Đề thi toán 11 - sưu tầm đề kiểm tra, thi học kỳ, thi học sinh giỏi tham khảo bồi dưỡng (47)

http://NgocHung.name.vn (Đề 1) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) __________________________ Câu I: Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 4 2 2 x y xy x y xy  + + =   − + =   Câu II: Tìm tất cả các nghiệm x ∈ (2009; 2011) của phương trình : cos sinx x− os2 1 sin 2 0c x x− + = Câu III: Cho dãy số ( n u ) xác định bởi: 1 1 1 ( 1)( 2)( 3) 1, *. n n n n n u u u u u u n N + =    = + + + + ∀ ∈   Đặt 1 1 . 2 n n i i S u = = + ∑ Tính lim n S . Câu IV: 1. Cho elip(E): 2 2 1 25 9 x y + = và điểm M(2;1). Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua M và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm AB. 2. Cho tứ diện ABCD, O là điểm bất kì nằm trong miền tam giác BCD. Từ O kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, AD cắt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC) lần lượt tai M, N, P . Chứng minh rằng: OM ON OP AB AC AD + + không đổi. Câu V: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ).a b c abc a b c b c a c a b+ + + ≥ + + + + + Hết http://NgocHung.name.vn (Đề 2) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian ra đề) Câu 1: (2 điểm) Giải phương trình : 3 1 cot 3tan 2 2 2 2 0 2 1 cot x x cos x cos x x − − − + = + Câu 2: (2,5 điểm) 1. Cho khai triển: 2 3 2010 2011 2 3 4042110 0 1 2 3 4042110 (1 ) x x x x a a x a x a x a x+ + + + + = + + + + + a. Tính tổng 0 2 4 4042110 a a a a+ + + + . b. Chứng minh rằng: 0 1 2 3 2010 2011 2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0 2011C a C a C a C a C a C a− + − + + − = − 2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác xuất để chọn được một số thuộc vào tập Avà số đó chia hết cho 3. Câu 3: (2,5 điểm) 1. Cho dãy số ( n u ) được xác định như sau: 2 1 1 1 2011, ( ), *, 2. n n n u u n u u n N n − − = = − ∀ ∈ ≥ Chứng minh rằng dãy số ( n u ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. 2. Tính giới hạn: 3 2 1 2 1 3 2 2 . 1 lim x x x x A x → − + − − = − Câu 4: (3 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a. 1. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD)và đường thẳng A’C đi qua trọng tâm tam giác A’BD. 2. Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’). Tính độ dài đoạn MN theo a. Hết http://NgocHung.name.vn (Đề 3) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) 1. Chứng minh rằng : 2 1 sin 2 cot . 1 sin 2 4 a a a π +   = −  ÷ −   2. Cho: sinx + siny = 2sin(x + y), với x + y ≠ k π ,k ∈¢ . Chứng minh rằng: 1 tan tan 2 2 3 x y + = . Câu 2: (3 điểm) 1. Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết: 3 3 sin . sin . . 2 2 2 2 A B B A cos cos= Chứng minh rằng tam giác ABC cân. 2. Giải phương trình sau: 2(sin 3 cos ) 3 2 sin 2 .x x cos x x+ = − Câu 3: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E. AD và BC cắt nhau tại F. AC và BD cắt nhau tại G. (P) là mặt phẳng cắt SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. 1. Tìm giao điểm D’ của SD và (P). 2. Với điều kiện nào của (P) thì A’B’C’D’ là hình bình hành. Câu 4: (1 điểm) Chứng minh rằng: ∀ x, y, z + ∈¢ thì: 2 2 2 2( ).x y z xy xz+ + ≥ + Hết http://NgocHung.name.vn (Đề 4) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) Cho dãy số ( n u ),n=0,1,2… được xác định như sau: 0 1 2 2 2 3 2 1 0, 1, 0 ( 1)( 1) 1 ( 1) n n n n u u u n n n n u u n n u u n n + + + = = =    + + + + = + + + −   , 0n ∀ ≥ . Chứng minh rằng (u n )là số chính phương với mọi n * ∈ ¥ . Câu 2: (3 điểm) Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng ( α ) song song với hai đường thẳng AD và BC. Gọi M, N, P, Q tương ứng là giao điểm của ( α ) với các đường thẳng AB, AC, CD, DB. Xác định tất cả các vị trí của ( α ) để: a. Tứ giác MNPQ là hình thoi. b. Diện tích thiết diện giữa ( α ) và tứ diện ABCD là lớn nhất. Câu 3: (3 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 2 x y xy x y x y  + + =    + = −  2. Cho x, y, z R + ∈ . Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 . x y y z z x xy z yz x zx y x y z + + + + + ≤ + + + + + 3. Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x: 2 3sin 2sin . os2 3x x cosx c x a+ + + ≤ . Câu 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c, độ dài ba đường phân giác trong tương ứng với các góc A, B, C lần lượt là l a , l b , l c . 1. Chứng minh rằng: 3 3. a b b c c a l l l l l l c a b + + + + + ≤ 2. Nhận dạng tam giác, biết: tan ( tan a+btanb). 2 C a b a+ = http://NgocHung.name.vn Hết (Đề 5) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: Cho a, b, c >0 và a + b + c = 6 Chứng minh rằng: 3 3 3 2 1 1 1 a b c b c a + + ≥ + + + Câu 2: Giải phương trình: 2 2 3 1 3 2 2 5 3 16.( )x x x x x x+ + + = + + + − ∈¡ Câu 3: Giải hệ phương trình: 3 2 3 2 1 2( ) 1 2( ) x x x y y y y x  + = − +   + = − +   Câu 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Hai điểm M, N lần lượt di chuyển trên cạnh AD và DC sao cho AM = x, CN = y với 0 , 1x y< < và góc MBN bằng 45 o . a. Chứng minh rằng : 1x y xy+ = − . b. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích ∆ BMN. Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực: 2 2 2 4 2 4 5 ( 2) 8 16 32 16 0 x x x x x mx m  + ≥  +   + + + + =  Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức : 5 4 1 5 4 2 1 6 a a P a a − − + = − + + + trong đó a là tham số thực và 5 1 . 4 a− ≤ ≤ Hết http://NgocHung.name.vn (Đề 6) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1:(2 điểm) Cho dãy ( n x ) lập theo quy tắc: 0 2 1 0 5 24 1. n n n x x x x + =    = + +   a. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số đề là số nguyên. b. Tìm số hạng tổng quát của dãy số. Câu 2: (2 điểm) 1. Định a để hệ: 2 2 2 cos sin 1 ax a y x x y  + = +   + =   có nghiệm duy nhất. 2. Chứng minh rằng nếu 2 2x x> thì: 2 2 2cos sin 2 16 sin . os2 x x x c x + > Câu 3: (2 điểm) 1. Giải phương trình: 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2.x x x x x− + − = − + − + 2. Giải hệ phương trình: 2 3 3 2 2 6 6 5 ( 4)( 2 6) 2 2 1 x x x x x x x x x  − + = + + −   + ≥ +   . Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b.Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) ; S là một điểm di động trên (P) sao cho S.ABC là hình chóp có hai mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là α và 2 π α − . Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên BC, AB, AC. a. Chứng minh rằng 2 .SH HI HJ= . b. Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của α . http://NgocHung.name.vn Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác: Chứng minh rằng: 3 3 3 33 3 3 3 3 3 2 4. a b c b c c a a b + + < + + + Hết (Đề 7) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) 1. Giải phương trình: 2 ( 2) 3x x − = . 2. Giải bất phương trình: 3 1 2 4 3 2.x x x+ + + < − 3. Tìm điều kiện của tham số a, b để phương trình sau có các nghiệm lập thành cấp số cộng: 3 2 3 ax 0.x x b− + + = Câu 2: (2 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng với những giá trị tìm được của m: 4 2 3 sinx. os2 2 2 . cos . os2 1 c y m m x c y m  = − +   = +   Câu 3: (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương và thoả mãn 1a b c+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 3 3 1 3 1 3 1.P a b c= + + + + + Câu 4: (2 điểm) Cho ABC ∆ đều. Trên các cạnh AB và BC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho 1 3 AM AB= và 1 3 BN BC= . Gọi I là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng BI vuông góc CM. Câu 5: (2 điểm) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1. ( ) ( ) ( ) a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + + http://NgocHung.name.vn Hết (Đề 8) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) Cho hai phương trình sau: 7 3 2sin (1 sin ).sin .sinx a x a x π = + + (1) 2 6 2 3 ( 1)(1 ) 2sin 2sin 2( 1)a cos x x x a− + + = + − (2) a. Giải các phương trình trên với a = 2. b. Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình (1) và (2) tương đương. Câu 2: (2 điểm) Giải hệ phương trình: 3 3 sin sin sin 2 . 3 cos cos cos 2 x y z x y z  + + =     + + =   Câu 3: (2 điểm) 1. Tính giới hạn sau: 1 1 1 1 1 . 1 3 3 5 5 7 2 1 2 1 lim n n n n →+∞   + + + +  ÷ + + + − + +   2. Giải phương trình: 2 2 15 3 2 8.x x x+ = − + + Câu 4: (2 điểm) Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Một mặt phẳng (P) thay đổi song song với hai đáy của lăng trụ, cắt các đoạn thẳng AB’, BC’, CD’, DA’ tương ứng lần lượt tại các điểm M, N, P, Q. Hãy xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho tứ giác MNPQ có diện tích lớn nhất. Câu 5: (1 điểm) http://NgocHung.name.vn Tìm tất cả các số nguyên dương a b c ≥ ≥ sao cho 1 1 1 1 1 1 2. a b c     + + + =  ÷ ÷ ÷     Hết (Đề 9) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) 1. Tìm tất cả các giá trị [ ] 0;2x π ∈ sao cho: 2cos 1 sin 2 1 sin 2 2.x x x≤ + − − ≤ 2. Giải và biện luận phương trình theo tham số a, b: 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( )x x x a a x x x a a x b x b− − − + + − − = + + − . Câu 2: (2 điểm) 1. Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn 1abc = . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1.a b c b c a     − + − + − + ≤  ÷ ÷ ÷     2. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 1 18 1 1 2 x x y x y x y y x x y x y x y y  + + + + + + + + + =   + + + − + + + + − =   . Câu 3: (2 điểm) Cho dãy số ( ) n u xác định bởi: 2 1 n u n a n= + + với 1,2,3 n = ; a là tham số có giá trị thực. a. Với ( 1)a = − hãy tìm giới hạn của dãy số khi n → +∞ . b. Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn khi n → +∞ . Câu 4: (3 điểm) Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ các đường thẳng , A d OA⊥ , , B C D d OB d OC d OD⊥ ⊥ ⊥ . Các cặp đường thẳng A d và B d , B d và C d , C d và D d , D d và A d tương ứng cắt nhau tại K, L, M, N. a. Chứng minh rằng các đường thẳng KM và NL cắt nhau tại O. http://NgocHung.name.vn b. Gọi p, q, r lần lượt là độ dài các đoạn thẳng OK, OL, OM. Tính độ dài đoạn ON. Hết (Đề 10) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) Tìm các giá trị của a để phương trình sau chỉ có một nghiệm: 5 3 5(2 1)(1 ) 1 . ( )( 3 1) a a a x a x a x a − + − + = − − − + Câu 2: (3 điểm) 1. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm: 2 3 ( ) 2 ( ) . 2 0. 2 2 3 x x cos a x cos a x cos cos a a π π π π π   − − − + + + =  ÷   2. Cho tam giác ABC có tan tan 2tanA C B + = . Chứng minh rằng: 3 2 cos cos . 4 A C+ ≤ Câu 3: (3 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng nếu ba trung điểm của AD, BC, OE thẳng hàng thì AB=CD hoặc · 0 90 .AEB = Câu 4: (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn 3x y z+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 1 1 1 x y z P xy yz zx = + + + + + Câu 5: (1 điểm) [...]...  a b c  a + b + c ≤ 12  Hết - (Đề 11) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức: Tính tổng số đo góc: 3 A + B BC AB + BC = AB − BC AC Câu 2: (2 điểm) Cho một cấp số nhân biết rằng tổng các số hạng của chúng bằng 11, tổng bình phương các số hạng của chúng bằng 341,... của: P = 2 2 2 a +2 b +2 c +2 Chứng minh rằng: x+ y + x +1 Hết - ( MỘT SỐ ĐỀ DÀNH CHO LỚP 12) (Đề 14) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) 1 Chứng minh rằng với mọi x ∈ ¡ ta luôn có sin x + cos x ≥ 1 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm m ( sin x + cos x + 1) = sin 2 x + sin x +... cắt các cạnh AC và AD của tứ diện ABCD lần lượt tại P và Q (P ≠ C, Q ≠ D) Chứng minh rằng tam giác OMN đồng dạng với tam giác OQP Hết - (Đề 13) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) 1 Giải phương trình: ( x + 3) (4 − x)(12 + x) 2 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 3 x − m y 2 + 1 = 1  1  = m2 x... Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + 1+ a + b 1+ b + c 1+ c + a 2 + a 2 + b 2 + c Hết - (Đề 12) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc: Max { A, B, C} ≥ π 2 Tìm giá trị lớn của biểu thức: P = sin A + sin 2 B + sin 3 C Câu 2: (3... Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của số 3n 2 + n + 1 a Tìm giá trị nhỏ nhất của S(n) b Chứng minh rằng tồn tại n để S (n) = 1999 Hết - (Đề 15) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2 điểm) 3 x − y = x − y  1 Giải hệ phương trình:  x + y = x + y + 2   2 Giải phương trình: 2 log3  cos x  ÷ = log 2 ( cos x )  sin...  1 1 a Chứng minh rằng: an > − 2 2n b Chứng minh rằng dãy số ( an ) có giới hạn và tìm giới hạn đó Câu 4: (3 điểm) http://NgocHung.name.vn Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông và SAB là tam giác đều, mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác SAB Gọi M là một điểm di động trên đoạn AB và P là hình chiếu vuông góc của S lên CM a Tìm quỹ tích của điểm P khi M di động... điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 3  4  4  4  Chứng minh rằng:  2 2 + 1÷ 2 2 + 1÷ 2 2 + 1÷ ≥ 3( a + b + c)  a +b  b + c  c + a  2 http://NgocHung.name.vn Câu 3: (3 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đáy của hình chóp có độ dài bằng 2, chiều cao bằng h Gọi C1 (O; r ) là hình cầu tâm O bán kính r nội tiếp hình chóp; gọi C2 (K;R) là hình cầu tâm K bán kính R tiếp xúc với 8 cạnh... điểm) Cho f là một hàm liên tục trên [0; 1] thoả mãn f (0) = f (1) Chứng minh rằng với bất kì 1  số nguyên dương n nào cũng tồn tại một số c ∈ [ 0;1] sao cho f (c) = f  c + ÷  Hết - n . + + + + + Hết http://NgocHung.name.vn (Đề 2) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian ra đề) Câu 1: (2 điểm) Giải phương trình : 3 1. 2010 2 011 2 3 404 2110 0 1 2 3 404 2110 (1 ) x x x x a a x a x a x a x+ + + + + = + + + + + a. Tính tổng 0 2 4 404 2110 a a a a+ + + + . b. Chứng minh rằng: 0 1 2 3 2010 2 011 2 011 2 011 2 011 2010. trong đó a là tham số thực và 5 1 . 4 a− ≤ ≤ Hết http://NgocHung.name.vn (Đề 6) ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 11 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1:(2