Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN – KHỐI 10 Thời gian làm bài: 90 phút. ***** Mỗi học sinh phải ghi đầy đủ tên lớp cùng họ và tên vào phần phách và ghi 1 trong 2 câu sau đây vào phần đầu bài làm tùy theo loại lớp của mình. Ban A, B : Làm các câu 1, 2, 3, 4, 5, 6. Điểm các câu lần lượt là: 3; 1; 1; 1; 2; 2. Ban D, SN: Làm các câu 1, 2, 3, 4, 5, 6a. Điểm các câu lần lượt là: 3,5; 1; 1; 1; 2; 1,5. Câu 1 : Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) 2 2 3 9x x x x+ − + = + b) 2 2 4 2 3( 5 ) 8 3 2 4( 5 ) 19 x y y x y y − + − = − − − − = . c) 2 2 3 2 3 2 x x y y y x = + = + . Câu 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 1 2 2 3 1 1 1 − − + − + − = − − x m x m x x x . Câu 3: Tìm m để bất phương trình sau có tập nghiệm là R: ( ) 2 2 1m m x m x− + < + . Câu 4: Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: (1 ) (1 4 ) (1 9 ) 12+ + + + + ≥a b b c c a abc . Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AB = 3a; AD = 5a; góc BAD = 0 120 . a) Tính các tích vô hướng sau: .AB AD uuur uuur ; .AC BD uuur uuur b) Tính độ dài đoạn BD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(– 5; 6 ); B(– 4; – 1); C(4; 3). a) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. b) Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho T = 3 2 MA 3MB 4 4MA 3MB 2MC+ + − + uuuur uuur uuuur uuur uuur ngắn nhất. 2 ***** ĐÁP ÁN TOÁN KHỐI 10 HỌC KỲ I – NĂM HỌC: 2010 - 2011 Câ u Nội dung Ban A, B Ban D,SN 1 a AB (1đ) D,SN (1,25đ) 2 2 3 9x x x x+ − + = + (1).Đặt 2 3t x x= − + . Điều kiện: 0t ≥ . (Nếu thiếu điều kiện không trừ, vẫn cho 0.25 đ) Phương trình (1) trở thành: 2 12 0t t+ − = 4 ( ) 3 ( ) t loaïi t nhaän = − ⇔ = 3t⇔ = 2 3 3x x⇔ − + = 2 6 0x x⇔ − − = 3 ( ) 2 ( ) x nhaän x loaïi = ⇔ = − 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b 1đ a/ 2 2 4 2 3( 5 ) 8 ( ) 3 2 4( 5 ) 19 x y y I x y y − + − = − − − − = .Đặt 2 2 5 a x b y y = − = − . Điềukiện: 0a ≥ (Nếu thiếu điều kiện không trừ, vẫn cho 0.25 đ) Hệ (I) trở thành: 4 3 8 3 4 19 a b a b + = − − = = ⇔ = − 1 ( ) 4 a nhaän b 2 2 1 5 4 − = ⇔ − = − x y y 3 1 1 4 = = ⇔ = = x x y y 1 1 = ⇔ = x y ; 1 4 = = x y ; 3 1 = = x y ; 3 4 = = x y 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 c AB (1đ) D,SN (1,25đ) 2 2 3 2 3 2 x x y y y x = + = + 2 2 2 3 2 3 2 3 2 − = + − − ⇔ = + x y x y y x x x y 2 ( )( 1) 0 3 2 − + − = ⇔ = + x y x y x x y 2 2 0 3 2 1 0 3 2 − = = + ⇔ + − = = + x y x x y x y x x y 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 2 3 2 2 5 0 1 2 0 = − = ⇔ = − − − = x y x x y x x x 0 5 1 2 ; ; ; 0 5 2 1 = = = − = ⇔ = = = = − x x x x y y y y 2 1đ 3 1 2 2 3 1 1 1 − − + − + − = − − x m x m x x x (1). Điều kiện x >1 (1) 3 1 1 2 2 3⇔ − − + − = + −x m x x m (1) có nghiệm 3 1 1 1 2 − ⇔ > ⇔ > m m . 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 3 1 ( ) 2 2 1m m x m x− + < + ( ) 2 2 1 0⇔ − − + − <m m x m Bất phương trình có tập nghiệm là R 2 2 0 1 0 − − = ⇔ − < m m m 1 2 1 = − ⇔ = < m m m 1⇔ = −m . 