SỞ GD&ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số = − + − 3 2 y x 6x 9x 1 (1). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Tìm m để phương trình − = 2 x(x 3) m có 3 nghiệm phân biệt. Câu 2 (1,0 điểm). a) Giải phương trình: + = + 2 (sinx cosx) 1 cosx . b) Giải bất phương trình: + + < + 0,2 0,2 0,2 log x log (x 1) log (x 2) . Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân: = + ∫ 1 0 6x+ 7 I dx 3x 2 . Câu 4 (1,0 điểm). a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = − + 4 2 f(x) x 8x 6 trên đoạn −[ 3; 5] . b) Khai triển và rút gọn biểu thức − + − + + − 2 n (1 x) 2(1 x) n(1 x) thu được đa thức = + + + n 0 1 n P(x) a a x a x . Tìm hệ số 8 a biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn: + = 2 3 n n 1 7 1 n C C . Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 8a, tam giác ABC đều cạnh bằng 4a; M, N lần lượt là trung điểm của cạnh SB và BC. Tính theo a thể tích hình chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN). Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ,Oxy cho tam giác ABC có A(4; 6), phương trình đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là 0132 =+− yx và 029136 =+− yx . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu 7 (1,0 điểm). Trong không gian toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1; -2; 3), B(2; 0; 1), C(3; -1; 5). Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng và tính diện tích tam giác ABC. Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: + + + + = + + + ∈ + + + + − = 2 2 x y x y 3 (x y) 2 x y (x, y R) x x y 2 x y 3 . Câu 9 (1,0 điểm). Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 x (y z) y (z x) z (x y) P yz zx xy + + + = + + . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………………………….; Số báo danh:………………………………… S GD&T THANH HO TRNG THPT NH XUN KHO ST CHT LNG LP 12 NM HC 2014-2015 Mụn: TON THPT P N CHNH THC Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt Cõu Ni dung im 1a (1,25) a) 196 23 += xxxy . * Tập xác định: D = R * Sự biến thiên Chiều biến thiên: )34(39123' 22 +=+= xxxxy Ta có < > > 1 3 0' x x y , 310' <<< xy . 0,25 Do đó: + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng )1,( và ),3( + . + Hm số nghịch biến trên khoảng ).3,1( 0,25 Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1=x và 3)1( == yy CD ; đạt cực tiểu tại 3=x và 1)3( == yy CT . Giới hạn: +== + yy xx lim;lim . 0,25 Bảng biến thiên: 0,25 * Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm )1,0( . 1 2 3 4 -1 1 2 3 x y O 0,25 1b (0,75) Ta cú: = 2 x(x 3) m + = 3 2 x 6x 9x 1 m 1 . 0,25 Phng trỡnh cú ba nghim phõn bit khi v ch khi ng thng y = m 1 ct (C) ti 3 im phõn bit 0,25 < < < <1 m 1 3 0 m 4 0,25 2a (0,5) Ta cú: + = + 2 (s inx cosx) 1 cosx + = +1 2 sin xcosx 1 cosx =cosx(2 sin x-1) 0 0,25 x y y 3 -1 + 0 0 3 1 + + + = ⇔ cosx 0 1 s inx= 2 π π π π π π = + ⇔ + ∈ = + x k 2 x= k2 (k Z). 6 5 x k2 6 0,25 2b (0,5) Điều kiện: >x 0 (*). + + < + 0,2 0,2 0,2 log x log (x 1) log (x 2) ⇔ + < + 2 0,2 0,2 log (x x) log (x 2) 0,25 ⇔ + > + 2 x x x 2 ⇔ >x 2 (vì x > 0). Vậy bất phương trình có nghiệm >x 2 . 0,25 3 (1,0) = + ∫ 1 0 6x+ 7 I dx 3x 2 = + ∫ 1 0 (6x+ 4)+ 3 dx 3x 2 = + + ∫ 1 0 3 (2 )dx 3x 2 0,25 = + + ∫ ∫ 1 1 0 0 3 2 dx dx 3x 2 = + + ∫ ∫ 1 1 0 0 1 2 dx d(3x+ 2) 3x 2 0,25 = + + 1 1 0 0 2x ln 3x 2 0,25 = + 5 2 ln 2 . 0,25 4a (0,5) = − + 4 2 f(x) x 8x 6 = − 3 f '(x) 4x 16x = = ⇔ = ± x 0 f '(x) 0 x 2 . − = −f( 3) 9 , =f(0) 6 , = −f(2) 10 , = −f( 5) 9 . 