(Dành cho học phần Giải toán trên máy tính cầm tay)
Số phách Do HĐCT ghi
Học viên:... Số báo danh:... Ngày sinh:... Lớp:... Ngày thi:... Phòng thi số:...
Giám thị 1 (Ký và ghi rõ họ tên):...
Giám thị 2 (Ký và ghi rõ họ tên):...
—————————————————————————————————–
Điểm Điểm Giám khảo 1 Giám khảo 2 Số phách
Ghi bằng số Ghi bằng chữ Ký và ghi rõ họ tên Ký và ghi rõ họ tên Do HĐCT ghi
Mã đề: (do học viên ghi)
Yêu cầu ghi tất cả các chữ số trên màn hình máy tính đối với các kết quả tính toán gần đúng.
Câu 1:
.. .
Câu 10:
? B Trích Tập san Toán học: Giải toán trên máy tính bỏ túi, bạn cần gì?
Toán học không "khô khan" như nhiều người vẫn nghĩ, trái lại nó luôn có nhiều điều thú vị, nhiều sự tiềm ẩn đến bất ngờ mà chính những người yêu toán mới thật sự cảm nhận được. Qua đây với một ít kinh nghiệm của mình, xin được giới thiệu và trao đổi với các bạn một số vấn đề thú vị từ một lĩnh vực của toán sơ cấp, đó là các bài toán dành cho máy tính cầm tay Casio, xin gọi tắt là toán Casio. Và sự sắp xếp, phân loại của tôi như dưới đây chỉ có tính tương đối, ngoài ra cũng nhằm thể hiện ý nghĩa minh họa vui cho lời tựa: Bạn cần gì?
1. Chỉ cần tốc độ
Đối với các bài toán đã có sẵn quy trình bấm phím nhanh thì ta hầu như không cần phải "động não" mà chính kỹ năng bấm máy là vô cùng quan trọng, thao tác nhanh gọn và chính xác sẽ giúp tiết kiệm được thời gian rất nhiều.
♦ Bài toán minh họa 1: (Đề thi máy tính cầm tay lớp 9, năm học 2001-2002, Cần Thơ)
Tìm phân số ab được biểu diễn dưới dạng liên phân số như sau
a b = 1 + 1 2 + 1 ...+ 1 8 + 1 9 Quy trình ấn phím:9 x−1 +8 = x−1 +7 = x−1 +6 = x−1 +5 = x−1 +4 =
x−1 + 3 = x−1 + 2 = x−1 + 1 =. Thực hiện thao tác trên đòi hỏi phải chính xác đến từng phím thì mới đạt được kết quả đúng.
♦ Bài toán minh họa 2:
Tìm một nghiệm gần đúng của phương trình sau (ở radian) với sai số bé hơn 10−8
sin( 2009√ x) + sin(2007p (x+ 2)) + sin(2005p (x+ 4)) + sin(2003p (x+ 6))− x 2 = 0.
Bạn có thể dùng phím Solve để giải bài toán trên, nhưng bằng cách này sẽ cho ra kết quả lâu hơn và phải ấn phím nhiều hơn. Để tăng tốc độ xử lý, bạn có thể dùng phép lặp đơn. Rút x từ phương trình, ta có x = 2(sin(2009√
x) + sin(2007p(x+ 2)) + sin(2005p(x+ 4)) + sin( 2003p
(x+ 6))), từ đó thao tác như sau: Ấn 1 = (chọn giá trị ban đầu x0 = 1), nhập
2(sin(2009√
Ans)+sin( 2007p(Ans+ 2))+sin(2005p(Ans+ 4))+sin(2003p(Ans+ 6))vào màn hình, ấn = liên tiếp ta thấy kết quả trên màn hình hội tụ về 6.736611441 (ấn khoảng 5 lần), đó là nghiệm gần đúng thỏa đề bài. Nếu thay đổi giá trị x0 ban đầu thì bạn có thể tìm thêm được một nghiệm gần đúng khác.