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 4 1 Chứng minh: (1 ) (1 4 ) (1 9 ) 12+ + + + + ≥a b b c c a abc (1) Cách 1: (1) 4 9 12⇔ + + + + + ≥a ab b bc c ca abc ( ) ( ) ( ) 4 4 9 6 2 0⇔ + − + + − + + − ≥a bc abc b ac abc c ab abc (vì a, b, c ≥ 0 nên ab, 4bc, 9ac ≥ 0.) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 0⇔ − + − + − ≥a bc b ac c ab (luôn đúng với a,b,c ≥ 0) Lưu ý: HS có thể trình bày dưới dạng bất đẳng thức Cauchy, 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Cách 2: Vì a, b, c ≥ 0 nên ab, 4bc, 9ac ≥ 0. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta được: 4 2 4+ ≥a bc a bc ; 9 2 9+ ≥b ac b ac ; 2+ ≥c ab abc Cộng theo vế, ta được: 4 9 12⇔ + + + + + ≥a ab b bc c ca abc (1 ) (1 4 ) (1 9 ) 12⇔ + + + + + ≥a b b c c a abc (đpcm) 0.25 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 Lưu ý: Cả hai cách làm, nếu thiếu lý luận Vì a, b, c ≥ 0 nên ab, 4bc, 9ac ≥ 0 thì trừ 0,25 đ 5 a 1đ 2 0 15 . . .cos 3 .5 .cos120 2 = = = − uuur uuur a AB AD AB AD DAB a a 2 2 2 . ( )( ) 16= + − = − = uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC BD AD AB AD AB AD AB a 0.5 0.5 0.5 0.5 3 3 1 2 − ⇔ = m x 4 b 1đ ( ) 2 2 2 2 2 2 . 49= − = + − = uuur uuur uuur uuur uuur BD AD AB AD AB AD AB a 7⇒ =BD a Lưu ý: Học sinh có thể giải câu này theo định lý hàm số cos. ABCD là hình bình hành nên: BC = AD = 3a; góc BAD + góc ABC = 0 120 0 60⇒ =ABC Áp dụng định lý hàm số cos trong tam giác ABC, ta được: 2 2 2 2 2 . .cos 19= + − =AC BC AB BC AB ABC a 19⇒ =AC a Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác ABC, ta được: 0 19 57 2sin 2sin 60 3 = = = AC a R a ABC 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 6 a AB (1đ) D,SN (1,5đ) a) Gọi H(x; y). Ta có: ( 5; 6) ( 4; 3) = + − = − − uuur uuur AH x y CH x y và (8; 4) (1; 7) = = − uuur uuur BC AB H là trực tâm giác ABC . 0 . 0 = ⇔ = uuur uuur uuur uuur AH BC CH AB 8( 5) 4( 6) 0 ( 4) 7( 3) 0 + + − = ⇔ − − − = x y x y 3 2 = − ⇔ = x y Vậy H(–3; 2) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b 0.5 Vì M thuộc trục Oy nên M(0; y). Ta có: ( 5; 6 ) ( 4; 1 ) (4;3 ) = − − = − − − = − uuur uuur uuuur MA y MB y MC y 3 ( 17; 3 4 );4 3 2⇒ + = − − − + uuur uuur uuur uuur uuuur MA MB y MA MB MC = (0; 33 – 3y) Do đó T = 3 2 MA 3MB 4 4MA 3MB 2MC+ + − + uuuur uuur uuuur uuur uuur = 2 2 2 2 3 1 1 . 17 (3 4y) 4 33 3y+ + − + − ≥ 3 17 (4y 3) 4 33 3y+ − + − ≥ (42 12y) (132 12y)+ + − ≥ 174. Dấu “=” xảy ra 17 4 3 (42 12 )(132 12 ) 0 = − + − ≥ y y y ⇔ y = 5. Vậy T = 3 2 MA 3MB 4 4MA 3MB 2MC+ + − + uuuur uuur uuuur uuur uuur ngắn nhất bằng 174 ⇔ M(0; 5) 0.25 0.25 0.25 0.25 4 5 5 . Hồng Phong ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM HỌC 2 010 – 2 011 MÔN TOÁN – KHỐI 10 Thời gian làm bài: 90 phút. ***** Mỗi học sinh phải ghi đầy đủ tên lớp cùng họ và tên vào phần phách và ghi 1 trong 2 câu. ngắn nhất. 2 ***** ĐÁP ÁN TOÁN KHỐI 10 HỌC KỲ I – NĂM HỌC: 2 010 - 2 011 Câ u Nội dung Ban A, B Ban D,SN 1 a AB (1 ) D,SN (1, 25đ) 2 2 3 9x x x x+ − + = + (1) .Đặt 2 3t x x= − + . Điều kiện: 0t. x y x x x 0 5 1 2 ; ; ; 0 5 2 1 = = = − = ⇔ = = = = − x x x x y y y y 2 1 3 1 2 2 3 1 1 1 − − + − + − = − − x m x m x x x (1) . Điều kiện x > ;1 (1) 3 1 1 2 2 3⇔ − −