3 an = a1a2 ak.10n−k+ ak+1ak+2 antrong đó a1a2a3 ak chia b có phần nguyên không tràn màn hình Như vậy ta có thể tìmđược dư r1 khi chia a1a2a3 ak cho b theo trường hợp 1

Khi đó, a chia b dư

r1.10n−k+ ak+1ak+2 an = r1ak+1ak+2 an, với r1 < b (*)Theo (*) ta có quy tắc: Tách số bị chia a thành hai phần và lấy dư r1 của phần thứ nhấtkhi chia cho b Sau đó "gắn" số dư r1 này vào phần thứ 2 còn lại để được số bị chia mới

bé hơn a, thực hiện thao tác này một cách liên tục thì ta được số bị chia mới cũng giảmliên tục, đến một lúc nào đó số bị chia mới đủ bé, khi đó ta tìm được dư r của bài toántheo trường hợp 1

Câu hỏi : Giải thích (*)?

3.3 Liên phân số hữu hạn

> Thuật toán tìm liên phân số hữu hạn

> Thao tác bấm máy nhanh đưa liên phân số về dạng phân số ab

Bài tập

1O Biểu diễn số hữu tỷ sau dạng liên phân số

2O Lập quy trình ấn phím liên tục để đưa liên phân số sau về dạng phân số tối giản ab.a) −4 + 1

2 + 1

3 + 1

4 + 14

3O a) Biểu diễn phân số 51163927 dưới dạng liên phân số như sau 5116

3927 = 1 +

1

3 + 1

3 +

Hỏi trong dạng liên phân số trên có bao nhiêu chữ số 3?

Hỏi trong dạng liên phân số trên có bao nhiêu chữ số 2?

ĐS:

4O Cho B = 27 + 27

15 + 72009

; u3 = 2 + 1

2 + 1

2 + 12

;

Hãy tính giá trị chính xác của u9 và giá trị gần đúng của u15, u20 Dự đoán lim

n→∞un.ĐS: u9 = 5741

; u3 = 2 + 1

3 + 1

2 + 13

; u4 = 3 + 1

2 + 1

3 + 1

2 + 13

;

Hãy tìm ít nhất 4 giải thuật trên máy để tính gần đúng u20, u25và tổng S27= u1+ u2+

u3+ + u27

ĐS:

3.4 Đồng dư số học, ứng dụng của hàm Ơle trong đồng dư số học

Nếu a chia b dư r (hoặc a và r chia b có cùng số dư) thì ta viết a ≡ r( mod b)

f (a) ≡ f (b)( mod m), ∀f (x) ∈ Z[x] (là đa thức với hệ số nguyên)

2) Nếu ac ≡ bc( mod m) và (c, m) = 1 thì ta có a ≡ b( mod m)

3) Nếu a ≡ b( mod m) và θ là một ước chung của a, b, m thì ta có aθ ≡ b

θ( mod mθ)4) Nếu a ≡ b( mod mi), i = 1, 2, , k và m = BCN N (m1, m2, , mk) thì ta có a ≡ b(mod m)

5) Nếu a ≡ b( mod m) và θ là một ước dương của m thì ta có a ≡ b( mod θ)

F Hàm Ơle số học ϕ:

1) Định nghĩa: Cho m là một số tự nhiên khác không

Với m = 1, ta định nghĩa ϕ(1) = 1;

Với m > 1, ϕ(m) là số các số tự nhiên bé hơn m và nguyên tố cùng nhau với m

2) Ví dụ: ϕ(4) = 2 vì có 2 số bé hơn 4 và nguyên tố cùng nhau với 4 là 1 và 3

3) Công thức tính: Giả sử m có dạng phân tích tiêu chuẩn là m = pα1

4) Định lý Ơle: Nếu (a, m) = 1 thì aϕ(m) ≡ 1( mod m), a, m nguyên dương tùy ý

5) Định lý Fecma: Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên dương tùy ý khi đó ta

Vậy nếu a không chia hết cho p thì ap−1≡ 1( mod p) (tính chất đồng dư)

Chú ý: Nếu p là số nguyên tố thì p thỏa (*), điều ngược lại là không đúng Một hợp số nthỏa (*) được gọi là số giả nguyên tố cơ sở a Ví dụ 561 là số giả nguyên tố cơ sở 2 vì

