Các bài bổ sung về Đẳng thức lượng giác

Mục lục 1 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Lời mở đầu Trong chương trình Toán học ở trung học phổ thông, lượng giác là một trong những mảng kiến thức rất cơ bản và quan trọng. Phần kiến thức này khá đồ sộ với những công thức lượng giác, những mối liên quan ràng buộc giữa góc, cạnh và các yếu tố khác. Chính vì vậy việc giải các bài toán lượng giác thực sự gây nhiều lúng túng và khó khăn cho học sinh, thậm chí cả giáo viên. Hơn nữa các bài toán lượng giác lại đóng vai trò lớn trong đời sống, giải tích và hình học. Do đó nhu cầu tìm hiểu sâu hơn về các vấn đề của lượng giác đã và đang hấp dẫn các bạn trẻ yêu Toán. Theo mô hình dạy học tích cực hiện nay là lấy người học làm trung tâm, người thầy đóng vai trò là người tổ chức các hoạt động nhằm hướng dẫn học sinh tự lĩnh hội kiến thức. Chính vì vậy hành trang của chúng tôi - những sinh viên sư phạm chuẩn bị tốt nghiệp và sẽ là những người trực tiếp giảng dạy không thể thiếu được đó là sự nghiên cứu để soạn được những bài giảng dẫn dắt học sinh hiểu, nắm chắc kiến thức và vận dụng chúng một cách linh hoạt để tự giải được các bài tập Toán. Vì vậy, thầy giáo hướng dẫn đã đặt đề tài cho chúng tôi là:"Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác". Đó là công việc biên soạn một số bài giảng về đẳng thức lượng giác cho đối tượng học sinh khá và giỏi ở trung học phổ thông.Lược đồ xuyên suốt của mỗi bài giảng là cách đặt vấn đề cho học sinh từ dễ đến khó,các bài toán có sắp xếp thứ tự từ đơn giản đến phức tạp và mang tính sư phạm cao. Tôi nhận thấy đây là một đề tài rất thiết thực, hữu ích, tạo điều kiện cho chúng tôi không những làm quen với phương pháp sư phạm mà còn bước đầu tạo cơ sở để chúng tôi có những kinh nghiệm trong công tác giảng dạy lâu dài. Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác" gồm 5 bài giảng: Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 2 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài giảng này nhằm giới thiệu các công thức lượng giác đồng thời củng cố và hoàn thiện các biến đổi lượng giác cơ bản cho học sinh.Nội dung bài giảng gồm những bài toán với mức độ khó dần lên sẽ giúp học sinh luyện tập một cách đầy đủ các biến đổi lượng giác. Định lý hàm số sin và định lý hàm số côsin là hai định lý cơ bản, được sử dụng rất nhiều trong các bài toán lượng giác, Cái hay của bài giảng này ở chỗ các bài toán đưa ra thể hiện mối liên hệ giữa các cạnh, các goc và một số yếu tố trong tam giác. Đặc biệt nhờ có các định lý này mà chúng ta biết đến những bài toán nổi tiếng như hệ thức Stioa,điểm Broca, công thức Brahmagupta’s. Nhận dạng tam giác là dạng toán lượng giác rất quen thuộc với học sinh trung học phổ thông. Song,bài giảng này lại hấp dẫn học sinh nhờ sự phân chia thành hai bài giảng nhỏ về các ví dụ loại 1 và loại 2, giúp học sinh hệ thống và nắm chắc hơn kiến thức lượng giác Bài giảng này mang đến cho học sinh sự khéo léo biến đổi các công thức lượng giác tìm ra quy luật tính tổng và tích hữu hạn của các hàm lượng giác.Các bài toán trong bài giảng giúp học sinh khắc sâu kiến thức lượng giác hơn nữa Lượng giác có ứng dụng nhiều trong đại số(giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trinh đại số), trong giải tích và hình học.Bài giảng số 5 xem xét một vài ứng dụng như thế của lượng giác. Mặc dù vậy, trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp với năng lực cá nhân còn hạn chế cũng như thời gian hạn hẹp, chúng tôi không hy vọng giải Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 3 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác quyết được hết các mục tiêu đề ra và cũng không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn. Hà Nội, ngày 19/5/2007 Sinh viên :Nguyễn Thị Thu Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 4 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài giảng số 1: Biến đổi lượng giác Muốn giỏi về lượng giác, học sinh phải thuộc tất cả các công thức và vận dụng được nó một cách linh hoạt, đồng thời phải thành thạo các phép biến đổi cơ bản. Trong bài giảng này chúng ta sẽ đưa ra một số bài toán để học sinh luyện tập tốt các công thức lượng giác. Sự luyện tập này rất cần thiết để học sinh có đủ kĩ năng và trình độ để giải quyết các bài toán khó trong các bài giảng sau.Bài giảng gồm 5 tiết và phần bài tập: §1: Hệ thức cơ bản của lượng giác §2:Công thức cộng cung §3: Hàm số lượng giác của những góc bội §4:Biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng §5: Sử dụng định lý Viet bậc 3 Bài tập Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 5 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác §1: Hệ thức cơ bản của lượng giác 1) sin 2 α + cos 2 α =1 ∀α 2) 1+tg 2 α = 1 cos 2 α 3) 1+cotg 2 α = 1 sin 2 α Biết sin α + cos α = m. Hãy tính theo m các biểu thức sau: A = sin 3 α + cos 3 α B = sin 7 α + cos 7 α A = sin 3 α + cos 3 α Từ giả thiết suy ra: m 2 = (sin α + cos α) 2 = 1 + 2 sin α. cos α ⇒ sin α. cos α = m 2 − 1 2 Ta có A = (sin α + cos α) 3 − 3 sin α. cos α(sin 2 α + cos 2 α) ⇒ A = m 2 − 3( m 2 − 1 2 ) B = sin 7 α + cos 7 α ⇒ B = (sin 3 α + cos 3 α)(sin 4 α + cos 4 α) − sin 3 α. cos 3 α(sin α + cos α) Ta có sin 4 α + cos 4 α = (sin 2 α + cos 2 α) 2 − 2 sin 2 α. cos 2 α =1−2 sin 2 α. cos 2 α Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 6 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác =1− 1 2 (m 2 − 1) 2 Vậy B =[m 3 − 3( m 2 − 1 2 )].[1 − 1 2 (m 2 − 1) 2 ] − m.( m 2 − 1 2 ) 3 *Chú ý: ∀k ∈ Z + sin k α + cos k α đều có thể tính theo m. Biết rằng (sin α + cos α) hữu tỉ. Chứng minh rằng ∀n ∈ Z + sin n α + cos n α cũng là hữu tỉ Chứng minh quy nạp Với n=1: (sin α + cos α) hữu tỉ. Với n=2: (sin 2 α + cos 2 α)=1 hữu tỉ. Giả sử khẳng định bài toán đã đúng đến n ∈ Z + nghĩa là: sin n α+cos n α là hữu tỉ. Ta chứng minh sin n+1 α + cos n+1 α là hữu tỉ. Thật vậy, ta có: sin n+1 α + cos n+1 = (sin n α + cos n )(sin α + cos α)− −sin α. cos α(sin n−1 α + cos n−1 α) Theo giả thiết quy nạp: (sin α + cos α); (sin n−1 α + cos n−1 ); (sin n α + cos n ) là các số hữu tỷ Mà sin α. cos α = (sin α + cos α) 2 − 1 2 ⇒ sin α. cos α là số hữu tỷ Suy ra sin n+1 α + cos n+1 là số hữu tỷ ⇒Đpcm Vậy sin n α + cos n α là số hữu tỉ. Biết sin α − cos α =1. Hãy tính A = sin 3 α + cos 4 α Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 7 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Từ giả thiết: sin α − cos α =1 bình phương hai vế ta được: sin α. cos α =0 ⇔  cos α =0 ⇒ sin α =1⇒ sin 3 α + cos 4 α =1 sin α =0⇒ cos α = −1 ⇒ sin 3 α + cos 4 α =1 Vậy A=1 Biết 3 sin 4 α + 5 cos 4 α =5. Hãy tính giá trị của B = 5 sin 4 α + 3 cos 4 α Từ giả thiết: 3 sin 4 α + 5 cos 4 α =5 ⇒ 3 sin 4 α + 5(1 − sin 2 α) 2 =5 ⇒ 3 sin 4 α + 5 + 5 sin 4 α − 10 sin 2 α − 5=0 ⇒ 8 sin 4 α − 10 sin 2 α =0⇒ sin 2 α(4 sin 2 α − 5) = 0 ⇔   sin 2 α = 5 4 > 1(loi) sin 2 α =0 ⇒ cos 2 α =1⇒ 5 sin 4 α + 3 cos 4 α =5.0+3.1=3 Vậy B=3 Biết 1 cos x − tgx =2. Hãy tính giá trị của C = 1 cos x + tgx Ta có 1+tg 2 α = 1 cos 2 α ⇔ 1 cos 2 α − tg 2 α =1 ⇔ ( 1 cos α − tgα)( 1 cos α + tgα)=1 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 8 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác ⇔ ( 1 cos α + tgα)= 1 ( 1 cos α − tgα) = 1 2 Ký hiệu f k (x)= 1 k (sin k x + cos k x). Chứng minh rằng: f 4 (x) −f 6 (x)= 1 12 ∀x Ta có: f 4 (x)= 1 4 (sin 4 x + cos 4 x)= 1 4 [(sin 2 x + cos 2 x) 2 − 2 sin 2 x cos 2 x] ⇒ f 4 (x)= 1 4 (1 − 1 2 sin 2 2x)= 1 4 − 1 8 sin 2 2x f 6 (x)= 1 6 (sin 6 x + cos 6 x) = 1 6 [(sin 2 x + cos 2 x) 3 − 3 sin 2 x cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x)] ⇒ f 6 (x)= 1 6 (1 − 3 sin 2 x cos 2 x)= 1 6 − 1 8 sin 2 2x ⇒ f 4 (x) − f 6 (x)= 1 12 ∀x Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 9 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác §2: Công thức cộng cung 1) cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b 2) cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b 3) sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a 4) sin(a −b) = sin a cos b − sin b cos a 5) tg(a + b)= tga + tgb 1 − tgatgb 6) tg(a −b)= tga − tgb 1+tgatgb 7) cotg(a + b)= cotga.cotgb −1 cotga + cotgb 8) cotg(a − b)= cotga.cotgb +1 cotgb − cotga Tính giá trị của 1) cos π 12 2) tg π 8 Ta có: cos π 12 = cos ( π 4 − π 6 ) = cos π 4 cos π 6 + sin π 4 sin π 6 = √ 6+ √ 2 4 Ta có: tg π 8 = tg( π 4 − π 8 )= tg π 4 − tg π 8 1+tg π 4 tg π 8 = 1 − tg π 8 1+tg π 8 ⇔ 1 − tg π 8 = tg π 8 + tg 2 π 8 ⇔ tg 2 π 8 +2tg π 8 − 1=0 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 10 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 [...]... Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Đối với đẳng thức còn lại, ta làm tương tự hoặc dùng phép đổi biến  a = π − x    2  π b= −y  2   π  c = − z 2 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 30 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Sử dụng định lý Viet bậc 3 §5: Xét phương trình... x3 = − d a Đây là hệ thức liên quan giữa các nghiệm của phương trình bậc 3 Kết hợp với các hằng đẳng thức trong đại số chúng ta có thêm các đẳng thức của các nghiệm như sau: (∗) 1 1 1 x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 + + = x1 x2 x3 x1 x2 x3 c c = a =− d d − a Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 31 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác (∗) x2 + x2 + x2... dụng các đẳng thức trên với lần lượt (x,y,z) bằng (A,B,C);(nA,nB,nC), trong đó: A,B,C >0 và A+B +C = π ta thu được các đẳng thức sau: sin A+sin B +sin C −sin(A+B +C) = 4 sin B +C C +A A+B sin sin 2 2 2 π A π B π C ⇒ sin A + sin B + sin C − sin π = 4 sin( − ) sin( − ) sin( − ) 2 2 2 2 2 2 Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 23 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng. .. − cos sin( 2 2 2 nB nC nA cos cos ⇒ sin(nA) + sin(nB) + sin(nC) = −4 cos 2 2 2 sin( Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 25 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Các đẳng thức đã được chứng minh cos A + cos B + cos C + cos(A + B + C) = B+C C +A A+B cos cos = 4 cos 2 2 2 π A π B π C ⇒ cos A + cos B + cos C + cos(π) = 4 cos( − ) cos( − ) cos( −... dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 27 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Tương tự sin 2y + sin 2z = − sin(y + z) sin 2z + sin 2x = − sin(z + x) Suy ra: 2A = −[sin(x + y) + sin(y + z) + sin(z + x)] Thế vào (**) 1 ⇒ A − 2A = 0 2 ⇒A=0 Ta chứng minh B=0 Bình phương đẳng thức (1)và (2) rồi trừ đi cho nhau ta được: cos 2x + cos 2y + cos 2z + 2[cos(x +... a(cos2 (x + y + z) + sin2 (x + y + z)) ⇒ cos(x + y) + cos(y + z) + cos(z + x) = a Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 13 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác §3: Hàm số lượng giác của những góc bội sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a 2tga tg2a = 1 − tg 2 a cotg 2 − 1 cotg2a = 2cotga sin 3a = 3 sin a −... = sin a sin b cos a − cos b = −2 sin 2) Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)] 2 1 sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] 2 Tính các tổng sau: Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 20 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác cos 3π π + cos 5 5 cos 1 π 2π 3π − cos +... cos α − β = a 2 2 2 cos α + β cos α − β = b  2 2 α+β a ⇒ tg( )= 2 b Từ công thức biểu diễn theo tg của góc chia đôi: a 2tg 2 sin a = a ta có: 2 1 + tg 2 a 2 2ab b sin(α + β) = = 2 a 2 a + b2 1+ b Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 26 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Biết rằng:  sin x + sin y + sin z = 0 cos x + cos y + cos z = 0 Chứng... tg10 là số vô tỷ ABC có tgA,tgB,tgC là các số nguyên dương Hãy tính tgA,tgB,tgC Giả sử A≤B≤C ⇒ A ≤ 600 √ ⇒ 0 < tgA ≤ 3 ⇒ tgA = 1 ⇒ A = 450 ⇒ B + C = 1350 ⇒ −1 = tg(B + C) = tgB + tgC 1 − tgBtgC ⇒ (tgB − 1)(tgC − 1) = 2 ⇒ Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng tgB = 2, tgC = 3 12 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Biết sin x + sin y + sin z cos... - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác ⇒ cos x cos y cos z = 0 Không mất tổng quát, giả sử cos x = 0 ⇒ cos y + cos z = 0 ⇒ cos y = − cos z Khi đó: cos 2x cos 2y cos 2z = (2 cos2 x − 1)(2 cos2 y − 1)(2 cos2 z − 1) = −1(2 cosy −1)2 ≤ 0 Vậy cos 2x cos 2y cos 2z ≤ 0 Chứng minh rằng: (4 cos2 90 − 3)(4 cos2 270 − 3) = tg90 Từ công thức cos 3a = 4 cos3 a − 3 cos a ⇒ . tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác Bài giảng số 1: Biến đổi lượng giác Muốn giỏi về lượng giác, học sinh phải thuộc tất cả các công thức và vận dụng được nó một cách linh. dài. Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác& quot; gồm 5 bài giảng: Gv hướng dẫn: Th.s Phạm Văn Hùng 2 Sv: Nguyễn Thị Thu - SP Toán 48 Khóa luận tốt nghiệp Các bài giảng bổ sung về đẳng thức. đã đặt đề tài cho chúng tôi là:" ;Các bài giảng bổ sung về đẳng thức lượng giác& quot;. Đó là công việc biên soạn một số bài giảng về đẳng thức lượng giác cho đối tượng học sinh khá và giỏi