Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng P.. Sở y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch cơ động trong số 5 đội của T
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
-
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2015
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x33 x
Câu 2 (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 4
x
trên đoạn 1;3 Câu 3 (1,0 điểm)
a) Cho số phức thỏa 1i z 1 5i0 Tìm phần thực và phần ảo của z
b) Giải phương trình 2
2
log x x 2 3
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
1 0
3 x
I x e dx
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho các điểm A1; 2;1 , B2;1;3 và mặt phẳng
P :x y2z 3 0 Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB
với mặt phẳng P
Câu 6 (1,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức P1 3cos 2 23cos 2 biết sin 2
3
b) Trong đợt phòng chống dịch MERS-CoV Sở y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch
cơ động trong số 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng TPHCM và 20 đội của Trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị Tính xác suất để có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ACBD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳmg ACBD, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ACBD bằng 450 Tính theo a thể tích của khối
chóp S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB AC,
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng của B qua H; K là hình chiếu của vuông góc C trên đường thẳng
AD Giả sử H 5; 5 , K9; 3 và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng xy100 Tìm tọa
độ điểm A
Câu 9 (1,0 điểm) Giải phương trình 22
2 8
2 3
Câu 10 (1,0 điểm) Cho các số thực a b c, , thuộc đoạn 1;3 và thỏa mãn điều kiện abc6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
a b b c c a abc
abc
ab bc a
P
c
-Hết -
Thí sinh không được sử dụng bất kì loại tài liệu nào, giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2ĐÁP ÁN (tham khảo nha các em… chống trị định với các cháu yếu tìm )
Câu 1 Thí sinh tự làm
Câu 2
1;3 1;3
x
Câu 3
a) z 3 2i phần thực 3, phần ảo 2
b) 2
3
x
x
Câu 4 I 43e
Câu 5 : 1 2 1; 0; 5; 1
Câu 6
a) 14
9
P
b) 209
30
P
5
;
Câu 8 A 15;5
Câu 9
2
3 13
2
x
x
Câu 10 166
11
P Dấu “=” xảy ra a1;b2;c3 và các hoán vị
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1
Câu 2 Ta có
2
f
x
x
1
2
;
4
3
0
2
x
f
x
Tính 1 5; 2 4 13
3
; 3
So sánh các giá trị này ta thấy
[1;3]
min f x ; 4
[1;3]
max f x 5
Chú ý: Có thể lập bảng biến thiên hoặc sử dụng BĐT để tìm min và max
Câu 3
a) Cách 1: Coi đây là phương trình bậc nhất đối với z
1i z 1 5i01 –iz1 – 5i
3 2
Trang 3b) Phương trình
2 2
2
2
2
6 0
3
x
x
Vậy phương trình có hai nghiệm là x 2 hoặc x 3
Câu 4 Dấu hiệu nhận biết tích phân từng phần là tích của hai loại hàm và đặt theo quy tắc “nhất lô, nhì đa,
tam lượng, tứ mũ”
Đặt – 3
u x
dv e dx
du
v e
dx
Khi đó
1
0
I x e e dx e e e
Câu 5
- Đường thẳng AB đi qua A và có vtcp AB 1;3; 2
nên có phương trình chính tắc là
x y z
- Tọa độ giao điểm M của AB và (P) là nghiệm hệ phương trình:
Chú ý: Đề không yêu cầu viết phương trình đường thẳng AB ở dạng nào nên ta có thế viết ở dạng chính
tắc hoặc tham số Nếu để ở dạng tham số thì khi tìm tọa độ điểm M ta thay vào mặt phẳng P sẽ được
một phương trình bậc nhất theo t
Câu 6
a) Dựa vào công thức cos 1 2 sin2 ta sẽ tính được P
P P
b) Từ giả thiết ta có tất cả 25 đội tham gia phòng chống dịch
- Số cách chọn 3 đội từ 25 đội là C253 nên số phần tử của không gian mẫu là C253 2300
- Gọi A là “biến cố có ít nhất 2 đội của các trung tâm y tế cơ sở được chọn”