> Dùng định lý Ơle, định lý Fecmat:

 Nếu (a, m) = 1 thì aϕ(m) ≡ 1( mod m)

Ví dụ: Tìm dư khi chia 20092010 cho 6

Ta có (2009, 6) = 1 ⇒ 2009ϕ(6) ≡ 20092 ≡ 1( mod 6); Khi đó ta có 20092010 =

20091004.2+1 = (20092)1004.2009 ≡ 11004.2009 ≡ 5( mod 6)

 Nếu (a, m) = r > 1 thì ta không thể áp dụng định lý Ơle một cách trực tiếp được.Gặp trường hợp này, ta có thể làm "thủ công" bằng cách nâng dần lũy thừa 2 vếcủa đồng dư thức đến lũy thừa của bài toán đã cho Hoặc ta có thể áp dụng định

lý Ơle một cách gián tiếp (tuy nhiên cách này không phải là tối ưu)

Thao tác áp dụng định lý Ơle gián tiếp:

Giả sử a = r.q, m = r.t, ta cần biến đổi như sau

aα ≡?( mod m) ⇔ aα= rα.qα ≡?( mod r.t) ⇔ r.rα−1.qα ≡?( mod r.t)Tìm dư x1, x2 trong đồng dư thức

Ví dụ: Tìm dư khi chia 20082010 cho 6 ((2008, 6) = 2 > 1)

> Dùng dấu hiệu tuần hoàn số dư của dãy lũy thừa (SV tham khảo thêm)

4O Tìm dư khi chia 71998 + 9200998 cho 8

HD: 7 chia 8 dư -1; 9 chia 8 dư 1

ĐS: 0

5O Tìm dư của phép chia 2009601+ 2004501+ 1997401 cho 11

ĐS:

3.5 Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Mọi phân số ab đều có thể biểu diễn được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn Khôngthể biểu điễn số vô tỷ về dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

> Chu kỳ của số thập phân vô hạn tuần hoàn:

Số M = 0, aaaaaaaa ta viết M = 0, (a), M có chu kỳ là a gồm 1 chữ số

Số M = 0, ababababababab ta viết M = 0, (ab), M có chu kỳ là ab gồm 2 chữ số.v.v

VD: 152333 = 0, 456456456 = 0, (456) có chu kỳ là 456 gồm ba chữ số

> Đưa số thập phân vô hạn tuần hoàn về dạng phân số:

Giả sử M = 0, (a), suy ra 10M = a, (a) = a + 0, (a) = a + M ⇔ 9M = a ⇔ M = a

9.Lập luận tương tự ta có 0, (ab) = ab

2O Tìm chữ số thập phân thứ 20092010 trong phép chia 3330707.

Nếu A chia B dư r thì U CLN (A, B) = U CLN (B, r)

 Thuật toán Euclid tìm UCLN của hai số nguyên dương a, b:

6O Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số A = 2152+ 3142.

ĐS: 97, 1943

3.8 Tìm 1,2,3,4 chữ số cuối của một lũy thừa mα, m, α ∈ N∗ bằng đồng dư và bằngdấu hiệu nhận biết

F Dùng đồng dư "thủ công" mod 10k, (k = 1, 2, 3, 4, )

Tìm k chữ số tận cùng bên phải của m thực chất là tìm dư khi chia m cho 10k

F Số có đuôi bất biến với mọi luỹ thừa mα, m ∈ N∗, α ∈ N:

Chữ số tận cùng của m Chữ số tận cùng của mα , α ∈ N tùy ý

1;5;6 1;5;6 (tương ứng)76;25 76;25 (tương ứng)376;625 376;625 (tương ứng)9376;0625 9376; 0625 (tương ứng)

Việc chứng minh là đơn giản bằng phương pháp quy nạp.

