Trờng thpt lơng thế vinh Hà nội Năm học 2014 - 2015 đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 Môn thi: Toán Môn thi: ToánMôn thi: Toán Môn thi: Toán - - Lần thứ Lần thứ Lần thứ Lần thứ 4 44 4 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Ngày 13.6.2015 Cõu 1 (2,0 ủim). Cho hm s 3 2 3 4 y x x = + . a) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ( ) C ca hm s ủó cho. b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca ủ th ( ) C ti giao ủim ca ( ) C vi ủng thng ( ): 5 7 d y x = + . Cõu 2 (1,0 ủim). a) Gii phng trỡnh 2 cos cos3 2cos x x x + = . b) Tỡm s phc z sao cho | 4 | = | | z z v ( 4)( 2 ) z z i + + l s thc. Cõu 3 (0,5 ủim). Gii phng trỡnh 2.9 3.4 5.6 x x x + = . Cõu 4 (1,0 ủim). Tớnh tớch phõn 1 3 0 1 . 3 1 x I x e dx x = + + Cõu 5 (0,5 ủim). Ti mt kỡ SEA Games, mụn búng ủỏ nam cú 10 ủi búng tham d (trong ủú cú ủi Vit Nam v ủi Thỏi Lan). Ban t chc bc thm ngu nhiờn ủ chia 10 ủi búng núi trờn thnh 2 bng A v B, mi bng 5 ủi. Tớnh xỏc sut ủ ủi Vit Nam v ủi Thỏi Lan cựng mt bng. Cõu 6 (1,0 ủim). Trong khụng gian vi h ta ủ Oxyz , cho bn ủim ( ) 3;2;3 , A (1;0;2), B ( 2;3;4), C (4; 3;3) D . Lp phng trỡnh mt phng ( ) BCD . Tỡm phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca ủng thng AB lờn mt phng ( ) BCD . Cõu 7 (1,0 ủim). Cho hỡnh lng tr . ' ' ' ABC A B C cú ủỏy ABC l tam giỏc ủu cnh a , ủnh ' A cỏch ủu , , A B C . Gúc gia cnh bờn v mt ủỏy ca lng tr bng 0 60 . Tớnh theo a th tớch khi lng tr . ' ' ' ABC A B C . Xỏc ủnh tõm v tớnh theo a bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp '. A ABC . Cõu 8 (1,0 ủim). Trong mt phng ta ủ , Oxy cho tam giỏc ABC ni tip ủng trũn tõm (2;1) I , bỏn kớnh 5 R = . Chõn ủng cao h t , , B C A ca tam giỏc ABC ln lt l (4;2), (1; 2) D E v F . Tỡm ta ủ tõm ủng trũn ni tip ca tam giỏc DEF , bit rng ủim A cú tung ủ dng. Cõu 9 (1,0 ủim). Gii phng trỡnh 2 8 10 11 14 18 11 x x x + + + + = . Cõu 10 (1,0 ủim). Cho cỏc s thc , , x y z dng v tha món ( ) ( ) 2 2 2 4 1 16 3 . x x x yz x y z + + Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc ( ) 2 3 3 3 ( 1) 16 10 3 2 1 y x x y T x z x y + + = + + + . HT Thớ sinh khụng ủc s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh: 1/5 Trờng thpt lơng thế vinh Hà nội Nm h c 2014 2015 đáp án thang điểm đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 Môn thi: Toán Môn thi: Toán Môn thi: Toán Môn thi: Toán Lần thứ Lần thứ Lần thứ Lần thứ 4 44 4 ỏp ỏn cú 05 trang Cõu ỏp ỏn im 1 (2,0ủ) a) (1,0 ủim) Kho sỏt s bin thiờn v v ủ th ca hm s 3 2 3 4 y x x = + Tp xỏc ủnh: D = R . lim ; lim x x y y + = = + o hm: 2 ' 3 6 y x x = ; ' 0 0 y x = = hoc 2 x = . 0,25 Khong ủng bin: ( ) ( ) ;0 ; 2; + . Khong nghch bin: ( ) 0;2 Cc tr: Hm s ủt cc tiu ti 2 x = , 0 CT y = ; ủt cc ủi ti 0 x = , y C = 4. 0,25 Bng bin thiờn: x 0 2 + y' + 0 - 0 + y 4 + 0 0,25 th: (Hs cú th ly thờm ủim ( 1;0); (1;2); (3;4) ). 