Trường THPT Nguyễn Trung Trực MA TRẬN ĐỀ THI HỌC KÌ II MÔN: TOÁN 11 Năm học: 2012 - 2013 Chủ đề hoặc mạch kiến thức, kĩ năng Mức độ nhận thức - Hình thức câu hỏi. Tổng điểm / 10 1 2 3 4 TL TL TL TL Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số Câu Ia 0,75 Câu Ib 0,75 2 1,5 Hàm số liên tục Câu II 1 Câu VIa,b 1 2 2 Tính đạo hàm- pt-chứng minh Câu IIIa 0,75 Câu IIIb 0,75 Câu Va,b1 1 3 2,5 Viết pt TT của đồ thị hàm số Câu Va,b2 1 1 1 Quan hệ vuông góc trong không gian Câu IVa 1 Câu IVb 1 Câu IVc 1 3 3 Tổng 4 3,5 4 3,5 2 2 1 1 11 10,0 BẢNG MÔ TẢ NỘI DUNG Câu Ia: Tính giới hạn dãy số hoặc hàm số. Câu Ib: Tính giới hạn hàm số. Câu II: Xét tính liên tục của hàm số. Câu IIIa: Tính đạo hàm của hàm số lượng giác. Câu IIIb: Tính đạo hàm của hàm số hợp dạng ( )u x . Câu IVa: Chứng minh quan hệ vuông góc. Câu IVb: Tính góc giữa hai đường thẳng, hoặc khoảng cách. Câu IVc: Xác định thết diện, tìm cực trị diện tích thiết diện. Câu Va.1(cơ bản): Giải phương trình có chứa đạo hàm. Câu Va.2(cơ bản): Viết pt TT của đồ thị hàm số tại một điểm. Câu Vb.1(nâng cao): Viết pt TT của đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến. Câu Vb.2(nâng cao): Chứng minh đẳng thức liên quan đạo hàm của hàm số. Câu VIa(cơ bản): Chứng minh pt có nghiệm trên khoảng đã chỉ ra. Câu VIb(nâng cao): Chứng minh pt có nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của tham số hoặc ứng dụng đạo hàm tính tổng trong khai triển nhị thức Niu-Tơn. Trường THPT Nguyễn Trung Trực ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN 11 Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) A. PHẦN CHUNG (7điểm). (Dành cho tất cả các thí sinh) Câu I(1,5điểm). Tìm các giới hạn sau: 1) 3 2 3 6 4 lim 2 3 + + − n n n 2) 0 1 1 lim → + − x x x Câu II(1điểm). Tìm m để hàm số 2 2 3 1 ( ) 1 2 1 x x khi x f x x mx khi x + − < = − − ≥ liên tục tại .1 = x Câu III(1,5điểm). Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) 2 sin cos2y x x x = + − 2) 2 2 5y x x= + − Câu IV(3điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng a. Cạnh bên SB vuông góc mặt phẳng ( )ABC và 2SB a= . Gọi I là trung điểm của cạnh BC. 1) Chứng minh rằng AI vuông góc mặt phẳng (SBC). 2) Tính góc hợp bởi đường thẳng SI với mặt phẳng (ABC). 3) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAI). B. PHẦN RIÊNG (3điểm). (Thí sinh học chương trình nào thì làm theo chương trình đó) 1. Theo chương trình cơ bản. Câu Va(2điểm). Cho hàm số ( ) 3 2 3 4= = − −y f x x x có đồ thị (C). 1) Giải phương trình ( ) 2. ′ = f x 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 0 1.=x Câu VIa(1điểm). Chứng minh phương trình 3 3 1 0x x− + = có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( ) 2;2 .− 2. Chương trình nâng cao. Câu Vb(2điểm). 1) Cho hàm số 2 2 2 2 + + = x x y . Chứng minh rằng: 2 2 . 1 ′′ ′ − = y y y . 2) Cho hàm số 1 2 ( ) 1 x y f x x − = = + có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆ có phương trình 4 3. 3 y x = − Câu VIb(1điểm). Chứng minh rằng phương trình ( ) 2 2010 3 . 