Lý thuyết ôn thi môn toán THPT

Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy GIẢI TÍCH 12 I.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản : ( ) 0 / = C ( ) 1 / = x ( ) x x 2 1 / = ( ) 1 / − = nn nxx 2) Các quy tắc tính đạo hàm : ( ) // / vuvu +=+ ( ) // / vuvu −=− ( ) // / . uvvuvu += 2 // / v uvvu v u − =       // ukuk = , Rk ∈ 2 / / 1 v v v −=       2 / / . v v k v k −=       ( ) /// / uvwwuvvwuwvu ++= 2 / 11 x x −=       ( ) 2 / dcx bcad dcx bax + − =       + + k u k u / / =       , Rk ∈ xux uyy /// .= (Đạo hàm của hàm số hợp ) 3)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản: Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp ( ( ) xuu = ) ( ) 1 / . − = αα α xx ( ) /1 / uuu − αα α 2 / 11 x x −=       2 / / 1 v v v −=       ( ) x x 2 1 / = ( ) u u u 2 / / = ( ) xx cossin / = ( ) uuu cos.sin / / = ( ) xx sincos / −= ( ) uuu sin.cos / / −= ( ) x x x 2 2 / tan1 cos 1 tan +== ( ) ( ) uu u u u 2/ 2 / / tan1 cos tan +== ( ) ( ) x x x 2 2 / cot1 sin 1 cot +−=−= ( ) ( ) uu u u u 2/ 2 / / cot1. sin cot +−=−= ( ) / x x e e = ( ) / / . u u e u e = ( ) aaa xx ln. / = ( ) auaa uu ln / / = ( ) x x 1 ln / = ( ) u u u / / ln = ( ) ax x a ln. 1 log / = ( ) au u u a ln. log / / = 4) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba : dcxaxaxy +++= 23 ( ) 0 ≠ a - TXĐ : RD = - Tính đạo hàm / y ; giải phương trình 0 / = y tìm yx ⇒ - Tính giới hạn :nếu 0 > a lim x y →+∞ = +∞ ; lim x y → −∞ = −∞ ; nếu 0 < a lim x y → +∞ = −∞ ; lim x y → −∞ = +∞ , 1 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy - Lập bảng biến thiên ( xét dấu / y ), suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến ,điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số. - Đồ thị : + Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu . + Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số có một tâm đối xứng . Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba: dcxaxaxy +++= 23 ( ) 0 ≠ a Nếu 0 > a Nếu 0 < a Nếu phương trình 0 / = y có 2 nghiệm phân biệt 21 ; xx + Hàm số có hai cực trị + Hàm số có 1 điểm uốn y 2 x 1 x x y 2 x 1 x x Nếu phương trình 0 / = y có nghiệm kép 21 xxx == + Hàm số có không có cực trị + Hàm số có 1 điểm uốn y x y x Nếu phương trình 0 / = y vô nghiệm + Hàm số có không có cực trị + Hàm số có 1 điểm uốn y x y x b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương : cbxaxy ++= 24 ( ) 0 ≠ a - TXĐ : RD = - Tính đạo hàm / y ; giải phương trình 0 / = y tìm yx ⇒ - Tính giới hạn : nếu 0 > a lim x y →+∞ = +∞ ; lim x y →−∞ = +∞ ; nếu 0 < a lim x y →+∞ = −∞ ; lim x y →−∞ = −∞ 2 O O O O O O Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy - Lập bảng biến thiên (xét dấu / y ), suy ra khoảng đồng biến ,nghịch biến; điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số - Đồ thị : + Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu . + Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số đối xứng qua trục Oy . Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn: cbxaxy ++= 24 ( ) 0 ≠ a Nếu 0 > a Nếu 0 < a Nếu phương trình 0 / = y có 3 nghiệm phân biệt 1 2 3 ; ;x x x . + Hàm số có ba cực trị y 1 x 3 x x y 1 x 3 x x Nếu phương trình 0 / = y có 1 nghiệm 0 = x + Hàm số có không có cực trị y x y x c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức : dcx bax y + + = , ( ) 0,0 ≠−≠ bcada - TXĐ :       −= c d RD \ c d xy −≠∀> ;0 / , nếu 0 >− bcad - Tính đạo hàm ( ) 2 / dcx bcad y + − = c d xy −≠∀< ;0 / , nếu 0 <− bcad - Tính giới hạn và kết luận các đường tiệm cận : lim x a y c →+∞ = ; lim x a y c →−∞ = c a y =⇒ là tiệm cận ngang Nếu c d xy −≠∀> ;0 / thì +∞= − −→ c d x ylim và −∞= + −→ c d x ylim Nếu c d xy −≠∀< ;0 / thì và −∞= − −→ c d x ylim +∞= + −→ c d x ylim - Lập bảng biến thiên : 3 O O O d x c ⇒ = − là tiệm cận đứng O Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy Nếu c d xy −≠∀> ;0 / Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng ; à ; d d v c c     −∞ − − +∞  ÷  ÷     và không có cực trị . Nếu c d xy −≠∀< ;0 / Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ; à ; d d v c c     −∞ − − +∞  ÷  ÷     và không có cực trị . - Cho điểm đặc biệt : + Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung (nếu có): Cho d b yx =⇒= 0 + Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có): Cho a b xbaxy −=⇔=+⇔= 00 - Vẽ đồ thị : + Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . 4 x ∞− c d − ∞+ / y + + y c a ∞+ c a ∞− x ∞− c d − ∞+ / y y c a ∞− +∞ c a Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy + Đồ thị gồm hai nhánh đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận hay điểm       − c a c d I ; . +Ta vẽ hai đường tiệm cận trước , rồi vẽ 2 nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua I . Các dạng đồ thị của hàm phân thức : dcx bax y + + = , ( ) 0,0 ≠−≠ bcada 5) Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số : a) Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình cho trước ( ) 0, = mxg ( ) 1 Cách giải : 5 / 0y < / 0y > y x c d x −= y O x c a y = O c a y = Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy + Đưa phương trình ( ) 1 về dạng : ( ) BAmxf += , trong đó ( ) xfy = là đồ thị ( ) C đã vẽ và BAmy += ( ) d là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox . + Số nghiệm của phương trình ( ) 1 là số hoành độ giao điểm của đồ thị ( ) C và ( ) d + Dựa vào đồ thị biện luận (có 5 trường hợp ), thường dựa vào CĐ y và CT y của hàm số để biện luận . b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( ) xfy = tại điểm ( ) ( ) CyxM ∈ 00 ; Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) C của hàm số ( ) xfy = tại điểm ( ) ( ) CyxM ∈ 00 ; có dạng : ( )( ) / 0 0 0 y f x x x y = − + ( ) 2 . Thế ( ) 0 / 00 ;; xfyx đã cho hoặc vừa tìm vào ( ) 2 ta được tiếp tuyến cần tìm. c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( ) xfy = biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước: Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) C của hàm số ( ) xfy = có dạng : ( ) 0 0 y k x x y = − + ( ) 3 Gọi ( ) 0 0 ;M x y là tọa độ tiếp điểm . Do tiếp tuyến có hệ số góc k nên ( ) / 0 f x k = , giải phương trình tìm được ( ) 000 xfyx =⇒ .Suy ra phương trình tiếp tuyến (3) d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) C của hàm số ( ) xfy = biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước. Cách giải : Phương trình tiếp tuyến có dạng : ( ) 0 0 y k x x y = − + ( ) 4 Gọi ( ) 0 0 ;M x y là tọa độ tiếp điểm . + Nếu tiếp tuyến song song với đthẳng baxyd += : thì ( ) axf = 0 / , giải pt tìm được ( ) 000 xfyx =⇒ . Kết luận phương trình tiếp tuyến . + Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng baxyd += : thì ( ) ( ) a xfaxf 1 1. 