2. Chỉ cần hiểu ý
Để giải toán Casio hiệu quả, các bạn cần am hiểu các chức năng đã được lập trình sẳn trên máy để vận dụng nhịp nhàng vào các bài toán cụ thể. Nếu không chú ý đến các chức năng này thì một số bài toán Casio thật đơn giản lại trở nên khó khăn đối với bạn.
♦ Bài toán minh họa 1: Cho hàm số f(x) = esin(2009√ x) + √3 7.x+ √5 5 (ở radian). Tính f30(√ π), trong đó fn(x) = f[fn−1(x)], f1(x) = f(x), n∈N∗,∀x∈R. Thao tác: Nhập √ π và ấn = (lưu √
π vào biến Ans), nhập biểu thức esin(2009√Ans) +
3
√
7.Ans+√5
5vào màn hình, ấn = liên tiếp 30 lần ta được kết quả cần tìm.
Ta cần biết biến Ans (Answer) có chức năng lưu lại giá trị hiện hành trên máy sau khi thực hiện phím = trong tính toán. Trên cơ sở đó, ta có thể tổng quát bài toán trên thành dạng tínhfn1gn2(x),với f g(x) = f(g(x)), n1, n2 ∈N∗, x∈R.Ngoài cách dùng biếnAns, dạng toán này có thể giải bằng lập trình sử dụng các biến A, B,... tuy nhiên thao tác giải là phức tạp hơn.
♦ Bài toán minh họa 2:
Ở hệ thập phân, 20092 được biểu diễn duy nhất như sau:
20092 =an8n+...+a282+a18 +a0, ai ∈N, ai ≤7. Hãy tìm a6?
Thao tác: Tính toán ở hệ thập phân20092 = 4036081. Vào Mode Base đổi 403608110 ra cơ số 8, giá trị cần tìm là chữ số thứ 7 từ phải sang trái của kết quả này.
3. Cần sự "tài hoa"
Trong thực hành giải toán Casio, sự nhạy bén giữ vai trò quan trọng hàng đầu. Đôi khi vừa xem qua câu hỏi, bạn tưởng chừng phải tính toán thật vất vả, nhưng thực tế nếu tư duy tốt bạn chỉ cần lập luận kết hợp bấm máy thì sẽ tìm ra kết quả trong thời gian rất ngắn.
♦ Bài toán minh họa 1
Cho A = 3 4 5 0 √ 5 √ 7 −2 3 9 ; B = 1 1 3 1 2 3 7 0 5 ; C = 12 11 8 8 0 0 8 0 5 Tính hạng của ma trận M =A5B−2C−1+C2A.
Thao tác: Vào Mode Mat, nhập giá trị của ba ma trận A, B , C vào máy. Tínhdet(A5B−2C−1+
C2A) được kết quả khác không suy ra rank(M) = 3.
♦ Bài toán minh họa 2:
Tìm ba chữ số tận cùng bên phải của số A có dạng lũy thừa như sau A=1112131415
+ 4101112
1314
Thao tác: Tìm ba chữ số tận cùng thực chất là tìm số dư khi chia A cho 1000. Ta thấy (1112131415 + 4)tận cùng là 5, số mũ 1011121314 có dạng100k, k∈N∗. Vậy1112131415 + 4101112 1314
có 3 chữ số tận cùng là 625 (theo dấu hiệu nhận biết trong lý thuyết đồng dư số học-việc chứng minh là đơn giản). Từ đó suy ra ba chữ số tận cùng của A là 625+009=634.
4. Cần kết hợp "tài hoa" và tốc độ
♦ Bài toán minh họa 1:
Cho dãy số {un} được xác định như sau
u1 = 1; u2 =√ 2; un+2 =un+1+ 5√3 un−2, n≥1 a) Tínhu23 và S23 =u1+u2+...+u23. b) Tính S390 =u1+u3+u5+...+u39, S5100 =u3+u6+u9+...+u51. c) Dự đoán lim n→∞un.
