Chương 4
LI THUYET TICH PHAN
41 TICH PHAN CUA HAM SO BIEN SỐ PHUC
1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Định nghĩa Cho +y là đường cong Jordan, trơn từng khúc với
hai đầu mút a.6 Trên + cho hàm sé f(z) Chia + thành n phần bởi
các điểm chia œ = z.zs Zn+) = b (các điểm chia được cho theo chiều tăng của tham số) trên mỗi cung zzzz+¡ lấy điểm (œ bất kì
(k =L.2, m + 1)
Lập tổng:
Sy, = » = — #k) (1)
k=l
Sn goi la tong tich phan
Nếu giới hạn của tổng tích phân trên ton tat khi d = mar \znqa—
~ 1<k<n
z„| dần về 0, khơng phụ thuộc vào cách chia đường cong + và cách
chọn C thì giới hạn đĩ được gợi là tích phân cửa hàm f(z) doc theo
đường cong ^ Kí hiệu:
| Trà = fim f(G) 6i — z0 (2)
Sự tồn tại của tích phân trên tương đương với sự tồn tại của tích phân của bai hàm số biến số thực
That vay, dat:
f(z) = ula y) + to(7, y)) ze = oe + yk:
Aze = 2r41 — 2 = Ary + iAyn:
Ch = Ex + ings un = ulEns Mei ve = v(EK Mk)
Trang 2Khi đĩ (1) cĩ thể viết dưới dạng:
Sn = Ð (My + #k)(Azk + 2A1)
k=1
+
Sy = So (ur Aze — UygAx) +2 (uyAx + 0uAzk) (3)
k=1 k=1
vế phải cửa (3) là tổng tích phân của các tích phân đường loại hai
tương ứng Sự tồn tại lim Sn, kéo theo sự tồn tại của các tổng tích
phân ở vế phải và ta cĩ:
[fea = [vas — ody + if udy + ude (4)
3 Y
Bay giờ nếu ta xem đường cong + cho dưới dạng tham số, thì hàm
f(z) được biểu diễn dưới dạng hàm số phức của biến số thực tu) = ƒ@)) = 20) + #0) (5) với điều kiện thích hợp cửa hàm ƒ, ta cĩ: 8 8 8 / w(t)dt = / d(t)dt +i J wit)dt (6) Ì hoac 8
[tee =f tems oat (7)
trong d6 z(t) = y(t) vai y(a) = a va +(Ø) = b
Trang 31.2 Ví dụ 1) Tính tích phân sau ƒ Zdz.trong đĩ + là đoạn thẳng nối z = 0 * va z=2+¡ Áp dụng cơng thức (4) ta cĩ [r= = ¬ + du) + rJee= ydx) ~ Phương trình cửa + là = š,z € [0.2] Suy ra 2 dz 5 2
[re [ (ade + 5 sa (2S - Gaz) = 1 xở+ = 2) Tinh tich phan sau f 22 với + là đường trịn tâm a bán kính hol or r Phương trình tham số cửa + là = >()=a+re”, te [0,27] Áp dụng cơng thức (7), ta cĩ dz 2m iret ; = —— = 277 0 z—d re*t dt 1.3 Các tính chất cơ bản
Trang 43) Giá sử +ị +: là hai đường cong Jordan trơn, sao cho +k(£) xác định trên [œy, đ¿|, (k = 1,2) và đi = ă¿ Khi đĩ với y = +ị U22, ta cĩ:
[e0 = [ toa: + [ reia:
4) Đối với hàm f bất kì, liên tục trên + trơn, ta luơn luơn cĩ
HH < J 242):
trong đĩ |dz| = dr? + dy? la vi phan cung §2 TICH PHAN CAUCHY
2.1 Bổ đề Goursat
Nếu w = f(z) la hàm liên tục trên miền đơn liên D va + là đường
cong Jordan, tron, kin chứa trong D thì với mọi e > 0 cho trước, tồn
tại đa giác P CD cĩ các đỉnh nằm trên + sao cho
J ƒ(z)dz “J ƒ(z)dz| < s
trong đĩ ØP là biên của đa giác P
Chứng minh Gọi Dị là miền sao cho y+C Đị CD và ¡ là độ
dài cung của + Do ƒ liên tục trên y nên ƒ liên tục đều trên DỊ
nghĩa là: với mọi e > 0, tồn tại ổ > 0 sao cho véi moi 21.22 € Dy ma
|z1 — z2| < 6 kéo theo | f(z1) — f(z2)l < §
Chia đường cong + thành n cung nhỏ +g(k = 1,2, ,n) béi các điểm chia zq, z2, , z„ sao cho đ(+x) < 6, < 6, trong dé đ(+x) là đường kính của + nghĩa là
d(+) = maz |z — z]; z,Z €^k
Trang 5ồi là số được chọn sao cho Ð CD (P là đa giác với các đỉnh là Z1,Z2, Z„) Khi đĩ ta cĩ: LL | f fedde ~ So fledal <> f isle) ~ fleadidel < 5 Tiong tu ˆ € LỆ Tteidz = ŠV fi)Az| < 5, aP k=] J /(z)dz “| fl2)dz| << 2.2 Dinh li Cauchy Như chúng ta đã biết, tích phân đường loại hai | Pú-vas + Q(z y)dy (9) 4