0 / 0 / −=⇔−= . Giải phương trình này tìm được ( ) 000 xfyx =⇒ . Kết luận phương trình tiếp tuyến . e) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) xfy = trên đoạn [ ] ba; : Cách giải : + Tính ( ) xf / , giải phương trình ( ) 0 0 / = xf tìm nghiệm [ ] bax ; 0 ∈ ; Tính các giá trị : ( ) af ; ( ) 0 xf ; ( ) bf + Kết luận : [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 ; (f ) ; ; ax a b x max f a f x f b m = ; [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 ; f ; ; a b M in x Min f a f x f b = f) Tìm tham số m để hàm số ( ) xfy = có cực trị (cực đại, cực tiểu ): Cách giải : + Tính đạo hàm / y , tính ∆ hoặc / ∆ của / y . + Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình 0 / = y có hai nghiệm phân biệt { m a ⇒⇔ ≠ >∆ 0 0 g) Tìm tham số m để hàm số ( ) xfy = đạt cực trị tại 0 xx = : Cách giải : + Tính đạo hàm ( ) xfy // = ; 6 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy + Hàm số đạt cực trị tại 0 xx = ( ) mxf ⇒⇔ 0 / h) Tìm tham số m để hàm số ( ) xfy = đạt cực đại tại 0 xx = : Cách giải :+ Tính đạo hàm ( ) xfy // = ; + Tính đạo hàm ( ) xfy //// = ; + Hàm số đạt cực đại tại 0 xx = ( ) ( ) { m xf xf ⇒⇔ = < 0 0 0 / 0 // i) Tìm tham số m để hàm số ( ) xfy = đạt cực tiểu tại 0 xx = : Cách giải : + Tính đạo hàm ( ) xfy // = ; + Tính đạo hàm ( ) xfy //// = + Hàm số đạt cực tiểu tại 0 xx = ( ) ( ) { m xf xf ⇒⇔ = > 0 0 0 / 0 // k) Tìm tham số m để hàm số ( ) xfy = luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ D của nó. Cách giải : + Tìm MXĐ D của hàm số ( ) xfy = . + Tính đạo hàm ( ) xfy // = , tính ∆ hoặc / ∆ của / y . + Hàm số ( ) xfy = đồng biến trên D { mDxy a ⇒⇔∈∀≥⇔ > ≤∆ 0 0 / 0 + Hàm số ( ) xfy = nghịch biến trên D { mDxy a ⇒⇔∈∀≤⇔ < ≤∆ 0 0 / 0 l) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của hàm số ( ) xfy = Cách giải 1 : + Tìm điểm cực đại ( ) AA yxA ; và điểm cực tiểu ( ) BB yxB ; của hàm số ( ) xfy = + Viết phương trình đường thẳng AB A AB A yy yy xx xx AB − − = − − : Cách giải 2 : Cho hàm số bậc ba ( ) xfy = +Tính y’. Viết lại ( ) ( ) '. xy y g h x= + .Gọi 1 2 ,x x lần lượt là hai điểm cực trị, ta có ( ) ( ) 1 2 ' 0; ' 0y x y x= = . + Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là ( ) y h x= . Cho hàm số hữu tỷ ( ) ( ) f x y g x = , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là ( ) ( ) ' ' f x y g x = . II . LŨY THỪA, LÔGARIT, PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. Tính chất của lũy thừa: Với 0; 0a b≠ ≠ và với các số nguyên m, n ta có: 1. . m n m n a a a + = ; 2. m m n n a a a − = ; 3. ( ) n m mn a a= 4. ( ) . n n n ab a b= ; 5. n n n a a b b   =  ÷   Cho ,m n là những số nguyên: Với 0a > thì m n a a m n > ⇔ > ; Với 0 1a < < thì m n a a m n > ⇔ < 2. Lôgarit: 1. Định nghĩa: log log 1 0;log 1 log , , , 0 a a a b a b a a b b a b b b = = = ∀ ∈ ∀ ∈ > ¡ ¡ 2. So sánh hai logarit cùng cơ số a. Khi 1 α > thì log logb c b c α α > ⇔ > b. Khi 0 1 α < < thì 3. Các quy tắc tính lôgarit: ( ) log log log a a a bc b c= + log log log a a a b b c c   = −  ÷   log log a a b b α α = 7 Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ. Huy log logb c b c α α > ⇔ < 4. Với số a dương khác 1, số dương b và số ngun dương n , ta có: 1 log log a a b b = − ; 1 log log n a a b b n = ; 1 log log a b b a = ; log .log 1 a b b a = 5. Với ,a b là số dương khác 1 và c là số dương, ta có: log log log a b a c c b = hay log .log log a b a b c c= 3. Gỉai phương trình mũ và lơgarit : • Dạng cơ bản: 1. f (x) a = g(x) a ⇔ f(x) = g(x) ; 2. f (x) a = b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log a b 3. log a f(x) = log a g(x) ⇔ f (x) 0 f (x) g(x) > =    4. log f (x) b a 0 a 1 = < ≠    ⇔ f(x) = b a ; • Đặt ẩn phụ : 1. 