Thao tác: Lưu các giá trị vào biến: 2 Shift Sto X (xin viết tắt là 2 → X, X là biến đếm), 1 → A, √
2 → B, 1 +√
2 → D (D là biến tổng). Lập trình như sau X = X+ 1 :
C = B + 5√3
A−2 : D = D+C : A = B : B = C. Đến đây, đối với máy 570MS ta ấn
= liên tục cho đến khi X nhận giá trị 23, ấn = tiếp tìm u23 = C, S23 = D, riêng đối với máy 570ES ta phải ấn phím Calc trước, sau đó thực hiện như máy 570MS. Kết quả: u23 =C =−234,7120571, S23 =D=−277,3508823.
Lưu ý: Dấu "=" và ":" trong dãy lặp trên là các dấu màu đỏ, để gọi ra phải thông qua phím
Alpha. Bạn thử tìm ra các thao tác lập trình đối với câu b) xem!
♦ Bài toán minh họa 2: Tính tổng sau S30= √5 2525 +√5 252525 +√5 25252525 +...+√5 2525...25 (tổng gồm 30 số hạng, số hạng thứ 30 có 31 cặp "25").
Thao tác: 2 → X (biến đếm), 2525 → D (biến tổng), 2525 → A (biến số hạng), quy trình X =X+ 1 :A = 100A+ 25 :D=D+√5
A, ấn = đến khiX nhận giá trị 31, ấn = tiếp để ghi ra S30.
Đối với máy 570ES ta còn có cách nhanh hơn: Dùng phím P
để tính S30 theo công thức S30 = 31 X X=2 25 99(100 X −1) 1
5. Bài toán có thể tổng quát theo nhiều hướng.
5. Cần trí nhớ tốt
Để giải toán Casio tốt bạn cần phải ghi nhớ càng nhiều công thức càng tốt vì khi gặp phải dạng toán đã có công thức áp dụng thì Ở đây tôi chỉ nêu ra một dạng toán như sau: Cho một ma trận vuông M cỡ4×4 và một đa thứcP(x)hệ số thực có bậc lớn. Tìm det(P(M))? Khi gặp bài toán này các bạn sẽ lúng túng vì chương trình của máy chỉ cho phép nhập vào ma trận
cỡ tối đa là 3×3, hơn nữa số mũ của ma trận trong máy là hạn chế (2 và 3). Để giải quyết bài toán này ta cần nhớ lại một công thức trong đại số tuyến tính: det(P(M)) = Q
k
P(λk), trong đó λk là giá trị riêng của M.
6. Cần "sự từng trải"
Đôi khi ta gặp một số bài toán Casio có thuật toán giải thật độc đáo nhưng thật khó giải thích được nguồn gốc của nó từ đâu, có phải vì kinh nghiệm chăng?!(∗) Mời các bạn xem qua bài toán sau do các bạn sinh viên trong đội tuyển máy tính sưu tập cách giải nhanh và xemina trao đổi:
♦ Bài toán minh họa: (Đề thi cấp khu vực dành cho sinh viên, năm 2008) Tìm chữ số thập phân thứ 1000 sau dấu phẩy của phép chia 1649.
Nếu kết quả phép chia là một số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ bé hơn 8 thì đây chỉ là dạng toán thi máy tính cầm tay của học sinh giỏi cấp 2. Bấm máy ta có 1649 = 0,326530612..., như vậy kết quả là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kỳ lớn. Để tìm được chữ số thập phân thứ k sau dấu phẩy ta cần phải tìm được chu kỳ của 1649 dạng thập phân. Với thao tác thủ công vẫn cho ra kết quả của bài toán này, nhưng sẽ tốn thời gian nhiều và gây căng thẳng vì nếu mắc sai lầm ở một bước nào đó thì coi như bạn đã phí thời gian hoàn toàn! Sau đây là cách giải thật nhanh gọn (đối với dòng máy 570MS):
Thao tác: Vào Mode BASE (ở chế độ d (decimal)), 16 shift Sto A, A×10000000÷49
=, A×10000000−49 Ans Shift Sto A, N Shift Copy = = ... Thực hiện quy trình này ta ghi ra được các kết quả liên tiếp sau dấu phẩy của phép chia một cách nhanh chóng như sau:
16
49 = 0,326530612244897959183673469387755102040816 326530612244897959183673469387755102040816...