0,25 b) (1,0 ủim) ) Vit phng trỡnh tip tuyn ti giao ủim ca ( ) C vi ( ) : 5 7 d y x = + . Phng trỡnh honh ủ giao ủim: 3 2 3 2 2 3 4 5 7 3 5 3 0 ( 1)( 2 3) 0 x x x x x x x x x + = + + = + = 1 2 x y = = giao ủim l (1;2) M . 0,25 Phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti 0 0 0 0 0 ( ; ) : '( )( ) x y y y x x x y = + 0 0 1; 2 x y = = 0,25 2 0 ' 3 6 '( ) '(1) 3 y x x y x y = = = 0,25 Phng trỡnh tip tuyn cn tỡm: 3( 1) 2 y x = + 3 5 y x = + 0,25 2 (1,0ủ) a) (0,5 ủim) Tỡm cỏc nghi m ca ph ng tr ỡnh 2 cos cos3 2cos x x x + = . Phng trỡnh ủó cho tng ủng vi: ( ) 2 2cos2 .cos 2cos 2cos cos 2 cos 0 x x x x x x = = cos 0 cos2 cos x x x = = 0,25 2 ( ) 2 3 x k k x k = + = . 0,25 b) (0,5 ủim) Tỡm s phc z sao cho | 4 | = | | z z v ( 4)( 2 ) z z i + + l s thc. Gi ( ) 2 , , 1 z a bi a b R i = + = . T gi thit ta cú: 2 2 2 2 | 4 | | | ( 4) 2 z z a b a b a = + = + = 0,25 2/5 Từ ñó: 2 ; 2 z bi z bi = + = − [ ] ( 4)( 2 ) (6 ) 2 (2 ) 12 (2 ) (12 4 ) z z i bi b i b b b i ⇒ + + = + + − = − − + − Suy ra: 12 4 0 3 b b − = ⇒ = . ðáp số: 2 3 z i = + . 0,25 3 (0,5ñ) Gi ải ph ương tr ình 2.9 3.4 5.6 x x x + = . TXð: D = R . Chia 2 vế của phương trình cho 4 0 x > ta ñược: 9 3 2. 5. 3 0 4 2 x x − + = . ðặt 3 0 2 x t = > ta có: 2 2 5 3 0 t t − + = 0,25 3 1; 2 t t ⇔ = = . • 3 1 1 0 2 x t x = ⇒ = ⇒ = . • 3 3 3 1 2 2 2 x t x = ⇒ = ⇒ = . Tập nghiệm của phương trình ñã cho là { } 0; 1 S = . 0,25 4 (1,0ñ) Tính tích phân: 1 3 0 1 . 3 1 x I x e dx x = + + ∫ 1 1 3 0 0 3 1 x x I xe dx dx x = + + ∫ ∫ . • Tính 1 3 0 x A xe dx = ∫ : ðặt 3 3 1 ' 1; ' 3 x x u x u v e v e = ⇒ = = ⇒ = 1 1 3 3 0 0 1 1 . 3 3 x x A x e e dx ⇒ = − ∫ . 0,25 ( ) 1 3 3 3 3 3 0 1 1 1 1 2 1 1 . 3 9 3 9 9 x e A e e e e + = − = − − = 0,25 • Tính 1 0 3 1 x B dx x = + ∫ : ðặt 2 2 1 2 3 1 3 1 . 3 3 t t x t x x dx t dt − = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = 1 2; 0 1. x t x t = ⇒ = = ⇒ = Suy ra: ( ) 2 2 1 2 1 9 B t dt = − ∫ 0,25 2 3 1 2 1 8 . 9 3 27 B t t = − = Từ ñó: 3 2 1 8 9 27 e I A B + = + = + ⇒ 3 2 11 9 27 I e= + . 0,25 5 (0,5ñ) Có 10 ñội bóng (trong ñó có Việt Nam và Thái Lan). Bốc thăm ngẫu nhiên ñể chia thành 2 bảng A và B, mỗi bảng 5 ñội. Tìm xác suất ñể Việt Nam và Thái Lan ở cùng một bảng. Gọi M là biến cố: “Việt Nam và Thái Lan ở cùng một bảng”. Số biến cố ñồng khả năng: Số cách chia 10 ñội bóng thành 2 bảng ñều nhau 5 5 10 5 ( ) . 252 n C CΩ = = . 0,25 Xét số cách chia mà Việt Nam và Thái Lan ở cùng một bảng: • Chọn bảng (A hoặc B): có 2 cách • Chọn nốt 3 ñội còn lại: có 3 8 C cách. • Chọn 5 ñội của bảng kia: có 5 5 C cách. ⇒ 3 5 8 5 ( ) 2. . 112. n M C C= = Suy ra: xác suất của biến cố M: ( ) 112 ( ) ( ) 252 n M p M n = = = Ω 4 9 . 0,25 3/5 H A C C' B' A' B N M P I 6 (1,0ñ) Cho ( ) 3;2;3 , (1;0;2), A B ( 2;3;4), C − (4; 3;3) D − . Lập phương trình mặt phẳng ( ) BCD . Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của ñường thẳng AB lên mặt phẳng ( ) BCD . Ta có ( 3;3;2), (3; 3;1) BC BD= − = − . ( ) Mp BCD ñi qua (1;0;2) B và có vtpt ( ) , 9;9;0 . n BC BD = = Chọn (1;1;0) n = . 