2f (x) a +β. f (x) a + γ = 0 ; Đặt : t = f (x) a , t > 0; 2. b f(x) a + +β. b f (x) a − + γ = 0 ; Đặt : t = f (x) a , t > 0 • Lơgarit hoá hai vế : 4. Giải bất phương trình mũ và lơgarit 1. f (x) a > g(x) a ⇔ f (x) g(x) khi a 1 f (x) g(x) khi 0 a 1 > > < < <    ; 2. f (x) a > b Nếu b > 0 f(x) > log a b nếu a > 1; f(x) < log a b nếu 0 < a < 1 4. log a f(x) > log a g(x) (*) Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1 . a>1, (*) ⇔ f(x) > g(x) ; 0<a<1, (*) ⇔ f(x) < g(x) 5. log a f(x) > b . Nếu a > 1 : bpt là f(x) > b a . Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < b a 5. Đồ thị hàm số mũ- lơgarit III .NGUN HÀM, TÍCH PHÂN 1. Ngun hàm Cơng thức ngun hàm của các hàm số sơ cấp Một số cơng thức mở rộng 8 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy 1. 0dx C = ∫ ; 2. 1dx dx x C= = + ∫ ∫ 3. 1 1 x x dx C α α α + = + + ∫ ( ) 1 α ≠ − ; 4. 1 lndx x C x = + ∫ 5. sin cosxdx x C= − + ∫ ; 6. cos sin ;xdx x C= + ∫ 7. 2 1 tan ; cos dx x C x = + ∫ 8. 2 1 cot . sin dx x C x = − + ∫ 9. ln x x a a dx C a = + ∫ , ( ) 0 1 ;a< ≠ 10. ; x x e dx e C= + ∫ 11. ( ) ( ) ( ) 1 1 ax b ax b dx C a α α α + + + = + + ∫ ( ) 1 α ≠ − ; 12. ln 1 ax b dx C ax b a + = + + ∫ 13. ( ) ( ) cos sin ax b ax b dx C a + + = − + ∫ 14 ( ) ( ) sin cos ax b ax b dx C a + + = + ∫ 15. ( ) ( ) 2 tan 1 ; cos ax b dx C ax b a + = + + ∫ 16. ( ) ( ) 2 cot 1 . sin ax b dx C ax b a + = − + + ∫ 17. ( ) ; ax b ax b e e dx C a + + = + ∫ 2. Tích phân a/. Tính chất: Giả sử các hàm số ,f g liên tục trên K và , ,a b c là ba số bất kì thuộc K . Khi đó ta có: 1. ( ) 0 a a f x dx = ∫ 2. ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx = − ∫ ∫ 3. ( ) ( ) ( ) b c c a b a f x dx f x dx f x dx+ = ∫ ∫ ∫ 4. ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx   + = +   ∫ ∫ ∫ 5. ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx= ∫ ∫ ( với .k ∈¡ ) b/ Phương pháp đổi biến số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' b u b a u a f u x u x dx f u du   =   ∫ ∫ Trong đó: ( ) u u x= có đạo hàm liên tục trên K , hàm số ( ) y f u= liên tục và sao cho hàm hợp ( ) f u x     xác định trên K ; a và b là hai số thuộc K . c/ Phương pháp tích phân từng phần: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' | ' b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx = − ∫ ∫ Hay | b b b a a a udv uv vdu= − ∫ ∫ Trong đó các hàm số ,u v có đạo hàm liên tục trên K và ,a b là hai số thuộc K d/ Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng. + Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: ( ) ( ) : : 0 2 : ; C y f x Ox y dt x a x b  =  =   = =  là ( ) b a S f x dx= ∫ + Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 : : 2 : ; C y f x C y g x dt x a x b  =  =   = =  là ( ) ( ) b a S f x g x dx= − ∫ e/ Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay + Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi: ( ) ( ) : : 0 2 : ; C y f x Ox y dt x a x b  =  =   = =  9 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy quay quanh trục hoành là: ( ) 2 b a V f x dx π   =   ∫ + Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi: ( ) ( ) : : 0 2 : ; C x g y Oy x dt y a y b  =  =   = =  quay quanh trục tung là: ( ) 2 b a V g y dy π   =   ∫ IV. SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC. A. SỐ PHỨC (DẠNG ĐẠI SỐ) 1/ Số i: qui ước 2 1i = − ; Tập số phức: £ ; 2/ Số phức dạng đại số : z = a bi + ( trong đó: a là phần thực, b là phần ảo