F Dấu hiệu nhận biết 3 chữ số tận cùng của mα (α phải có dạng 100.k, k = 1, 2, 3, )

m Ba chữ số cuối Ví dụ

m không chia hết cho cả 2 và 5 001 13200 ≡ 001( mod 1000)

m chia hết cho 2, không chia hết cho 5 376 19981600 ≡ 376( mod 1000)

m không chia hết cho 2, chia hết cho 5 625 252300 ≡ 625( mod 1000)

m chia hết cho cả 2 và 5 000 202300 ≡ 000( mod 1000)

F Dấu hiệu nhận biết đối với m nguyên dương bất kỳ và a, b, c, , k, n là các số nguyên từ

m không chia hết cho cả 2 và 5 mab kn ≡ mkn( mod 1000) 2748761209 ≡ 2709( mod 1000)

m chia hết cho 2, không chia hết cho 5 mab kn ≡ 376mkn( mod 1000) 22001 ≡ 376.201( mod 1000)

m không chia hết cho 2, chia hết cho 5 mab kn ≡ 625mkn( mod 1000) 154023 ≡ 625.1523( mod 1000)

F Suy rộng lũy thừa mα (α có dạng 1000.k)

m Bốn chữ số cuối Ví dụ

m không chia hết cho cả 2 và 5 0001 135000 ≡ 0001( mod 10000)

m chia hết cho 2, không chia hết cho 5 9376 199816000 ≡ 9376( mod 10000)

m không chia hết cho 2, chia hết cho 5 0625 2523000≡ 0625( mod 10000)

m chia hết cho cả 2 và 5 0000 2023000≡ 0000( mod 10000)

F Tìm 4 chữ số cuối của mabc gkn

Tương tự như trên: Thay kn > 2 bằng gkn > 3

VD: Tìm 4 chữ số cuối của 92007 Ta ghi 92007 ≡ 9007 ≡ 2969( mod 10000)

3O Tìm ba chữ số tận cùng bên phải của số A có dạng lũy thừa như sau

3O Tìm số chính phương có 3 chữ số biết 2 số đầu và số cuối giống nhau, số giữa hơn kém

số đầu và số cuối 1 đơn vị

7O (Đề thi Casio qua mạng tháng 07-2007) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất biết 4 chữ sốđầu và 4 chữ số cuối đều là 1

ĐS: 4808471

8O Tìm hai số nguyên dương x bé nhất sao cho khi lập phương mỗi số đó ta được một số cóhai chữ số đầu (bên phải) và hai chữ số cuối (bên trái) đều bằng 4, nghĩa là x3 = 44 44.Nêu quy trình bấm phím

1692345 chia cho 504, ta được phần nguyên là 3357 Dùng máy thay đổi 3357 phù hợp

để tích của số đã thay đổi với 504 được số có 7 chữ số bắt đầu từ 169 Khi đó ta nhậnđược: 3356 × 504 = 1691424

ĐS: 1691424.

13O Tìm số nguyên dương n lớn nhất để (1995!) .5n

HD: Các bội của 5 trong dãy 1, 2, 3, , 1995 là 5, 10, 15, , 1995 gồm 399 số Các bộicủa 52 gồm 79 số, các bội của 53 gồm 15 số, các bội của 54 gồm 3 số Vậy, số thừa số 5khi phân tích 1995! ra thừa số nguyên tố là 399+79+15+3=496

ĐS: n lớn nhất để (1995!) .5n là 496

14O Tìm số tự nhiên k lớn nhất thỏa điều kiện: (1994!)1995 .1995k

HD: Tương tự câu trên

ĐS: 109.1995=217455

15O Tìm một số tự nhiên có một chữ số mà khi viết bình phương của nó, sau đó viết tiếplập phương của nó thì được một số mà khi đảo thứ tực các chữ số lại thì ta được lũythừa bậc 6 của số ban đầu

HD: Có thể dùng Table thử và ghi ra kết quả nhanh

5O *(Đề thi cấp khu vực dành cho sinh viên năm 2008) Cho N = 20082008, gọi a là số chữ

số của N , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b Tìm c?

b) Số các ước của A có chứa thừ số 3, số các ước của A không chứa thừa số 3

c) Số các ước của A có chứa cả thừa số 2 và 5

d) Tìm tổng các ước của A

ĐS:

5O Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số A = 2152+ 3142.