0,25 Phương trình ( ) : 1( 1) 1( 0) 0( 2) 0 BCD x y z − + − + − = ⇔ 1 0 x y + − = . 0,25 ðường thẳng AB cắt ( ) BCD tại (1;0;2) B . Ta ñi tìm hình chiếu ' A của ñiểm A lên ( ) BCD . ðường thẳng ∆ ñi qua A và vuông góc với ( ) BCD có phương trình 3 2 3 x t y t z = + = + = ( ). t ∈ R ' ( ) (3 ) (2 ) 1 0 2 '(1;0;3) A BCD t t t A = ∆ ∩ ⇒ + + + − = ⇒ = − ⇒ . 0,25 Hình chiếu vuông góc của AB ñi qua , ' B A nên có vtcp ' (0;0;1) u BA= = . Phương trình 1 ': 0 2 x BA y z t = = = + ( ). t ∈ R (Lưu ý: Học sinh viết 1 0 2 0 0 1 x y z − − − = = thì không cho 0,25 ñiểm phần cuối này). 0,25 7 (1,0ñ) Lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có ñáy ABC là tam giác ñều cạnh a , ñỉnh ' A cách ñều , , A B C . Góc giữa cạnh bên và mặt ñáy của lăng trụ bằng 0 60 . Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C . Xác ñịnh tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp '. A ABC . Xác ñịnh góc 0 60 : • Gọi H là hình chiếu của A’ lên (ABC) 2 2 ' ' HA HB HC AA A H ⇒ = = = − suy ra H là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. • AH là hình chiếu của AA’ lên (ABC), suy ra 0 ' 60 . A AH = 0,25 Tính thể tích lăng trụ: . ' ' ' ' . ABC A B C ABC V A H S = • ABC ∆ ñều cạnh a nên 2 1 3 3 . . . 2 2 4 ABC a a S a= = • 0 2 3 ' .tan60 . . 3 . 3 2 a A H AH a = = = Suy ra: 2 . ' ' ' 3 . 4 ABC A B C a V a = = 3 3 4 a . 0,25 Xác ñịnh tâm mặt cầu: • Gọi P là trung ñiểm AA’. Kẻ ñường trung trực d của AA’ trong (A’AH). d cắt A’H tại I. • ' . ' I d IA IA I A H IA IB IC ∈ ⇒ = ∈ ⇒ = = I ⇒ là tâm mặt cầu cần tìm. 0,25 Tính bán kính R: 0 ' 2 1 1 2 3 ' . ' .2. . cos30 2 3 3 3 3 A P a R IA AA AH = = = = = = 2 3 a . 0,25 4/5 H I C B A F E D 8 (1,0ñ) Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn tâm (2;1) I , bán kính 5 R = . Chân ñường cao hạ từ , , B C A của tam giác ABC lần lượt là (4;2), (1; 2) D E − và F . Tìm tọa ñộ tâm ñường tròn nội tiếp của tam giác DEF biết rằng ñiểm A có tung ñộ dương. Chứng minh AI DE ⊥ : • Tứ giác BCDE nội tiếp ñường tròn nên AED BCD = . • Kẻ tiếp tuyến At của ( ; ) I R ta có: BCD EAt = / / . AED EAt At DE AI DE ⇒ = ⇒ ⇒ ⊥ 0,25 Tìm tọa ñộ ñiểm A: • Phương trình AI qua I, vuông góc với : DE 3 4 10 0 x y + − = . • 2 2 6 (6; 2) (L) 10 3 ; 25 4 12 0 2 ( 2;4) (TM) 4 t A t A t AI AI t t t A = ⇒ − − ∈ ⇒ = ⇒ − − = ⇒ = − ⇒ − 0,25 Chứng minh trực tâm H của tam giác ABC là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác DEF : • DEC DBC HEF = = ⇒ EC là phân giác trong của DEF . • Tương tự: DB là phân giác trong của EFD H BD CE ⇒ = ∩ là tâm ñường tròn nội tiếp ∆ DEF . 0,25 Tìm tọa ñộ ñiểm H : • Phương trình CE qua E và vuông góc với : AE 2 5 0 x y − − = • Phương trình BD qua D và vuông góc với : AD 3 10 0 x y − − = • Từ ñó H BD CE = ∩ ⇒ ( ) 3; 1 H − . 0,25 9 (1,0ñ) Giải phương trình 2 8 10 11 14 18 11 x x x + + + + = . (1) ðK: 11 . 