SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2 ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 4 NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN: TOÁN - KHỐI 12 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi có 01 trang Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 2 3 3y x m x m m= − + − (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với 1m = . b) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm M có hoành độ 0 1x = song song với đường thẳng 9x 12y = − + . Câu 2. (1,0 điểm) a) Cho góc ; 2 π α π ∈ ÷ thỏa mãn 3 sin 5 α = . Tính giá trị biểu thức tan 4 A π α = − ÷ b) Giải phương trình: 2 3 3 log (3x) log 3 0x− − = Câu 3. (1,0 điểm) a) Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: 2 1z i z i+ = + − . b) Ba bạn Bắc, Trung, Nam cùng lên một chuyến tàu có ba toa. Việc lên một toa nào đó của mỗi bạn là ngẫu nhiên. Tính xác suất để ba bạn Bắc, Trung, Nam ngồi cùng một toa. Câu 4. (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 (2e 2015e ). x x y x= + , trục hoành, 0, 1x x= = . Câu 5. (1,0 điểm) Trên hệ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau 1 2 3 4 ( ) : , 2 3 5 x y z d - - + = = - 2 1 4 4 ( ) : 3 2 1 x y z d + - - = = - - . a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1 d và song song với 2 d . b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc 2 d và tiếp xúc với mp(P) tại điểm 1 H d∈ . Câu 6. (1,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH= 2AH. Góc giữa SC và mặt phẳng đáy là 0 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD). Câu 7. (1,0 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có ( ) 1;4A , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong của góc · ADB là : 2 0d x y− + = , điểm ( ) 4;1M − thuộc cạnh AC . Viết phương trình đường thẳng AB . Câu 8. (1,0 điểm ) Giải phương trình: 2 6x 4 2x 4 2 2 4 x x − + − − = + Câu 9. (1,0 điểm ) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: 4 ( 1) ( 1) ( 1) 3 a a b b c c − + − + − ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 1 1 . 1 1 1 A a b c = + + + + + Hết Thí sinh không được dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:…………………………………………………………; SBD:…………………… SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2 ĐÁP ÁN ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 4 NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN: TOÁN - KHỐI 12 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Đáp án gồm 06 trang I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Với bài hình không gian phải có hình mới chấm điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. II. ĐÁP ÁN Câu Ý Nội dung Điểm 1 a Cho hàm số 3 2 2 3 3y x m x m m= − + − (1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với 1m = . 