2 4 0m m x x− + − − = luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị tham số m. HẾT ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM THI HỌC KÌ II- MÔN TOÁN 11 NĂM HỌC 2012-2013 CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM I (1,5đ) 1(0,75đ) 3 2 3 3 3 1 4 6 6 4 lim lim 2 2 3 3 n n n n n n + + + + = − − = - 2 0,5 0,25 2(0,75đ) ( ) 0 0 1 1 lim lim 1 1 x x x x x x x → → + − = + + 0 1 1 lim 2 1 1 x x → = = + + 0,5 0,25 II (1đ) Ta có ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 3 2 3 lim lim lim 4 1 1 x x x x x x x f x x x − − − → → → − + + − = = = − − − và ( ) ( ) 1 1 lim lim 2 2 x x f x mx m + + → → = − = − ; (1) 2f m= − Hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ ( ) 1 lim x f x − → = ( ) 1 lim x f x + → = (1)f 2 4 2m m ⇔ − = − ⇔ = − 0,5 0,25 0,25 III (1,5đ) 1(0,75đ) ( ) ( ) ' 2sin . sin ' sin 2 . 2 ' 1 2sin cos 2sin 2 1 = - sin2x-1 y x x x x x x x = − − = − − 0,25 0,25 0,25 2(0,75đ) ( ) 2 2 2 2 5 ' ' 2 2 5 5 2 2 2 5 x x y x x x x x + − = + − − = + − 0,5 0,5 IV (3đ) 1(1đ) I B C A S H Tam giác ABC đều cạnh a , IB = IC = a 2 ⇒ AI ⊥ BC (1) SB ⊥ (ABC) ⇒ SB ⊥AI (2) 0,25 0,25 0,25 Từ (1) và (2) ta có AI ⊥ (SBC) 0,25 2(1đ) SB ⊥ (ABC) ⇒ BI là hình chiếu của SI trên (ABC) ⇒ ( ) · · · ,( ) , tan 4 SB SI ABC SIB SIB IB = = = Kết luận: 0,5 0,25 0,25 3(1đ) AI ⊥(SBC) (cmt) nên (SAI) ⊥ (SBC) ( ) ( )SI SAI SBC= ∩ .Trong tam giác SBI, kẻ ( )⊥ ⇒ ⊥BH SI BH SAI ( ) ( ) ,d B SAI BH=Þ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 17 2 17 17 4 4 a BH BH MB BI a a a = + = + = ⇒ = 0,25 0,25 0,25 0,25 Chương trình cơ bản Va (2đ) 1(1đ) 3 2 3 4y x x= − − ⇒ 2 3 6y x x ′ = − 2 2 2 3 6 2 3 6 2 0y x x x x ′ = ⇔ − = ⇔ − − = 3 15 3 15 ; 3 3 x x − + = = 0,5 0,25 0,25 2(1đ) Tại 0 1x = ⇒ 0 6= −y Hệ số góc của TT: (1) 3 ′ = = −k y Phương trình tiếp tuyến là 3 3y x= − − 0,25 0,5 0,25 VIa (1đ) Đặt f(x) = x 3 - 3x + 1. Ta có f(x) xác định, liên tục trên ¡ nên liên tục trên các đoạn [-2;-1], [-1;1] và [1;2] Mà f(-2). f(-1) = -3 0 < , f(-1). f(1) = -3 0 < và f(1). f(2) = -3 0 < Nên pt f(x) = 0 đều có 1 nghiệm thuộc mỗi khoảng (-2;-1), (-1;1) và (1;2) Suy ra phương trình x 3 - 3x + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt trên (-2; 2). 0,25 0,5 0,25 Chương trình nâng cao Vb (2đ) 1(1đ) Ta có y x y' 1 " 1= + ⇒ = y y x x x x x y 2 2 2 2 2 . " 1 ( 2 2).1 1 2 1 ( 1) ′ − = + + − = + + = + = 0,5 0,5 2(1đ) TXĐ D = R \ {-1}; ( ) 2 3 '( ) 1 f x x − = + Xác định đúng hệ số góc của TT là: 3 4 k = − Gọi ( ) 0 0 ;x y là tiếp điểm của TT, theo giả thiết ta có: 0 3 '( ) 4 f x = − ( ) ( ) 0 2 0 0 2 0 0 0 1 1 3 3 2 1 4 3 7 4 1 2 y x x x x y = − = − − ⇔ = ⇔ + = ⇔ ⇒ = − + = − Vậy có hai tiếp tuyến 3 1 4 4 y x= − + và 3 23 4 4 y x= − − 0,5 0,5 VIb (1đ) 1(1đ) Xét hàm số f(x) = (m 2 – m + 3)x 2010 – 2x – 4 liên tục trên ¡ Ta có: f(0) = -4 và f(-1) = m 2 – m + 3 + 2 – 4 = m 2 – m + 1 > 0 m ¡ . f(0). f(-1) < 0 suy ra tồn tại x 0 (-1; 0): f(x 0 ) = 0 Phương trình có ít nhất một nghiệm âm với mọi m. 0,5 0,25 0,25 . thuộc vào giá trị của tham số hoặc ứng dụng đạo hàm tính tổng trong khai triển nhị thức Niu-Tơn. Trường THPT Nguyễn Trung Trực ĐỀ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 201 2-2 013 MÔN THI: TOÁN 11 Thời gian làm. f(x) = x 3 - 3x + 1. Ta có f(x) xác định, liên tục trên ¡ nên liên tục trên các đoạn [-2 ;-1 ], [-1 ;1] và [1;2] Mà f (-2 ). f (-1 ) = -3 0 < , f (-1 ). f(1) = -3 0 < và f(1). f(2) = -3 0 < Nên. trị tham số m. HẾT ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM THI HỌC KÌ II- MÔN TOÁN 11 NĂM HỌC 201 2-2 013 CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM I (1,5đ) 1(0,75đ) 3 2 3 3 3 1 4 6 6 4 lim lim 2 2 3 3 n n n n n n + + + + = − − = - 2