Số cách chọn ít nhất 2 đội của các trung tâm y tế cơ sở được chọn là 2 hoặc 3
TH 1: Có 2 đội của các trung tâm y tế cơ sở được chọn và 1 đội của Trung tâm y tế dự phòng TPHCM
Vậy tất cả có 2 1
20 5 950
C C cách
TH 2: Có 3 đội của các trung tâm y tế cơ sở được chọn
Vậy tất cả có C203 1140 cách
Nên số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 2 1 3
20 5 20 2090
Khi đó xác suất để có ít nhất 2 đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn 209
230
A
Trang 4
Câu 7 Xu hướng ra câu hình không gian thường là giải
bằng hai cách khác nhau để thuận lợi cho học sinh giải
được
Cách 1: Phương pháp Hình học cổ điển
- Tính thể tích
Vì SAABCDSA ACAC là hình chiếu của SC
trên mặt phẳng ABCD hay SCA 450 hay tam giác SAC
vuông cân tại A hay AS ACa 2
+ Diện tích hình vuông ABCD là S a2
+ Thể tích hình chóp S ABCD là
3 2
a
V S SA a a (đvtt)
- Tính khoảng cách
+ Qua B kẻ đường thẳng Bx song song với AC cắt CA tại M
khi đó tứ giác ABMC là hình bình hành
+ Vẽ AH vuông góc với BM tại H, AK vuông góc SH tại K
Suy ra AK vuông góc SBM
Vì AC song song SBM suy ra d AC SB , d A SBM , AK
Trong tam giác vuông AHB ta có sin 450 2
2
a
Trong tam giác vuông SAH ta có 12 12 1 2 12 42 52 10
5
a AK
5
d AC SB d A SBM AK a
Cách 2: Phương pháp tọa độ hóa
Chọn hệ trục tọa độ sao cho
0; ; 0 , 0; 0; 2
Từ đó sẽ tính được thể tích và khoảng cách Học sinh tự tính nha
Câu 8 Xu hướng ra đề thường là kết hợp giữa hình học phẳng và hình giải tích trong mặt phẳng Do đó ta
cần vẽ hình chính xác để từ đó dựa vào hình vẽ “mò mẫn, dự đoán” tìm ra điểm mấu chốt của bài toán
- Từ hình vẽ ta có thể dự đoán tứ giác AHKC là hình thang nội tiếp đường tròn tâm M (M là trung điểm của AC), các tam giác HMN và AHK là các tam giác cân tại M và H Do đó mấu chốt bài toán là tìm tọa
độ điểm M sau đó mới tìm tọa độ điểm A dựa vào mối quan hệ giữa ba điểm M, H, K và A, M, H khi biết tọa độ điểm H và K
- Gọi M là trung điểm của AC để tìm tọa độ điểm M là có hai hướng sau
Hướng 1: Giải hệ M
Thật vậy ta có AHC AKC 90 tứ giác AHKC nội tiếp đường tròn tâm M bán kính
AC
A
D
H
K
S
M
Trang 5Hướng 2: Giải hệ M
Với d chính là đường trung trực của đoạn HK
- Để tìm tọa độ điểm A ta cũng có hai hướng là ta giải hệ HA HK
hoặc chứng minh A là điểm đối xứng với K qua đường thẳng MH (đường thẳng MH viết được khi biết tọa độ điểm M)
Ta sẽ chứng minh tam giác AHK cân tại H
Thật vậy từ giả thiết ta có tam giác ABD cân tại A nên BAH DAH
Ta có
90 90
ACB ABH
Mặt khác ACH AKH (góc nội tiếp cùng chắn cung AH ) Từ đó ta có DAH DKH HAK cân tại
H hay HA HK
Giả sử A x y ta giải hệ ;
2 2
10 250
Vậy tọa độ điểm A cần tìm là A 15;5
Câu 9 Xu hướng ra đề các năm gần đây thường là kết hợp các phương pháp lại với nhau như liên hợp, đặt
ẩn phụ, đạo hàm và phương pháp hàm số
Điều kiện x Vì 2 2 2
x x x x
Phương trình
2
1
x
2
2
*
x
Giải * : 2
* x4 x22 x1 x 2x3
Xét hàm số 2 3 2
f với t R
Ta có 2
f t t t nên t f t đồng biến trên
2
x
Vậy phương trình có hai nghiệm là x 2 hoặc 3 13
2
x
Chú ý: Phương trình ** cũng có thể giải bằng liên hợp hoặc biến đổi tương đương
Câu 10 Dựa vào hằng đẳng thức
6
a b c
Trang 6Mặt khác theo giả thiết
, , 1;3
5
a b c
abc ab bc ac
abc ab bc ac
Mặt khác từ có bất đẳng thức phụ 2
12 3
a
abb cca b c
Do đó nếu ta đặt tabb cca ta sẽ thu được hàm số
5
với t 11;12
Xét hàm số 72 5, 11;12
t
t
2
t
là hàm nghịch biến trên đoạn 11;12
Do đó
max
11;12
11 72 5 160
2 11 2 11
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 11 1; 2; 3
6
t ab bc ca
a b c
và các hoán vị
Lời giải chi mang tính chất minh họa, nếu có gì sai sót mong các em bỏ qua cho