1,0 Với m=1 hàm số trở thành : 3 3x 2y x= − + TXĐ: D R= 0,25 Ta có: lim x y →±∞ = ±∞ 2 1 ' 3x 3 ' 0 1 x y y x = = − ⇒ = ⇔ = − 0,25 BBT x −∞ -1 1 +∞ y’ + 0 - 0 + y 4 +∞ −∞ 0 + Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ; 1−∞ − và ( ) 1;+∞ . Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 1;1− + Cực trị: Hàm số đạt CĐ tại x= -1, y cđ =4; Hàm số đạt cực tiểu tại x=1, y ct =0 0,25 + Đồ thị hàm số 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -2 2 4 6 f x ( ) = x 3 -3 ⋅ x ( ) +2 + Nhận xét: - Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (-2; 0), (-1; 4), (0; 2), (1;0), (2; 4). - Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm: I(0; 2). 0,25 b Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm M có hoành độ 0 1x = song song với đường : 9x 12d y = − + . 1,0 Ta có: 2 2 2 ' 3x 3 '(1) 3 3y m y m= − ⇒ = − 0,25 Vì tiếp tuyến tại M song song với d suy ra: 2 2 '(1) 9 3 3 9 2 m y m m = = − ⇔ − = − ⇔ = − 0,25 Từ 0 0 1 1 (1;1 )x y m M m= ⇒ = − ⇒ − . Với m 2 = (1; 1)M⇒ − ⇒ Tiếp tuyến tại M là: 9( 1) 1 9x 8y x y= − − − ⇔ = − + (T/m) 0,25 Với m 2 = − (1;3)M⇒ ⇒ Tiếp tuyến tại M là: 9( 1) 3 9x 12y x y= − − + ⇔ = − + (loại) Vậy m 2 = − . 0,25 Câu 2 a Cho góc ; 2 π α π ∈ ÷ thỏa mãn 3 sin 5 α = . Tính giá trị biểu thức tan 4 A π α = − ÷ . 0,5 2 2 9 16 Ta có: cos 1 sin 1 25 25 α α = − = − = . Vì 16 4 ; os 0 os 2 25 5 c c π α π α α ∈ ⇒ < ⇒ = − = − ÷ 0,25 3 1 3 tan 1 4 Suy ra : tan tan( ) 7 3 4 4 1 tan 1 4 A π α α α α − − − = − ⇒ = − = = = − + − 0,25 b Giải phương trình: 2 3 3 log (3x) log 3 0x− − = (1) 0,5 : 0ĐK x > ( ) 2 2 3 3 3 3 Ta c : 1 (1 log ) log 3 0 log log 2 0ó x x x x⇔ + − − = ⇔ + − = 0,25 3 3 3 log 1 1 log 2 9 x x x x = = ⇔ ⇔ = − = . Vậy phương trình có nghiệm 3 1 9 x x = = 0,25 Câu 3 a Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn: 2 1z i z i+ = + − . 0,5 Giả sử ( , )z x yi x y R= + ∈ . Suy ra điểm biểu diễn số phức z là M(x;y) Ta có: 2 2 2 2 2 1 ( 2) ( 1) ( 1)z i z i x y x y+ = + − ⇔ + + = + + + 0,25 2 2 2 2 ( 2) ( 1) ( 1) 1 0x y x y x y⇔ + + = + + + ⇔ − − = Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường thẳng có phương trình: 1 0x y− − = . 0,25 b Ba bạn Bắc, Trung, Nam cùng lên một chuyến tàu có ba toa. Việc lên một toa nào đó của mỗi bạn là ngẫu nhiên. Tính xác suất để ba bạn Bắc, Trung, Nam ngồi cùng một toa. 0,5 Mỗi bạn có ba cách chọn lên ba toa tàu nên ba bạn có: 3.3.3=27 cách. 0,25 Khi ba bạn Bắc, Trung, Nam ngồi cùng một toa thì có ba trường hợp (cùng toa thứ nhất hoặc toa thứ 2, hoặc toa thứ 3) Suy ra xác suất cần tìm là: 3 1 27 9 P = = 0,25 Câu 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường: 2 (2e 2015e ). x x y x= + , trục hoành, 0, 1x x= = . 1,0 Diện tích cần tìm là: 2 2 1 1 0 0 (2e 2015e ) . x (2e 2015e ) . x x x x x S x d x d= + = + ∫ ∫ (vì [ ] 2 (2e 2015e ) 0, 0;1 x x x x+ > ∀ ∈ ) 2 1 1 1 2 0 0 = e 2 . x 2015 e . x =I 2015 x x x d x d I+ + ∫ ∫ 0,25 Ta có: 2 2 2 1 1 1 2 1 0 0 0 2 . . ( ) 1 x x x I e x dx e d x e e= = = = − ∫ ∫ 0,25 Ta có: 1 1 1 1 2 0 0 0 0 . . . - ( 1) 1 x x x x I e x dx x e e dx e e e e= = − = = − − = ∫ ∫ 0,25 Suy ra 1 2 S=I 2015 1 2015.1 2014I e e+ = − + = − 0,25 Câu 5 Cho hai đường thẳng chéo nhau 1 2 2 3 4 1 4 4 ( ) : ; ( ) : 2 3 5 3 2 1 x y z x y z d d - - + + - - = = = = - - - a.Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 1 d và song song với 2 d . b.Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc 2 d và tiếp xúc với mp(P) tại điểm 1 H d∈ . 1,0 a Đường thẳng 1 d , 2 d có các vtcp là 1 (2;3; 5)u − ur , 2 (3; 2; 1)u − − uur Từ giả thiết suy ra (P) có vtpt là: 1 2 , ( 13; 13; 13) p n u u = = − − − uur ur uur 0,25 Vì (P) đi qua M 1 (2;3;-4) của 1 d suy ra phương trình mp(P) là: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 4 0 x+ 1 0x y z y z− + − + + = ⇔ + − = . Vậy phương trình mp(P) là: x+ 1 0y z+ − = 0,25 b Từ giả thiết suy ra IH vuông góc với cả hai dường thẳng 1 d và 2 d Vì I thuộc 2 d suy ra ( 1 3 ';4 2 ';4 ')I t t t− + − − , 1 (2 2 ;3 3 ; 4 5 )H d H t t t∈ ⇒ + + − − (2 3 ' 3;3 2 ' 1; 5 ' 8)IH t t t t t t⇒ − + + − − + − uuur 0,25 1 2 . 0 2(2 3 ' 3) 3(3 2 ' 1) 5( 5 ' 8) 0 3(2 3 ' 3) 2(3 2 ' 1) 1( 5 ' 8) 0 . 0 38 5 ' 43 0 1 (2;2;3) 5 14 ' 19 0 ' 1 (0;0;1) IH u t t t t t t t t t t t t IH u t t t I t t t H = − + + + − − − + − = ⇔ − + − + − − − + − = = − + = = − ⇔ ⇔ ⇒ − + = = uuur ur uuur uur 2 2 2 12 ( ) : ( 2) ( 2) ( 3) 12R IH pt mc S x y z⇒ = = ⇒ − + − + − = 0,25 Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAB) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn AB sao cho BH= 2AH. Góc giữa SC và mặt phẳng đáy là 0 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD). 1,0 I A D C B S H K Vì SC tạo với đáy một góc 0 60 , suy ra · 0 60SCH = Ta có: 2 2 2a 4a 13 3 9 3 a HB HC a= ⇒ = + = 0 13 13 .tan 60 3 3 a a SH⇒ = = 0,25 3 2 . D D 1 1 13 13 . . . 3 3 3 3 3 S ABC ABC a a V S SH a⇒ = = = 0,25 Kẻ HK song song AD ( DK C∈ ) ( )DC SHK⇒ ⊥ ( D) ( )mp SC mp SHK⇒ ⊥ Kẻ HI vuông góc với SK ( D)SI mp SC⇒ ⊥ ( ,( D))d H SC HI⇒ = 0,25 Trong SHK∆ ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 16 13 .13 13a 4 a HI HI SH HK a a = + = + = ⇒ = 13 ( ,( D)) 4 a d H SC⇒ = . 