nĩi chung phụ thuộc vào dạng đường cong + nổi hai diém (zy, yy) va
(Zi.i)- Tuy nhiên khi cho P(z,y) va Q(x, y) thém một số điều kiện
nào đĩ thì (9) chỉ phụ thuộc vào (Zo, ò) và (#i.0ì) mà khơng phụ
thuộc vào đạng của đường cong +
Điều kiện đĩ là: các hàm P.Q phải cĩ các đạo hàm riêng cấp một, liên tục và các đạo hàm đĩ phải thoả mãn hệ thức:
8P 0Q
—— =_—~, với mọi (z,)€ By > Oa i (a, Y) DC RẺ
Bay giờ đối với hàm số biến số phức, ta xét xem với điều kiện nào của ham f(z) thi f f(z)dz khơng phụ thuộc vào dạng của đường
*
` ^ ` aad ` ` vat + `
cong, mà chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường cong Nội dung của định lí Cauchy sẽ trả lời câu hỏi này
Trang 6Định lí Cauchy Giả sử hàm ƒ(z) giải tích trong miền đơn liên,
Trang 7Từ bất đẳng thức trên, suy ra tồn tại một tam giác mà ta kí hiệu AI sao cho Jực (z)đz| „ử — Tiếp tục quá trình như trên ta được một dãy các tam giác{A„} sav cho với Y= OA, ADA, D DA,D với chu vi bằng đệ dài cung của + chia cho 2* Gọi số đĩ là on va LÍ 7)4z| > ma Yn Theo định }i dãy hình cầu đĩng lồng vào nhau với đường kính đần về Q ta cĩ: () An = {20}
Vì hàm ƒ(z) giải tích tại zo € D nên với mọi € > 0 ton taid > 0 | sao cho với mọi z € D mà |z — zg| < 6 kéo theo
¡ =|f£}=2 — f'(20)| < €
Hay
f(z) — f(20) ~ Ÿ (zo)(z — zo) = (z — za)a(2),
Trang 8Mat khac, voi n dij lon ta luơn luơn cĩ: An C {z € C]|z — zo| < 4} Khi đĩ: x < | f #24 = | f awe — 29)dz| < Ílata)l: — zol||dz| < Yn el? Qn! Từ bất đẳng thức trên ta suy ra À# = 0 Vậy lai =8 Ỳ
Nếu + là biên của một đa giác ,P thì ta chia đa giác đĩ thành các
hình tam giác và do tính định hướng của các biên cửa các tam giác, ta,
suy ra:
[ sem: = | 1 =0
trong đĩ + là biên của tam giác
Nếu + là đường cong kín bất kì, thì dùng bé dé Goursat, ta được: LÍ 2604| = LÍ 7)äz — Í 74) <£ ¬ + aP Vay [ tea = 0 e 7
2.3 Dinh lí Cauchy mở rộng trên biên
Nếu ƒ{(z) là hàm giải tích trên miền đơn liên hữu hạn Ð và liên tục trên biên của miền D, thì ƒ ƒ(z)đz =0
3D
Chứng minh Khơng mất tính tổng quát ta gid sử miền D cĩ
tinh chat: Ton tại điểm zo € D sao cho mọi tia xuất phát từ điểm zụ
Trang 9chỉ cất biên của Ð tại một điểm Và ta cĩ thể giả sử zo = 0 Khi đĩ ðD cĩ phương trình: z = z(t) =r(t)e” te [0.27] Gọi 4) la đường cong cĩ phương trình: € = Az(t), A € (0,1) Theo định lí Cauchy, ta cĩ: ƒ ƒ(C)d€ = 0 J 702A: =À J #(Az)dz =0 aD aD Suv ra hay [ flags= [rte sr2)yae aD aD
Vi f(z) lién tue trén D = DU OD nên nĩ liên tục đều trên đĩ,
Trang 102.4 Định lí Cauchy cho miền đa liên
Giả sử ƒ(z) giải tích trên miền D hữu hạn, đa liên với biên là
+ = ToUnU Ưyu và ƒ(2) liên tục trên Ð = yUD Khi đĩ, ƒ(z)dz = 0
Chứng minh Để đơn giản mà khơng mất tính tổng quát, ta đưa về trường hợp miền nhị liên với biên là y = yo Uy,
ZY
Y
0 Hình 8
Nối +q với + bởi đoạn Ì Khi đĩ trên miền D* = DÀI hàm f(z) thoa mãn điều kiện của định lí Cauchy suy rộng trên biên, nên:
Trang 112.5 Cơng thức tích phân Cauchy
Định lí Giả sử ƒ(z) giải tích trong miền hữu hạn đơn liên D và
zo € D, con + là đường cong Jordan, trơn, kín bất ki bao quanh zg va
nằm trong D Khi đĩ ta cĩ cơng thức tích phân Cauchy
fla) = af Oa
Hon nữa, nếu ƒ(z) liên tục trên biên của D thì với mọi z € D; ta
» 10) = a5 | : Lf £0
Trang 12Do ham f giải tích tại zọ, nên: f(Q) = Fl2o3 C — 2 bị chặn trong lân cận cửa zo, nghĩa là: |4=#“°| < Mí, với r đủ bé.Từ (11) suy ra: | [ HO=Leae) comm vì r bé tuỳ ý và do (10) nên: [SS Z9) ac] =0 hay F(zo) | lẻ ak li = Mặt khác ta cĩ: F{zo) [eS (20) C— 2 đc = Cuts = f(20) c- Vay =a | a
Trang 13§3 TÍCH PHÂN LOẠI CAUCHY
Tích phân loại Cauchy nĩi lên rằng giá trị tại một điểm zo € D của hàm giải tích phụ thuộc vào giá trị trên biên Tuy nhiên hàm f(z)
khơng đồi hỏi giải tích trên biên mà chỉ cần liên tục mà thơi Vì vậy
vấn đề tự nhiên được đặt ra là phải nghiên cứu tính chất của hàm xác định bởi hệ thức sau:
— #() ac
F(z) = re mu (12)
trong dé | la dong cong Jordan, trơn (hoặc trơn từng khúc).œ là hàm
liên tục trên / Hàm Ƒ(z) xác định bởi (12) gọi là tích phân loại Cauchy
Tích phân loại Cauchy cĩ tính chất sau:
3.1.Định lí Nếu ¿(€) liên tục trên đường cong Jordan trơn ¿ thì tích phân loại Cauchy là một hàm giải tích trên C\Í và cĩ đạo hàm 1 ø(€) F'z) = )* oni J C= PIS) vác, (13) Hon nira F(z) cé dao ham moi " va {n) — al #(€) Z ¿ E9!) 2m | ayes (14) ‡
Để chứng minh định lí trên ta dùng bổ đề sau:
Trang 14Chứng mình Đặt
W(¢.z) = u(€ 12.1) + LUỆẶc, 1, 1)
F\z) = U(z.) +:V(+,} Theo định nghĩa tích phân, từ (15) ta cĩ:
U(z.9) = fudg — vay (17) l V{(+.u) = [vas +udn (18) Jt Theo giả thiết oe liên tục suy ra gu am ge g oe liên bục theo các biến € 9,2 y
Vì vậy đối với các cịng thức (17) và (18) ta cĩ thể lấy vì phân theo x và y dưới dấu tích phân Ta cĩ: OU Ou Ov “ 3V ae = | a.~ a,= | y4 5x = j an 4 ~ gạ = St Bye" = By _<= ou Ou Ov ee 3V — = | —dé- ay" =— ape + te =—— Oy 1; Oy + œ sự 1 Bs
Vay F(z) giai tich trén D Hơn nữa F(z) = ge + i
Trang 15Hàm W, thoa mãn điều kiện cửa bơ đề, nên ta cĩ: 4) L fO¥i 1 f ví€) Pa) = 5 [hp (2đ = ge | su VA 1 au (nj (2) J) 5 (€ z)đc ne > 271 cm Hệ quả Nếu ƒ(z) giải tích trên miền đơn liên Ð cĩ biên là + thì + , ` ~ ` ` 2 ae oat Z nĩ cĩ đạo hàm mọi cấp và đạo hàm của nĩ cho bởi biểu thức 0t) = ne _ /@) _ d #“'œ) Oni J (C- 2)" ẹ
3.2 Nguyên hàm cửa hàm số biến số phức Từ định lí Cauchy ta cĩ hệ quả sau:
Hệ quả Nếu ƒ(z) giải tích trong miền đơn liên và zo.z € D,
thì tích phân ®{(zo, z) = J ƒ(€)4€, chỉ phụ thude vao z va z ma khong
phụ thuộc vào no của đường cong nối chúng và nằm trong D Khi c6 dinh z thi F(z) = =J ƒ(C)đ€ là hàm của biến số z Hon nita F(z)
Za
cùng là ham giải tích Điều này được chứng minh trong định If sau: Định lí Giả sử f(z) liên tục trên miền đơn liên Ð và với mọi đường cong Jordan, tron kin + chứa trong D, ta đều cĩ J, f(z)dz = 0 Khi đĩ với zo € D cố định, hàm F(z) = f f(C)d¢ la ham giải tích trên
D va F(z) = ƒ(2) "
Chứng ae Theo gid thiét [| f(z)dz = 0, Vy Cc D
Suy ra F{z) = = fr ƒ(C)dđ€, xác định một hàm trên D Với imei
zeD, ta xét:
F(z+Az)—F(z) 1 o?t™?
OO a / f(G)d¢
Trang 16z Mặt khác [24% dg =1 Suy ra: 1 2 và z+Az =2 —”” -/0|=laz `” Ư&)-7))4 z+Az
<a, / I/(Q — F(DMlae| (19)
Do ƒ liên tục trén D nén Ve > 0,46 > 0 sao cho | f(¢) — f(z)| < € voi moi ¢ € D ma |¢ — z| < 6 Chon Az sao cho |Az| < 6 tir (19) ta cĩ: F(z4+ Az)— F(z ztAz FEF ADS PO) _ 42) < iad c|dé| = < Vậy F Az)-F lin, “EEE = se) Hay F"(z) = f(z)
Dinh nghia Ham F(z) duoc goi la nguyén ham cda ham f(z) trén D néu F’(z) = f(z) vGi moi z € D Néu F(z) 1A mét nguyén ham của f(z) thi
[#004 = Fl) - Fee)
Day la cong thirc Newton-Leibniz
Ví dụ Tính tích phân sau: f° %
Hàm dưới dấu tích phân giải tích tại mọi điểm z # 0, vi vay tích phân này cĩ nghĩa với mọi z # 0 và khi đường lấy tích phân khơng
đi qua điểm z = 0 Nếu đường lấy tích phân khơng bao quanh điểm
z=0, nghĩa là —z < argz < z, thi ham F(z) là hàm đơn trị giải tích
` 4, —_ fzad è =
và ta cĩ: Ìnz =h &, —7 <argz <7 Trong truong hop z= 2 > 0, ta cĩ: lnr = Sr de Nếu đường lấy tích phan bao quanh ditm z = 0, thi ta nhan dugc F(z) la ham da tri Lnz = ff `Š
Trang 173.3 Định lí đảo của định lí Cauchy (định lí Morera)
Nếu hàm ƒ(z) liên tục trong miền đơn liên 7 và tích phân [ ƒ(2z)3z
doc theo moi dong cong Jordan, tron kin chứa trong Ø2 đều bằng Ư thi ham f(z) giải tích trong D
Chứng minh Đặt,
t{(z) = / f(G)dC voi z, 2 € D
Theo dinh li trén, ham F(z) giải tích trên D va F’(z) = f(z)
Từ hệ quả của tích phân loai Cauchy, suy ra f(z) lA hàm giải tích
trên D -
3.4 Hàm điều hồ
Định nghĩa Hàm số thực 1(z.): xác định trên miền D và cĩ đạo hàm riêng cấp hai liên tục, thoả mãn điều kiện
Oru Ơ2u
aa? + Bye = © (20)
gọi là hàm điều hồ
Phương trình đạo hàm riêng (20) gọi là phương trình Laplace
Tốn tit vi phan
8 83
A=—.+_~¬ 21
8z? —s Oy? (2)
gọi là tốn tứ Laplace
Trước đây, theo hệ quả cưa tích phân loại Cauchy ta đã chứng
mình được rằng: nếu hàm +? = ƒ(z) giải tích trên Ð thì tại mọi z € D,
Trang 18Hơn nữa vì ƒ(z) giải tích trên J, nên ta cĩ: Ou Ov Ou Ov — — 22 ox ay dy ~ Ox (22) Vay Otu Ou va a2 a2 v v ` Au= 2z? + ay? =0 (23) Hệ thức (23) chứng tỏ phần thực và phần ảo của hàm số giải tích là các hàn điều hồ Hai hàm điều hồ + ø thoả mãn hệ thức (22) được gọi là hàm liên hợp điều hồ
Vì vậy ta cĩ thể xác định được hàm số phức + = ƒ(z) giải tích
trên miền D, khi biết phần thực (hay phần ảo) cửa nĩ là hàm điều
hồ Chẳng hạn khi biết hàm phần thực Mã ), ta cĩ thể xác định
ham f(z) nhu sau:
¬ Ou du
fle) =ulay) +i f (Fede + Say) +0
§4 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ QUAN TRỌNG VỀ HÀM GIẢI TÍCH
4.1 Định lí giá trị trung bình
Trang 19Chứng mình Theo cơng thức tích phân Cauchy ta cĩ: 1 /(€) = —— | -——-d¿ 2 f6) =ạn | c4 (2) Cr vì C€ Cn, nên ta cĩ thể viết: C = z¿ + Re“, ¿€ |0.2n] w do đĩ đ¿ = iRe’¥ dy Thế vào (2) ta được: 2z _— 1 ⁄€@) „ _ 1 [fŒa+Re*°) 1; Jzo) = ant | c— zọ 6 — Đi Re'+ tu Cr 0 Qn 1 = ay | fe + Re’? )\dy 27 0 Hơn nữa đa = Rd¿, nên: 1 ƒ(z) = a | (dds ark |
4.2 Nguyên lí mođun cực đại
Giả sử f(z) giải tích trên miền 7D và liên tục trên D Nếu ƒ(z) # const thi |f(z)| dat cực đại trên biên của, Ð
Chứng minh Hàm ø(z) = |ƒ(z)| liên tục trên D nên nĩ đạt cực đại trên Ư, nghĩa là 3zọ € Ð, sao cho |ƒ(zo)| = rnaz|ƒ(2)|
zcD
Dat M = |ƒ(za)| (xem hình trang 90)
Giá sử zo€ D Khi đĩ tồn tại hình cầu mở Ư;(zo) cĩ tâm zọ và
Trang 20Hinh 10 Hay 2m |ƒ(zo)| < al \f(zy +re’?)|dyp 0 Vi IF(zolF(2), Vee, nen 27m 2m
0< J(ƒ(o)| — |ƒ(2)|)đ¿@ < 2m|f(zo)|— ƒ [ƒŒ)|de Ị 2n |
0< [fleo)| — 5 f fle + re)Idp 0 Từ (3), (4), (5) suy ra: |[ƒf(z)| =|ƒ(zo)|= M4 V2 Cy (3) (5) Lap luận tương tự cho các điểm nằm trên C,, vai 0 < rị <1, ta cé: | f(z)| = M, trên B,
Giả sử z* là điểm bất kì nằm trên D Nối zọ với z* bởi đường
Trang 21Lấy hình trịn bán kính rˆ < ở cĩ tâm chạy trên / từ zo đến z* Vì
{la tap compact trong Œ, nên cĩ một họ hữu hạn các hình trịn bán
kính rˆ phủ nĩ Vì vậy với lập luận như trên ta được:
[f(2")| = M
Do dé: f(z) = const trên D
Mat khac
f(z) =|fllet 4 = M(cos O(z, y) + isin A(z, y)) Do f(z) giải tích trong D, nên: c ư M cosØ(z 9)) = 3 (M sin 6(x, y)) An! ay ~ 2 isi %( ar sin Ø(Z, )) = By! \ = 2 (ar cos a cos O(z, y)) )) Hay _ 06 88 —sin a = cos COS on = sino 0
cos sin oS) + G.I = 0 (6)
Đẳng thức (6) đúng với mọi Ø, suy ra: 80.) _ 96.) Ox Oy Vay | A(x, y) = const Từ đĩ suy ra ƒ(z) = cơnst trên D, trái với giả thiết Điều đĩ chứng tỏ zụ € 8D Chú ý
1) Cho hàm ƒ(z) giải tích trên Ð và liên tục trên 2D Nếu ƒ(z) # 0, với mọi z € D và ƒ(z) # cơnst thì |ƒ(z)| đạt cực tiển trên biên Nếu
Trang 22ta bỏ giá thiết ƒ(z) # 0 thì |[ƒ(z)| khơng đạt cực tiểu trên biên Ví
dụ ƒ(z) = z trên miền 2 = {z€ C | |z| < t} |ƒ(z)| đạt cực tiểu tại
z=0 thuộc D
2) Nếu miền Ð khơng bị chặn thì định lí trên khơng cịn đúng nữa, Vi du f(z) = e? tren D = {z € C | Rez > 0} Ham |f(z)| khong dat
Trang 23Do ¿(z) liên tục trên U nên #2 ) giải tích trên Ù (theo định lí tích
phan loai Cauchy) 'Từ nguyên lí Tmođun cực đại, suy ra: |¿(z)| đạt
cực đại trên biên nghĩa là:
maxie(z)| = max| TE| = max|7(2)| zecU lzi *Š Iz|=
Trang 24Chứng minh Lấy z bất kì trong C khi đĩ theo hệ qua cua tích
phan loai Cauchy ai 1 #(Q) ƒz) =m J aap R>0 lệ—zi=R Theo giả thiết |ƒ(z)| < M,Vz € C Suy ra 1 FOI alss f eShalad |lé=z|=R <x f Fleiss — 27 R2 ' R |é—z|=R _ đần về khơng, khi # dần về vơ cùng: nghĩa là ƒ'(z) = 0 Vay f(z) = const trén C
BAI TAP CHUONG 4
Trang 25b lợn 4z, trong đĩ y cho bởi phương trình y(t) = 2£”, £ € [0 3z] c ƒ Adz, trong đĩ +y cho bởi phương trình 7(t) = 2e%, £ € [0.2m] - d J -*4,dz, trong đĩ y cho bởi phương trình y(t) = 4e”, t € |0 2z] 4 Chứng minh rằng / |dz| - „_ ?mR lz—allz+al ` |R23~ lai J|zịi=R 5 Tính tích phân f se dz, trong déda> 1 |z-al=a 6 Tinh tich phan: a J cản; e b-f szt~amdz y trong đĩ + là đường trịn {z € C||z — a| = Ÿa} 7 Tính tích phản J
aps, trong đĩ + là dong cong Jordan, tron, kin giới hạn
một miền D va phan biệt 3 trường hợp:
a D chứa điểm z = 0 và khơng chứa điểm z = 1; b D chứa điểm z = 1 và khơng chứa điểm z = 0;
c D chứa cả hai điểm z = 0 và z = 1
8 Chứng minh rằng:
e7dš — —21
|z|=]
9 Cho hàm số hai biến số thực (z,) xác định trong miền D, Hàm số được gọi là hàm điều hồ trong miền đĩ nếu nĩ khả vị liên tục
Trang 26đến cấp 2 và thoả mãn điều kiện:
8w ơƠ°u
a Chứng rninh rằng mọi hàm giải tích trong D đều cĩ hàm phần thực và hàm phần ảo là hàm điều hồ
b Chứng minh rằng mọi hàm phần thực điều hồ trong miền
Trang 27_ Chương 5 LÍ THUYẾT CHUƠI VÀ LÍ THUYẾT THẶNG DƯ - §1 CHUOI TAYLOR 1.1 Dinh li Weierstrass ` co Nếu chuỗi hàm 5” ƒf„(z) hội tụ đều và hàm /„ giải tích trên miền n= D vGi moi n € N thì tổng ƒ của chuỗi hàm cũng là một hàm giải tích trên miền D và oo /(z) = Š” /#/(ø) (1) n=l Chứng minh Theo Định lí 2 Chương 2 thì hàm ƒ liên tục trên D — Lấy + là đường cong Jordan, trơn, kín chứa trong miền D Đặt Sa(z) = Š} &G) k=1 oo Theo giả thiết chuỗi >> f,(z) héi tu déu về ham f(z) nên day S, n=1 hội tụ đều về ham f trén D Suy ra: Ve >Ú,3no €N,Vn€ N,n > nọ sao cho:
HH ~ | Sa(z)4 < fire ~ Sa(z)||dz| < «l
trong đĩ ¡ là độ dài cửa + |
Trang 28‘av f f(s\dz =
M ‘
Theo Dinh If Morera ham ƒ{z) giải tích trên miền Ð
Bây giờ ta chứng mình đẳng thức (1) Với zụ bất kì thuộc Ð lấy
đường cong Jordan trơn, kín bao quanh điểm z¿ sao cho zo € D~ C
D(D, là miền giới hạn bởi đường cong + ) ‘
Gọi d = mìn|€ — zo| > 0 Đặt y(¢) = Team: C ey
Ta 6 jy()| < gar 6 € y Theo gid thiét s /a(#) hội tụ đều nl 4 dor " Jạ (6) AG 4“ f(z} về hàm f(z) trén D, nén chudi Š, {Ca ET hội tụ đền về Tra) FEF ~- ` a kì trên +, do đĩ ta cĩ thể lấy tích phân từng số hạng và nhân cho x ta được: ® [ƒ /@£ _ ef eas n(Q)đ€ 2_ 3m (¢ 2T; (C— zo)#+1 (C— za)**1” ^ Theo cơng thức tích phân loại Caanchy, ta cĩ: x ƒ# (20) = S0 fA (zo) n=l] Vi zp lay tuy y trong D, nén ta cting cé: x ƒÈ){z) = Sof F(z), We ED n=}
Chú y Trong dinh li trén ta chimg minh diroc tinh chat lay dao
hàm từng số hạng của chuỗi tại các điểm z € D chứ khơng phải tại các điểm z € Ð và ta đã sử dụng d = đ(y.z) >0 Ví dụ sau chứng tỏ
đối với z € DÐ định lí này khơng cịn đúng nữa
x
Ví dụ Cho chuỗi hàm 5” 3;
„ n=1
Trang 291.2 Định lí Taylor
x
Bây giờ ta xét chuối luý thừa Š`e¿(z— zo)“ i (2) cĩ bán kinh hoi tu la R&R "
Gọi ƒ(z) là tổng của chuỗi Theo Dink li Weierstrass hiun f(z giải tích trong mọi hình trịn {|z — zol < Ry < R} va c6 thé lay dao hàm từng số hạng nghĩa là: ¬~x f(s) = ` n(n — 1) (n — k= 1)e,(2 - sy), Tr—E Ehi z = sọ suy ra ƒ(2ze) = co ƒ (2o) = cu ƒ (z—za) = Bey FO 29) = nic, hay (nes
Cn = fro) mÌ Go) wn EN (3)
Như vậy (2) cho ta: ")(~ 3 nan n=O Chuỗi luỹ thừa (2) với hệ số xác định bới các đạo hàm (3) gọi là chuỗi Tayvlur
Đặc biệt khi zo = Ư ta cĩ chuỗi Maelayrin
Ngược lại, nến ƒ(z) là giải tích trên D thi van dé dat ra la cĩ thể khai triển hàm này thành chuỗi hàm luỹ thừa bội tụ về ƒ(z) trên miền D hay khong? Dinh li san day sẽ tra lời cản hỏi đĩ,
Định lí Taylor Nếu ƒ(z) giải tích trong hình trịn {|z — soi < ??} thì ƒ(z) khai triển được thành chuỗi TayÌor trong hình trịn đĩ
Chứng mỉnh Gia sử với bất kì - € {|2 — zo| < }*} Lấy nổ thực
R, sao cho 0 < iị < R và z € {|z — zo| < gR¡} trong đĩ Ð < ø@< 1 Gọi + là đường trịn {ÍC — zoi = Rr}
Theo cong thire tich phan Cauchy
“ăn, =
Trang 30Mặt khác ta lại cĩ: L 1 ol 1 €—z (C—Z)T—(z—zo) OC -%m1- Se Vì |z — za{ < |€ — zo| nên ta cĩ:
Nếu cố định z trong hình trịn {|z — zạ| < R} thì chuỗi hàm x 6m HT eee hội tụ đều trên +y, nên ta cĩ thể lấy tích phân từng số
hạng của (4), suy ra: 1 cm (z— or J a = 55 T6 /() Sa, yer AC : ca ] £Q) n ¬" ` 1 (n) trong dé: cn = sat Shar de = f(z) ^ Vậy f(z) = do en(z — zo)”, trong đĩ các hệ số c„ được xác định n=0
bởi đạo hàm cửa hàm f(z)
1.3 Chuỗi Taylor cửa các hàm số sơ cấp cơ bản
Trang 31= nao 1ˆ 2n+1 sinz = xe y" a +1 COS Z = yr any In(i +z) = Si -(l+z)#®= » (") =" n=0 trong đĩ œ là số thực đương và nÀ — a(œ— ]) (a= n+) a} ni
1.4 Khơng-điểm và định lí duy nhất của hàm giải tích
a) Khơng-điểm Điểm zọo được gọi là khơng-điểm của hàm f(z) nếu ƒ{zo) = 0
Giả sử zọ là khơng-điểm của hàm giải tích ƒ(z) Khi đĩ khai triển Taylor của hàm f(z) trong lan can của điểm zạ cĩ dạng:
/0{zo)
n!
