ĐỀ THAM KHẢO ƠN THI TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề GV: NGUYỄN CƠNG NHÃ ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 3 4 ( )y x x C= − + . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số . b) Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 3 1y x x m= − + + cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt. Câu 2.( 1,0 điểm) a) Giải phương trình : 3 os5 2sin 3 . os2 sinx 0c x x c x− − = b) Cho số phức: 3 2z i = − .Xác định phần thực và phần ảo của số phức 2 z z+ . Câu 3.( 0,5 điểm) Giải phương trình: 3 log 2 log (2 ) log 0 1 27 3 3 x x x+ − − − = Câu 4.( 1,0 điểm) Giải phương trình: 2 2 4 6 11x x x x− + − = − + Câu 5.( 1,0 điểm) Tính tích phân − = ∫ − + + + 3 x 3 I dx 1 3 x 1 x 3 Câu 6.( 1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=a, BC= 2 a , · · 0 3, 30SA a SAB SAC= = = .Tính thể tích khối chóp S.ABC Câu 7.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ oxy, cho elip(E): 2 2 1 4 x y+ = và điểm C(2;0).Tìm tọa độ các điểm A,B ∈ (E) biết rằng A,B đối xứng nhau qua trục hồnh và ∆ ABC đều Câu 8.(1,0 điểm) Trong khơng gian oxyz cho điểm A(0;2;2) . Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A và vng góc đường thẳng 1 2 : 1 3 2 2 x y z d − + = = ; đồng thời cắt 2 : 2 1 x d y t z t = − = = + . Câu 9.(0,5 điểm) Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8. Câu 10.(1,0 điểm) Cho x, y là các số thực thỏa mãn ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 4 5x y x y x y+ + + + = + . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 2 2 2 2 2 3 2 2 1 x y x y P x y + − = + + . ĐÁP ÁN Câu NỘI DUNG Điểm 1b Tìm m để đồ thị hàm số 3 2 3 1y x x m= − + + cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 1.0đ Dựa vào đồ thị tìm được 1 3m− < < 2a Giải phương trình : 3 os5 2sin 3 . os2 sinx 0c x x c x− − = 0.5đ PT 3 1 os5 sin5 sinx sin 5 sinx 2 2 3 c x x x π ⇔ − = ⇔ − = ÷ 18 3 6 2 x k x k π π π π = + ⇔ = − + 2b Cho số phức: 3 2z i= − .Xác định phần thực và phần ảo của số phức 2 z z+ . 0.5đ ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2 8 14z z i i i+ = − + − = − Phần thực a=8; phần ảo b=-14 3 Giải phương trình: 3 log 2 log (2 ) log 0 1 27 3 3 x x x+ − − − = 0.5đ + ĐK: 0 2x < < (*) +PT ⇔ log ( 2) log (2 ) log 0 3 3 3 + + − − =x x x log [( 2)(2 )]= log (2 )(2 ) 3 3 ⇔ + − ⇔ + − =x x x x x x 1 17 2 4 0 2 − ± ⇔ + − = ⇔ =x x x Kết hợp với (*) ta được nghiệm của phương trình là 1 17 2 x − + = 4 Giải phương trình: 2 2 4 6 11x x x x− + − = − + 1.0đ + ĐK: [ ] 2;4x∈ + Áp dụng BĐT Cauchy 2 1 2 2 2 4 2 4 1 4 2 x x x x x x − + − ≤ ⇒ − + − ≤ − + − ≤ Dấu “=”khi 2 1 3 4 1 x x x − = ⇔ = − = . Mặt khác ( ) 2 2 6 11 3 2 2x x x− + = − + ≥ dấu “=”xảy ra khi x=3 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3 5 Tính tích phân − = ∫ − + + + 3 x 3 I dx 1 3 x 1 x 3 1.0đ Đặt 1t x= + ĐS: = −I 6ln3 8 6 Tính thể tích khối chóp S.ABC 1.0đ Áp dụng định lí cô sin · 2 2 2 2 2 0 2 2 . cos 3 2 3. cos30SB SA AB SA AB SAB a a a a a= + − = + − = SB a⇒ = + Tương tự SC a= . + Gọi M là trung điểm SA, do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên ( ) MB SA SA MBC MC SA ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ + Ta có 1 1 1 . . . . . . 3 3 3 V V V SM S MA S SA S S ABC S MBC A MBC MBC MBC MBC = + = + = . + Tam giác MBC cân tại M. Gọi N là trung điểm BC suy ra MN vuông BC. Tương tự MN vuông SA. + Ta có 2 3 2 2 2 2 2 2 16 3 4 a MN AN AM AB BN AM MN a = − = − − = ⇒ = . + Vậy 3 1 . . 6 16 a V SA MN BC= = 7 Tìm tọa độ các điểm A,B ∈ (E) biết rằng A,B đối xứng nhau qua trục hoành và ∆ ABC đều 1.0đ Giả sử ( ; ), ( ; ) 0 0 0 0 A x y B x y− . + Vì A,B thuộc (E) nên 2 2 2 2 0 0 1 1 0 0 4 4 ,(1) x x y y+ = ⇔ = − . + Mà tam giác ABC đều nên ( ) 2 2 2 2 2 2 4 , (2) 0 0 0 AB AC x y y= ⇔ − + = + Từ (1) và (2) suy ra A,B là một trong hai điểm 2 4 3 2 4 3 ; ; ; 7 7 7 7 − ÷ ÷ ÷ ÷ . 8 Viết phương trình đường thẳng ∆ … 1.0đ Giả sử ∆ cắt 2 d tại B(-2;t;1+t) Ta có ( ) 2; 2; 1AB t t= − − − uuur Đường thẳng 1 d có VTCP ( ) 3;2;2u = r ∆ vuông 1 d ( ) . 0 3 2;1;2AB u t AB⇔ = ⇔ = ⇒ = − uuur r uuur . Vậy ∆ qua A có VTCP ( ) 2;1;2AB = − uuur có PTTS: 2 2 2 2 x u y u z u = − = + = + 9 Lập được bao nhiêu số tự nhiên mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau … 0.5đ Giả sử số cần lập có dạng 5 1 2 3 4 6 a a a a a a Theo đề { } { } , , 1; 2;5 5 3 4 8 5 3 4 , , 1;3;4 5 3 4 a a a a a a a a a ∈ + + = ⇒ ∈ . TH1: { } , , 1; 2;5 5 3 4 a a a ∈ . Có 6 cách chọn a 1 ; 5 cách chọn a 2 ; 3! Cách chọn a 3 ,a 4 ,a 5 và 4 cách chọn a 6 Vậy có 6.5.3!.4=720 số TH2: { } , , 1;3;4 5 3 4 a a a ∈ . Tương tự có 720 số Vậy có 1440 số thỏa đề. 10 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 2 2 2 2 2 3 2 2 1 x y x y P x y + − = + + . 1.0đ * Từ giả thiết ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3x y x y x x y+ − + + = − − * Mà ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 3 2 0x x y x y x y− − ≤ ⇒ + − + + ≤ ; * Đặt 2 2 2 3 2 0 1 2t x y t t t= + ⇒ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ . *Ta được ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 , 1;2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x y x x y x y x y x y x y t t P t t x y x y x y + − − + − + + + − − + = = = = ∈ + + + + + + + * Xét hàm số [ ] 0 min ( ) (1) 1 min 1, 1;2 2 1 2 ( ) , 1;2 4 0 1 4 max ( ) (2) max , 3 1;2 3 2 x f t f P khi y t t f t t x t f t f P khi y = = = = = ± − + = ∈ ⇒ ⇒ = + = = = = ± ¡ ¡ . ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 3 2 0x x y x y x y− − ≤ ⇒ + − + + ≤ ; * Đặt 2 2 2 3 2 0 1 2t x y t t t= + ⇒ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ . *Ta được ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 , 1 ;2 2 2 2 2 2. số thỏa đề. 10 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 2 2 2 2 2 3 2 2 1 x y x y P x y + − = + + . 1.0đ * Từ giả thi t ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3x y x y x x y+ − + + = − − * Mà ( ) ( ) 2 2. và ∆ ABC đều 1.0đ Giả sử ( ; ), ( ; ) 0 0 0 0 A x y B x y− . + Vì A,B thuộc (E) nên 2 2 2 2 0 0 1 1 0 0 4 4 ,(1) x x y y+ = ⇔ = − . + Mà tam giác ABC đều nên ( ) 2 2 2 2 2 2 4 , (2) 0 0 0 AB