> Dùng lập trình trên máy MS và ES

> Dùng công thức tính tổng P trên máy ES

1 O Với giá trị nào của k ∈ N thì: A = 1995k 32

+ 1997k 195

chia hết cho 4

HD: A ≡ (−1)k 321995

+ 1(mod4)ĐS: k lẻ

pm+1] = 0 ([.] là ký hiệu của phần nguyên)

Ví dụ: Lũy thừa lớn nhất của 5 trong 100! là: [100

5 ] + [

100

52 ] = 24Chú ý ta phải dùng điều này: 2.5 = 10, 3!!! = 6!! = 720! > 100!100620 > 101024 nhiềuhơn 1000 chữ số

ĐS: a) 24; b) 178

§ 4 Hình học trung học cơ sở

4.1 Nhắc lại một số công thức về tam giác, đa giác và đường tròn

> Tam giác và diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có AB=c, BC=a, AC=b, ma, ha lần lượt là độ dài đường trung tuyến,đường cao Ta có

 Định lý hàm số sin:

asin A =

bsin B =

csin C = 2R.

 Định lý hàm số cosin:

a2 = b2+ c2− 2bc cos A; b2 = a2+ c2− 2ac cos B; c2 = a2+ b2− 2ab cos C

Như vậy cos A = b

pp(p − a)(p − b)(p − c)

Trong đó p = a+b+c2 là nửa chu vi của tam giác ABC

 Khoảng cách giữa tâm nội và tâm ngoại

d2 = R2 − 2Rr ⇒ d =√R2− 2Rr

> Tứ giác

Cho tứ giác ABCD có α, p lần lượt là góc giữa hai đường chéo và nửa chu vi của tứ giác

 Diện tích tứ giác ABCD

SABCD = 1

2AC.BD sin α =

r(p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cosB + D

1C Cho tam giác ABC có bA = 1102203300; bB = 47019059”; AB = √

π Tính các góc và cáccạnh còn lại của tam giác ABC

4C Tam giác ABC có bán kính hình tròn ngoại tiếp là √3

7, hình chiếu của AB trên cạnh

AC có độ dài√5

7 Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC, biết bA = 76054”.ĐS:

5C Cho tam giác tam giác ABC có [ABC = 540330, [BCA = 600270 Gọi A1, B1, C1 lần lượt

là chân các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C xuống các cạnh đối diện Tính tỉ số diệntích của hai tam giác A1B1C1 và ABC

HD: Chứng minh được công thức SA1 B 1 C 1

SABC = 2 cos A cos B cos CĐS:

4.3 Đa giác, đa giác đều, diện tích đa giác

1C Tính tỷ số giữa diện tích của một đa giác đều 60 cạnh và diện tích của hình tròn ngoạitiếp đa giác này

ĐS:

2C Cho một đa giác đều 60 cạnh, hình tròn nội tiếp trong đa giác này có diện tích π5 Gọi

a và l lần lượt là độ dài cạnh và độ dài đường chéo dài nhất của đa giác Tính a, l.ĐS:

3C Tính diện tích của đa giác đều 120 cạnh nội tiếp trong một hình tròn có diện tích

S = π3

ĐS:

4C * Cho hình lục giác đều ABCDEF có cạnh bằng 100, tạo ra đa

giác đều thứ nhất là MNPQRS (xem hình), lần lượt cho đến

đa giác đều thứ 5 Tính tổng diện tích các phần gạch sọc trong

hình, biết miền trong của đa giác đều thứ năm không bị gạch

sọc

HD: Tìm ra quy luật về tỷ lệ biến đổi diện tích của các hình

ĐS:

4.4 Các bài toán về đường tròn và diện tích hình tròn

1C Cho hình vuông V0 có cạnh bằng 4, nội tiếp trong hình vuông

này một hình tròn T0 Nội tiếp trong T0 là một hình vuông

V1, Lần lượt như vậy ta có được hình tròn T10 Tính bán

kính và diện tích hình tròn T10?

ĐS:

2C So sánh diện tích của phần gạch sọc và phần không gạch sọc

bên trong tam giác đều ABC qua hình bên

ĐS:

3C Ba đường tròn có cùng bán kính 3 (cm) cùng tiếp xúc ngoài đôi một với nhau Tínhdiện tích phần xen giữa ba đường tròn đó?

