Các phương pháp tính nguyên hàm

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 02: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp đổi biến ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn u = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác định ( ) x u   ( nếu có thể) Bước 2: Xác định vi phân '( ) dx u du   Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo u và du. Giả sử rằng f(x)dx = g(u)du Bước 4: Khi đó ( ) ( ) f x dx g u du    Luu ý: Các dấu hiệu dẫn đến việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là Bài toán 1: Phương pháp đổi biến dạng 1 Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm a. I = 3 2 8 (2 3 ) x x dx   c. I = 2 x x dx e e   b. I = 2 1 x dx x   d. I = 3 sin cos x xdx  Bài giải: a. Đặt t = 2 – 3x 2  dt = - 6xdx, ta được:   3 2 8 2 2 8 8 9 8 2 1 1 (2 3 ) (2 3 ) . . 2 3 6 18 t x x dx x x xdx t dt t t dt                   Khi đó: I =   9 8 10 9 10 9 1 1 1 2 1 1 2 18 18 10 9 180 81 t t dt t t C t t C                   b. Đặt 2 2 1 1 1 2 t x t x x t dx tdt                  2 2 2 4 2 1 2 2 2 1 1 t tdt x dx t t dt t x         http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Khi đó:   2 4 2 5 3 2 4 2 2 1 5 3 1 x dx t t dt t t t C x                 4 2 2 2 2 4 1 5 3 2 4 1 1 1 1 5 3 2 3 4 8 1 15 t t t C x x x C x x x C                                     c. Đặt 2 2 2 1 2 2 x x x dx t e dt e dt e         2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x dx dx e dx tdt dt t t e e e e e e                                                 Khi đó: 2 2 1 2 1 2 ln 1 1 x x I dt e e C t                                  Chú ý: Chúng ta có thể sử dụng cách đặt 2 x t e  d. Đặt cos t x   2 cos 2 sin t x tdt xdx      3 2 2 sin cos sin cos sin 1 cos cos sin x xdx x x xdx x x xdx           4 6 2 1 . . 2 2 t t tdt t t dt      Khi đó: I     6 2 7 3 6 2 1 1 2 2 2 3 7 7 3 21 t t dt t t C t t t C                    =   3 2 3cos 7cos cos 21 x x x C   Bài toán 2: Phương pháp đổi biến dạng 2 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn ( ) x t   , trong đó ( ) t  là hàm số mà ta chọn cho thích hợp Bước 2: Lấy vi phân '( ) dx t dt   Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và đường thẳng. Giả sử f(x)dx = g(t)dt     f x dx g t dt     Luu ý : Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm a.   3 2 1 dx x  b.    1 2 x x dx    Bài giải: a. Đặt x = sint, 2 2 t      cos dx tdt   Khi đó:   3 2 3 2 2 cos sin tan cos cos cos 1 1 dx tdt dt t x t C C C t t t x x              Chú ý: Ta cũng có thể đặt x = cost, 0 t    b. Đặt 2 1 sin ,0 sin 2 2 x t t dx tdt        Khi đó:     2 2 2 1 1 1 sin 1 sin sin 2 sin 2 1 cos4 sin 4 2 2 4 I t t tdt tdt t dt t t C                        2 1 1 1 1 sin 2 .cos2 arccos 3 2 3 2 1 3 2 2 8 4 8 t t t C x x x C           http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Chú ý: Trong ví dụ trên ta đã dung phép biến đổi:   2 1 1 sin 1 1 os2 cos2 3 2 2 x t c t t x             1 2 arccos 3 2 arccos 3 2 2 t x t x       B. PHƯƠNG PHÁP LẤY NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Biến đổi 1 2 ( ) ( ). ( ) f x dx f x f x dx    Bước 2: Đặt 1 2 ( ) ( ) u f x du dv f x dx v            Bước 3: Khi đó: I = uv - vdu  Luu ý: Khi sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của chúng ta tuân thủ các nguyên tắc sau a. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định dễ dàng b. Tích phân bất định vdu  được xác định một các dễ dàng hơn so với tích phân ban đầu Bài toán 1: Tính I =   ( )sin P x x dx   hoặc   ( )cos P x x dx   với P là một đa thức thuộc   , R X R    Phương pháp: Cách 1: ( Sử dụng tích phân từng phần ). Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt '( ) ( ) 1 sin cos du P x dx u P x dv dx v                 http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Bước 2: Khi đó I = 1 1 ( )cos '( )cos P x P x xdx        Bước 3: Tiếp tục các bước trên ta “ khử” được đa thức Cách 2: (Sử dụng phương pháp hằng số bất định ). Ta thực hiện theo các bước Bước 1: Có ( )cos ( )sin ( )cos P x xdx A x x B x x C        (1) , trong đó A(x), B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x) Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:     ( )cos '( ) ( ) sin ( ) '( ) cos P x x A x B x x A x B x x        (2) Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được các đa thức A(x) và B(x) Bước 3: Kết luận Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) 3  ta thấy ngay cách 1 quá cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện việc lấy tích phân từng phần nhiều hơn 3 lần. Do đó: Nếu bậc của P(x) 2  , ta lựa chọn cách 1 Nếu bậc của P(x) > 2, ta lựa chọn cách 2 Ví dụ 3: Tính a. I = 2 .sin x xdx  b. I =   3 2 2 3 sin x x x x dx     Bài giải: a. Ta có I = 2 1 cos2 1 1 1 1 cos2 cos2 2 2 2 4 2 x x dx xdx x xdx x x xdx                Xét J = cos2 x xdx  , đặt: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà 1 cos2 sin 2 2 du dv u x dv xdx v x              1 1 sin 2 sin2 sin 2 cos2 2 2 2 4 x x J x xdx x x C        Vậy I = 2 1 1 sin 2 cos2 4 4 8 x x x x C    b. Ta có: I =   3 2 2 3 sin x x x x dx     =     3 2 3 2 1 1 1 1 2 2 2 2 cos sin a x b x c x d x a x b x c x d x C         (1) Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:     3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 ( 2 3)sinx 3 2 cos x x x a x a b x b c x c d x                   3 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 sinx a x a b x b c x c d            (2) Đồng nhất đẳng thức ta được: 2 1 2 1 2 1 2 0 3 0 2 0 0 a a b b c c d               (I) và 1 2 1 2 1 2 1 1 3 1 2 2 3 a a b b c c d                   (II) Giải hệ (I) và (II) ta được: 1 1 1 1 2 2 2 2 1, 1, 4, 1, 0, 3, 2, 4 a b c d a b c d            Vậy I =     3 2 2 4 1 cos 3 2 4 sinx x x x x x x C         Bài toán 2: Tính I = ( ) x P x e dx   , với P là một đa thức thuộc   , R X R    Phương pháp: Cách 1: ( Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Bước 1: Đặt '( ) ( ) 1 x x du P x dx u P x v e dv e dx                 Bước 2: Khi đó I = 1 1 ( ) '( ) x x P x e P x e dx       Bước 3: Tiếp tục các bước trên ta “ khử” được đa thức Cách 2: ( Sử dụng phương pháp hằng số bất định). Ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Ta có: I = ( ) ( ) x x P x e dx A x e C      (1) trong đó A(x) là đa thức cùng bậc với P(x) Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được   ( ) ' ( ) x x P x e A x A x e          (2) Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được A(x Bước 3: Kết luận Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) 3  ta thấy ngay cách 1 quá cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện việc lấy tích phân từng phần nhiều hơn 3 lần. Do đó: Nếu bậc của P(x) 2  , ta lựa chọn cách 1 Nếu bậc của P(x) > 2, ta lựa chọn cách 2 Ví dụ 4: Tính a. I = 3x xe dx  b. I =   3 2 2 2 5 2 4 x x x x e dx     Bài giải: a. Đặt 3 3 1 3 x x du dx u x v e dv e dx              http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Khi đó I = 3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 9 x x x x xe e dx xe e C      b. Ta có:     3 2 2 3 2 2 2 5 2 4 ax x x x x x e dx bx cx d e C          (1) Lấy đạo hàm 2 vế của (1) ta được       3 2 2 3 2 2 2 5 2 4 2 3 2 2 2 2 x x x x x e ax a b x b c x c d e               (2) Đồng nhất đẳng thức ta được 2 2 1 3 2 5 2 2 2 2 3 2 4 a a b a b c b c d c d                           Khi đó I =   3 2 2 2 3 x x x x e C     Bài toán 3: Tính I = ( ).ln . p x dx   , với P là một đa thức thuộc   , R x R    Phương pháp: Bước 1: Đặt 1 ln ( ) ( ) u x du dx x dv p x dx v P x               ( ) ( )ln J P x dx I P x x x       Bước 2: Nguyên hàm của J được xác định bằng cách chia đa thức Ví dụ 5: Tính a. I =   ln , \ 1 x xdx R     b. I = 2 ln 2 x xdx  Bài giải: http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà a. Đặt 1 1 ln 1 du dx u x x dv x dx x v                     Khi đó: I =   1 1 1 2 ln ln 1 1 1 1 x x x x x dx x C                     b. Đặt 2 3 ln 2 1 3 dx du u x x dv x dx v x                Khi đó I = 3 3 3 2 1 ln2 ln 2 3 3 3 9 x x x x x dx x C      Bài toán 4: Tính I = ax sin( ) e bx dx  hoặc ax cos( ) e bx dx  , với , 0 a b  Phương pháp: Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Đặt ax ax sin( ) cos( ) 1 du b bx dx u bx v e dv e dx a               Khi đó: I = ax ax 1 cos( ) sin( ) b e bx e bx dx a a   (2) Bước 2: Xét J = ax sin( ) e bx dx  , đặt: ax ax cos( ) sin( ) 1 du b bx dx u bx v e dv e dx a              Khi đó J = ax ax ax 1 1 sin( ) cos( ) sin( ) b b e bx e bx dx e bx I a a a a     (2) http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà Bước 3: Thay (2) vào (1) được I =   ax 2 2 cos( ) sin( )a bx b bx e C a b    Cách 2: ( Sử dụng phương pháp hằng số bất định). Ta thực hiện theo các bước Bước 1:Ta có: I =   ax ax cos ( ) cos( ) sin( ) e x bx dx A bx B bx e C     , trong đó A, B là các hằng số Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế ta được     ax ax ax cos( ) Asin( ) cos( ) cos( ) sin e bx b bx B bx e a A bx B Bx e      =   ax Aa cos( ) ( )sin( ) Bb bx Ba Ab bx e        Đồng nhất đẳng thức ta được: 2 2 2 2 Aa 1 0 a A Bb a b Ba Ab b B a b                    Bước 3: Vậy ta được I =   ax 2 2 cos( ) sin( )a bx b bx e C a b    Chú ý: 1. Nếu bài toán yêu cầu tính giá trị của một cặp tích phân: ax 1 cos( ) I e bx dx   và ax 2 sin( ) I e bx dx   ta lựa chọn cách sau:  Sử dụng tích phân từng phần cho I 1 , đặt ax ax sin( ) cos( ) 1 du b bx dx u bx v e dv e dx a               Khi đó ax ax ax 1 2 1 1 cos( ) sin( ) cos( b b I e bx e bx dx e bx I a a a a      (3)  Sử dụng tích phân từng phần cho I 2 , đặt ax ax cos( ) sin( ) 1 du b bx dx u bx v e dv e dx a              [...]... Bài 2: Tính các nguyên hàm sau Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà http://baigiangtoanhoc.com a  b  Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học dx ( x 2  1)3 1 x dx 1 x ĐS: a Đặt x = tant,   x  t   I  sin t  C  C 2 2 1  x2 b Đặt x = cos2t, 0  t    I  2t  1  cos 2 2t  C   arccos x  1  x 2  C 2 Bài 3: Tính các nguyên hàm sau... Khi đó I2 =  Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học 1 ax b 1 b e sin(bx)   eax cos(bx)dx  eax sin(bx)  I1 a a a a Từ (3) và (4) ta được I1  I2  a cos(bx)  b sin(bx) eax  C a 2  b2 (4) và  a sin(bx)  b cos(bx) eax  C  a 2  b2 2 Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân: J1 =  eax sin 2 (bx ) dx và J2 =  e ax cos 2 (bx) dx Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm I =  e x cos 2 xdx... 5  cos 2 x  2sin 2 x  e  C 2  Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà (4) http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm nguyên hàm a I = d  2 2  x 1  2 x  53 cos x.sin 3 x dx b  1  sin 2 x dx dx 1 e e I = x  dx 2 ,a  0 x a cos 2 x dx c I =  sin 8 x f I =  dx  x  1 x  2  ĐS: . học: Các dạng tích phân ôn thi đại học Bài giảng độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà BÀI GIẢNG SỐ 02: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM A. PHƯƠNG PHÁP. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp đổi biến ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn u = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho. Bước 3: Khi đó: I = uv - vdu  Luu ý: Khi sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của chúng ta tuân thủ các nguyên tắc sau a. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được