f(z) = f' (zaylz — 29) + + ———(z — 29)" +
Nếu hàm ƒ(z) khơng đồng nhất bang 0 trong lân cận của điểm zo
thì tồn tại ít nhất một hệ số c„ trong khai triển Taylor khác 0 Chỉ số bé nhất trong các hệ số khác Ư này được gọi là cấp của khơng-điểm zạ Như vậy trong lân cận của điểm zo (khơng-điểm cấp n) cĩ khai
trién Taylor
f(z) = Cn {Zz — z0)” + Cy„+1(Z — zy)" 4 voi hé s6 ch #0, n> 1
Trang 32Rõ ràng cấp của khơng điểm zọo cũng là cấp bé nhất làm cho
n + ~ ` ame +, ` aA ` “a =
Ƒ?9(su) # 0 Đo đĩ nếu hàm ƒ(z) giải tích và nhận zọo làm khơng-điểm
cấp + thì hàm ƒ{z) được viết đưới đạng: f(z) = (2 - 20)" ple) trong đĩ lz) = en + engi(z— 20) + gidi tích trong lần cận của điểm zy Va v2(zụ) # Ơ Do g2(z) hiên tục nến @(2) # 0 trong một lân cận cửa điểm zọ Ta cĩ thể phát biểu thành định lí sau:
Dinh li Cho ham ƒ(2z) giải tích trong lân cận của điểm zụ và nhận
zo làm khơng-điểm Nếu ƒ(z) khơng đồng nhất bằng khong trong lân cạn nào đĩ của điểm zo, thì tồn tại một lân cận V{zg) sao cho trong
lần cận đĩ haan ƒ(z) chỉ nhận zo là khơng-điểm duy nhất
b) Định lí về sự duy nhất cửa hàm giải tích
Định lí Nếu hài hàm ƒ¡(z) và ƒa(z) giải tích trong miền DĐ và giá trị của chúng trùng nhau tại một dãy điểm {2z„},za € D, hội tụ về
zsụu&€ Ð th
fi(z) = folz), Vee D
Chứng mình Đặt f(z) = fi(z) — fe(z) Khi dé f(z,) = 0 véi
moi n € N Do ham f(z) lién tục, suy ra Jim f(2n) = f(z) = 0 Theo Dinh lf 4.a ham f(z) = 0 trong lân cận nào đĩ của điểm zọ
Gọi # là tập hợp tất cả các điểm trong của tập hợp các khơng-
điểm của hàm f(z) Khi dé 29 € , nghĩa là E # 0 Ta cĩ E là tập hợp mởỡ (nheo định nghĩa của tập hợp E) va EC D
Trang 33Chú ý:
1 Dav {z,} trong giá thiết của định lí phải hội tụ về điểm z¿ là
điểm trong của miền Ð
Ví dụ Xét hàm ƒ¡(z) = sim giải tích trên C \ {0} và hàm
folz) = U Ta thấy f(za) = àš¿)- 3a = + € C\ {0} ubwng day
3„ —— 0 khơng thuộc CÀ {0} RG rang sin + 40 tréu C\ {0}
2 Dish lí về sự duy nhất khẳng định tính duy nhất về sự t]uíc triển của hàu! giải tích lên các miền
Ví dụ Xét hàm ƒi(z) = sin? z + cos? z giải tích trên C, Vì hàm †›(z) = 1 trùng với i(z) trên tồn trục số thực nên ta cĩ ƒ(z) = 1 trên C hay sin? 2 + cos? z = 1 trén Cc
d Định lí về sự duy nhất nĩi lên sự khác nhau cơ bản giữa hààn giai tích phức và hàm: bién so thire Ví dụ Xét hàm es tiến # #0 f(r) = () _ nếu =0 Hàm này khá vì trên R và cĩ đạo hành —] , are = nếu #(Q Ƒƒtr)= 0 néu ax = 0 Trrong tur ta cé fl%(0) = 0 véi moi ne N
Tuy nhiên hàm f(z) khơng đồng nhất bằng khơng trong một lần
cận nào của điểm khơng
42 CHUOL LAURENT
Chuối Taylor là một cơng cụ giúp ta nghiên cứu hàm số trong lân cạn của một điển nào đĩ, mà tại điểm đĩ hàm số là giải tích Tuy nhiên ta cĩ những hàm khơng giải tích Khi đĩ chuối Taylor khơng thể sứ dụng được do vậy ta phải dùng một cơng cụ khác Đĩ là chuỗi Lanrent mà ta sẽ nghiên cứu sau day
2.1 Dinh li Laurent Cho ham f(z) giải tích trong vành l = {r<|z— 2! < R} trong đĩ U <r < R< +œ
Trang 34Chọn rị và # sao cho r < r¡ < Rị < R và q thoả mãn điều kiện , 0<g<1 Xét vành Ki = {+ < |z— zo| < gì} Ta cĩ thể biểu diễn ham f(z) theo cơng thức tích phân Cauchy như sau: lấy z € K, ta cĩ _ 1 IO 4 = J6) „ 2) =3 | c- c— 2% ^rị Ti (5) trong 46 yr, = {|¢ — 20] = Ri} va yr, = {I¢ — 20] = 71} Lấy C € Yp,, ta cĩ | 2 | <1 Vậy (z — 20)" eS 4 (S — (c~ za)} (6)
Trang 35trong đĩ aan | Gam an 46 n =0.1,2, và — 1 /(€) oy cons ae f eat n= —-1,-2, Trị
Theo định lí Cauchy cho miền đa liên ta cĩ thể thay đường trịn *n, và +;, bởi đường trịn y = {|¢ — zo| = 7’} trong đĩ r¡ < r/ < Rị Khi đĩ các hệ số ca được xác định như sau:
F(Q) _
^
Khai triển (11) với hệ số xác định bởi (12) được gọi là khai triển Laurent của hàm ƒ(z) Chuỗi ở vế phải cửa (11) được gọi là chuỗi
Laurent
Chuỗi )) 9ï — zo)*" được gọi là phần đều,
và chuỗi yo (z — zo)” goi là phần chính của chuỗi Laurent
Theo định 1 Abel phần đều của chuỗi Laurent hội tụ trong hình trịn {|z — zo| < R} hơn nữa chuỗi này hội tụ đều trong mọi hình trịn {|z — zo| < qR} (0 < qạ < 1) Phần chính hội tụ ngồi hình trịn {|z — zo| > r}, hơn nữa nĩ hội tụ đều ngồi hình trịn {|z — zo| > r}
Như vậy ta cĩ kết quả sau:
Định lí Laurent Nếu hàm ƒ(z) giải tích trong vành K={r< |z- zo|< R} (0<r< R<cœ)
thì cĩ thể khai triển hàm ƒ(z) thành chuỗi Laurent và chuỗi này hội
tụ đều trong mọi miền đĩng chứa trong X Chứng minh Theo trên
ox
f2)= 3 enl(z-20)"
Tt—=—oc
Trang 36V6i Cn = x5 f iS de, n = 0,41 42 ` (C—zuìm+1
X
Chuỗi này hội tụ đều trong miền đĩng K” C K
^ ` id ` ` „A3 ^~ ` +
Bây giờ giả sử hàm ƒ(z) biếu diễn thành chuỗi như sau:
Ta hãy xác định các hệ số của chuỗi này Theo định lí AbeL chuỗi
hàm hội tụ đều vồ hàm ƒ(z) trong niền đĩng ?(K? là miền bất kì
Oe n
chita trong vanh AY) Vi vay chuỗi S> Cn =za) tet hội tụ đều về hàm aL LY
Ii=— x_
Email k € Z trên + (trong đĩ + là đường cong Jordan trơn kín báo quanh điểm zo chita trong nién WK’) và ta cĩ thể lấy tích phán từng số hạng nghĩa là: ~ z— 20)" ~ z— zg)” J3 ” Ề — A a= p> Š ị c — mm Sử dụng kết quả | dz 0 nen n #1 | (z—zo)" ) mi néun=1 Ta sny ra | ere = 2ric, Vay | Ch = = Sete k=0,+1l,.#+2, 5
Vi du Cho ham f(z) = oa: Ta khai trién f(z) thanh
Trang 37—, 1 5 1 217 La =e ` z”*, |z[ > 1 k=-1 Vay «x zk —oc k f2)=-) sar Sok i <el <2 k=0 k=-1 2.2 Bất đẳng thức Cauchy Giả sử ƒ(z) giải tích trong vành X Khi đĩ hàm ƒ(z) bị chặn trên đường trịn + = {|z — zo| = ø}C K Do đĩ M len] < —, n=O0.4), p” trong dé M = maxi ƒŒ)| zé+
t3 ĐIỂM BAT THUONG CO LAP
Chuỗi Lanrent cho phép chúng ta nghiên cứu dé dang hon cdc ham
giải tích trong lân cận của điểm nào đĩ mà tại điểm đĩ hàm mất tính
giải tích Điểm như vậy gọi là điểm bất thường cơ lập
3.1 Định nghĩa Điểm zg € C được gọi là điểm bất thường cơ
lập cua ham f(z) nếu tồn tại một lân cận thiing {z € Cl 0 < |z — zu| <
R} của điểm 2 sao cho tại lân cận này hàm ƒ giải tích Ví dụ 1) Hàm ƒ(z) = 4 nhận điểm z = 1 làm điểm bất thường cĩ lập ‹ ` _ 1 A 2 3 — 1 ` cư" 2) Hàm ƒ(z) = sim(172 nhận các điểm z = >>, n € Z làm điêm ~ ` A A a aa? ` pe at at ` A
bất thường cơ lập Tuy nhiên điểm z = 0 la diém bat thudng khong
cỏ lập vì trong bất kì lân cận nào của điểm z = 0 đều cĩ chứa điểm bất thường khác khơng
3.2 Phân loại Cĩ ba loại điểm bất thường cơ lập:
Trang 38Ví dụ 1) Hàm số f(z) = ##Z nhận điểm z = 0 làm điểm bất thường bỏ được vì sin z lim f(z) = lim >= L 2) Hàm số ƒ(z) = *%* nhận điểm z = 0 làm cực điểm vi COs Z lim f(z) = lim z¬0 z =O 1) Hàm số ƒ(z) = e? nhận điểm z = 0 làm điểm bất thường cốt yếu That vay, ta cĩ: 4 1 lim f(z) = lim e* = lim e? = oo z—0 z—=0Ũ ro Ot y=0,2>0 va 1 +! lim ƒ(z)= lim ez = lim ez =0 z0 z—=0 #—Ũ~ +=0,z<0
Điều này chứng tỏ lìm e* khơng tồn tại z—
3.3 Sự liên hệ giữa chuỗi Laurent và điểm bất thường cơ
lập
Trang 39Chứng minh 1) Giả sử hm ƒ(z) = A # co Khi đĩ z—zu |f(z)| < M = sup|f(z)| zeV trong đĩ V = {z € C| 0 < |z — zo| < R} Ta cĩ 1 Cn = a / HG) ae, O< Ri < R 271 (C — zg)†! lé—zo |=Tần Lấy mođun hai vế ta được: 1 J = |) M len| => on zit d¢| < Rr lé—zo|=#tì Khi n < 0 và li — 0 thì cạ — 0 Vay f(z)= Cn(z — 2)" n=0
Ngược lại, giả sử ƒ(z) = x Cn{z — zo)" Vì chuỗi đã cho hội tụ
đều trong bình trịn bán kính "Ry (voi Ry < R-bán kính hội tụ của chuỗi) Chuyển qua giới hạn ta được:
OO
lim f(z) =~ Jim en(z ~ zo)" = co # 00
n=0
zZ— Zo
Vay z la diém bat thudng bd dwac
Trang 40Vì hàn: ƒ(z) giải tích trong lân cận thủng của điểm zọ nên ø(z) giải tích trong lân cận thứúng của điểm zo Suy ra hàm ø(z) cĩ thể biển điễn dưới dang:
g(z) = (z— zo)”ø(z)
trong đĩ hàm y(z) là hàm giải tích và (zo) # Ú Do ¿(z) liên tục nên
w(z) # ( trong lân cận của điểm zp
` 1 }
f(z) = glz) ~ (z—za)"g2(z)`
Hàm (z) giải tích và p(z) £ 0, nén ham tay giải tích trong lân