Như vậy chu kỳ của số thập phân trên là 326530612244897959183673469387755102040816 gồm 42 chữ số. Ta có1000≡34( mod 42). Do chu kỳ được lặp lại nên chữ số thập phân thứ 1000 sau dấu phẩy của phép chia bằng chữ số thứ 34 trong chu kỳ, đó là chữ số 8.
7. Cần óc "thẩm mỹ"
♦ Bài toán minh họa 1: (Đề thi cấp khu vực dành cho sinh viên, năm 2008) Cho N = 20082008, gọi a là số chữ số của N, b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b. Tìm c?
Ta chỉ cần tìm a, khi đó b, c được suy ra dễ dàng. Thử bấm trên máy ta có [log 1] = 0, ...,[log 9] = 0, [log 10] = 1, ...,[log 99] = 1, [log 100] = 2, ...,[log 999] = 2, v.v... (trong đó [x] là phần nguyên của x). Từ đó tổng quát được công thức sau(∗∗):
Số chữ số của n =[logn] + 1
Lưu ý: Công thức này tính trên máy sẽ sai trong trường hợp nlà số khá lớn (cók chữ số) bắt đầu bằng 9 và có giá trị rất gần10k(điều này thử trên máy tính cầm tay là hoàn toàn được). Ta thấyN không bắt đầu bằng 9, áp dụng công thức trên ta cóa= [logN] +1 = 6631+ 1 = 6632.
♦ Bài toán minh họa 2:
Tính chính xác các chữ số trong kết quả của số sau: A=
(1002010+ 5) 3
2
.
Thao tác: Thử trên máy lần lượt với k = 1,2, ... đối với biểu thức Ak =
(100k+ 5) 3
2
ta có: A1 = 1225, A2 = 11122225, A3 = 111112222225,... Áp dụng quy luật này ta có A = 11...122...25(có 2010.2-1 chữ số 1, 2010.2 chữ số 2, 1 chữ số 5).
8. Cần sự kiên trì, không nóng vội
Khi giải toán Casio bạn sẽ gặp một số bài toán gây không ít bực bội cho mình. Cảm thấy thật phiền toái không phải vì bạn chưa tìm ra thuật toán của nó mà đôi khi đây chỉ là dạng toán đã có sẵn thuật giải rõ ràng. Vậy nguyên nhân này do đâu?
Bạn đã từng bấm máy để tính một bài tích phân, tính tổng một chuổi hoặc dùng phímSolve
mà kết quả hiện ra mất hơn 45 phút sau khi ấn phím = chưa? Tình trạng này gọi là "treo máy" tương tự như máy vi tính khi gặp các bài tính phức tạp. Để giải các bài toán này bạn phải biến đổi bài toán trở về dạng đơn giản hơn rồi mới bấm máy để tính nhanh được. Một tình huống xảy ra khác mà bạn thường gặp khi tìm nghiệm gần đúng của phương trình bằng các phương pháp lặp. Đặc biệt đối với phương pháp lặp đơn, bạn thật tâm đắc với cách rút xtừ phương trình để chạy vòng lặp nhưng loay hoay mãi mất nhiều thời gian mà vòng lặp vẫn không hội tụ. Biết rằng có tiêu chuẩn kiểm tra tính hội tụ của cách rút hàm lặp nhưng thông thường việc kiểm tra tiêu chuẩn này cũng tốn không ít thời gian nên ta bỏ qua bước này... Như vậy bạn cần phải có sự kiên trì và khéo léo để tránh tự gây stress cho chính mình.
9. Cần sự lãng mạn, hài hước
Giải toán Casio thật thú vị các bạn ạ! Cứ mỗi khi tìm ra lời giải hay cho một bài toán khó, hoặc tổng quát hóa được lời giải cho một dạng toán hay, bản thân thật hạnh phúc và cảm thấy yêu quý chiếc máy Casio của mình hơn. Chiếc máy "khô khan" sẽ trở nên gắn bó với bạn hơn nếu bạn biết dùng nó như phương tiện giải trí để tránh căng thẳng sau giờ học trên lớp. Đôi khi nó còn đem lại những hiệu quả khác nào đấy!
Nhóm chơi phải có ít nhất hai người, dùng phím Ran] (radom) để gọi ra một số ngẫu nhiên từ máy. Bạn nào được "điểm" lớn thì sẽ thắng. Thao tác trên máy như sau: Nhập vào màn hình Shift Ran] hoặc Shift Ran] × 1000. Mỗi bạn bấm = một lần để được một số ngẫu nhiên là điểm số của mình.
♦ Trò chơi 2: Chứng tỏ "đẳng cấp" xài máy
Mời các bạn tìm hiểu thêm trên internet về các thao tác bấm máy (rất phức tạp) để tạo ra các hình kỳ lạ đẹp mắt trên máy như: Hình con heo sữa, hình đôi giày, dòng chạy của ma trận bất tử trên máy để khoe với bạn bè. Thận trọng: Việc làm này sẽ làm hao pin và rất "tổn thọ" cho máy đấy!
Ngoài ra, bạn có thể chứng tỏ cái "pro" của mình với mọi người bằng cách: Lập trình nâng cấp dòng máy 500 thành 570 (MS và ES); nhìn tem hoặc vặn ốc tháo máy ra để kiểm tra hàng thật hàng giả.
Chú ý: Thao tác nâng cấp máy là phức tạp và chức năng mới sẽ mất tác dụng khi ấn phím On hoặc tắt máy, như vậy nếu một ai đó có "ý đồ" nâng cấp dòng máy 500 thành 570 để sử dụng lâu dài thì không khả thi rồi!
♦ Trò chơi 3: Viết tin nhắn
Trò đùa này thật đơn giản là viết một dòng tin nhắn nào đó trên màn hình để "vô tình" gửi cho người khác. Nhưng để thực hiện được điều này đòi hỏi bạn phải am hiểu và vận dụng nhịp nhàng các chức năng của các Mode cùng các phím trên máy. Trước hết, bạn thử thực hành tìm kết quả của phép toán trên hình bên xem, khi cho các biến A= 2008, Y = 2009, E = 1000.
ấn = , được kết quả 1, sao không phải là "Syntax Error"như mình nghĩ nhỉ?!
Trò chơi 4: Đố vui toán Casio
Bạn đã rành về các chức năng của chiếc máy rồi thì việc đặt ra một câu đố vui cho bạn mình là quá dễ dàng phải không. Câu đố: 1.Dùng đúng 3 phím trên máy Casio fx 570MS để gọi ra một số lớn nhất (máy đang mở ở chế độ Mode Comp)? Số đó theo bạn là bao nhiêu? 2. Bạn hãy nêu cách cài đặt máy để tìm phần nguyên của BA, với A và B là các số nguyên dương bé hơn109 (phần nguyên này được lưu tự động vào máy).Bạn có thể tham khảo thêm nhiều câu hỏi hay khác từ internet hoặc các tài liệu về máy tính cầm tay.
Trên đây tôi đã giới thiệu về một số vấn đề thú vị từ việc giải toán trên máy tính cầm tay Casio. Trong bài viết này, tôi không nêu các dạng toán mà tôi cũng cảm thấy hay như lập trình
tìm số tự nhiên thỏa điều kiện ban đầu, phương trình nghiệm nguyên, các bài toán hình học đặc biệt, phương trình và hệ phương trình sai phân tuyến tính, tích phân suy rộng, ... Hy vọng rằng