a, b là các số thực, i là đơn vị ảo ) 3/ Số phức bằng nhau: Cho 1 1 1 2 2 2 , zz a b i a b i= + = + : 1 2 1 2 1 2 = z a a z b b =  ⇔  =  4/ Biểu diễn hình học số phức: Điểm M biểu diễn cho số phức z a bi= + : ( ) ( ) ( ) ; M a b hay M a bi hay M z+ 5/ Cộng, trừ, nhân hai số phức: Cho 1 1 1 2 2 2 , zz a b i a b i= + = + a/ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z z a a b b i+ = + + + ; b/ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z z a a b b i− = − + − ; c/ ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 .z z a a b b a b a b i= − + + 6/ Số phức liên hợp của z a bi = + là: z a bi a bi= + = − ( Chú ý: z z= ) 7/ Môđun của số phức z a bi = + : 2 2 z a b= + ; 8/ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số: 1 2 1 z z z − = 9/ Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn 2 z w= được gọi là một căn bậc hai của w. a/ w là số thực: + Căn bậc hai của 0 là 0 + 0a > : có 2 căn bậc hai là à -a v a ; + 0a < : có 2 căn bậc hai là à - a i v a i− − . Chú ý: Hai căn bậc hai của -1 là i và -i b/ w là số phức: ( ) , ; 0w a bi a b b= + ∈ ≠¡ : ( ) ,z x yi x y= + ∈¡ là căn bậc hai của w khi và chỉ khi: ( ) 2 2 z w x yi a bi= ⇔ + = + Do ( ) 2 2 2 2x yi x y xyi+ = − + nên 2 2 2 2 x y a z w xy b  − = = ⇔  =  Mỗi cặp số thực ( ) ;x y nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z = x yi+ của số phức w. 10/ Phương trình bậc hai: ( ) 2 0 1 ,( 0; , ,Az Bz C A A B C+ + = ≠ là những số phức). Xét 2 4B AC∆ = − + Nếu 0∆ ≠ , (1) có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 , 2 2 B B z z A A δ δ − + − − = = ,(với δ là một căn bậc hai của ∆ ) + Nếu 0 ∆ = , (1) có nghiệm kép: 1 2 2 B z z A = = − Chú ý: Nếu ∆ là số thực dương, (1) có 2 nghiệm: 1 2 , 2 2 B B z z A A − + ∆ − − ∆ = = . Nếu ∆ là số thực âm, (1) có 2 nghiệm: 1 2 , 2 2 B i B i z z A A − + −∆ − − −∆ = = . 10 O b a M x y [...]... ra: với mọi x ∈ R ta có: |x| ≥ 0; |x|2 = x2; x ≤ |x| Định lí: Với mọi số thực a và b ta có: 20 Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ Huy |a + b| ≤ |a| + |b| (1); |a – b| ≤ |a| + |b| (2) |a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≥ 0; |a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≤ 0 HÌNH HỌC 10 21 Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ Huy I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài 1 VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ  →  →  → 1 Điểm M... Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu 3 Tổ hợp: 18 Ak n là: A k = n ( n − 1) ( n − k + 1) = n n! ( n − k) ! Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ Huy a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử b Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu k∈¥ Ck n mà 1≤ k ≤ n n! Một tập hợp con của A có k k là: C n = k! n − k ! = ( ) c Hai... C1 = 0, A B A B C A B d2: A2x + B2y + C2 = 0 C 1 1 1 1 1 1 1 1 + d1 cắt d2 ⇔ A ≠ B ; + d1 // d 2 ⇔ A = B ≠ C 22 d1 ≡ d 2 ⇔ A = B = C ;+ 2 2 2 2 2 2 2 2 Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ Huy II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A Tam giác thường ( các đònh lý) b2 + c2 − a 2 Đònh lí hàm số Cosin a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cosA ⇒ cosA = 2bc Đònh lí hàm số Sin a b c a = = = 2 R ⇒ a = 2 R.sinA;sin A = sinA sinB sinC... đường tròn bàng tiếp tam giác p 2 2 2 c h m b a a 23 B C H a M Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ Huy abc a b c = = = 2 R = 4 S 2 sinA 2 sinB 2 