4.5 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn (tham khảo thêm)

1C Tính thành phần phần trăm về diện tích của các phần tô đen

và phần gạch sọc so với diện tích của viên gạch lát hình vuông

ĐS:

2C Tính thành phần phần trăm về diện tích của phần gạch sọc và

phần không gạch sọc so với diện tích tam giác đều ABC

ĐS:

3C Tính thành phần phần trăm về diện tích của phần gạch sọc

và phần không gạch sọc so với diện tích viên gạch hình vuông

ABCD

ĐS:

4C Cho hình vuông V0 diện tích π4, giao điểm của 4 cung tròn

xuất phát từ 4 đỉnh của V0 như hình bên tạo ra 4 đỉnh của

hình vuông V1 Tương tự, giao điểm của 4 cung tròn xuất phát

từ 4 đỉnh của V1 như hình bên tạo ra 4 đỉnh của hình vuông

V2, Cứ như vậy ta được hình vuông V8 Tính đường chéo của

V8?

ĐS:

4.6 Các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (tham khảo thêm)

> Một số phương pháp: Đặt ẩn phụ và khảo sát tìm cực trị của hàm số; Suy luận quỹ tích;Bất đẳng thức hình học

Bài tập

1C Cho đường tròn (O,R) có đường kính AC, B là một điểm nằm trên đường tròn, H làhình chiếu của B trên AC.

a) Xác định vị trí điểm B để tam giác OBH có diện tích lớn nhất

b) Áp dụng để tính khi R = 1, 20092009

ĐS:

2C Hai nhà máy A và B cách nhau 150m và nằm cùng

một phía đối với bờ một con sông có bờ là đường

thẳng d Khoảng cách từ nhà máy A và khoảng

cách từ nhà máy B đến bờ sông lần lượt là 25m

và 35m Hãy xác định vị trí đặt bến M để tổng

đường vận chuyển AM+MB là ngắn nhất, tìm độ

dài ngắn nhất này?

ĐS:

3C Một con sông gồm hai bờ song song d, l có khoảng

cách 50m Hai nhà máy A và B cách nhau 1820

m và nằm hai phía khác nhau của hai bờ sông,

khoảng cách từ A đến d và khoảng cách từ B đến

l lần lượt là 40m và 30m Hãy xác định vị trí đặt

cầu MN để đường vận chuyển vật liệu giữa hai nhà

máy có độ dài ngắn nhất, tìm độ dài ngắn nhất

này, biết cầu bắc qua sông luôn được xây vuông

góc với bờ sông? (min(AM+MN+NB=?))

ĐS:

4.7 Một số bài toán hình học THPT (tham khảo thêm)

Phân mục tham khảo thêm (ngoài chương trình học)

1C Tính thể tích của tứ diện ABCD biết −→AB = (√

2, π, e), −→

AC = (√3

2, π2, e−1), −→

AD =(ln 2, 1, 1)

3C Tính chiều dài của đường cong có phương trình y = f (x) = 2009x sin x, với x trênđoạn [2π

19;

π

4].

ĐS:

4C Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng sau

5C Tính thể tích V và diện tích toàn phần Stpcủa hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ biết

8C A(0; 2; −2), B(−3; 1; −1), C(4; 3; 0), D(1; 2; m) Tìm m để 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng.ĐS:

9C Cho hai đường cong (C1) : y = x2− 2x và (C2) : y = x

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2)

b) Tính thể tích vật thể được giới hạn hạn bởi (C1), (C2) khi quay chúng đồng thờiquanh trục Oy

ĐS: 124.4662(cm2)

12C (Đề thi máy tính cầm tay THPT 2005) Người ta

khâu ghép các mảnh da hình lục giác đều (màu

sáng) và các mảnh da hình ngũ giác đều (màu

sẫm) để tạo thành quả bóng đá như hình bên

a) Tìm số mảnh da mỗi loại trong quả bóng

b) Biết quả bóng có bán kính 13cm, hãy tính gần

đúng độ dài cạnh a của mỗi mảnh da (xem các

mảnh da như các đa giác phẳng và diện tích mặt

cầu quả bóng xấp xỉ bằng tổng diện tích các đa

giác phẳng đó)