0,25 Câu 7 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có ( ) 1;4A , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong của · ADB là : 2 0d x y− + = , điểm ( ) 4;1M − thuộc cạnh AC . Viết phương trình đường thẳng AB . F E I D A(1;4) B C M(-4;1) 1,0 Gọi E, F là giao điểm của d và AB, AC Ta có: · µ · · · · 1 AFD 2 1 EF 2 C ADC A ADC DAB = + = + . Mà µ · C DAB= (cùng chắn cung » AB ) · · AFD EF E AFA A⇒ = ⇒ = 0,25 Ta có ( 5; 3)AC − − uuur suy ra vtpt của AC là (3; 5) AC n = − uuur : 3( 1) 5( 4) 0 3x 5 17 0pt AC x y y⇒ − − − = ⇔ − + = Tọa độ F là nghiệm của hệ: 7 3x 5 17 0 7 11 2 ( ; ) 2 0 11 2 2 2 x y F x y y = − + = ⇔ ⇒ − + = = 0,25 Ta có 2 2 7 11 34 34 (1 ) (4 ) E 2 2 2 2 AF A= − + − = ⇒ = Vì 2 2 ( ; 2) E ( 1; 2) E ( 1) ( 2)E d E t t A t t A t t∈ ⇒ + ⇒ = − − ⇒ = − + − uuur 7 7 11 ( ; ) ( ) 34 2 2 2 E 1 1 3 2 ( ; ) ( / ) 2 2 2 t E Loai A t E T m = = ⇔ ⇒ = − − 0,25 3 5 E ( ; ) 2 2 A⇒ = − − ⇒ uuur vtpt của AB là (5; 3) AB n = − uuur : 5( 1) 3( 4) 0 5x 3 7 0pt AB x y y⇒ − − − = ⇔ − + = 0,25 Câu 8 Giải phương trình: 2 6x 4 2x 4 2 2 4 x x − + − − = + (1) 1,0 K : 2 2Đ x− ≤ ≤ Đặt 2 2 2x 4 ,( 0) 6x 4 2 2 , ( 0) u u u v v x v = + ≥ ⇒ − = − = − ≥ 0,25 2 2 2 2 2 (2) (1) ( ) 1 0 4 (3) 4 4 u v u v u v u v u v u v x x x = − + ⇒ ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ ÷ + = + + + 0,25 Ta có 2 (2) 2x 4 2 2 2x 4 4(2 ) 6x 4 3 x x x⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ = ⇔ = (T/m) 0,25 2 2 (3) 2x 4 2 2 4 2 4 4(2 ) 4 (2x 4)(2 ) 4x x x x x x⇔ + + − = + ⇔ + + − + + − = + 2 4 (2x 4)(2 ) 2x 8 4 (2x 4)(2 ) (2 )( 4)x x x x x⇔ + − = + − ⇔ + − = − − − ( ) 2 . 4 2x 4 (2 ).( 4) 0x x x⇔ − + + − + = 2 0x⇔ − = (Vì [ ] 4 2x 4 (2 ).( 4) 0, 2;2x x x+ + − + > ∀ ∈ − ). Suy ra 2x = (T/m) Vậy phương trình có hai nghiệm là: 2 2, 3 x x= = . 0,25 Câu 9 Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: 4 ( 1) ( 1) ( 1) 3 a a b b c c − + − + − ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 1 1 . 1 1 1 A a b c = + + + + + 1,0 Ta có: 2 2 1 1 1 3 1. 1. 1. ( 3) 1 1 1 a b c A a b c a b c = + + + + + ≤ + + + ÷ + + + 9 3 A a b c ⇒ ≥ + + + 0,25 Mà 2 2 2 2 1 ( ) 3 a b c a b c + + ≥ + + Mặt khác GT 2 2 2 4 ( ) 3 a b c a b c ⇔ + + − + + ≤ 0,25 Đặt t a b c = + + thì 2 1 4 0 4 3 3 t t t − ≤ ⇔ < ≤ (vì a, b, c dương). Mà hàm số 1 3 y t = + nghịch biến nên 9 9 4 3 7 A ≥ = + . 0,25 Dấu bằng xẩy ra 4 4 1 1 1 3 a b c a b c a b c + + = ⇔ ⇔ = = = + = + = + Vậy GTNN của A bằng 9 7 khi và chỉ khi 4 3 a b c = = = 0,25 Hết . (T/m) 0 ,25 2 2 (3) 2x 4 2 2 4 2 4 4 (2 ) 4 (2x 4) (2 ) 4x x x x x x⇔ + + − = + ⇔ + + − + + − = + 2 4 (2x 4) (2 ) 2x 8 4 (2x 4) (2 ) (2 )( 4) x x x x x⇔ + − = + − ⇔ + − = − − − ( ) 2 . 4 2x 4 (2 ).( 4) 0x x x⇔. = 0 ,25 Câu 8 Giải phương trình: 2 6x 4 2x 4 2 2 4 x x − + − − = + (1) 1,0 K : 2 2Đ x− ≤ ≤ Đặt 2 2 2x 4 ,( 0) 6x 4 2 2 , ( 0) u u u v v x v = + ≥ ⇒ − = − = − ≥ 0 ,25 2 2 2 2 2 (2) (1). 0 4 (3) 4 4 u v u v u v u v u v u v x x x = − + ⇒ ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ ÷ + = + + + 0 ,25 Ta có 2 (2) 2x 4 2 2 2x 4 4 (2 ) 6x 4 3 x x x⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ = ⇔ = (T/m) 0 ,25 2 2 (3) 2x