10 x ≥ − ( ) ( ) ( ) 2 (1) 4 2 1 10 11 2 3 14 18 2 4 0 x x x x x x ⇔ + − + + − − + + − − = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 4 2 1 0 10 11 2 3 14 18 2 4 x x x x x x x x x x + − + − ⇔ + − − − = + + + + + + 0,25 • 2 1 2 1 0 1; 2 x x x+ − = ⇔ = − (tmñk). 0,25 • 1 1 ( ) 2 0 10 11 2 3 14 18 2 4 f x x x x x = − − = + + + + + + Ta có 11 '( ) 0 ( ) 10 f x x f x > ∀ ≥ − ⇒ ñồng biến trên 11 [ ; ) 10 − +∞ . 0,25 Từ ñó 11 ( ) 0 10 f x f ≥ − > nên trường hợp này vô nghiệm. ðáp số: 1 1; 2 S = − . Lưu ý: + Học sinh chỉ tìm ñược 1 nghiệm, cho ¼ ñiểm + Học sinh tìm ñược 2 nghiệm mà không CM ñược phần còn lại vô nghiệm, cho ½ ñiểm • Có thể CM ( ) 0 f x > như sau: 11 11 4 11 9 10 11 2 3 2 3 ; 14 18 2 4 2 4 10 10 5 10 5 x x x x x ≥ − ⇒ + + + ≥ − + = + + + ≥ − + = 5 5 ( ) 2 0 4 9 f x ⇒ > − − > . • Có thể nhẩm nghiệm và tách thành tích: (1) ( 1)(2 1) ( ) 0 x x h x ⇔ + − = rồi CM ( ) h x vô nghiệm. 0,25 5/5 10 (1,0ñ) Cho các số thực , , x y z dương và thỏa mãn ( ) ( ) 2 2 2 4 1 16 3 . x x x yz x y z − + ≤ − + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 2 3 3 3 ( 1) 16 10 3 2 1 y x x y T x z x y + + = + − + + . Từ giả thiết ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 4 1 16 3 4 1 16 3 16 3.4 x x x yz x y z x yz y z yz yz x − + ≤ − + ⇒ + − ≤ − + ≤ − 2 1 1 4 3 1 1, 0 3 4 1 0 1 1 . yz yz x t yz t t t yz y x z ⇒ − ≥ + − ≥ = > ⇒ − + ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≥ 0,25 ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 3 3 ( 1) 16 3 3 16 10 3 10 3 2 2 1 1 y x x y y xy y T z x z x x yz x y y + + + = + − = + + − + + + + . Ta có: • 2 2 2 2 2 3 3 1 3 y xy y xy y y yz x x x yz x + + ≤ ⇒ ≥ = + • ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 16 16 16 3 ( 1) ( 1) ( 1) 3 4.2 3 5 1 1 1 y y y y z y y y + ≥ + = + + + + + + − ≥ − = + + + • 3 3 10 3. 10 3. 10 3. 10 3 2 1 1 y y y y x x x x − ≥ − ≥ − = − + + + Từ ñó: 2 3 5 10 . y y y T x x x ≥ + + − ðặt 4 2 0 ( ) 3 10 5 y t T f t t t t x = > ⇒ ≥ = + − + . 0,25 Ta có: 3 2 '( ) 4 6 10 2( 1)(2 2 5) f t t t t t t = + − = − + + . '( ) 0 1 f t t = ⇔ = . BBT: t 0 1 +∞ '( ) f t - 0 + ( ) f t 5 +∞ -1 0,25 Suy ra 1 T ≥ − ⇒ 0 1 t MinT > = − 1 1. t x y z ⇔ = ⇔ = = = Cách 2: Ta có: • 3 3 1 1 1 .1 . 2 1 1 3 2 3 3 y y y y y x x x x x + = ≤ = ≤ + + + . • 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 y y y y y x x x x x + ≥ = ⇒ ≥ − . Suy ra: 1 1 2 1 3 5 10 3. . 1 1 1. 2 3 y y y x T T MinT x y z x x + ≥ − + + − ⇒ ≥ − ⇒ = − ⇔ = = = 0,25 Hết . lơng thế vinh Hà nội Năm học 20 14 - 2015 đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 Môn thi: Toán Môn thi: ToánMôn thi: Toán Môn thi: Toán - - Lần thứ Lần thứ Lần thứ Lần thứ 4 44 4 . lơng thế vinh Hà nội Nm h c 20 14 2015 đáp án thang điểm đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 Môn thi: Toán Môn thi: Toán Môn thi: Toán Môn thi: Toán Lần thứ Lần thứ Lần. Lần thứ Lần thứ Lần thứ Lần thứ 4 44 4 ỏp ỏn cú 05 trang Cõu ỏp ỏn im 1 (2,0ủ) a) (1,0 ủim) Kho sỏt s bin thi n v v ủ th ca hm s 3 2 3 4 y x x = + Tp xỏc ủnh: