Đề thi thử dại học môn Toán có đáp án số 53

Trêng THPT HËu léc 2 ®Ị thi thư ®¹i häc lÇn thø I m«n To¸n(Khèi A-B-D) -N¨m häc 2011-2012 Thêi gian: 180 phót I.PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh C©u I (Khèi A;B:2 ®iĨm, khèi D:3®iĨm) Chohàmsố 1 x y x = - ,®å thÞ lµ ®êng cong(C). 1.Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị(C). 2.Viếtphươngtrìnhtiếptuyếnvớiđồthị(C),biếtrằngkhoảngcáchtừtâmđốixứngcủađồthị(C) đếntiếptuyếnlàlớnnhất C©uII (2 ®iĨm) 1. Giải hệ phương trình : 2 2 4 ( 1) ( 1) 2 x y x y x x y y y ì + + + = í + + + + = ỵ 2. Tìm nghiệm trên kho¶ng (0; p ) của phương trình : 2 2 3 4sin 3 cos 2 1 2cos ( ) 2 4 x x x p - = + - C©u III (1 ®iĨm). Tính tíchphân:I= 4 0 tan .ln(cos ) cos x x x x p ò d C©u IV (1 ®iĨm) ChohìnhchópS.ABCD,đáyABCDlàhìnhthoi.SA=x(0<x< 3)cáccạnhcònlại đềubằng1.TínhthểtíchcủahìnhchópS.ABCDtheox. C©u V (1 ®iĨm). Chøng minh r»ng nÕu 0 1y x £ £ £ thì 1 4 x y y x - £ . Đẳng thức xảy ra khi nào? II.PhÇn riªng (3 ®iĨm) ThÝ sinh chØ lµm mét trong hai phÇn A hc B. A. Theo ch¬ng tr×nh chn C©u VIa (3 ®iĨm). 1.Chođườngtròn(T):x 2 +y 2 –8x+6y+21=0vàđườngthẳngd: 0 1 y x = - + .Xácđịnhtọađộcácđỉnh hìnhvngABCDngoạitiếp(T)biếtA Ỵ d. 2.TrongkhơnggianvớihệtọađộOxyzchohaiđườngthẳng: 1 1 : 2 2 x t d y t z t = - ì ï = í ï = - + ỵ và 2 : 1 3 1 x t d y t z t = ì ï = + í ï = - ỵ .Lậpphương trìnhmặtcầucóđườngkínhlàđoạnvnggócchungcủad 1 vàd 2 . 3. T×m phÇn thùc cđa sè phøc (1 ) n z i = + sao cho ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6 4 - + + =n n ( * nỴ¥ ) B. Theo ch¬ng tr×nh n©ng cao (3 ®iĨm) C©u VIb (2 ®iĨm) 1.Trongmặtphẳngtọađộ Oxychohaiđườngtròn(C 1 ):x 2 +y 2 =13và(C 2 ):(x 6) 2 +y 2 =25cắtnhautại A(2;3).Viếtphươngtrình đườngthẳngđiquaAvàcắt(C 1 ),(C 2 )theohaidâycungcóđộdàibằngnhau. 2. Trong kh«ng gian víi hƯ trơc täa ®é Oxyz, cho 2 ®êng th¼ng: 1 2 4 1 5 2 3 : ; : 3 1 2 1 3 1 - - + - + = = = = - - x y z x y z d d Trong tÊt c¶ c¸c mỈt cÇu tiÕp xóc víi c¶ hai ®êng th¼ng d 1 vµ d 2 , viÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu cã b¸n kÝnh nhá nhÊt. 3. Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4 cã thĨ lËp ®ỵc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau? TÝnh tỉng cđa tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn ®ã. http://kinhhoa.violet.vn Chú ý: Thí sinh thi khối D không phải làm câu V. Trờng THPT Hậu lộc 2 Đáp án đề thi thử đại học lần thứ I môn Toán(Khối A-B-D) -Năm học 2011-2012 Thời gian: 180 phút Câu NIDUNG Điểm TX:D=R\{1} 0.25 Chiubin thiờn lim ( ) lim ( ) 1 x x f x f x đ+Ơ đ-Ơ = = nờny=1ltim cnngangcath hm s 1 1 lim ( ) , lim x x f x + - đ đ = +Ơ = -Ơ nờnx=1ltim cn ngcath hm s y = 2 1 0 ( 1)x - < - 0.25 Bngbin thiờn 1 + Ơ Ơ 1 y y' x Ơ 1 + Ơ Hm snghchbin trờn( 1) -Ơ v (1 ) +Ơ Hm skhụngcúcc tr 0.25 I (2.0) 1. (1.0) c.Đồ thị: Đồ thị nhận điểm I(1 ;1) làm tâm đối xứng 0.25 2. (1.0) GisM(x 0 y 0 )thuc (C)mtiptuyn vi th ti úcúkhongcỏch t tõm i xngn tiptuynlln nht. Phngtrỡnh tiptuyn d của (C) ti Mcúdng: 0 0 2 0 0 1 ( ) ( 1) 1 x y x x x x = - - + - - 2 0 2 2 0 0 1 0 ( 1) ( 1) x x y x x - - + = - - 0.25 x O 1 1 y I Tacód(I;d)= 0 4 0 2 1 1 1 ( 1) - + - x x Xéthàm sốf(t)= 4 2 ( 0) 1 t t t > + tacóf’(t)= 2 4 4 2(1 )(1 )(1 ) (1 ) 1 - + + + + t t t t t 0.25 f’(t)=0khit=1 Bảngbiến thiên x 01 +¥ f’(x) +0  f(x) 2 Từbảngbiếnthiêntacãd(I;d)lớnnhấtkhivàchỉkhit=1hay 0 0 0 2 1 1 0 x x x = é - = Û ê = ë 0.25 +Với x 0 =0tacó tiếptuyến d cã ptlày=x +Với x 0 =2tacó tiếptuyến d cã ptlày=x+4 0.25 II (2,0®) 1 (1,0®) 1. Giải hệ phương trình :(I) 2 2 4 ( 1) ( 1) 2 x y x y x x y y y ì + + + = í + + + + = ỵ (I) ì + + + = ï Û í + + + + = Þ = - ï ỵ 2 2 2 2 x y x y 4 x y x y xy 2 xy 2 §Ỉt = + = ³ Þ = + + Þ + = - 2 2 2 2 2 2 2 S x y;P xy(S 4P) S x y 2xy x y S 2P Vậy ( ) ì = - ì - + = ï ï Û Û é = í í ê - + = ï ï ỵ = - ë ỵ 2 2 P 2 S 2P S 4 I S 0 S P S 2 S 1 ì + = í = - ỵ 1 x y 0 TH : xy 2 vậy x, y là nghiệm của phương trình + - = 2 X 0X 2 0 Vậy hệ có 2 nghiệm x 2 x 2 ì = ï í = - ï ỵ hay x 2 y 2 ì = - ï í = ï ỵ ì + = - í = - ỵ 2 x y 1 TH : xy 2 vậy x,y là nghiệm của phương trình 2 X X 2 0 + - = Þ = = - X 1hay X 2 . Vậy hệ có 2 nghiệm x 1 y 2 = ì í = - ỵ V x 2 y 1 = - ì í = ỵ Tóm lại hệ Pt (I) có 4 nghiệm x 2 y 2 ì = ï í = - ï ỵ V x 2 y 2 ì = - ï í = ï ỵ V x 1 y 2 = ì í = - ỵ V = - ì í = ỵ x 2 y 1 0,5 0,5 O C B A D S H 2 (1,0®) 2. Tìm nghiệm trên kho¶ng (0; p ) của phương trình : 2 2 3 4sin 3 cos 2 1 2cos ( ) 2 4 x x x p - = + - (1) (1) ( ) 3 2 1 cosx 3cos2x 1 1 cos 2x 2 p ỉ ư Û - - = + + - ç ÷ è ø (1) 2 2cosx 3 cos2x 2 sin2x Û - - = - (1) 2cosx 3 cos2x sin2x Û - = - . Chia hai vế cho 2: (1) Û - = - 3 1 cosx cos2x sin2x 2 2 ( ) cos 2x cos x 6 p ỉ ư Û + = p- ç ÷ è ø ( ) ( ) hc p p p Û = + = - + p 5 2 7 x k a x h2 b 18 3 6 Do ( ) x 0, Ỵ p nên họ nghiệm (a) chỉ chọn k=0, k=1, họ nghiệm (b) chỉ chọn h = 1. Do đó pt(1) có ba nghiệm x thuộc ( ) 0,p là: 1 2 3 5 17 5 x ,x ,x 18 18 6 p p p = = = 0,5 0,5 III (1,0®) (1,0®) Tính tíchphân:I= 4 0 tan .ln(cos ) cos x x x x p ò d Đặtt=cosx dt=sinxdx,đổicận: x=0thìt=1 , 4 x p = thì 1 2 t = Từđó 1 1 2 2 2 1 1 2 ln lnt t I dt dt t t = - = ò ò *Đặt 2 1 ln ;u t dv dt t = = 1 1 ;du dt v t t Þ = = - Suyra 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 ln ln 2 1 1 2 2 2 I t dt t t t = - + = - - ò *Kếtquả 2 2 1 ln 2 2 I = - - 0,5 0,5 IV 1,0® Gäi O lµ giao ®iĨm cđa AC vµ BD. Tacó 1 ( . . ) 2 D = D Þ = =SBD CBD c c c SO CO AC Vậy tamgiácSCAvngtại S. 2 2 2 1 Þ = + = +CA SC SA x Mặtkháctacó 2 2 2 2 2 2 AC BD AB BC CD AD + = + + + 2 3 ( 0 3)BD x do x Þ = - < < 0,5 2 2 1 1 2. . 1 3 2 2 Þ = = + - ABCD S B D CO x x GọiHlàhìnhchiếucủaSxuống(ABCD) Vì SB=SDnênHB=HD Þ H ỴCA 0,25 Dotam gi¸c SCA vu«ng t¹i S vµ SH lµ ®êng cao nªn: 2 2 2 2 1 1 1 1 x SH SH SC SA x = + Þ = + Vậy V= 2 1 1 . 3 ( ) 3 6 = - ABCD S SH x x dvtt 0,25 V (1,0®) 1,0® Chøng minh r»ng nếu 0 1y x £ £ £ thì 1 4 x y y x - £ . Đẳng thức xảy ra khi nào? Ta có 2 0 x 1 x x £ £ Þ ³ (*) 1 1 x y y x x y y x 4 4 - £ Û £ + (1) Theo bất đẳng thức Cauchy vµ (*) ta có: + ³ + ³ = 2 2 1 1 1 y x yx 2 yx . x y 4 4 4 . VËy 1 x y y x 4 - £ Dấu “= ’’xảy ra ì £ £ £ ï = ì ï ï Û = Û í í = ï ï ỵ ï = ỵ 2 2 0 y x 1 x 1 x x 1 y 1 4 yx 4 0,25 0,75 VI. a (2,0®) 1 (1,0®) 1.Chođườngtròn(T):x 2 +y 2 –8x+6y+21=0vàđườngthẳngd: 0 1 y x = - + .XácđịnhtọađộcácđỉnhhìnhvngABCDngoạitiếp(T)biếtA Ỵ d. y 0 2 4 6 x A D –3 I –5 B C Đườngtròn(C)cótâmI(4,–3),bánkínhR=2 Tọađộcủa I(4,–3)thỏa m·nphươngtrình(d):x+y –1=0.VậyI Ỵ d VậyAIlàmộtđườngchéocủahìnhvngngoạitiếpđườngtròn(T),cóbán kínhR=2.V× d song song víi ®êng th¼ng y=-x nªn gãc gi÷a d vµ Ox b»ng 45 0 ,do ®ã h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh ®i qua A vµ song song víi Ox. Hai ®êng th¼ng x=2vàx=6là2tiếptuyếncủa(T) nên: .HoặclàAlàgiaođiểmcácđường(d)vàx=2 ÞA(2,–1) KhiA(2,–1) ÞB(2, –5); C(6,–5); D(6,–1) .HoclAlgiaoimcỏcng (d)vx=6 ịA(6,5) KhiA(6,5) ịB(6,1) C(2,1)D(2, 5) 0,25 2 (1,0đ) 2.TrongkhụnggianvihtaOxyzchohaingthng: 1 1 : 2 2 x t d y t z t = - ỡ ù = ớ ù = - + ợ v 2 : 1 3 1 x t d y t z t = ỡ ù = + ớ ù = - ợ .Lpphngtrỡnhmtcucúngkớnhl onvuụnggúcchungcad 1 vd 2 . GiM(1 t2t 2+t) 1 d ẻ ,N(t 1+3t1 t) 2 d ẻ ngthngd 1 cúvectochphngl 1 ( 121)u = - ur ,ngthngd 2 cúvecto chphngl 2 (13 1)u = - uur . ( ' 13 ' 2 1 ' 3)MN t t t t t t = + - - + - - + uuuur MNlonvuụnggúcchungcad 1 vd 2 khivchkhi 1 2 . 0 2 ' 3 3 0 11 ' 4 1 0 . 0 MN u t t t t MN u ỡ = - + = ỡ ù ớ ớ - - = = ợ ù ợ uuuur ur uuuur uur 3 ' 5 7 5 t t ỡ = ù ù ớ ù = ù ợ DoúM( 2 14 3 5 5 5 - - ),N( 3 14 2 5 5 5 ). MtcungkớnhMNcúbỏnkớnhR= 2 2 2 MN = vtõmI( 1 14 1 10 5 10 - )cú phngtrỡnh 2 2 2 1 14 1 1 ( ) ( ) ( ) 10 5 10 2 x y z - + - + + = 0,75 0,25 3 (1,0đ) 2. Tìm phần thực của số phức (1 ) = + n z i : ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6 4, * - + + = ẻƠn n n . Hàm số f(x) = ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6x x - + + là hàm số đồng biến trên (3; +) và f(19) = 4. Do đó phơng trình ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6 4n n - + + = có nghiệm duy nhất 19n = . w 1 2( os isin ) 4 4 i c p p = + = + . Vi n = 19 áp dng công thc Moavr ta có: 19 19 19 19 19 3 3 w ( 2) os isin ( 2) os isin 4 4 4 4 z c c p p p p ổ ử ổ ử = = + = + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ Suy ra phn thc ca z l : ( ) 19 19 3 2 2 os ( 2) . 512 4 2 c p = - = - . 0,5 0,5 VI. b (2,0đ) 1 (1,0đ) 1.Trongmtphngtachohaingtrũn(C 1 ):x 2 +y 2 =13v(C 2 ):(x 6) 2 + y 2 =25ctnhautiA(23).Vitphngtrỡnh ngthngi quaAvct(C 1 ), (C 2 )theohaidõycungcúdibngnhau. Gigiaoimthhaicangthngcntỡmvi(C 1 )v(C 2 )lnltlMv N.GiM(xy) 2 2 1 ( ) 13C x y ẻ ị + = (1) VỡAltrungimcaMNnờnN(4x6y). DoN 2 2 2 ( ) (2 ) (6 ) 25 (2) ẻ ị + + - =C x y T(1)v(2)tacúh 2 2 2 2 13 (2 ) (6 ) 25 x y x y ỡ + = ù ớ + + - = ù ợ Giihtac(x=2 y=3)(loi)v(x= 17 5 - y= 6 5 ).VyM( 17 5 - 6 5 ) ngthngcntỡm iquaAvMcúphngtrỡnh :x 3y+7=0 0.5 0,5 1 (1,0đ) 2. 1 2 2 4 1 5 : : 3 3 3 1 2 x t x y z d d y t z t = + ỡ - - + ù = = = - + ớ - - ù = ợ Trong tất cả các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đờng thẳng d 1 và d 2 , viết phơng trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. ng thng d 1 i quaim M 1 (4; 1; -5) và có véct ch phng (3 1 2)u = - - r ng th ng d 2 i qua i m M 2 (2; -3; 0) và có véct ch ph ng ' (131) = r u ( ) 1 2 1 2 , ' 5 510 , ( 2 45) , ' . 60u u M M u u M M ộ ự ộ ự = - = - - ị = ở ỷ ở ỷ r ur uuuuuur r ur uuuuuur ( ) 1 2 1 2 2 2 2 , ' . 60 60 , 2 6 5 6 5 ( 5) 10, ' ộ ự ở ỷ = = = = ộ ự + - + ở ỷ r ur uuuuuur r ur u u M M d d d u u Gi s S(I; R) là một mặt cầu bất kỳ ti p xúc v i hai đờng th ng d 1 , d 2 tơng ứng t i hai i m A và B khi đó ta luôn có IA ^ d 1 , IB ^ d 2 và IA + IB AB . Suy ra 2R AB, d u đẳng thức x y ra khi và chỉ khi I là trung i m của AB và AB là o n vuông góc chung c a hai ng th ng d 1 , d 2 . A ẻ d 1 , B ẻ d 2 nên A(4 + 3t; 1- t; -5-2t), B(2 + t; -3 + 3t; t); . 0 ' . ' 0 ỡ ỡ ^ = ù ù ớ ớ ^ = ù ù ợ ợ uuur r uuur r uuur ur uuur ur AB u AB u AB u AB u Giải hệ này tìm đợc A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1) ị I(2; 1; -1). Mt cu (S) có tâm I(2; 1; -1) , bán kính 6 R = nên có phơng trình là: ( ) 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 6x y z - + - + + = 0,25 0,25 0,25 0,25 2 (1,0đ) 2. Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. 4 3 2 1 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 Gọi số tự nhiên cần lập là n = .10 10 .10 .10 a a a a a a a a a a = + + + + Ta có 4 cách chọn a 4 và 4 ! cách xếp 4 số còn lại. Vậy có 4.4 !=96 số n. Có 24 số với số k (k=1,2,3,4) đứng ở vị trí a 4 . Có 18 số với số j ( j=1,2,3,4) đứng ở vị trí a i với i=0,1,2,3. Vậy tổng của 96 số n là: 3 4 2 1 0 (1 2 3 4)[(24.10 18(10 10 10 10 )] 2599980 + + + + + + + = . 0,5 0,5 Chú ý: Câu I : Khối A;B: 2 điểm Khối D: (3điểm) : ý I.1: 2,0 điểm, ý I.2: 1,0 điểm . http://kinhhoa.violet.vn Chú ý: Thí sinh thi khối D không phải làm câu V. Trờng THPT Hậu lộc 2 Đáp án đề thi thử đại học lần thứ I môn Toán( Khối A-B-D) -Năm học 2011-2012 Thời gian: 180 phút Câu NIDUNG. cách xếp 4 số còn lại. Vậy có 4.4 !=96 số n. Có 24 số với số k (k=1,2,3,4) đứng ở vị trí a 4 . Có 18 số với số j ( j=1,2,3,4) đứng ở vị trí a i với i=0,1,2,3. Vậy tổng của 96 số n là: 3. (S) có tâm I(2; 1; -1) , bán kính 6 R = nên có phơng trình là: ( ) 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 6x y z - + - + + = 0,25 0,25 0,25 0,25 2 (1,0đ) 2. Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập đợc bao nhiêu số