S GD & T NGH AN THI TH I HC LN 2 - NM 2012 TRNG THPT NGUYN C MU Mụn: TON; Khi A Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian giao . PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7 im) Cõu I (2 im) Cho hàm số : 1 12 x x y (C ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Tìm trên đồ thị (C ) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai đờng tiệm cận của đồ thị (C) một tam giác có bán kính đờng tròn ngoại tiếp bằng 2 . Cõu II (2 im) 1.Giải phơng trình: x x x x tan 2 sin 4cos2 cot 2.Giải bất phơng trình: 1781272 2 xxxxx . Cõu III (1 im) Tớnh tớch phõn: 2 3 1 2 1 1 1 x I dx x Cõu IV (1 im) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; tam giác SAD đều và 0 90SAB ; I là trung điểm của SB. Tính theo a thể tích khối tứ diện ABCI và tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACI). Cõu V (1 im) Cho các số thực không âm x,y,z và không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh: 624 222 xyx zxyzxy yx z xz y zy x . Du ng thc xy ra khi no? PHN RIấNG (3 im): Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc phn B) A. Theo chng trỡnh Chun Cõu VI.a (2 im) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh AD; đờng thẳng CM có phơng trình: 2 0x y . iểm D(3;-3), đỉnh B thuộc đờng thẳng d có phơng trình: 3 2 0x y và B có hoành độ âm. Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C. 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho im A(4;4;0), B(0;4;0) v mt phng (P): 3 2 0 x y z . Tỡm ta im M sao cho ng thng MI song song vi mt phng (P) v im M cỏch u O v mt phng (P), bit im I l trung im ca AB. CõuVII.a (1 im) Tỡm s phc z tha món: 3 2012 ( )z z z l s thc v 2 5 9 13 2013 z i i i i l s thun o. B. Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu VI.b (2 im) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): 2 y x và hai im A(1;-1), B(9;3) nm trờn (P). Gi M l im nm trờn cung AB ca (P). Xỏc nh v trớ ca im M sao cho tam giỏc MAB cú din tớch ln nht. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đờng thẳng d và d chộo nhau v vuụng gúc vi nhau, AB l on vuụng gúc chung ca d v d. im M(2;-2;1) thuc d, im N(-2;0;1) thuc d v AM+BN=AB. Viết phơng trình mặt cầu cú tõm thuc mp(P): 2 2 3 0x y z v tiếp xúc với hai đờng thẳng trên ln lt ti M, N bit hỡnh chiu vuụng gúc ca tõm mt cu trờn AB l im H(0;1;2) Cõu VII.b (1 im) Giải hệ phơng trình: 3log23 24.34 4 121 yx yyx Ht http://kinhhoa.violet.vn ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 – NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối: A - B PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu Đáp án Điểm 1. (1 điểm) * TXĐ: D=R\{1} * Chiều biến thiên: 2 1 ' 0 1 ( 1) y x x Hàm số nghịch biến trên các khoảng: ( ;1) (1; ) 0,25đ * 1 2 1 lim 1 x x x ; 1 2 lim 2 x x x Đồ thị có tiệm cận đứng là x=1. 2 1 lim 2 1 x x x Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=2 0,25đ * Bảng biến thiên: x - 1 + y' - - y 2 + - 2 0,25đ Đồ thị: -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x y 0,25đ 2. (1 điểm) Gọi 0 0 ( ; ) ( ) M x y C .Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là: 0 0 2 0 0 2 1 1 ( ) ( 1) 1 x y x x x x 0,25đ Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến với các đường tiệm cận của (C), khi đó: 0 0 0 2 (1; ); (2 1;2) 1 x A B x x 0,25đ Câu I (2 điểm) Theo giả thiết ta có: 2 0 2 0 4 2 2 (2 2) 8 ( 1) AB x x 0,25đ 0 0 0 2 x x Vậy có 2 điểm cần tìm là: 1 2 (0;1); (2;3) M M 0,25 1. (1 điểm) Điều kiện: sin 2 0 ( ) 2 x x k k (*) Phương trình tương đương: cos 4 cot tan 0 sin 2 x x x x 0,25đ cos 2 1 1 cos 2 2 x x 0,25đ +) cos2 1 x x k , không thoả mãn (*) 0,25 +) 1 cos 2 2 3 x x k , thoả mãn (*) Vậy phương trình có nghiệm ; 3 x k k Z 0,25đ 2. (1 điểm) Đk: 1 7 x Bất phương trình tương đương với: 2 ( 1) ( 1)(7 ) 2( 1 7 ) 0 x x x x x 0,25đ ( 1 7 )( 1 2) 0 x x x 0,25đ 5 4 x x 0,25đ Câu II (2 điểm) Vậy tập nghiệm: 1; 4 5;7 T 0,25đ Đặt : 6 5 6 1 1; 6 t x x t dx t dt . Đổi cận: 1 0; 0 1 x t x t 0,25đ 1 8 5 1 6 4 3 2 2 2 2 0 0 2 2 1 6 6 ( 2 2 1 ) 1 1 1 t t t I dt t t t t t dt t t t . 0,25đ 1 2 0 257 1 6ln 2 6 35 1 I dt t 0,25 Câu III (1 điểm) 257 3 6 ln 2 35 2 I 0,25 Gọi H là trung điểm của AD Ta có SH (ABCD);SH= 3 2 a 0,25đ Câu IV (1 điểm) 1 1 3 d(I,(ABC)) .d S; ABC SH 2 2 4 a . 0,25đ 2 ΔABC 2 a S ; 2 3 I.ABC 1 3 3 . ( ) 3 4 2 24 a a a V dvdt Các tam giác HCD;SCH;SAB là các tam giác vuông nên suy ra CI = a. 0,25đ Tam giác ACI có CI = a; AI= 2 a ; AC=a 2 2 ΔAIC 7 8 a S ; d(B;(AIC)) = 21 7 a 0,25đ Trước hết ta chứng minh bổ đề: 2 2 2 (1) x y z x y z y z x z y x xy yz zx Nhân 2 vế của (1) với: xy yz zx ta được: 1 1 1 0 xyz y z x z y x (luôn đúng) 0,25đ Đặt: 2 2 2 , ( 1) x y z t t xy yz zx . Khi đó, VT 2 4 2 t t Xét hàm số 2 4 2 ( )f t t t với 1 t . 0,25đ Ta có, 2 4 2 '( ) 2f t t t ; '( ) 0 2 f t t Lập được BBT 0,25đ Câu V (1 điểm) Vậy, ( ) 6 f t điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức khi 2 , 0 t x y z và các hoán vị của nó. 0,25đ PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B. A. Theo chương trình chuẩn: 1. (1 điểm) Gọi B(t;-3t+2 ( ) d t R ). 3 4 4 ( ; ) 2 ( ; ) 2 2 2 t t d B CM d D CM 0,25đ 3 1 t t B(-1;5) (do điểm B có hoành độ âm) 0,25đ Gọi C(m;m-2) ( ) d t R ). Ta có: . 0 à BC CD v BC CD Vậy m=5 C(5;3). 0,25đ Vì ( 3; 1) AB DC A Vậy, ( 3; 1) A ; B(-1;5) ; C(5;3). 0,25đ 2. (1 điểm) Ta có, I(2;4;0). Nhận thấy O thuộc mp(P) nên từ giả thiết ta suy ra điểm M nằm trên đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mp(P) 0,25đ Phương trình đường thẳng d: 3 2 x t y t z t 0,25đ Câu VIa (2 điểm) Lấy M(3t;2t;-t) trên d. Ta có ( ) MI. 0 1 P n t . Vậy M(3;2;-1) 0,5đ Gọi ( , ) z a bi a b z=a+bi (a,b ) R 3 z là số thực khi 2 3 3 0 a b b 0,5đ 2 z là số thuần ảo khi 2 2 0 a b 0,25đ Câu VIIa (1 điểm) Giải (1) và (2) ta được 0 a và 0 b . Vậy, số phức cần tìm: 0 z . 0,25đ A. Theo chương trình nâng cao: 1. (1 điểm) Phương trình đường thẳng AB: 2 3 0 x y Gọi M(x;y). Vì M thuộc cung AB nên 1 3 y 0,25đ Ta có: 2 1 . ( ; ) 2 2 3 2 2 3 2 MAB S AB d M AB x y y y 0,25đ Xét hàm số 2 ( ) 2 3 f y y y liên tục trên 1;3 '( ) 2 2; '( ) 0 1 f y y f y y 0,25đ MAB S lớn nhất khi 1 y . Vậy M(1;1) 0,25đ 2. (2 điểm) Gọi tâm mặt cầu cần tìm là I. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) IM AM AH IH AM BN AH BH IN BN BH IH AM BN AH HB AM AH do AM BN AB IM IH IN 0,25đ Vậy mặt cầu cần tìm đi qua 3 điểm M;N;H. Giả sử I(x;y;z) ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) 2 2 3 0 2 3 7 x y z x y z x y z x y z x y z x y z d H d' 0,5đ Câu VIb (2 điểm) Vậy, mặt cầu (S) tâm I(2;3;-7), bán kính: R= 89 có phương trình là: 2 2 2 ( 2) ( 3) ( 7) 39 x y z 0,25đ 4 ; 4 ( ; 0) x y xy u v u v 0,25đ Hệ trở thành: 3 8(1) 16 (2) 3 u v uv 0,25đ Từ (1) ta có 8 3 u v , thế vào (2) được 4 3 v 0,25đ Câu VIIb (1 điểm) Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 4 4 1 (1 log 3) 2 1 (1 log 3) 2 x y 0,25đ . http://kinhhoa.violet.vn ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 – NĂM 2012 Môn: TOÁN; Khối: A - B PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu Đáp án Điểm 1. (1 điểm) * TXĐ: D=R{1} * Chiều biến thi n:. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2.Tìm trên đồ thị (C ) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai đờng tiệm cận của đồ thị (C) một tam giác có bán kính đờng tròn. Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh AD; đờng thẳng CM có phơng trình: 2 0x y . iểm D(3;-3), đỉnh B thuộc đờng thẳng d có phơng trình: 3 2 0x y và B có hoành độ âm. Xác định