sinC Với a, b, c :cạnh tam giác; A, B, C: góc tam giác; ha: Đường cao tương ứng với cạnh a; ma:Đường trung tuyến vẽ từ A 3.R, r :Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác, p = B Hệ thức lượng tam giác vuông: 1 AH 2 = BH CH ; 2 AH BC = AB AC ; 3 AB 2 = BH BC ; a+b+c... cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 là: d ( M 0;( α ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2 2 Một số dạng tốn về khoảng cách: 14 rr c ∆ cắt ( α ) ⇔ u.n ≠ 0 Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ Huy r a Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ chỉ phương u : r uuuuuu r  u, M 0 M    d ( M,∆) = r u b.Khoảng cách giữa hai đường thẳng... ( α ) ) > R thì mp ( α ) khơng cắt mặt cầu (S) • Nếu d ( I , ( α ) ) = R thì mp ( α ) tiếp xúc mặt cầu (S) tại H ( IH ⊥ ( α ) tại H) Mặt phẳng ( α ) được gọi là tiếp diện của (S) tại H 15 Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ Huy • Nếu d ( I , ( α ) ) < R thì mp ( α ) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình là 2 2 2  ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2  Đường tròn (C) được gọi là đường... 3 − 1 3 1350 3π 4 2 2 2 − 2 −1 −1 1500 5π 6 1 2 1800 π 3 2 1 − 3 −1 − 3 P − 6 3 Cơng thức hạ bậc: 1 cos 2 a = 1 + cos 2a ; 2 1 − cos 2a 3 tan 2 a = 1 + cos 2a 2 sin 2 a = 0 0 1 − cos 2a 2 Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ Huy 5.Cơng thức cộng 1 cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b 2 cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b 3 sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b 4 sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin... + kπ 7 tan u = 1⇔ π + kπ 4 π + kπ ; 4 tan u = 0 ⇔ u = kπ ; 8 tan u = -1 ⇔ u=− 9 cotu = cotv ⇔ u = v + kπ (k∈Z) u= (k∈Z) 10 cot u = 1⇔ u=− π + kπ 4 ; 17 (k∈Z) π u = + kπ 4 ; 11 cot u = -1 ⇔ Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT 12 π cot u = 0 ⇔ u = + kπ 2 Tơ Huy (k∈Z) 3 Phương trình bậc hai , bậc ba đối với một hàm số lượng giác: 2 2 Đặt ẩn phụ: t = s inx; t = cosx , điều kiện: −1 ≤ t ≤ 1 ; Đặt ẩn phụ: t = s.. .Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ Huy ϕ B SỐ PHỨC DẠNG LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG 1/ Acgumen của số phức z: Số đo ( radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z, ϕ một acgumen của... cộng: a + c = 2b Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: a.c = b 2 ) ĐẠI SỐ 10 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC, CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 19 Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Tơ Huy Cách giải phương trình bậc hai: ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (1) , ta có: ∆ = b – 4ac ∆>0 −b+ ∆ −b− ∆ x1 = , x2 = 2 2a ∆=0 2a Nghiệm kép x1 = x 2 = − ∆ . −∞= − −→ c d x ylim +∞= + −→ c d x ylim - Lập bảng biến thi n : 3 O O O d x c ⇒ = − là tiệm cận đứng O Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy Nếu c d xy −≠∀> ;0 / Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng. −∞ = −∞ ; nếu 0 < a lim x y → +∞ = −∞ ; lim x y → −∞ = +∞ , 1 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy - Lập bảng biến thi n ( xét dấu / y ), suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến ,điểm cực. nếu 0 < a lim x y →+∞ = −∞ ; lim x y →−∞ = −∞ 2 O O O O O O Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Tô. Huy - Lập bảng biến thi n (xét dấu / y ), suy ra khoảng đồng biến ,nghịch biến; điểm cực