Cực đại cực tiểu của hàm số - Tài liệu tự luyện Toán 12 - Phần 2

Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Cực ñại, cực tiểu của hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - Bài 1: Tìm cực trị của hàm số 1: 4 4 2 4 y x x = − + − . Giải ðiều kiện: 2 ≤ x ≤ 4. y’= 3 3 4 4 1 1 1 4 ( 2) (4 ) x x   −    − −    y’=0  3 3 4 4 (4 ) ( 2) x x− = −  4-x = x-2  x = 3. Bảng biến thiên: x 2 3 4 y’ + 0 - y 2 4 2 4 2 Hàm số ñạt cực ñại tại x =3, y Cð = y (3) = 2. 2: y= 2 2 9 1 x x + − Giải TXð: R y’= 2 2 2 2 9 2 9 2 9. 2 9 1 x x x − +   + + −   , y’= 0  2 2 9 9 x + =  x 2 = 36 => x = 6 ± . Bảng biến thiên x - ∞ -6 6 + ∞ y’ - 0 + 0 - y 3 4 3 4 − Hàm số ñạt cực ñại tại x = 6, y Cð = y (6) = 3 4 . Hàm số ñạt cực tiểu tại x =-6, y CT = y (-6) = 3 4 − . 3: 2 2 1 y x x = + + CỰC ðẠI, CỰC TIỂU CỦA HÀM SỐ ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Cực ñại, cực tiểu của hàm số thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Cực ñại, cực tiểu của hàm số. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này. (Tài li ệ u dùng chung bài 0 4 +0 5 ) Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Cực ñại, cực tiểu của hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Giải TXð: R y’= 1+ 2 2 2 1 x x + = 2 2 2 1 2 2 1 x x x + + + y’= 0  2 2 1 2 x x + = −  2 2 2 0 2 1 4 x x x − ≥   + =   0 1 1 2 2 x x x ≤   ↔ = −  = ±   Bảng biến thiên: x - ∞ 1 2 − + ∞ y’ - 0 + y 1 2 Hàm số ñạt cực tiểu tại x = 1 2 − , y CT = y ( 1 2 − ) = 1 2 4. 4 4x 1 y x = + Giải TXð: IR 4 4 4 2 4 4(1 3x ) 1 ' , ' 0 1 3x 0 ( 1) 3 y y x x − = = ↔ − = ↔ = ± + Bảng biến thiên: x - ∞ - 4 1 3 4 1 3 + ∞ y’ - 0 + 0 - y - 4 27 4 27 Hàm số ñạt cực ñại tại x = 4 1 3 , y Cð = 4 27 . Hàm số ñạt cực tiểu tại x = - 4 1 3 , y CT = - 4 27 . 5. y = x 4 – 6x 2 – 8x + 18. Giải TXð: IR y’ = 4x 3 – 12x – 8 = 4(x + 1) 2 .(x – 2) y’ = 0 ↔ x = - 1, x = 2. Bảng biến thiên: x - ∞ - 1 2 + ∞ y’ - 0 - 0 + y - 6 Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Cực ñại, cực tiểu của hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Hàm số ñạt cực tiểu tại x = 2, y CT = -6. 6. y = 2 2 1 1 x x x + − − Giải TXð: D=R\ { } 1;1 − y’= 2 2 2 4 1 ( 1) x x x − − − − , y’=0  -x 2 – 4x – 1=0  x = -2 3 ± . Bảng biến thiên x - ∞ 2 3 − − -1 2 3 − + 1 + ∞ y’ - 0 + + 0 - - y 3 2 3 2 − Hàm số ñạt cực tiểu tại x = -2- 3 , y CT = 3 2 Hàm số ñạt cực ñại tại x = -2+ 3 , y Cð = 3 2 − . 7. y = sin 2 x + cosx , (0, ) x π ∈ Giải y’= 2 sinx.cosx - sinx = sinx.(2cosx-1) Vì (0, ) x π ∈ => sinx > 0. Do ñó: y’= 0  cosx = 1 2  x = 3 π Bảng biến thiên: x 0 3 π π y’ + 0 - y 5 4 1 -1 Hàm số ñạt cực ñại tại x = 3 π , y Cð = 5 4 . 8. y = 2 3 2 x x − + Giải TXð: R y = 2 3 2 x x − + = 2 2 2 2 3 2 3 2 0 1, 2 3 2 3 2 0 1 2 x x neu x x x x x x neu x x x  − + − + ≥ <=> ≤ ≥   − + − − + 〈 <=> 〈 〈   Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Cực ñại, cực tiểu của hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - y’= 2 3 1, 2 2 3 1 2 x neu x x x neu x − ≤ ≥   − + 〈 〈  y’=0  x= 3 2 Bảng biến thiên: x - ∞ 1 3 2 2 + ∞ y’ - + 0 - + y + ∞ 1 4 + ∞ 0 0 Hàm số ñạt cực tiểu tại 1, 0 CT x y = ± = Hàm số ñạt cực ñại tại 3 ; 2 x = y Cð = 1 4 9. Cho hàm số: 1 5 , ; sin 3 6 y x x π π   = ∈     Giải 2 cos ' sin x y x = − ' 0 cos 0 2 y x x π = ⇔ = ⇔ = Bảng biến thiên: x 3 π 2 π 5 6 π y’ - 0 + y 2 3 2 1 Hàm số ñạt cực tiểu tại , 1 2 CT x y π = = 10: Cho hàm số: ( ) sin cos , ; y x x x π π = + ∈ − Giải ' cos sin y x x = − " sin cos y x x = − − cos sin 0 tan 1 4 ' 0 3 4 x x x x y x x x π π π π π π  =  − = =    = ⇔ ⇔ ⇔    − < < − < <    = −   Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Cực ñại, cực tiểu của hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - " 2 0 4 y π   = − < ⇒     hàm số ñạt cực ñại tại 4 x π = , y Cð = 2 4 y π   =     3 " 2 0 4 y π   − = > ⇒     hàm số ñạt cực tiểu tại 3 3 , 2 4 4 CT x y y π π −   = − = = −     11. Cho hàm số: 2 os2 4sin , 0; 2 y c x x x π   = + ∈     Giải ( ) cos 0 ' 2 2 sin 2 4cos 2cos 2 2 2 sin ; ' 0 2 sin 2 x y x x x x y x =   = − + = − = ⇔  =   2 4 x x π π  =  ⇔   =   " 4 2 os2 4sin y c x x = − − " 4 2 4 0 2 y π   = − >     ⇒ hàm số ñạt cực tiểu tại , 4 2 2 2 CT x y y π π   = = = −     " 2 2 0 4 y π   = − < ⇒     hàm số ñạt cực ñại tại 4 x π = , y Cð = 2 2 4 y π   =     Bài 2: Chứng minh hàm số: 2 2 1 x m y x m − + = − luôn có cực ñại, cực tiểu với mọi m. Giải Tập xác ñịnh: { } | D R m = 2 2 2 2 2 2 1 ' , ' 0 2 1 0 1 ( ) x mx m y y x mx m x m x m − + − = = ⇔ − + − = ⇔ = ± − Bảng biến thiên: x - ∞ m-1 m 1 m + + ∞ y’ + 0 - - 0 + y 2m-2 + ∞ + ∞ - ∞ - ∞ 2m+2 Vậy với mọi m, hàm số ñạt cực ñại tại 1; x m = − y Cð = 2m-2. Và ñạt cực tiểu tại 1; 2 2 CT x m y m = + = + . Bài 3: Cho hàm số: 3 2 2 ( 1) 1 3 x y mx m m x = − + − + + . Tìm m ñể hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 1 x = . Giải 2 2 ' 2 1 y x mx m m = − + − + " 2 2 y x m = − ðể hàm số ñạt cực ñại tại 1 x = , ta phải có: Khóa h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Cực ñại, cực tiểu của hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - 2 1 '(1) 0 3 2 0 2 2 "(1) 0 2 2 0 1 m y m m m m y m m  =  =  − + =    ⇔ ⇔ ⇔ = =     < − <    >  Bài 4: Tìm a, b ñể hàm số 2 2 2 5 x ax y x b − + = + ñạt cực ñại tại 1 2 x = và y Cð = 6. Giải ðể hàm số ñạt cực ñại tại 1 2 x = và y Cð = 6, ta phải có: 1 ' 0 2 4 1 " 0 1 2 1 6 2 y a y b y    =       = −     < ⇔     =        =       Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn . − -1 2 3 − + 1 + ∞ y’ - 0 + + 0 - - y 3 2 3 2 − Hàm số ñạt cực tiểu tại x = -2 - 3 , y CT = 3 2 Hàm số ñạt cực ñại tại x = -2 + 3 , y Cð = 3 2 − . 7. y = sin 2 x +. h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Cực ñại, cực tiểu của hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 5 8-5 8-1 2 - Trang | 3 - Hàm số ñạt cực tiểu. h ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Cực ñại, cực tiểu của hàm số Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 5 8-5 8-1 2 - Trang | 4 - y’= 2 3 1, 2 2 3 1 2 x