0,25 Vậy: − = = [ 3; 5 ] maxf(x) f(0) 6 , − = = − [ 3; 5 ] min f(x) f(2) 10 0,25 4b (0,5) Ta cã: = −− + − ≥ ⇔=+ nnnnnn n n CC nn 1 )2)(1( !3.7 )1( 2 3 171 32 .9 0365 3 2 =⇔ =−− ≥ ⇔ n nn n 0,25 Suy ra 8 a lµ hÖ sè cña 8 x trong biÓu thøc .)1(9)1(8 98 xx −+− §ã lµ .89.9.8 8 9 8 8 =+ CC 0,25 5 (1,0) *) Ta có: 2 2 2a 3AN AB BN= − = Diện tích tam giác ABC là: 2 1 . 4a 3 2 ABC S BC AN ∆ = = . 0,25 Thể tích hình chóp S.ABC là: 2 . 1 1 . 4a 3.8a 3 3 S ABC ABC V S SA ∆ = = 3 32a 3 3 = (đvtt). 0,25 *) Ta có: . . 1 . . 4 B AMN S ABC V BA BM BN V BA BS BC = = 3 . . 1 8a 3 4 3 B AMN S ABC V V= = . 0,25 Mặt khác, 1 4 5a 2 5a 2 SB SC MN SC= = ⇒ = = ; 1 2 5a 2 AM SB= = . Gọi H là trung điểm AN thì MH AN⊥ , 2 2 a 17MH AM AH⇒ = − = . Diện tích tam giác AMN là 2 1 1 . 2a 3.a 17 a 51 2 2 AMN S AN MH ∆ = = = . Vậy khoảng cách từ B đến (AMN) là: 3 . 2 3 8a 3 8a 8a 17 ( ,( )) 17 a 51 17 B AMN AMN V d B AMN S ∆ = = = = . 0,25 6 (1,0) - Gäi ®êng cao vµ trung tuyÕn kÎ tõ C lµ CH vµ CM. Khi ®ã CH cã ph¬ng tr×nh 0132 =+− yx , CM cã ph¬ng tr×nh .029136 =+− yx - Tõ hÖ ).1;7( 029136 0132 −−⇒ =+− =+− C yx yx - )2,1(==⇒⊥ CHAB unCHAB 0162: =−+⇒ yxABpt . 0,25 - Tõ hÖ )5;6( 029136 0162 M yx yx ⇒ =+− =−+ ).4;8(B⇒ 0,25 - Gi¶ sö ph¬ng tr×nh ®êng trßn ngo¹i tiÕp .0: 22 =++++∆ pnymxyxABC V× A, B, C thuéc ®êng trßn nªn =+−− =+++ =+++ 0750 04880 06452 pnm pnm pnm −= = −= ⇔ 72 6 4 p n m . 0,25 Suy ra pt ®êng trßn: 07264 22 =−+−+ yxyx hay .85)3()2( 22 =++− yx 0,25 7 (1,0) Ta có (1;2; 2), (2;1;2)AB AC= − = uuur uuur 0,25 [ , ] (6; 6; 3) 0AB AC = − − ≠ uuur uuur r 0,25 Suy ra ,AB AC uuur uuur không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng. 0,25 M(6; 5) A(4; 6) C(-7; -1) B(8; 4) H S A B N C M H Diện tích tam giác ABC là 1 9 S = [ , ] 2 2 ABC AB AC ∆ = uuur uuur (đvdt). 0,25 8 (1,0) Giải hệ: + + + + = + + + ∈ + + + + − = 2 2 x y x y 3 (x y) 2 x y (1) (x, y R) x x y 2 x y 3 (2) . Điều kiện: 0 0 x y x y + ≥ − ≥ (*) Đặt 0t x y= + ≥ , từ (1) ta có: + + = + 2 t t 3 t 2 t 0,25 ⇔ − + + − = 2 t t t 3 2 t 0 − ⇔ − + = + + 3(1 t) t(1 t) 0 t 3 2 t ⇔ − + = ÷ + + 3 (1 t) t 0 t 3 2 t ⇔ =t 1 (Vì + > ∀ ≥ + + 3 t 0, t 0 t 3 2 t ). 0,25 Suy ra 1 1x y y x+ = ⇔ = − (3). Thay (3) vào (2) ta có: + + − = 2 x 3 2x 1 3 ⇔ + − + − − = 2 ( x 3 2) ( 2x 1 1) 0 − − ⇔ + = − + + + 2 2 x 1 2x 2 0 2x 1 1 x 3 2 + ⇔ − + = ÷ ÷ − + + + 2 x 1 2 (x 1) 0 2x 1 1 x 3 2 ⇔ =x 1 (Vì + + > ≥ − + + + 2 x 1 2 1 0, x 2 2x 1 1 x 3 2 ). 0,25 Suy ra (x = 1; y = 0), thoả mãn (*). Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x = 1; y = 0). 0,25 9 (1,0) Ta có : 2 2 2 2 2 2 x x y y z z P y z z x x y = + + + + + (*) Nhận thấy : x 2 + y 2 – xy ≥ xy ∀x, y ∈ R Do đó : x 3 + y 3 ≥ xy(x + y) ∀x, y > 0 hay 2 2 x y x y y x + ≥ + ∀x, y > 0 0,25 Tương tự, ta có : 2 2 y z y z z y + ≥ + ∀y, z > 0 2 2 z x z x x z + ≥ + ∀x, z > 0 0,25 Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được: P ≥ 2(x + y + z) = 2 ∀x, y, z > 0 và x + y + z = 1 0,25 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1 3 . Vì vậy, minP = 2. 0,25 Hết . HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số = − +. TON THPT P N CHNH THC Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt Cõu Ni dung im 1a (1,25) a) 196 23 += xxxy . * Tập xác định: D = R * Sự biến thi n Chiều biến thi n: )34(39123' 22 +=+=. bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………………………….; Số báo danh:………………………………… S GD&T THANH HO TRNG THPT NH XUN KHO ST CHT LNG LP 12 NM HC 2014-2015 Mụn: TON THPT P